jako prawda o liczbie dzielników

Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
π jako prawda o liczbie dzielników
Damian Orlef
9. Wielodyscyplinarne Warsztaty Wakacyjne, 17.08.2013
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Skrót treści
1
Wzór Leibniza
2
Liczba jako suma kwadratów
π jako prawda o r2 (n)
r2 (n) jako prawda o dzielnikach
3
Skojarzenie faktów
Połaczenie
˛
własności widzialnej z niewidzialna˛
Ostateczne starcie
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Wzór Leibniza
Oto nasz cel:
π
1 1 1 1
= − + − + ...
4
1 3 5 7
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
π jako prawda o r2 (n)
r2 (n) jako prawda o dzielnikach
Liczba jako suma kwadratów
Dla n ∈ Z+ oznaczmy liczbe˛ przedstawień n w postaci sumy
dwóch kwadratów przez:
r2 (n) = {(a, b) ∈ Z2 |a2 + b2 = n}
Przykładowo r2 (5) = 8, gdyż
5 = (±1)2 + (±2)2 = (±2)2 + (±1)2
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
π jako prawda o r2 (n)
r2 (n) jako prawda o dzielnikach
Widzialna własnosć r2 (n)
Niech N bedzie
˛
duże
√i naturalne, przyjrzyjmy sie˛ kołu o środku
w (0, 0) i promieniu N.
Przy pomocy punktów kratowych wewnatrz
˛ koła szacujemy
pole.
r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N) ≈ π · N
Po podzieleniu obustronnie przez N otrzymamy
r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N)
=π
N
N→+∞
lim
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
π jako prawda o r2 (n)
r2 (n) jako prawda o dzielnikach
Widzialna własnosć r2 (n)
Niech N bedzie
˛
duże
√i naturalne, przyjrzyjmy sie˛ kołu o środku
w (0, 0) i promieniu N.
Przy pomocy punktów kratowych wewnatrz
˛ koła szacujemy
pole.
r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N) ≈ π · N
Po podzieleniu obustronnie przez N otrzymamy
r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N)
=π
N
N→+∞
lim
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
π jako prawda o r2 (n)
r2 (n) jako prawda o dzielnikach
Niewidzialna własność r2 (n)
Dla n dodatnich zachodzi
r2 (n) = 4(d1 (n) − d3 (n)),
gdzie dr (n) jest liczba˛ dzielników dodatnich n przystajacych
˛
do
r modulo 4.
Przykładowo d1 (5) = 2, d3 (5) = 0, wiec
˛ r2 (5) = 4(2 − 0) = 8.
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
π jako prawda o r2 (n)
r2 (n) jako prawda o dzielnikach
Niewidzialna własność r2 (n)
Dla n dodatnich zachodzi
r2 (n) = 4(d1 (n) − d3 (n)),
gdzie dr (n) jest liczba˛ dzielników dodatnich n przystajacych
˛
do
r modulo 4.
Przykładowo d1 (5) = 2, d3 (5) = 0, wiec
˛ r2 (5) = 4(2 − 0) = 8.
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Połaczenie
˛
własności widzialnej z niewidzialna˛
Ostateczne starcie
Połaczenie
˛
własności niewidzialnej z widzialna˛
Mieliśmy:
r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N)
=π
N
N→+∞
lim
Dostajemy:
lim
N→+∞
π
(d1 (1) + . . . + d1 (N)) − (d3 (1) + . . . + d3 (N))
=
N
4
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Połaczenie
˛
własności widzialnej z niewidzialna˛
Ostateczne starcie
Połaczenie
˛
własności niewidzialnej z widzialna˛
Mieliśmy:
r2 (1) + r2 (2) + . . . + r2 (N)
=π
N
N→+∞
lim
Dostajemy:
lim
N→+∞
(d1 (1) + . . . + d1 (N)) − (d3 (1) + . . . + d3 (N))
π
=
N
4
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Połaczenie
˛
własności widzialnej z niewidzialna˛
Ostateczne starcie
Zmiana kolejności
Suma d1 (1) + . . . + d1 (N) to sumaryczna liczba (wielokrotnie
liczonych) dzielników postaci 4k + 1 liczb od 1 do N, wiec
˛
można te˛ sume˛ też wyrazić z perspektywy zliczania po
konkretnych dzielnikach jako
∞ X
k =0
N
4k + 1
Podobnie przekształcimy d3 (1) + . . . + d3 (N) =
Damian Orlef
P∞ j
k =0
π jako prawda o liczbie dzielników
N
4k +3
k
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Połaczenie
˛
własności widzialnej z niewidzialna˛
Ostateczne starcie
Zmiana kolejności
Suma d1 (1) + . . . + d1 (N) to sumaryczna liczba (wielokrotnie
liczonych) dzielników postaci 4k + 1 liczb od 1 do N, wiec
˛
można te˛ sume˛ też wyrazić z perspektywy zliczania po
konkretnych dzielnikach jako
∞ X
k =0
N
4k + 1
Podobnie przekształcimy d3 (1) + . . . + d3 (N) =
Damian Orlef
P∞ j
k =0
π jako prawda o liczbie dzielników
N
4k +3
k
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Połaczenie
˛
własności widzialnej z niewidzialna˛
Ostateczne starcie
Ostateczne starcie
Zamieniamy
π
(d1 (1) + . . . + d1 (N)) − (d3 (1) + . . . + d3 (N))
=
N
4
N→+∞
lim
na
P∞ j
k =0
lim
N
4k +1
k
P∞ j
k =0
N
4k +3
k
N
N→+∞
zaś z uwagi na
−
N
d
b c
N
=
π
,
4
→ d1 , przekonujemy sie˛ łatwo, że zatem
∞ X
k =0
1
1
−
4k + 1 4k + 3
Damian Orlef
=
π
4
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Połaczenie
˛
własności widzialnej z niewidzialna˛
Ostateczne starcie
Ostateczne starcie
Zamieniamy
π
(d1 (1) + . . . + d1 (N)) − (d3 (1) + . . . + d3 (N))
=
N
4
N→+∞
lim
na
P∞ j
k =0
lim
N
4k +1
k
P∞ j
k =0
N
4k +3
k
N
N→+∞
zaś z uwagi na
−
N
d
b c
N
=
π
,
4
→ d1 , przekonujemy sie˛ łatwo, że zatem
∞ X
k =0
1
1
−
4k + 1 4k + 3
Damian Orlef
=
π
4
π jako prawda o liczbie dzielników
Wzór Leibniza
Liczba jako suma kwadratów
Skojarzenie faktów
Połaczenie
˛
własności widzialnej z niewidzialna˛
Ostateczne starcie
Ostrzeżenie
Dowód tutaj przedstawiony to troche˛ ściema! Ale daje sie˛ go
uściślić z zachowaniem tego samego sensu.
Damian Orlef
π jako prawda o liczbie dzielników