Fale materii, równanie Schrödingera

FALE MATERII
De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym.
Hipoteza de Broglie’a
Cząstce materialnej o masie spoczynkowej różnej od zera można przypisać falę, której
parametry falowe: częstotliwość ν i długość fali λ są związane z wielkościami
mechanicznymi cząstki: energią E i pędem p relacjami
ν=
E
,
h
λ=
h
p
(7.1)
lub
ω=
E
,
k = p,
h
⎛
k = p, ⎜ =
2π
⎝
⎞
⎟,
⎠
(7.2)
gdzie ω to częstość fali materii, k jest wektorem falowym, a h = 6,63 ⋅ 10 −34 Js to stała
Plancka. W przypadku cząstki swobodnej poruszającej się ruchem jednostajnym wzdłuż osi
x równanie fali ( funkcji falowej ) może być zapisane jako
Ψ ( x, t ) = Ae − i (ωt − kx +ϕ0 ) ,
(7.3)
Ψ ( r , t ) = Ae − i (ωt −kr +ϕ0 ) .
(7.4)
lub ogólniej
W przypadku makrocząstek ich własności falowe nie ujawniają się, ponieważ długości
związanych z nimi fal materii są znikome w porównaniu z wymiarami charakterystycznymi
dla środowiska tych cząstek. Dla przykładu długość fali materii przypisana cząstce o masie 1g
poruszającej się z prędkością 6,63 m/s wynosi
1 h
6,63 ⋅10− 34 Js
= 10− 31 m.
λkl = = − 3
p 10 kg ⋅ 6,63m/s
Dla kontrastu w przypadku takiej mikrocząstki jak elektron, który nabywa energię wskutek
przebycia różnicy potencjałów U długość jego fali materii wynosi
λ=
h
h
h
6,63 ⋅10 − 34 Js
12,25
[Å]
=
=
=
=
−
31
−
19
p
2mEk
2meU
U [V]
2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 kg ⋅ 1,6 ⋅ 10 C ⋅ U
(7.5)
i dla U ∼ 100 V uzyskamy λ ∼ 1 Å (1 Å = 10-10 m ). W tym przypadku długość fali jest
porównywalna z charakterystycznymi wymiarami liniowymi środowiska elektronu np. atomu
czy też stałymi sieci krystalicznej. Podobnie jak w optyce własności falowe dochodzą do
głosu w takiej sytuacji.
Dowodem doświadczalnym hipotezy de Broglie’a było
⋅
Działo elektronowe
doświadczenie przeprowadzone przez Davissona i Germera w 1927
roku, w którym zaobserwowano dyfrakcję elektronów na
U = 54 V
monokrysztale niklu.
detektor
Θ = 50
Z hipotezy de Broglie’a mamy
kryształ
λ=
12,25
Å =1,67 Å.
54V
Z drugiej strony z teorii dyfrakcji na siatce
dyfrakcyjnej: Warunek na wzmocnienie Δ = nλ ,
Δ = b sin(Θ), dla n = 1 otrzymamy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Θ
b=2,15 A
λ = b sin(Θ) = 2,15 Å sin( 50º ) = 1,65 Å.
Zgodność obliczonych długości fal świadczy o słuszności hipotezy de Broglie’a.
2 Interpretacja funkcji falowej Ψ
Falowe własności mikrocząstek zostały także potwierdzone w innych
doświadczeniach np. przy przechodzeniu elektronów przez folie
metalowe.
folia
Płyta fotograficzna
Na płycie fotograficznej zaobserwowano obraz dyfrakcyjny podobny
jak przy padaniu na folię fal rentgenowskich. Każdy elektron
przechodząc przez ciało o strukturze periodycznej i padając na płytę
fotograficzną powoduje zaciemnienie jej niewielkiego obszaru. Jeśli na płytę pada duża liczba
elektronów to rozkład zaciemnień odpowiada obrazowi dyfrakcyjnemu.
Interpretacja fizyczna funkcji falowej jest statystyczna i została sformułowana przez
Borna w 1927 roku: Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki dp w obszarze o objętości dV
w chwili czasu t jest proporcjonalne do natężenia fal de Broglie’a ΨΨ∗ w tym obszarze
2
dp ∼ ΨΨ ∗dV = Ψ dV ,
(7.6)
gdzie Ψ∗ to funkcja falowa sprzężona ( w sensie liczby zespolonej ) do Ψ. Jeśli funkcja
falowa spełnia warunek normalizacyjny
∫ ΨΨ dV = 1,
∗
to dp = ΨΨ ∗dV .
V
Określając gęstość prawdopodobieństwa ρ =
ρ=
dp
mamy
dV
dp
2
= ΨΨ∗ ≡ Ψ ,
dV
(7.7)
tak, więc sens fizyczny ma kwadrat modułu funkcji falowej, który określa gęstość
prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu w danej chwili czasu. Na
3 podstawie tej interpretacji funkcja falowa funkcja falowa powinna spełniać wymagania
stawiane prawdopodobieństwu mianowicie powinna być:
•
ciągła
•
gładka ( tzn. powinna mieć ciągłe pochodne )
•
jednoznaczna
•
ograniczona
•
całka
∫ ΨΨ dV
∗
powinna być skończona
V
Warunki powyższe noszą nazwę warunków naturalnych lub standardowych.
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Zasada ta jest konsekwencją natury falowej cząstek. Mówi ona, że nie można
dokładnie wyznaczyć par pewnych wielkości fizycznych. Jedną z par takich wielkości jest
pęd cząstki w danym kierunku i położenie cząstki w tym samym kierunku:
Nie można jednocześnie ( w tej samej chwili czasu ) dowolnie dokładnie określić położenia i
pędu cząstki w danym kierunku
ΔxΔpx ≥ h,
Δy Δp y ≥ h,
(7.8)
ΔzΔpz ≥ h.
Z zasady nieokreśloności ( niepewności ) wynika, nie można określić trajektorii ( tak jak w
fizyce klasycznej ) cząstki kwantowej.
4 Uzasadnimy powyższe relacje rozpatrując dyfrakcję
p
a
x
elektronów na pojedynczej szczelinie o szerokości a. Przed
szczeliną składowa pędu p x ma wartość 0 oraz Δpx = 0. Po
ϕ
Δp x
przejściu szczeliny nieoznaczoność Δx można oszacować
jako a : Δx ∼ a, natomiast Δpx , jak widać na rysunku, można
oszacować jako Δpx ~ p sin(ϕ ), gdzie ϕ odpowiada
pierwszemu minimum dyfrakcyjnemu. Z teorii dyfrakcji na pojedynczej szczelinie wiadomo,
że warunek na pierwsze minimum natężenia ma postać: sin(ϕ ) = λ / a. Dla iloczynu ΔxΔpx
otrzymamy
ΔxΔpx ∼ ap sin(ϕ ) = ap
λ
a
= pλ =
h
λ
λ = h.
Zasadę nieoznaczoności Heisenberga spełnia także para wielkości: energia E i czas t
ΔE Δt ≥ h
(7.9)
co oznacza, że jeśli chcemy w określonym miejscu dokładniej wyznaczyć energię cząstki w
danym stanie to zajmie to więcej czasu.
Równanie Schrödingera z czasem
Równanie, które powinna spełniać funkcja falowa Ψ ( r , t ) przypisana cząstce
nierelatywistycznej o masie m zostało zapostulowane przez Schrödingera w 1926 roku
i
gdzie i to jednostka urojona,
2
∂Ψ
=−
ΔΨ + V ( x, y, z, t )Ψ,
∂t
2m
=
(7.10)
h
∂2
∂2
∂2
, Δ = ∇ 2 = 2 + 2 + 2 (w układzie kartezjańskim),
2π
∂x
∂y
∂z
V ( x, y , z , t ) oznacza funkcję, której gradient ze znakiem minus jest siłą F działającą na
5 cząstkę F = −∇V . V jest energią potencjalną cząstki w przypadku, kiedy nie zależy od
czasu. Funkcja falowa Ψ ( nazywana też funkcją stanu ) będąca rozwiązaniem równania
Schrödingera z czasem, zgodnie z interpretacją Borna, musi ponadto spełniać wymienione
wyżej warunki naturalne.
Stacjonarne równanie Schrödingera (1926)
W mechanice kwantowej bardzo ważne są takie stany cząstek, których gęstość
prawdopodobieństwa nie zależy od czasu. Dowodzi się, że jeśli funkcja V ( x, y , z , t ) nie
zależy od czasu, co oznacza, że jest energią potencjalną cząstki, to funkcję falową można
przedstawić w postaci iloczynu czynnika zależnego od czasu i czynnika zależnego od
współrzędnych
V ( x, y , z , t ) = V ( x, y , z ) ⇒ Ψ ( x, y , z , t ) = e
E
−i t
ψ ( x, y , z ) = e
E
−i t
ψ ( r ),
(7.11)
gdzie E to energia całkowita cząstki, a r to wektor wodzący cząstki. W stanie opisanym
funkcją (7.11) gęstość prawdopodobieństwa ρ nie zależy od czasu
ρ = ΨΨ ∗ = e
E
−i t
E
i t
ψ ( r )e ψ ∗ ( r ) = ψ ( r )ψ ∗ ( r ).
(7.12)
Jeżeli gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym stanie nie zależy od czasu to
taki stan nazywamy stanem stacjonarnym.
Równanie, które spełnia funkcja falowa ψ ( r ) można otrzymać wstawiając do
równania Schrödingera z czasem (7.10) postać (7.11) funkcji Ψ ( r , t )
i
E
2
−i t
⎞
⎛ −i E t
⎞
∂ ⎛ −i E t
e
ψ
(
r
)
e
ψ
(
r
)
V
(
r
)
e
ψ ( r ),
=
−
Δ
+
⎜
⎟
⎜
⎟
2m ⎝
∂t ⎝
⎠
⎠
−i 2
E
e
E
−i t
ψ (r ) = −
2
2m
e
E
−i t
Δψ ( r ) + e
E
−i t
V ( r )ψ ( r ).
6 Dzieląc powyższe równanie przez e
E
−i t
uzyskamy stacjonarne ( bez czasu ) równanie
Schrödingera
−
2
2m
Δψ ( r ) + V ( r )ψ ( r ) = Eψ ( r )
(7.13)
Równania Schrödingera można zapisać w zwarty sposób wprowadzając operator
Hamiltona ( hamiltonian ), który ma znaczenie operatora całkowitej energii cząstki
Hˆ = −
2
2m
Δ + V ( r ),
(7.14)
wtedy równanie Schrödingera z czasem przyjmuje postać
i
∂Ψ
= Hˆ Ψ,
∂t
(7.15)
a równanie Schrödingera bez czasu ma postać
Hˆ ψ = Eψ .
(7.16)
Rozwiązaniem równania Schrödingera są funkcje falowe (stany) cząstki oraz energie
cząstki. Funkcje falowe muszą także dodatkowo spełniać warunki naturalne tzn. muszą być
ciągłe, gładkie, jednoznaczne i ograniczone. Warunki naturalne w zagadnieniach, gdzie z
klasycznego punktu widzenia ruch cząstki jest ograniczony, prowadzą do kwantowania
wielkości fizycznych charakteryzujących cząstkę. Rodzaj rozpatrywanego zagadnienia
fizycznego specyfikujemy w równaniu Schrödingera przez podanie postaci energii
1
potencjalnej V ( r ) (potencjału) cząstki. Jeżeli przyjmiemy np. V ( x ) = mω 2 x 2 to
2
rozwiązujemy zagadnienie oscylatora harmonicznego, a jeśli w równaniu Schrödingera
V (r) = −
e2
4πε 0 r
to rozwiązujemy zagadnienie atomu wodoru itp.
7