Metoda stabilizacji
Transkrypt
Metoda stabilizacji
Metoda stabilizacji Metoda stabilizacji Mirosław Bylicki Instytut Fizyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wykład monograficzny Strona 1 Metoda stabilizacji Metoda stabilizacji jest najprostszą metodą pozwalającą na wyznaczenie przybliżonych energii stanów rezonansowych i — w jej bardziej zaawansowanej wersji — szerokości poziomów rezonansowych. Jest ona połączeniem metody Ritza ze skalowaniem współrzędnych. Najważniejszym przybliżeniem jest zastosowanie funkcji normowalnych (całkowanych z kwadratem) do opisu stanów rezonansowych, o których wiadomo, że nie dają się unormować do jedynki. Uzasadnienie tego przybliżenia: a) W zerowym przybliżeniu, rezonans to stan zlokalizowany (“związany”). Teoria Fano oparta jest na zakłożeniu stanu związanego opisanego unormowaną funkcją ϕo , zatopionego w kontinuum nienormowalnych stanów rozproszeniowych. b) Zamknijmy układ w pudle. Funkcje falowe będą ograniczone przestrzennie (całkowalne z kwadratem). Jeśli pudło jest wystarczająco duże, to jego wpływ na własności interesującego nas układu nie będzie istotnie duży. Wykład monograficzny Strona 2 Metoda stabilizacji Zakładamy, że dana jest baza funkcji {φi (~r1 , ~r2 , · · · , ~rN )}M i=1 . Są one unormowane i określone jednoznacznie (nie ma w nich nieokreślonych parametrów, które możnaby zmieniać, dopasowywać). Gdyby zastosować tę bazę w metodzie Ritza, to jedynymi parametrami wariacyjnymi byłyby współczynniki rozwinięcia (parametry liniowe). Wprowadzimy dodatkowo jeden parametr nieliniowy, wspólny dla wszystkich funkcji bazowych. Będzie to parametr skalowania współrzędnych ~ri → ρ~i = α~ri . Mamy więc bazę funkcji r1 , ~r2 , · · · , ~rN ) ≡ φi (α~r1 , α~r2 , · · · , α~rN ), φα i (~ Wykład monograficzny i = 1, . . . , M. Strona 3 Metoda stabilizacji Funkcja próbna, którą mamy wariacyjnie optymalizować, ma postać X ψ̃(~r1 , ~r2 , · · · , ~rN ; c1 , · · · , cM , α) = c i φα i. i Funkcjonał staje się funkcją M + 1 zmiennych (α i ci , i = 1, . . . , M ) K[ψ] → K[ψ̃] = K(c1 , · · · , cM , α). Warunek znikania wariacji funkcjonału, δK = 0, przekłada się na znikanie pierwszych pochodnych cząstkowych po wszystkich parametrach ∂K ∂K = 0. = 0 dla i = 1, . . . , M oraz ∂ci ∂α Warunki ∂K ∂ci = 0 prowadzą do równania macierzowego H αC α = EαSαC α. Ponieważ macierze hamiltonianu H α i nakrywania S α zależą od α, to Wykład monograficzny Strona 4 Metoda stabilizacji rozwiązania — wartości własne E i wektory własne C — też będą od α zależne. Ta zależność energii od parametru skalowania, jest trudna do ujęcia analitycznego, dlatego w praktyce rozważa się ją numerycznie. Wykonuje się serię obliczeń dla kolejnych, zmieniających się w sposób systematyczny, wartości parametru α. Każdy taki krok, dla jednej ustalonej wartości α, to obliczenia metodą Ritza, których wynikiem jest M pierwiastków równania sekularnego. Są one oczywiście dyskretne, choć przynajmniej część spośród nich reprezentuje ciągły zakres energii. Co więcej, pewne szczególne pierwiastki reprezentują przybliżone energie interesujących nas stanów rezonansowych. Niestety, mając M takich pierwiastków z pojedynczego rachunku (dla jednej wartości α) nie jesteśmy w stanie ustalić ich tożsamości. Nie wiemy, które należy przypisać rezonansom. Dopiero analiza zachowania pierwiastków ze względu na zmiany α pozwala znaleźć te rezonansowe. Wykład monograficzny Strona 5 Metoda stabilizacji Stabilizacja Wykreślamy więc zależność kolejnych pierwiastków od α i poszukujemy miejsc spełniających wynikający z zasady wariacyjnej wymóg: ∂Ei ∂K ∂α αo = 0. Oznacza on ∂α α(i) = 0 dla poszczególnych pierwiastków o (i) i = 1, · · · , M. Chodzi zatem o znalezienie miejsc (αo ) stabilizacji danego pierwiastka. Mogą to być ekstrema lub punkty przegięcia. Te które ujawniają się w obszarze przewidzianym dla ciągłego widma energii, przypisujemy (ostrożnie!) rezonansom. Wykład monograficzny Strona 6 Metoda stabilizacji Skalowanie jako “skanowanie” kontinuum Dyskretne pierwiastki otrzymane metodą Ritza reprezentują kontinuum energii w sposób wielce przypadkowy. Zależą od wybranych funkcji bazowych, ich parametrów, a w szczególności — od aktualnej wartości parametru α. Systematyczne zmienianie parametru skalowania α w odpowiednio dużym zakresie, i zebranie pierwiastków otrzymanych dla wszystkich wartości α daje bardziej reprezentatywny obraz kontinuum. To pokrycie kontinuum, choć ciągle dyskretne, daje niezły opis jego rzeczywistych własności, np. gęstości stanów lub pojawiania się rezonansowych energii. Na rysunku obserwujemy monotoniczny wzrost energii ze wzrostem parametru skalowania α. Jest to spowodowane charakterem funkcji bazowych: dla coraz mniejszego α są one coraz bardziej rozmyte (mają coraz większy zasięg); coraz lepiej opisują niezwiązany układ na dużych odległościach, dla których odpychanie pomiędzy Wykład monograficzny Strona 7 Metoda stabilizacji niezwiązanym częściami układu jest coraz słabsze (dodatnia energia odpychania coraz mniejsza). To zachowanie zaburzone jest miejscową stabilizacją energii (punkty przegięcia). Przejściowa stabilizacja pierwiastka jest przekazywana następnemu, który “dodarł” do poziomu rezonansowego, potem następnemu itd. Powstawają tzw. antyskrzyżowania poziomów (avoided crossings). Nie dochodzi do przecięcia dwóch krzywych, bo widmo energii (w rozważanym przypadku) jest niezdegenerowane. Dwa pierwiastki, które ze zmianą α zbliżają się do siebie, zaczynają się “odpychać”. Jest to przejaw tego oddziaływania, które w teorii Fano opisane jest elementem macierzowym VoE . Przecież jeden z pierwiastków (ten stabilny) reprezentuje stan rezonansowy, a drugi (ten rosnący) odpowiada stanowi niezwiązanemu. Analiza odległości antykrzyżujących się linii pozwala oszacować szerokość poziomu rezonansowego Γ = 2π|VoE |2 . Wykład monograficzny Strona 8 Metoda stabilizacji Określenie rezonansu na podstawie gęstości stanów Rozkład stanów • dyskretny: w punkcie Ej mamy nj stanów • ciągły: gęstość stanów ρ(E) na przedział energii hE, E + dEi przypada dN = ρ(E)dE stanów. Rozkład dyskretny też można zapisać w postaci funkcji gęstości stanów: X nj δ(E − Ej ), ρ(E) = j lub w przypadku bez degeneracji (nj = 1): X δ(E − Ej ). ρ(E) = j Wykład monograficzny Strona 9 Metoda stabilizacji W metodzie stabilizacji widmo ciągłe jest zdyskretyzowane {Ej (α)}M j=1 (M −wymiar przestrzeni próbnej). Przywróćmy mu ciągłość ρα (E) = X δ(E − Ej (α)). j Ze względu na “przypadkową” zależność od α, uśredniamy rozkład po pewnym zakresie α ∈ hα1 , α2 i : = 1 α2 −α1 1 α2 −α1 = 1 α2 −α1 ρ(E) = R α2 α R α12 α1 ρα (E)dα = δ(E − Ej (α))dα = −1 P dEj j dα Ej (αi )=E W tak odtworzonym rozkładzie stanów znajdziemy teraz stany rezonansowe. Wykład monograficzny Strona 10 Metoda stabilizacji Do gęstości stanów wkład mają stany rozproszeniowe (“czyste” niezwiązane) i rezonansowe ρ(E) = ρrozproszeniowe (E) + ρrezonansowe (E). Wkład od wszystkich rezonansów jest następujący 1 X Γk . ρrezonansowe (E) = 2 + 1 Γ2 2π (E − E) k 4 k k Każdy rezonans daje typowy lorentzowski przyczynek, zanikający dość szybko w miarę oddalania się od energii rezonansu. Z drugiej strony, ρrozproszeniowe (E) jest funkcją wolno(!)-zmienną, tak że na skończonych, ale niewielkich przedziałach energii można traktować ją jako stałą, ρrozproszeniowe (E) ' ρo . Rozpatrując zatem mały przedział energii w otoczeniu rezonansu r, można przyjąć ρ(E) = ρo + Wykład monograficzny Γr 1 . 1 2 2 2π (Er − E) + 4 Γr Strona 11 Metoda stabilizacji Mamy tu trzy parametry: ρo , Er i Γr , które należy dopasować tak, aby ta teoretyczna krzywa rozkładu jak najlepiej zgadzała się z rozkładem odtworzonym z rozkładu pierwiastków metody stabilizacji. W ten sposób otrzymujemy położenie (Er ) i szerokość poziomu rezonansowego (Γr ). −0.1 −0.125 −0.125 E [a.u.] −0.1 Przykład Rezonanse 1 S e w H− Wykład monograficzny −0.15 −0.2 −0.15 (a) 0.6 0.8 1 1.2 Stabilization parameter (b) 1.4 −0.2 0 20 40 Density of eigenvalues 60 Strona 12