Obraz Heisenberga Mamy równanie ih Twierdzenie Ehrenfesta

Piotr Suwara
Mechanika kwantowa: 28 listopada 2011
1
Obraz Heisenberga Mamy równanie i} dtd |ψ(t)i = H̄(t)|ψ(t)i. Dla kazdego |ψ(t)i ma
zachodzi¢
|ψ(t)i = Û (t, t0 )|ψ(t0 )i,
co prowadzi do
i}
dÛ
= Ĥ(t)Û (t, t0 ),
dt
Oznaczmy
Û (t0 , t0 ) = 1̂.
ÂH (t) = Û ∗ (t, t0 )ÂÛ (t, t0 ),
wtedy mo»emy ªatwo wyci¡ga¢ warto±¢ oczekiwan¡
hA(t)i = hψ(t)|Â|ψ(t)i = hψ(t0 )|ÂH (t)|ψ(t0 )i.
Otrzymujemy równanie na operator w obrazie Heisenberga:
dÂH
∂ Â
1
= [ÂH , ĤH ] +
dt
i}
dt
!
.
H
Zauwa»my, »e je±li  nie zale»y od czasu, drugi skªadnik po prawej znika; ponadto, je±li
Ĥ nie zale»y od czasu, to ĤH = Ĥ .
Przykªad 1. Przykªadowo mo»na ªatwo znale¹¢ równania na warto±ci oczekiwane poªo»enia
i p¦du dla oscylatora harmonicznego czy cz¡stki swobodnej. W notatkach.
Twierdzenie Ehrenfesta
ˆ2
p
~
} ~2
+V (~r) ≡ − 2m
∇ +V (~r). Dostajemy równania
Mamy hamiltonian z potencjaªem: Ĥ = 2m
ruchu (na operatory w obrazie Heisenberga!):
d~rˆ
1
1
= [~rˆ, Ĥ] = p~ˆ,
dt
i}
m
2
dp~ˆ
~ (~r),
= −∇V
dt
po czym przechodzimy do ukªadu równa« Ehrenfesta:
d ˆ
1
h~ri = hp~ˆi,
dt
m
d ˆ
~ (~r)i,
hp~i = −h∇V
dt
podczas gdy w przypadku klasycznym mieliby±my
d ˆ
hp~i
dt
~ (h~ri).
= −∇V
Piotr Suwara
2
Mechanika kwantowa: 28 listopada 2011
Obraz oddziaªywania
Niech hamiltonian b¦dzie sum¡ staªego w czasie operatora oraz maªego zaburzenia Ĥ(t) =
Ĥ0 + Ĥ 0 (t). Zdeniujmy funkcj¦ falow¡ w obrazie oddziaªywania |ψI (t)i oraz operator w
obrazie oddziaªywania:
|ψ(t)i = e−iĤ0 t/} |ψI (t)i,
ÂI (t) = eiĤ0 t/} Â(t)e−iĤ0 t/} ,
wtedy otrzymamy równo±ci
hÂ(t)i = hψ(t)|Â|ψ(t)i = hψI (t)|ÂI (t)|ψI (t)i,
i}
d
|ψI (t)i = ĤI (t)|ψI (t)i.
dt
Dostawiaj¡c λ do hamiltonianu zaburzaj¡cego oraz rozwijaj¡c |ψI (t)i w szereg pot¦gowy
wzgl¦dem λ, dostajemy równania
i}
d k
|ψ (t)i = ĤI0 (t)|ψIk−1 (t)i,
dt I
czyli
t
|ψIk (t)i
1 Z 0 0 0 k−1 0
dt ĤI (t )|ψI (t )i.
=
i}
0
Oprócz tego maj¡c baz¦ mo»emy robi¢ sztuczki typu |ψI1 (t)i =
1 Rt
0
0 0
hf |ψI1 (t)i = ih
0 dt hf |ĤI (t )|ii.
, wtedy cf =
g cf |f i
P