Aksjomaty matematyki - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38
www.piotr-liszka.strefa.pl
+ Aksjomaty geometrii do wieku XIX były traktowane jako prawdy oczywiste,
których ani nie można, ani nawet nie powinno się dowodzić czy uzasadniać.
„Geometria wyrosła z pewnych praktycznych potrzeb związanych z pomiarami
gruntów (stąd też wyprowadza się samą nazwę „geometria” – od greckich
słów geo () – „ziemia” i metrita () – „mierzenie”. Była więc nauką
mającą opisywać świat, czy jego fragmenty – a więc przestrzeń fizyczną.
Oczywiście, poglądy na temat tego, czym są obiekty geometrii, czym jest
przestrzeń geometryczna i jak się ona ma do przestrzeni fizycznej, i ogólniej:
do rzeczywistości empirycznej, ulegały zmianom […]. Pozostaje jednak faktem,
że właściwie aż do X IX wieku, do powstania systemów geometrii
nieeuklidesowej, geometria była nauką, której twierdzenia podlegały
wartościowaniu w kategoriach prawdy i fałszu, była „la science de la verite”
(Poincare). Jej aksjomaty były traktowane jako prawdy oczywiste, których ani
nie można, ani nawet nie powinno się dowodzić czy uzasadniać. Rozwój
samej geometrii i jej metod oraz powstanie geometrii nieeuklidesowych
doprowadziły do zmiany tego obrazu” /Murawski R. Filozofia matematyki.
Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 192/. „Geometria stała się nauką
abstrakcyjną, którą można interpretować na rozmaite sposoby, której
ważniejsza od kategorii prawdziwości jest wewnętrzna niesprzeczność i
dedukcyjne powiązanie różnych tez” /Tamże, s. 193.
+ Aksjomaty geometrii greckiej Analiza teoretyczna zakłada to, co się
bada, jako dane i prawdziwe. „Dwojaki jest rodzaj analizy: jeden
zetetyczny w tym, co prawdziwe, który zwie się teoretycznym, a drugi
porystyczny w zakresie tego, co przedłożono, który zwie się
problematycznym. W rodzaju teoretycznym zakładamy to, co się bada,
jako dane i prawdziwe, potem – poprzez kolejne następstwa jako
prawdziwe i zgodne z założeniem – dochodzimy do czegoś uznanego,
jeśli prawdziwe jest to, co uznano, prawdziwe też będzie to, co zbadano
i dowód będzie odwróceniem analizy; jeśli zaś natrafimy na fałsz w
tym, co uznajemy, fałszywym będzie też to, co zbadano. W
problematycznym zaś rodzaju zakładamy to, co się przedkłada, jako
znane, potem – poprzez kolejne następstwa jako prawdziwe –
dochodzimy cło czegoś uznanego, jeśli to, co uznane, jest możliwe i
podane, co zwie się przez matematyków tym, co dane (dothen),
możliwym będzie i to, co podano, i dowód znów będzie odwróceniem
analizy; jeśli zaś natrafimy na niemożliwe to, co uznano, to i problem
będzie niemożliwy” W księgach o metodzie analitycznej porządek jest
następujący. „Euklidesa Data jedna księga, Apolloniosa Podział proporcji
dwie księgi, Podział powierzchni dwie księgi, Podział określony dwie
księgi, Kontakty dwie księgi, Euklidesa Poryzmy trzy księgi, Apolloniosa
Styczne dwie księgi, tegoż Miejsca płaszczyzn dwie księgi, Stożków osiem
ksiąg, Arystajosa Miejsca brył pięć ksiąg, Euklidesa Miejsca płaszczyzn
dwie księgi, Eratostenosa O średnich dwie księgi. Powstało o tym ksiąg
trzydzieści trzy (Coll.Math. VII 2, 633-636 Hultsch)” /M. Wesoły, Analiza w
greckiej geometrii i analityce Arystotelesa, w: Między matematyką a
1
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet
im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu
Filozofii, Poznań 1999, 19-40, s. 22.
+ Aksjomaty geometrii Hilberta D. podzielone na kilka grup: „Swój system
geometrii oparł Hilbert na aksjomatach, które podzielić można na kilka grup:
aksjomaty łączenia (8 aksjomatów), aksjomaty uporządkowania (4 aksjomaty),
aksjomaty przystawania (5 aksjomatów), aksjomat o równoległych oraz
aksjomat ciągłości (jego ścisłe sformułowanie wymaga posłużenia się pojęciem
zbioru). Począwszy od drugiego wydania (1903) swej książki, Hilbert dodaje
(pod wpływem uwag H. Poincarego) do ostatniej grupy jeszcze tzw. aksjomat
zupełności (Axiom der Vollständigkeit), którego sformułowanie dalekie było od
jasności i ścisłości (aparatura pojęciowa, która umożliwiła jego precyzyjne
wypowiedzenie, stworzona została dopiero w latach trzydziestych XX wieku w
ramach semantyki języków sformalizowanych). Przyjmuje się zazwyczaj, że
wraz z dziełem Hilberta nastąpiło ostateczne i całkowite zerwanie geometrii z
rzeczywistością empiryczną. Geometria stała się matematyką czystą.
Aksjomaty przestały być prawdami oczywistymi czy koniecznymi. Samo zaś
pytanie o ich prawdziwość straciło sens. Systemy geometrii stały się bowiem
niezinterpretowanymi
systemami
aksjomatycznymi,
które
można
interpretować na rozmaite sposoby /Spotkać można też opinię, że choć praca
Hilberta przyczyniła się znacznie do takiego traktowania geometrii, to sam
Hilbert nie uważał geometrii za naukę całkowicie oderwaną od rzeczywistości
empirycznej i twierdził, iż jej aksjomaty wyrażają pewne fakty bliskie
doświadczeniu – por. na przykład T. Batog, Dwa paradygmaty matematyki/”
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
200.
+ Aksjomaty geometrii Metoda aksjomatyczna właściwą metodą geometrii.
„według Platona geometria bada idee geometryczne; a zatem przedmioty
geometrii należą do świata idei. Poznajemy je więc rozumem, a właściwą
metodą geometrii jest metoda aksjomatyczna. Rzeczy poznawalne zmysłami
są odbiciami i cieniami idei. Idee są bezcielesne. Ziemskie kopie idei, czyli
rzeczy, mogą wzbudzać doznania, a więc być przedmiotem poznania
zmysłowego, jeśli nie są wyposażone w położenie. Czynnikiem
pośredniczącym między tymi dwoma światami – światem zjawisk i światem idei
– jest chora (). Platon wyłożył swe poglądy na temat w Timaiosie. Chora
można traktować jako substrat, pozostający wtedy, gdy usuniemy wszystkie
cechy ciał materialnych: ciężar, barwę itp. Co więcej: przedmioty materialne
można uważać za utworzone z chora. Platon przyjmuje za Empedoklesem,
wszystkie przedmioty są kombinacjami czterech elementów: ziemi, wody,
powietrza i ognia. Zakłada przy tym, że elementy te różnią się między sobą
kształtem geometrycznym (na przykład elementowi ziemi przyporządkowany
jest kształt sześcianu, elementowi wody – kształt dwudziestościanu) oraz że
mają one wspólny substrat, właśnie chora. Świat widzialny jest
ukonstytuowany przez chora, któremu nadano postać matematyczną”
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
193.
+ Aksjomaty geometrii określają konstytucję przestrzeni. „Zachowując w
pełni swoją autonomię, i filozofia, i nauka opierały wzajemne relacje na
„współpracy i wzajemnej wymianie usług”. Wynikać miało to z tego, iż
2
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
prawidłowości rozpoznawane w różnych fragmentach rzeczywistości są do
siebie bardzo podobne. Stąd prawa poszczególnych nauk dawały się
wyjaśnić w oparciu o wspólne podłoże interpretacyjne. Jako przykładu
Bornstein użył tutaj zagadnienia relacji między filozofią a geometrią –
„nauką o przedmiotach czysto rozciągłych”. Ta druga określała „[...]
konstytucję przestrzeni w systemie pewników, który podaje, w szeregu
praw i stosunków, które obowiązują w dziedzinie przestrzennej /B.
Bornstein, Elementy filozofii jako nauki ścisłej, Warszawa 1916, s. 215-216/.
Filozofii nie interesowała struktura poszczególnych przedmiotów czysto
rozciągłych. Pytała o rzeczywistość, o jej istotę, o sposób jej istnienia.
Czyli interesowała ją „konstytucja ontologiczna” rzeczywistości. Obydwie
te dyscypliny, tzn. filozofię i geometrię, interesowała „istota”
przedmiotów rozciągłych. Geometria badała ich cechy istotnościowe
(konieczne i powszechne), dzięki którym są one tym, czym są. Także
filozofia dążyła do poznania istoty bytu” /E. Jeliński, Między filozofią a
matematyką. Przyczynek do charakterystyki poglądów Benedykta Bornsteina, w:
Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 83-94, s. 87.
+ Aksjomaty geometrii potwierdzają aprioryczność form poznania, Helmoltz
H. „Istotną rolę w ukształtowaniu się filozofii jako teorii poznania odegrał
Hermann Helmoltz (H. Helmoltz (1821-1894). Fizjolog, fizyk. Od 1849 r.
profesor fizjologii w Królewcu, od 1858 r. profesor w Heidelbergu, a następnie
w Berlinie), który od czasu wygłoszonego w 1855 r. przemówienia Über das
Sehen des Menschen [O ludzkim widzeniu] powoływał się na Kanta. Sądził
on, że kantowską tezę o aprioryczności form poznania potwierdzają zarówno
pewniki geometrii, jak i najnowsze badania z zakresu fizjologii zmysłów. Nie
mniej ważne są także wystąpienia teoretyczne, które niejako przygotowały
zawiązanie się orientacji neokantowskiej. Najważniejsze to książki Kunona
Fischera (K. Fischer (1824-1907), profesor heidelberski, początkowo heglista)
o Kancie z 1960 r. (H. Schnädelbach /H. Schnädelbach, Filozofia w
Niemczech 1831-1933, tł. K. Krzemieniowa, Warszawa 1992, s. 168/
podkreśla, iż kolejne jej wydania określały rozumienie Kanta w filozofii
niemieckiej aż do końca XIX w.) oraz rozprawa Eduarda Zellera (E. Zeller
(1814-1908). Od 1840 r. Privatdozent w Tybindze, następnie profesor w
Bernie, Marburgu, Heidelbergu i Berlinie) z 1862 r. Über Bedeutung und
Augabe der Erkenntnistheorie [O znaczeniu i zadaniu teorii poznania], w
której zaproponował powrót do epistemologii rozumianej w sensie
kantowskim” /B. Trochimska-Kubacka, Wstęp. Geneza neoneokantyzmu i
jego zasadnicze linie rozwoju, w: Neoneokantyzm. Wstęp i wybór tekstów,
red. B. Trochimska-Kubacka, tł. J. Gajda-Krynicka i B. TrochimskaKubacka, Wrocław 1997, 5-53, s. 6/. „Zeller uważał, iż podjęcie badań
teoriopoznawczych pozwoli uzyskać niezmienną podstawę w filozofii.
Zastrzegał jednocześnie, że powrót do Kanta nie oznacza powtarzania jego
błędów. Hasło jednoczące ruch neokantowski pochodzi z książki Ottona
Liebmanna (O. Liebmann (1840-1912). Od 1872 profesor nadzwyczajny w
Strasburgu, a od 1882 r. profesor zwyczajny w Jenie) z 1865 r. Kant ind die
Epigonen [Kant i epigoni]. […] Zapoczątkowaną przez Helmoltza fizjologiczną
interpretację Kantowskiej teorii poznania podjął i kontynuował Friedrich
3
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Albert Lange (F. A. Lange (1828-1875). Wykładał w Marburgu w latach 18721875; u niego habilitował się H. Cohen)” /Tamże, s. 7.
+ Aksjomaty geometrii przestały być prawdami koniecznymi „W poglądach
Poincarego na geometrię dostrzec można wyraźne ślady myśli Kanta. Widać
je w przeświadczeniu o konstruktywistycznym charakterze przedmiotów
matematyki, w szczególności – geometrii, oraz w tezie o apriorycznych
uwarunkowaniach tych konstrukcji. Zauważmy przy tym, że Poincare
traktował te uwarunkowania bardziej operacjonistycznie, jako a priori dany
zbiór możliwych operacji konstruktywistycznych, a nie jako określone, do
dwóch ograniczone, formy zmysłowości, czy jako zdeterminowane kategorie
czystego rozumu (jak to było u Kanta)” /Murawski R. Filozofia matematyki.
Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 203/. „Niezależnie od tego, czy
przyjmiemy konwencjonalistyczną koncepcję Poincarego czy formalistyczne
podejście Hilberta, stwierdzić musimy, że powstanie geometrii nieeuklidesowych
doprowadziło do zmiany poglądów na przedmiot i charakter geometrii. Jej
aksjomaty i twierdzenia przestały być prawdami koniecznymi, geometria
przestała być opisem jakiejś rzeczywistości (idealnej czy, przeciwnie,
poznawalnej zmysłowo) i w konsekwencji straciło sens pytanie o prawdziwość
geometrii. Stała się ona nauką abstrakcyjną, którą można interpretować na
różne sposoby, przy czym wybór owej interpretacji, jak i z drugiej strony
wybór geometrii do opisu danych doświadczenia zmysłowego nie są
wyznaczone w sposób konieczny i aprioryczny, a są wynikiem wyboru. W ten
sposób z „la science de la verite” stała się geometria „la science de la
consequence” (Poincare)” /Tamże, s. 204.
+ Aksjomaty geometrii są konwencjami, tzn. że są one jedynie ukrytymi
definicjami, definicjami implicite (definitions deguisees) pojęć pierwotnych.
„Konwencjonalizm w poglądach Poincarego na geometrię przejawiał się na
kilka sposobów. Przede wszystkim w tezie, że aksjomaty geometrii są
konwencjami, tzn. że są one jedynie ukrytymi definicjami, definicjami implicite
(definitions deguisees) pojęć pierwotnych. Mamy całkowitą swobodę ich
wyboru (jedynym ograniczeniem jest tu wymóg zachowania niesprzeczności
systemu). Geometria jest nauką dedukcyjną i nie mają sensu pytania o jej
prawdziwość czy fałszywość. Jak pisał Poincare: ,,jedna geometria nie może
być prawdziwsza od drugiej; może być jedynie wygodniejsza” (por. La science
et l'hypothese, część II, rozdział III; patrz też antologia, ss. 245-248). Odrzucił
on więc zarówno aprioryzm (traktujący twierdzenia geometrii bądź jako
zdania analityczne, bądź jako zdania syntetyczne a priori), jak i empiryzm
(traktujący twierdzenia geometrii jako wyabstrahowane z rzeczywistości empirycznej). Nie mógł przyjąć aprioryzmu, gdyż przeczył mu fakt istnienia
geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej. Przeciw empiryzmowi natomiast
przemawiało to, że wszelkie doświadczenie odnosi się do przedmiotów
materialnych, nigdy zaś do obiektów geometrycznych. Drugi przejaw
konwencjonalizmu dostrzec można w poglądach Poincarego na genezę
geometrii. Według niego, kategoria przestrzeni geometrycznej jest aprioryczną,
podmiotową strukturą, preegzystującą potencjalnie w ludzkim umyśle.
Człowiek może uświadomić sobie jej istnienie tylko poprzez doświadczenie,
czy lepiej – jak mówi Poincare – „przy okazji doświadczenia”. Źródłem
empirycznym pojęcia przestrzeni jest całokształt praw rządzących zmianami,
jakim podlegają wrażenia zmysłowe. Istotna zatem jest tu możliwość ruchów
4
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
ciała ludzkiego oraz istnienie ciał sztywnych. Jak pisał Poincare: „Gdyby nie
było ciał sztywnych w przyrodzie, nie byłoby też geometrii” /Murawski R.
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 202.
+ Aksjomaty geometrii stają się po prostu pewnymi warunkami wymienianymi
w definicjach danych przestrzeni. „Celem Russella i Whiteheada w Principia
Mathematica była rekonstrukcja w ramach teorii typów nie tylko arytmetyki
liczb naturalnych, ale całej matematyki, a więc w szczególności teorii
mnogości. Należy przy tym zaznaczyć, że nastawienie obu autorów było, w
odróżnieniu
od
Fregego,
wyraźnie
antyplatońskie,
dokładniej:
nominalistyczne (por. Dodatek I). W związku z tym, nie postulowali oni
istnienia zbiorów jako samoistnych obiektów, a symbole oznaczające zbiory
rozumieli jako napisy nie oznaczające niczego. Z każdego zdania mówiącego o
zbiorach można, według nich, wyeliminować te ostatnie otrzymując w ten
sposób zdanie mówiące o własnościach. W ten sposób zbiory zostały
zredukowane do funkcji zdaniowych. Trzeba tu jeszcze wspomnieć o problemie
geometrii. Otóż Frege zajął w tej kwestii stanowisko bardzo radykalne. Zaliczył
mianowicie geometrię do matematyki stosowanej i w związku z tym nie
zajmował się nią. Russell natomiast rozróżnił geometrię czystą i geometrię
stosowaną. Ta ostatnia była według niego nauką empiryczną, ta pierwsza zaś
– matematyczną. Geometria czysta jest nauką o różnych abstrakcyjnych
przestrzeniach definiowanych na gruncie teorii mnogości. Przy takim ujęciu
aksjomaty geometrii stają się po prostu pewnymi warunkami wymienianymi w
definicjach danych przestrzeni” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys
dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 92.
+
Aksjomaty
matematyczne
decydują
o
prawdziwości
wydedukowanych twierdzeń. „Struktura logiczna teorii matematycznej
i wymóg dedukcyjnego dowodzenia twierdzeń powodują istnienie
jeszcze jednej różnicy między matematyką a naukami przyrodniczymi.
W naukach przyrodniczych, jak wiadomo, wyniki doświadczeń mogą
sfalsyfikować jakąś teorię, nie mogą natomiast potwierdzić żadnej teorii
w taki sposób, by mogła ona zostać uznana za niepodważalną. Dla
twierdzeń matematycznych istnienie ich dedukcyjnych dowodów
stanowi wystarczający powód do przyjęcia ich za logicznie
niepodważalny fakt” /A. Lemańska, Eksperyment komputerowy a istnienie
obiektów matematycznych, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red.
nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w
Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 187-202,
s. 196/. Oczywiście w dowodzie z reguły istotne jest to, jakie zostały
przyjęte założenia dla dedukcji. Stąd w przeciwieństwie do stwierdzeń
nauk przyrodniczych twierdzenia matematyczne są prawdziwe tylko w
określonym systemie aksjomatycznym, w innym systemie mogą okazać
się
fałszywe.
Istniejące
różnice
między
charakterem
wiedzy
matematycznej i przyrodniczej nie przekreślają faktu, że komputer dla
matematyka stał się użytecznym narzędziem pracy, podobnie jak rozmaite urządzenia i przyrządy, którymi posługuje się przyrodnik.
Posługiwanie się komputerem w badaniach matematycznych jest zatem
analogiczne do eksperymentowania w naukach przyrodniczych. Jeżeli
obiekty powstające w komputerze na podstawie odpowiednich
programów potraktujemy tak samo jak obiekty materialne, to sam
5
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
sposób postępowania z nimi jest identyczny jak metoda przyrodnika,
przy pomocy której bada on rzeczywistość fizyczną” Tamże, s. 196.
+ Aksjomaty matematyczne prowadzą do konkluzji, ale nie do zasady
pierwszej. „Platon poszukiwał prawomocnej metody, którą wiązał z
dialektyką, nadrzędną nawet względem matematyki. W Politei (VI-VII)
ilustruje on swój pogląd na metodę matematyki i dialektyki na
przykładzie odcinka dzielonego dychotomicznie na złudny dział
zmysłowy i prawdziwy dział umysłowy (noetyczny) z analogicznym
podpodziałem wewnątrz obydwu. Warto tu przytoczyć odnośny
fragment tekstu: „Otóż w jednej jego części dusza, posługując się
podobiznami niby obrazami z poprzedniego działu, zmuszona jest
prowadzić badanie wychodząc od założeń, nie zmierzając ku zasadzie
(), a tylko ku konkluzji (). Natomiast w drugiej części idąc
ku bez-założeniowej zasadzie ( ) od założenia i bez obrazów, wziętych z tamtego, prowadząc badanie za pośrednictwem
samych form i na mocy ich samych. [...] Sądzę jednak, iż wiesz, że
zajmujący się geometrią i rachunkami oraz innymi takimi naukami,
zakładając ‘nieparzyste’ i ‘parzyste’, ‘figury’, ‘trzy formy kątów’ i inne
według każdego przedmiotu badań, przyjmują je jako znane w
naoczności, tworzą z nich założenia, a żadnego tu nie wymagają
uzasadnienia dla nich arii dla innych, jako że są oczywiste dla
każdego; od nich więc zaczynając i przemierzając jeszcze pozostałe
kończą zgodnie na tym, co pragną uzyskać w badaniu. [...] – Wiesz
zatem i to, że posługują się formami postrzegalnymi i tworzą z nich
definicje, choć nie o nich myślą, ale o tamtych, których są one
odwzorowaniem, i tak tworzą definicje o kwadracie samym i przekątni
samej, a nie o tej, którą kreślą, i podobnie w pozostałych przypadkach.
Takie to oni konstruują i kreślą figury, które są jakby cieniami i
wizerunkami w wodach, takimi to posługują się obrazami, starają się w
badaniu dojrzeć tamte same w sobie, a nie można ich dojrzeć inaczej, jak
tylko intelektem (). [...] Taką to formę poznania nazwałem
noetyczną, gdzie dusza w swoim badaniu zmuszona jest posługiwać
się założeniami, nie zmierzając ku zasadzie, gdyż nie mogąc wznieść się
ponad założenia, posługuje się obrazami, które odwzorowane są w
odcinku niższym, jednakże obrazami uznanymi za jaśniejsze i
cenniejsze od tamtych” /M. Wesoły, Analiza w greckiej geometrii i analityce
Arystotelesa, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E.
Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu,
Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 19-40, s. 27.
+ Aksjomaty matematyczne są wyprowadzone z rzeczywistości empirycznej i
odpowiednio są niepewne, są tylko hipotezami, Mill S. J. Stanowisko
empirystyczne Milla znalazło też wyraz w jego poglądach filozoficznych na
matematykę. Twierdził przede wszystkim, że źródłem matematyki jest
rzeczywistość zmysłowa. Pojęcia matematyki są bowiem wyabstrahowane z
obiektów otaczającej nas rzeczywistości poznawalnej zmysłowo poprzez
pominięcie pewnych cech realnych przedmiotów przy jednoczesnym
uogólnieniu i wyidealizowaniu innych. W Systemie logiki pisze Mill: „Punkty,
linie, koła i kwadraty, jakie ktoś ma w swoim umyśle, są w moim rozumieniu
po prostu kopiami punktów, linii, kół i kwadratów, z jakimi się on poznał w
6
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
swoim doświadczeniu. W moim rozumieniu idea punktu jest po prostu ideą
tego, co jest minimum visibile, ideą najmniejszej cząstki powierzchni, jaką
możemy ujrzeć. Linia taka, i jak ją definiują geometrzy, zupełnie nie da się
pojąć. Możemy rozumować o linii, jak gdyby ona nie miała szerokości,
albowiem mamy zdolność, która jest podstawą wszelkiej kontroli, jaką
możemy sprawować nad operacjami naszego umysłu: zdolność zwracania
uwagi tylko na część postrzeżenia lub pojęcia, nie zaś na całość, gdy jakieś
postrzeżenie jest dane naszym zmysłom lub jakieś pojęcie naszemu umysłowi”
/J. S. Mill, System of Logic Ratiocinative and Inductive, Being a connected View
of the Principles of Evidence and the Methods of Scientific Invcstigation, 1843;
przekład polski: System logiki dedukcyjnej i indukcyjnej, tłum. C.
Znamierowski, PWN. Warszawa 1962, s. 349/. Dodaje jednak: „Ale nie możemy
przedstawić sobie linii bez szerokości; nie możemy stworzyć sobie obrazu takiej
linii w naszym umyśle: wszelkie linie, jakie przedstawiamy sobie w naszym
umyśle, mają pewną szerokość” /System logiki, s. 349/. Stąd wynika też
następna teza Milla głosząca, że twierdzenia matematyki nie są prawdami
koniecznymi i pewnymi. Ich konieczność sprowadzać się może jedynie do
tego, „że one poprawnie wypływają z założeń, z jakich myśmy je wyprowadzili
dedukcyjnie” (System logiki, s. 352; por. antologia, s. 134). Same jednak
założenia dalekie są od konieczności i pewności, są one tylko hipotezami i
mogą być w zasadzie zupełnie dowolnymi zdaniami. Tak więc w matematyce
cecha konieczności przysługuje jedynie związkom logicznym między zdaniami,
a nie samym tym zdaniom” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys
dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 61/. „Twierdzenia
matematyki są więc prawdami pewnymi i koniecznymi tylko w takim stopniu,
w jakim cechy te przysługują wyjściowym aksjomatom, które jednak w
rzeczywistości mogą być dowolnymi hipotezami; co więcej: najczęściej są po
prostu nieprawdziwe, gdyż zawierają tylko idealizacje i uogólnienia stosunków
panujących w świecie rzeczywistym” /Tamże, s. 62.
+ Aksjomaty matematyczne wyjaśniane są za pomocą intuicji. „Podstawowym
źródłem wiedzy matematycznej jest intuicja. Wystarcza ona do wyjaśnienia i
ugruntowania prostych pojęć i aksjomatów. Nie musi być jednak pojmowana
jako dająca nam wiedzę matematyczną bezpośrednią. Dane intuicji mogą być
rozwijane poprzez głębsze badanie obiektów, które może doprowadzić do
przyjęcia nowych stwierdzeń jako aksjomatów. Na skutek tego wiedza
matematyczna nie jest tylko wynikiem biernej kontemplacji danych
intuicyjnych, a jest rezultatem aktywności umysłu, która ma charakter
dynamiczny i kumulatywny. Założenia bardziej teoretyczne mogą być
usprawiedliwione z zewnątrz, tzn. poprzez swoje konsekwencje (czyli przez to,
że pozwalają rozwiązywać problemy dotąd nie rozwiązane, że pozwalają na
wyciąganie różnych interesujących wniosków). Gödel ma tu na myśli
konsekwencje zarówno w samej matematyce, jak i w fizyce. To oraz fakt, że
istnieją hipotezy uzasadniane za pomocą środków pozaintuicyjnych,
zewnętrznych w stosunku do matematyki, powoduje, że przestaje ona być
wiedzą a priori. Gödel przedstawiał i wyjaśniał swe poglądy filozoficzne na
matematykę przede wszystkim w związku z problemami teorii mnogości, a w
szczególności w związku z problemem kontinuum. Był przekonany, że
hipoteza kontinuum ma ściśle określoną wartość logiczną, tzn. jest prawdziwa
lub fałszywa, choć nie potrafimy tego obecnie rozstrzygnąć” /Murawski R.
7
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 139/.
„Udowodnienie przez niego samego w roku 1938 niesprzeczności hipotezy
kontinuum, zaś przez Paula Cohena w roku 1963 – jej niezależności od
aksjomatów teorii mnogości potwierdziło to, co Gödel głosił już wcześniej, a
mianowicie, że do rozstrzygnięcia hipotezy kontinuum potrzebne są nowe
aksjomaty dotyczące zbiorów (czyli pewne nowe własności uniwersum
wszystkich zbiorów). Gödel postulował badanie nowych silnych aksjomatów
nieskończoności (postulujących istnienie dużych liczb kardynalnych)
twierdząc, że mogą z nich wynikać również nowe interesujące konsekwencje
arytmetyczne. Postulował też rozważanie aksjomatów opartych na zupełnie
innych ideach niż dotychczas przyjmowane. Aksjomaty takie nie muszą być
bezpośrednio oczywiste” /Tamże, s. 140.
+ Aksjomaty matematyki intensjonalnej „Na zakończenie chcielibyśmy
zwrócić uwagę na jeszcze jedną próbę nowego spojrzenia na matematykę.
Tym razem chodzi o próbę nie czysto filozoficzną, ale o szukanie nowych
podstaw matematyki w ramach podejścia klasycznego. Mamy tu na myśli
tzw. matematykę intensjonalną. Jest to próba stworzenia dualistycznych
podstaw matematyki i traktowania jej w sposób podobny na przykład do
mechaniki kwantowej, gdzie uwzględnia się w istotny sposób podmiot
poznający. Otóż w matematyce intensjonalnej proponuje się wzbogacenie
matematyki klasycznej o pewne intensjonalne pojęcia epistemologiczne.
Wprowadza się mianowicie pewnego wyidealizowanego matematyka (który
może być wyidealizowanym obrazem matematyka w sensie zbiorowym) i
pewien operator epistemologiczny:  (co czyta się jako:  może być poznane
( is knowable)” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN
Warszawa 1995, s. 153/. „Operator ten ma z założenia własności takie, jak
funktor konieczności w logice modalnej S4, a więc: 1.   ; 2.   ;
3.  &  (  )  ; 4. z ~ wnioskuje . Pierwszy aksjomat głosi, że
wszystko, co może być poznane, jest prawdziwe; drugi stwierdza, że o
wszystkim, co może być poznane, wiadomo, że może być poznane; trzeci
zakłada, że jeżeli implikacja i jej poprzednik mogą być poznane, to poznany
może być i następnik; a czwarty, wypływający z naszego zaufania, jakie
wiążemy z każdym systemem aksjomatów, mówi, że jeżeli dowiedliśmy
jakiegoś zdania, to wiemy, że zdanie to jest prawdziwe, a więc daje się poznać.
Zauważmy, że interpretowanie operatora  jako ‘ jest znane (is known)’ nie
jest odpowiednie. Pojawiają się bowiem kłopoty z aksjomatem 3 (por. N. D.
Goodman, The Knowing Mathematician)” /Tamże, s. 154.
+ Aksjomaty matematyki klasycznej, że jest ona wiedzą pewną i nieobalalną,
jest nieprawdziwy i nie przystaje do praktyki badawczej samych
matematyków. „Ciekawą syntezą koncepcji Lakatosa i Wildera jest
propozycja Reubena Hersha (por. jego artykuł Some Proposals for Reviving the
Philosophy of Mathematics). Hersh uważa przede wszystkim, że przyjmowane
przez kierunki klasyczne założenie, iż matematyka jest wiedzą pewną i
nieobalalną, jest nieprawdziwe i nie przystaje do praktyki badawczej samych
matematyków. W matematyce nie mamy absolutnej pewności, matematycy
mylą się, popełniają błędy; korygują je, są często niepewni, czy dany dowód
jest poprawny, czy nie. Matematyk ma do czynienia w swej pracy z ideami.
Symbole są używane tylko po to, by mówić o ideach i by komunikować
innym wyniki swych przemyśleń (podobnie jak nuty w muzyce). Aksjomaty i
8
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
definicje są po prostu próbą opisania głównych własności idei
matematycznych. Zawsze jednak pozostają pewne aspekty idei, których nie
wymieniamy wyraźnie w aksjomatach. Ostatecznie Hersh dochodzi do
wniosku, że „świat idei stworzony przez człowieka istnieje, istnieje we wspólnej
świadomości. Idee te mają pewne własności przysługujące im obiektywnie, w
takim samym sensie, jak pewne własności przysługują obiektom materialnym.
Budowanie dowodów i kontrprzykładów jest po prostu metodą odkrywania
własności idei. I to jest właśnie dziedzina wiedzy nazywana matematyką”
(Some Proposals, s. 48)” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów,
PWN Warszawa 1995, s. 153.
+ Aksjomaty matematyki prawdami pewnymi i niepodważalnymi, Kartezjusz.
„Pewność arytmetyki i geometrii (a więc matematyki) wynika też z tego, że
„one bowiem jedynie zajmują się tak czystym i prostym przedmiotem, iż
niczego zupełnie nie zakładają, co by doświadczenie czyniło niepewnym, ale
polegają całkowicie na rozumowym wyprowadzaniu wniosków. Są więc one ze
wszystkich najłatwiejsze i najjaśniejsze (...)” Z przekąsem dodaje też, że:
„Wszelako nie powinno nas dziwić, jeśli wiele umysłów przykłada się chętniej
do innych nauk lub do filozofii [w pojmowaniu scholastycznym – R. M.]:
pochodzi to bowiem stąd, że każdy śmielej pozwala sobie na snucie
przypuszczeń w rzeczy niejasnej niż oczywistej i że o wiele łatwiej jest o
jakiejkolwiek kwestii czynić domysły, aniżeli dojść do samej prawdy w jednej
kwestii, chociażby bardzo łatwej”. Stąd pomysł ograniczenia wszystkich nauk
do rozważań ilościowych tylko oraz idea stworzenia uniwersalnej nauki
analitycznej i matematycznej (nazywanej mathesis universalis) – pomysł ten
pojawi się ponownie na przykład u Leibniza. Nauka ta miałaby obejmować
całokształt wiedzy o świecie. Koncepcja ta wiązała się z ideałem Kartezjusza,
zgodnie z którym wszelkie własności rzeczy wywieść należało z kształtu i
ruchu, całą przyrodę zaś rozważać wyłącznie geometrycznie i mechanicznie.
Ideał ten miał swe źródło w poglądzie o matematyczności (geometryczności)
substancji rozciągłej. Jeśli chodzi o samą matematykę, która, jak
stwierdziliśmy wyżej, miała być wzorcem wszelkiej nauki, to należało
stosować w niej metody analityczne. Kartezjusz dopuszczał w matematyce
tylko intuicję i dedukcję. Przy tym przez intuicję rozumiał on „tak łatwe i
wyraźne pojęcie umysłu czystego i uważnego, że o tym, co poznajemy, zgoła
już wątpić nie możemy, lub, co na jedno wychodzi, pojęcie niewątpliwe umysłu
czystego i uważnego, które pochodzi z samego światła rozumu, a jako
prostsze jest pewniejsze nawet od dedukcji” (Prawidła ..., s. 12; patrz
antologia, s. 61). Przez dedukcję rozumiał Kartezjusz „to wszystko, co daje się
wysnuć z koniecznością z jakichś innych rzeczy poznanych w sposób pewny”
(tamże). W szczególności więc aksjomaty matematyki były dlań prawdami
pewnymi i niepodważalnymi” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys
dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 42.
+ Aksjomaty Matematyki uprawiana była jako system aksjomatyczny w
zamierzeniu, w rzeczywistości jednak był to tylko system quasi-aksjomatyczny.
„Możemy wyróżnić w zasadzie dwa takie paradygmaty: paradygmat Euklidesa,
funkcjonujący od początku IV wieku p. n. e. do końca wieku XIX, i paradygmat
logiczno-teoriomnogościowy, który wyłonił się na progu obecnego stulecia (W
matematyce z okresu przed IV wiekiem p. n. e. nie było właściwie żadnych
ogólnych reguł, przynajmniej nie były one wyraźnie sformułowane ani
9
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
ogólnie uzasadnione). Paradygmat Euklidesa został ustanowiony przez
Elementy). Matematyka przestała być rozwiązywaniem pojedynczych
konkretnych zadań; przeszedłszy od pytania „jak” do pytania „dlaczego” stała
się zorganizowanym wewnętrznie systemem. Uprawiana była jako system w
zamierzeniu aksjomatyczny, w rzeczywistości jednak był to tylko system quasiaksjomatyczny. Trafna intuicja dowodu matematycznego i słabsza intuicja
wynikania implikowały, że starano się rozwijać matematykę jako naukę
aksjomatyczną, przy czym w dowodach powstawały luki a lista naczelnych
zasad bywała w praktyce bardzo niekompletna, w uzasadnianiu zaś i
twierdzeń bez skrępowania odwoływano się do intuicji i prawd „oczywistych”.
W konsekwencji dowody w niewielkim tylko stopniu opierały się na przyjętych
aksjomatach. Nie troszczono się też i zbytnio (lub zupełnie) o precyzowanie
języka teorii matematycznych. Drugi paradygmat – logiczno-teoriomnogościowy,
który ukształtował się głównie w XIX wieku, a w którego powstaniu
największą rolę odegrały logika matematyczna i teoria mnogości można
scharakteryzować za pomocą następujących cech: l. teoria mnogości stała się
podstawową dyscypliną całej matematyki w tym sensie, że — z jednej strony —
każda prawie dziedzina matematyki jest wyposażona w pewien zasób środków
teoriomnogościowych, a – z drugiej – na gruncie teorii mnogości można
rozwinąć całą matematykę; 2. język współczesnych teorii matematycznych jest
wyraźnie odrębny od języka potocznego i wewnętrznie uporządkowany za
pomocą precyzyjnych definicji; 3. definiowanie odbywa się zgodnie z precyzyjnie
sformułowanymi regułami definiowania” /R. Murawski, Filozofia matematyki,
Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 14/. „4.
wszystkie
teorie
matematyczne
zostały
w
wystarczającym
stopniu
zaksjomatyzowane; 5. dokonano dokładnego rozróżnienia między teorią
matematyczną i jej językiem, z jednej, a metateorią i metajęzykiem, z drugiej
strony; 6. sprecyzowano dwa kluczowe dla matematyki pojęcia: wynikania i
dowodu. Ten wzorzec uprawiania i rozwijania matematyki funkcjonuje do dziś”
/Tamże, s. 15.
10