Ciągłość funkcji

Plan
Spis tre±ci
1
2
3
Wªasno±ci funkcji
1
1.1
Odwzorowanie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Funkcje zmiennej rzeczywistej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Ci¡gªo±¢ funkcji
5
2.1
Okre±lenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Wªasno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Zadania
1
8
Wªasno±ci funkcji
1.1
Odwzorowanie
ODWZOROWANIE
Dencja
M : A → B : A 3 a 7→ M (a) ≡ M a = b ∈ B
A otrzyma¢ jednoznacznie peB . Ka»de odwzorowanie okre±lone jest przez trzy elementy:
Jest to przepis, jak z ka»dego elementu zbioru
wien element zbioru
•
zbiór
A
•
zbiór
B,
•
oraz metod¦ jednoznacznego przyporz¡dkowania
(argumentów),
do którego nale»¡ warto±ci
M (a);
a 7→ M (a).
Przykªady
• mod3 : Z → N : Z 3 k 7→ k mod 3
• d : (R × R) → R+ ∪ {0} : (x, y) 7→
p
x2 + y 2
UWAGI
Rygorystyczne wymagania
•
Odwzorowania mog¡ si¦ ró»ni¢ którymkolwiek z tych elementów, np. ró»nymi odwzorowaniami s¡:
f:
f:
f:
f:
•
R → R : x 7→ x2 + 1;
R → R+ : x 7→ x2 + 1;
(3, π] → R+ : x 7→ x2 + 1;
R → R+ : x 7→ 2x .
Odwzorowania s¡ zawsze jednokrotne (jednoznaczne), tzn. dla danego argumentu
•
a∈A
jest tylko jedna warto±¢
M (a).
Odwzorowanie musi by¢ okre±lone dla ka»dego
jest podana w jego denicji.
a ∈ A, zatem jego dziedzina
OGÓLNE (bardzo) WŠA‘CIWO‘CI ODWZOROWA‹
Obraz
M (A) = {M (a) | a ∈ A}: obraz zbioru A; M (A) ⊂ B ; mog¡ istnie¢
elementy b ∈ B , które nie s¡ obrazem
»adnego a ∈ A.
Zbiór
Odwzorowanie na
cja )
(surjek-
M (A) = B
OGÓLNE WŠA‘CIWO‘CI ODWZOROWA‹ (cd.)
Odwozrowanie w (injekcja )
Odwzorowanie prawostronnie (a zatem obustronnie ) jednoznaczne. Warto±¢ odwzorowania jednoznacznie okre±la argument:
Je»eli
x 7→ 2x .
log2 : R+ → R).
Przykªad:
M (a) = M (a0 )
to a = a0 .
Istnieje odwzorownie odwrotne
M −1 : M (A) → A
(np.
Bijekcja
M
jest sur- i injekcj¡. Wzajemnie
jednoznazne, odwracalne.
OGÓLNE WŠA‘CIWO‘CI ODWZOROWA‹ (cd.)
Wykres
Zbiór par uporz¡dkowanych
(a, M (a)) ⊂ A × B . Je»eli A, B ⊆ R, to przedR2 . Najcz¦±ciej w kartezja«skim prostok¡tnym
stawiamy jako zbiór punktów w
ukªadzie wspóªrz¦dnych.
Szczególne odwzorowania
•
odwzorowanie staªe:
M (a) = b0 ∈ B (M (A) = {b0 }).
f (x) = π 2 ;
zerowy : w0 (x) ≡ 0;
funkcja staªa:
wielomian
•
zanurzenie (uto»samienie zbioru
2
A
z jego obrazem
M (A)):
3
R → R : (x, y) 7→ (x, y, 0);
•
identyczno±¢ (to»samo±¢):
idA : A → A : a 7→ a, (idA (a) = a).
2
SKŠADANIE ODWZOROWA‹
Okre±lenie
T : A → B,
S: B → C
R ≡ (S ◦ T ) : A → C : R(a) ≡ (S ◦ T )(a) = S(T (a))
Skªadanie odwzorowa« jest ª¡czne:
A ◦ (B ◦ C) = (A ◦ B) ◦ C ,
ale w ogólnym
przypadku nie jest przemienne!
Uwaga
M: A→B
Je»eli
jest bijekcj¡, a
M −1 : B → A
M −1 ◦ M = idA
jej odwrotno±ci¡, to
M ◦ M −1 = idB .
Poza tym
idB ◦ M = M
M ◦ idA = M.
FUNKCJA ODWROTNA
f: R→R
• f −1 (x) jest cz¦sto rozumiane jako 1/f (x). Np. sin2 x = (sin x)2 ,
sin−1 x powinno oznacza¢ 1/ sin(x) (dla sin x 6= 0).
zatem
sin−1 x ≡ arc sin x.
•
Funkcje odwrotne maj¡ swoje nazwy:
•
Funkcja odwrotna b¦dzie oznaczana jako
f˜.
Np.
to
f˜(y) =
(dla
x ≥ 0)
f (x) = y = 2x ,
x = log2 y .
f (x) i f˜(y)
•
Wykresy funkcji
•
Co innego wykresy funkcji
i
1.2
√
pokrywaj¡ si¦ w
2x
i
R2 .
log2 x, sin x i arc sin x,
czy
x2
x.
Funkcje zmiennej rzeczywistej
OGRANICZONO‘‚ i EKSTREMA
f (D) = Ω ⊂ R
Funkcja f : D → R
jest ograniczona, gdy zbiór
Ω
jest ograniczony.
Uwaga
a
oraz
A
s¡ kresami
f (D):
• Ω ⊆ [a, ∞) ograniczona z doªu;
• Ω ⊆ (−∞, A] ograniczona z góry;
• Ω ⊆ [a, A] ograniczona.
Ekstrema globalne
•
maksimum (globalne): najwi¦ksza warto±¢ funkcji osi¡gana w zbiorze
x∈
D; maxx∈D f (x)
•
minimum (globalne): najmniejsza warto±¢ funkcji osi¡gana w zbiorze
D; minx∈D f (x)
3
x∈
OGRANICZONO‘‚ i EKSTREMA (cd.)
Uwagi
•
Ta sama warto±¢ ekstremum mo»e by¢ osi¡gni¦ta w wielu punktach. Funkcja
g(x) = x4 − x2
ma minimum globalne
−1/4
dla
√
x = ± 2/2.
•
Je»eli istnieje ekstremum, to funkcja jest ograniczona.
•
Nie wszystkie funkcje ograniczone osi¡gaj¡ maksimum (np. dla
ex /(ex + 1)
mamy
f (x) =
Ω = (−1, 1)).
EKSTREMA LOKALNE
Denicja
Funkcja
f: D →R
istnieje taka liczba
ma maksimum (minimum) lokalne w punkcie
δ > 0,
x0 ∈ D ,
je»eli
»e
• (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ D;
• f (x0 ) ≥ f (x)
dla
|x − x0 | < δ
(dla maksimum);
• f (x0 ) ≤ f (x)
dla
|x − x0 | < δ
(dla mminimum);
•
Ekstremum jest wªa±ciwe (silne), gdy równo±¢ zachodzi jedynie dla
x = x0 .
Uwagi
•
Ekstremum lokalne mo»e nie by¢ globalne.
•
Funkcja staªa ma wsz¦dzie ekstremum lokalne, ale nie jest ono wªa±ciwe.
MONOTONICZNO‘‚
x1 , x2 ∈ [a, b] ⊂ D
•
Funkcja jest rosn¡ca (w przedziale), gdy dla ka»dej pary
x2 > x1
mamy
x2 > x1
mamy
f (x2 ) ≥ f (x1 );
•
Funkcja jest malej¡ca (w przedziale), gdy dla ka»dej pary
f (x2 ) ≤ f (x1 );
Uwagi
•
Mo»emy wprowadzi¢ poj¦cia silnie rosn¡ca, silnie malej¡ca, nierosn¡c
i niemalej¡ca.
•
Funkcja mo»e by¢ przedziaªami monotoniczna.
•
Funkcja silnie monotoniczna jest jednoznaczna (np. funkcje liniowe).
4
INNE WŠASNO‘CI
Denicje
x2 , cos x);
•
parzysta:
•
nieparzysta:
•
symetryczna (wzgl¦dem punktu
•
okresowa: istnieje takie
wzgl¦dem
f (−x) = f (x)
(np.
f (−x) = i − f (x)
(np.
x3 , sin x);
a): f (a − x) = f (a + x) (np. (x − a)2 , sin x
π/2);
T ∈ R,
»e
f (x + T ) = f (x).
Uwaga
Dla funkcji okresowej musi by¢
• x + T ∈ D;
•
równo±¢
•
0
Niech
f (x + T ) = f (x)
jest prawdziwa dla ka»dego
0
x ∈ D;
0
x = x + T , wtedy f (x + 2T ) = f (x + T ) = f (x ) = f (x + T ) = f (x)
itd.
2
Ci¡gªo±¢ funkcji
2.1
Okre±lenie
FUNKCJE CIGŠE
Denicja: Ci¡gªo±¢ w punkcie
Funkcja
f: D → R
jest ci¡gªa w
x0 ∈ D ,
gdy ma w tym punkcie granic¦
wªa±ciw¡ (jest zbie»na) oraz
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Je»eli warunek ten jest speªniony tylko dla
x → x−
0
albo
x → x+
0 , to mówimy
o ci¡gªo±ci jednostronnej (odpowiednio, lewostronnej i prawostronnej), a funkcj¦
f (x)
nazywamy ci¡gª¡ z lewej (odp. z prawej) strony.
Denicja
Je»eli funkcja
f: D →R
jest ci¡gªa w ka»dym punkcie
»e jest ci¡gªa w (zbiorze)
A.
Dla kresów zbioru
A
x ∈ A ⊂ D,
to mówimy,
(o ile nale»¡ do dziedziny)
wystarcza ci¡gªo±¢ jednostronna.
FUNKCJE CIGŠE (cd.)
UWAGA
Z dencji wynika, »e funkcja nie jest ci¡gªa, gdy zachodzi co najmniej jeden
z nast¦puj¡cych przypadków:
•
funkcja nie jest okre±lona w
•
funkcja nie ma w tym punkcie granicy
•
funkcja jest okre±lona w
x0
x0 ;
wªa±ciwej;
i ma tam granic¦
g ∈ R,
Na przykªad funkcja jest ci¡gªa w przedziale domkni¦tym
w przedziale otwartym
(a, b)
oraz ci¡gªa prawostronnie w
5
ale
g 6= f (x0 ).
[a, b], gdy jest ci¡gªa
a i lewostronnie w b.
ZŠO›ENIE FUNKCJI
Twierdzenie
•
Zªo»enie
y0
•
(f ◦g)(x) = f (g(x)) ma granic¦ w punkcie x0 , gdy limx→x0 g(x) =
f (y) jest ci¡gªa w punkcie y0 .
i funkcja
g(x) jest ci¡gªa w x0 , to
limx→x0 f (g(x)) = f (g(x0 )) = f (y0 ).
Je»eli poza tym funkcja
w
x0
oraz
funkcja
f ◦g
jest ci¡gªa
Dowód
POMIJAMY.
2.2
Wªasno±ci
WA›NE
Lemat
Je»eli funkcja
f: D → R
jest ci¡gªa, to obrazem przedziaªu domkni¦tego jest
przedziaª domkni¦ty.
Uwaga
Obrazem przedziaªu otwartego mo»e by¢ przedziaª otwarty lub domkni¦ty. Np.
dla
f (x) = sin x
mamy
f : (−π, π) → [−1, 1]
oraz
f : (−π/2, π/2) → (−1, 1).
WŠASNO‘CI FUNKCJI CIGŠYCH
Twierdzenie Weierstrassa
Niech
m
M
i
s¡, odpowiednio, minimum i maksimum globalnym funkcji
[a, b].
x1 , x2 ∈ [a, b],
f (x) : [a, b] → [m, M ]
f (x1 ) = m i f (x2 ) = M .
na przedziale
Je»eli funkcja
takie
»e
f (x)
jest ci¡gªa, to istniej¡
Twierdzenie Darboux
Niech funkcja b¦dzie ci¡gªa na przedziale domkni¦tym
f (a) i f (b) oznaczmy c,
x ∈ [a, b], »e f (x) = y .
a wi¦ksz¡
d.
Wtedy dla ka»dego
[a, b]. Mniejsz¡ z liczb
y ∈ [c, d] istnieje takie
Wniosek
[a, b] warto±ci funkcji maj¡ ró»ne
f (a)f (b) < 0), to w przedziale [a, b] funkcja ma miejsce zerowe, czyli
rozwi¡zanie równania f (x) = 0.
Je»eli na ko«cach przedziaªu domnkni¦tego
znaki (tzn.
istnieje
PRZYKŠAD
f : [0, 1] → [0, 1] istnieje rozwi¡zanie równania
f (x) ci¡gªa jest tak»e funkcja g(x) = f (x) − x
Poniewa» 0 ≤ f (x) ≤ 1, wi¦c dla x = 0, 1 otrzymujemy
Poka»emy, »e dla ci¡gªej funkcji
f (x0 ) = x0 .
Dla ci¡gªej funkcji
(twierdzenie poni»ej).
0 ≤ f (0) = g(0) ≤ 1
Z pierwszej nierówno±ci mamy
oraz
g(0) ≥ 0,
0 ≤ f (1) = g(1) + 1 ≤ 1 .
a z drugiej
g(1) ≤ 0.
Je»eli w któ-
rymkolwiek z przypadków zachodzi równo±¢, to automatycznie otrzymujemy
f (0) = 0 lub f (1) = 1. Gdy obie nierówno±ci s¡ ostre, to na podstax, »e g(x) = 0, wi¦c w tym przypadku
f (x) = g(x) + x = x.
rozwi¡zanie
wie twierdzenia Darboux istnieje takie
6
FUNKCJA ODWROTNA
Odwzorowanie (funkcja) jest odwracalne, gdy jest wzajemnie (obustronnie) jednoznaczne. Odwracalna funkcja ci¡gªa musi by¢ zatem rosn¡ca albo malej¡ca.
Dla jej odwrotno±ci
f˜ zachodzi:
(f˜ ◦ f )(x) = x ≡ id(x)
oraz
(f ◦ f˜)(y) = y ≡ id(y) .
Twierdzenie
Je»eli funkcja f : [a, b] → R jest ci¡gªa i rosn¡ca (malej¡ca), to funkcja odwrotna
f˜: [m, M ] ≡ [c, d] → [a, b] jest tak»e ci¡gªa i rosn¡ca (malej¡ca).
Oznaczenia
m, M , c i d
tak jak w tw. Weierstrassa i Darboux.
PODSTAWOWE WZORY
f : D → R i g : D → R ci¡gªe
Ci¡gªe s¡ funkcje:
• (cf )(x) = cf (x)
dla
c ∈ R,
w szczególno±ci
(−f )(x) = −f (x);
• (f + g)(x) = f (x) + g(x);
• (f g)(x) = f (x)g(x);
• 1/g(x)
tam gdzie
g(x) 6= 0
ci¡gªa.
Wnioski
Z twierdzenia tego wynika, »e ci¡gªe s¡ tak»e
(f /g)(x) = f (x)/g(x)
dla
(f − g)(x) = f (x) − g(x)
oraz
g(x) 6= 0.
Uwaga
Ci¡gªo±¢ funkcji
1/g(x) wynika z ci¡gªo±ci zªo»enia f ◦g
funkcji
g(x) oraz funkcji
f (x) = 1/x.
FUNKCJE CIGŠE
Korzystaj¡c z tych twierdze«, twierdze« o granicach funkcji oraz z wªasno±ci
funkcji elementarnych otrzymujemy, »e ci¡gªe s¡ (w swoich dziedzinach):
f (x) = axα , α ∈ R;
•
funkcje pot¦gowe
•
wielomiany;
•
funkcje trygonometryczne
•
funkcje odwrotne do trygonometrycznych:
sin x, cos x, tg x i ctg x;
arc sin x, arc cos x, arc tg x
arc ctg x;
ax , a > 0;
•
funkcje wykªadnicze
•
funkcje logarytmiczne
•
funkcje wymierne
•
oraz zªo»enia tych funkcji.
loga x, a > 0;
W (x)/V (x)
(dla
7
V (x) 6= 0)
i
Wa»na uwaga
Sklejanie funkcji
W pewnych przypadkach musimy tak dobra¢ parametry jednej lub kilku funkcji,
aby po poª¡czeniu w wybranym punkcie
niech
(
f (x) =
x0 tworzyªy funkcj¦ ci¡gª¡. Na przykªad
cos x
−x + b
dla
x < π/3 ,
x > π/3 .
x0 = π/3?
limx→π/3− cos x = 1/2, zatem
limx→π/3+ (−x + b) = −π/3 + b musi by¢ równa
Jak¡ warto±¢ musi mie¢ parametr
b,
dla
aby funkcja byªa ci¡gªa w
Poniewa» granic¡ lewostronn¡ funkcji jest
tak»e granica prawostronna
1/2.
St¡d
b = 1/2 + π/3 = (3 + 2π)/6.
3
Zadania
PRZYKŠADOWE ZADANIE
•
Wyznacz dziedzin¦, podaj przedziaªy monotoniczno±ci i ekstrema globalne
oraz wyka» ci¡gªo±¢ funkcji
f (x) =
8
√
x2 − 25.