Egzamin ze Wstepu do Analizy, 8 marzec 2002 – II termin 1. (10 pkt

Egzamin ze Wstȩpu do Analizy, 8 marzec 2002 – II termin
1. (10 pkt.) Obliczyć granice
(a) limn→∞ n(sin n1 )2 cos n,
√
(b) limn→∞ ( n2 + 2n − n)n .
2. (10 √
pkt.)
Zbadać
zbieżność szeregów
√
√
P∞
1+ 2+...+ n
(a)
n=1 13 +23 +...+n3 ;
P∞ (n!)2 (2n)!
(b)
n=1
(4n)! .
3. (5 pkt.) Obliczyć granicȩ
lim
x→0+
sin(xx − 1)
.
x ln x
4. (5 pkt.) Znaleźć asymptoty funkcji
x2
f (x) := x + cos π
1 + x2
, x ∈ R.
5. (5 pkt.) Znaleźć przedzialy monotoniczności funkcji:
g(x) := ln(1 + x4 ) − ln(1 + x2 ), x ∈ R.
6. (5 pkt.) Znaleźć punkty przegiȩcia funkcji:
h(x) :=
ex − 1
, x ∈ R.
ex + 1
7. (5 pkt.) Sprawdzić różniczkowalność funkcji
w punkcie 0.


 x − sin x, x > 0
k(x) :=
0,
x=0

 2
1
x sin( x ), x < 0
8. (5 pkt.) Sprawdzić cia̧glość funkcji
l(x) :=
w punkcie 0.
x[ x1 ], x 6= 0
1,
x=0