Lista nr 4

Teoretyczne podstawy informatyki, lista 4
AZS = automat ze stosem (niedeterministyczny)
DAZS = deterministyczny automat ze stosem
1. Opisać jezyk
generowany przez gramatyke, o produkcjach: S → AB, A → a|BA, B →
,
b|AB. Czy jest to jezyk
regularny?
,
2. Zdefiniować automaty ze stosem akceptujace
wybrane jezyki
bezkontekstowe z listy 3
,
,
(a) przy pustym stosie,
(b) przy stanie końcowym.
3. Opisać AZS, dla którego jezykiem
akceptowanym przy pustym stosie jest zbiór wszyst,
kich wyrażeń algebraicznych bez zbednych
nawiasw o zmiennych x, y (wedlug definicji
,
z wykladu).
4. (a) Niech M = ({q0 , q1 }, {0, 1}, {Z0 , A}, δ, q0 , Z0 , ∅) bedzie
automatem ze stosem, w
,
którym funkcja przejścia δ dana jest równościami:
δ(q0 , 1, Z0 ) = {hq1 , εi},
δ(q0 , 0, Z0 ) = {hq0 , AZ0 i},
δ(q0 , 0, A) = {hq0 , AAi},
δ(q0 , 1, A) = {hq1 , εi},
δ(q1 , 1, A) = {hq1 , εi},
δ(q1 , 1, Z0 ) = {hq1 , εi}.
Dla pozostalych argumentów wartościa, funkcji δ jest ∅. Opisać jezyk
N (M ).
,
(b) Niech M = ({q0 , q1 , q2 }, {a, b}, {Z0 , A}, δ, q0 , Z0 , {q2 }) bedzie
AZS,
w którym funk,
cja przejścia δ dana jest równościami:
δ(q0 , a, Z0 ) = {hq0 , AZ0 i, hq0 , AAZ0 i},
δ(q0 , a, A) = {hq0 , AAi, hq0 , AAAi},
δ(q0 , ε, Z0 ) = {hq1 , Z0 i}
δ(q0 , ε, A) = {hq1 , Ai}
δ(q1 , b, A) = {hq1 , εi}
δ(q1 , ε, Z0 ) = {hq2 , Z0 i}
Dla pozostalych argumentów wartościa, funkcji δ jest ∅. Opisać jezyk
L(M ).
,
5. To zadanie należy rozwiazać
naśladujac
,
, odpowiednie fragmenty dowodu twierdzenia o
równoważności JBK i AZS.
(a) Dla wybranej GBK G (z listy nr 3 lub 4) skonstruować AZS M taki, że N (M ) =
L(G).
(b) Dla wybranego AZS M (z wykladu lub z tej listy) skonstruować GBK G taka,
, że
L(G) = N (M ).
6. Wykazać, że jezyk
{wwR : w ∈ {0, 1}∗ } nie jest akceptowany przez żaden DAZS: (a)
,
przy pustym stosie (b)∗ przy stanie końcowym. Na wykladzie zostalo pokazane, że
powyższy jezyk
jest akceptowany przez pewien AZS.
,
7. Używajac
ace
, lematu o pompowaniu dla JBK lub lematu Ogdena, wykazać, że nastepuj
,
,
jezyki
nie
s
a
bezkontekstowe:
,
,
(a) {ww : w ∈ {a, b}∗ },
(b) {ai bj ck : i < j < k},
1
(c) {ai bj : j = i2 },
(d) {w ∈ {a, b, c}∗ : w ma te, sama, liczbe, a, b i c},
(e) {0p : p jest liczba, pierwsza},
,
(f) {w ∈ {0, 1}∗ : |w| jest liczba, pierwsza}.
,
Uwaga: przyklad (a) z tego zadania oraz przyklad (c) z zadania 3 z listy nr 3 świadcza, o
tym, że dopelnienie jezyka
bezkontekstowego nie musi być jezykiem
bezkontekstowym.
,
,
8. Niech Σ bedzie
alfabetem i niech L ⊆ Σ∗ . Pokazać, że jeśli L spelnia teze, lematu o
,
pompowaniu dla jezyków
regularnych, to spelnia też teze, lematu o pompowaniu dla
,
jezyków
bezkontekstowych.
Czy zachodzi implikacja odwrotna?
,
9. Niech Σ = {a} (alfabet jednoelementowy). Zbiór X ⊆ Σ∗ nazywamy arytmetycznym,
jeśli istnieja, liczby naturalne m, n takie, że X = {akm+n : k ∈ N}. W szczególności
zbiór jednoelementowy jest arytmetyczny. Wykazać, że dla jezyka
L ⊆ Σ∗ nastepuj
ace
,
,
,
warunki sa, równoważne:
(1) L jest suma, skończenie wielu zbiorów arytmetycznych.
(2) L jest regularny.
(3) L spelnia teze, lematu o pompowaniu dla jezyków
regularnych.
,
(4) L jest bezkontekstowy.
(5) L spelnia teze, lematu o pompowaniu dla jezyków
bezkontekstowych.
,
10. Automat ze skończonym stosem definiujemy tak samo jak zwykly AZS, przy czym
przyjmujemy, że zawartość stosu w dowolnym opisie chwilowym automatu jest slowem
o dlugości nie przekraczajacej
pewnego ustalonego n. Niech Σ bedzie
alfabetem i niech
,
,
∗
L ⊆ Σ . Wykazać, nastepuj
ace
warunki sa, równoważne:
,
,
(a) L jest regularny
(b) L jest akceptowany przez pewien automat ze skończonym stosem przy stanie końcowym.
(c) L jest akceptowany przez pewien automat ze skończonym stosem przy pustym stosie.
11. Niech Σ = {p, q, ∧, ∨, ¬, (, )}.
(a) Podać GBK generujac
L ⊆ Σ∗ bed
zbiorem wszystkich formul zdaniowych
, a, jezyk
,
,
, acy
o zmiennych p, q zawierajacycych
tylko spójniki logiczne ∧, ∨, ¬.
,
(b)∗ Wykazać, że zbiór wszystkich formul z L bed
tautologiami rachunku zdań
,
, acych
jest JBK.
12. Niech L = {ai bj ck : i, j, k sa, różne}. Na wykladzie udowodniliśmy przy pomocy lematu
Ogdena, że L nie jest bezkontekstowy. Pokazać, że L spelnia teze, lematu o pompowaniu
dla JBK ze stala, n = 12. Innymi slowy, należy wykazać, że jeśli z ∈ L ma dlugość
przynajmniej 12, to istnieja, slowa u, v, w, x, y takie, że z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 12
oraz uv i wxi y ∈ L dla i ∈ N.
UWAGA: Kolokwium nr 2 odbedzie
sie, 13.05. Zakres materialu podam na zajeciach.
,
,
R. Wencel, 22.04.2016 r.
2