Przykład analizy wytrzymałosciowej łopatki wirnika z użyciem

Przykład analizy wytrzymałościowej łopatki wirnika z użyciem metody elementów
skończonych w systemie Mathcad
Część I
Opracował: dr inż. Paweł Stąpór
Sformułowanie problemu
Wyznaczyć naprężenia od siły odśrodkowej w łopatce wirnika o zmiennej geometrii dla dwóch
przypadków konstrukcyjnych:
a) zewnętrzny koniec łopatki wirnika jest wolny
b) zewnętrzny koniec łopatki wirnika jest zamocowany do sztywnego pierścienia
Łopatka wirnika przymocowana jest do piasty obracającej się ze stałą kątową prędkością ϖ
=10. Moduł Younga i gęstość materiału z którego wykonana jest łopatka wynosi odpowiednio
E=110e9 i ρ=4400. Wymiary podane są na rysunku 1.
Rysunek 1: Łopatka wirnika (źródło: Payen, D., J., Bathe, K., J., A stress improvement
procedure, Computers and Structures, strony 311-326, 2012.)
Rozwiązanie zadania metodą elementów skończonych
1. Definicja parametrów fizycznych i geometrycznych zadania
Ustalenie indeksowania elementów macierzy i wektorów:
ORIGIN := 1
Całkowita długość łopatki wirnika:
L := 20
Wspórzędna określająca miejsce zmiany geometrii łopatki: ξ := 10
Prędkość kątowa obracającej się łopatki:
ω := 10
Funkcja definiująca gęstość materiału:
ρ ( x) := 4400
Funkcja definiująca moduł Younga materiału:
E( x) := 110⋅ 10
Funkcja definiująca pole przekroju łopatki:
A( x) := if x < ξ , 2 , 2 ⋅ 1 − 
Funkcja definiująca intesywność siły odśrodkowej:
q ( x) := A( x) ρ ( x) ⋅ ω ⋅ x
9




2
2. Wykres obciążenia ciągłego
Definicja współrzędnych:
x := 0 , 0.01 .. L
y := −A( ξ ) .. A( ξ )
2
 x − ξ  

 12  
10
A( x)
− A( x)
−6
q( x) ⋅ 10
0
y
10
0
5
10
15
20
x, x, x, ξ
Rysunek 2: Wykres intensywności obciążenia od siły odśrodkowej q(x) (skala x106)
na tle przekroju łopatki.
3. Obliczenia
AE( x) := A( x) ⋅ E( x)
Wyznaczenie sztywności przekroju:
Definicja funkcji kształtu (liniowy dwuwęzłowy element skończony z
jednym stopniem swobody w węźle) i ich pochodnych:
N1( x, h) := 1 −
x
h
N2( x, h) :=
x
h
dN1( x , h ) :=
d
N1( x, h)
dx
dN2( x , h ) :=
d
N2( x, h)
dx
gdzie: x - współrzędna lokalna w elemencie skończonym, h - długość elementu
Liczba elementów skończonych użytych do dyskretyzacji obszaru rozwiązania (zakłada się
podział na równej długości elementy). Liczba elementów powinna być taka aby zapewnić
położenie węzła w punkcie ξ:
n := 4
h :=
Obliczenie długość elementów skończonych:
L
n
NoF := n + 1
Całkowita liczba stopni swobody:
Utworzenie zerowych globalnych macierzy sztywności, wektora równoważników obciążenia
i macierzy Boole'a (wpisz: K[NoF,NoF:0 F[NoF:0 C[2,NoF:0)
K
NoF , NoF
:= 0
F
NoF
:= 0
C
2 , NoF
:= 0
Program do obliczania macierzy sztywności i wektora równoważników od obciążenia ciągłego
KF :=
for e ∈ 1 .. n
d ← (e − 1)⋅ h
 ⌠h
  AE( x + d) ⋅ dN1( x , h ) ⋅ dN1( x , h ) dx
 ⌡0
k←
 ⌠h
AE( x + d) ⋅ dN2( x , h ) ⋅ dN1( x , h ) dx

⌡
 0

 ⌠h
  N1( x , h ) ⋅ q ( x + d ) dx 
 ⌡0

f←

 ⌠h

N2( x , h ) ⋅ q ( x + d ) dx 

⌡
 0


⌠
 AE( x + d ) ⋅ dN1( x , h ) ⋅ dN2( x, h) dx 
⌡

h
0


⌠
 AE( x + d ) ⋅ dN2( x , h ) ⋅ dN2( x, h) dx 
⌡
h

0
C ← 0⋅ C
←1
C
1, e
C
2 , e+ 1
←1
T
K ← K + C ⋅ k⋅ C
T
F ← F + C ⋅f
(K F)
Globalna macierz sztywności i globalny wektor obciązenia ciągłego
(wpisz K:KF[1,1 F:KF[1,2 ):
K := KF
 4.4 × 1010 −4.4 × 1010

0
0
0


10
10
10
0
0
−4.4 × 10
 −4.4 × 10 8.8 × 10



10
10
10
K=
0
−4.4 × 10
8.545 × 10
−4.145 × 10
0



10
10
10 
0
0
−4.145 × 10
6.763 × 10
−2.618 × 10


10
10 

0
0
0
−2.618 × 10
2.618 × 10 
1, 1
F := KF
 3.667 × 106 

7 
 2.2 × 10 
F =  4.317 × 107 


 5.136 × 107 


 2.015 × 107 
Definicja warunków brzegowych dla przypadku pierwszego rozwiązania konstrukcyjnego a)
Wyzerowanie wektorów warunków kinematycznych (przemieszczenia) i statycznych (siły
skupione) (wpisz: Q.D[NoF:0 P[NoF:0 )
QD
:= 0
NoF
P
NoF
:= 0
Wektor stopni swobody w których definiowane są podpory
(wprowadź wektor 1x1 z palety matix, nie R:(1)!!)
Wektor wartości stopni swobody w podporach ( wpisz:
Q.D[1:0 )
1, 2
R := ( 1 )
QD := 0
1
Rozwiązanie układu równań z uwzględniem warunków brzegowych
j := 1 .. rows( R)
K
i, R j
(
i := 1 .. NoF
:= if R = i , −1 , 0
j
)
〈R 〉
Q := lsolve K , F + P − K 1 ⋅ QD


R1

Wektor reakcji (wpisz: Q[R[j= ):
Q
Rj
=
-1.404·108
Wektor obliczonych stopni swobody (wpisz: Q[R[j:Q.D[R[j ): Q
Rj
:= QD
R
j
4. Postprocessing dla pierwszego przypadku konstrukcyjnego a)
0




−3
 3.106 × 10 

− 3
Q =  5.713 × 10 

− 3
 7.438 × 10 

− 3
 8.208 × 10 
Definicja funkcji obliczającej przemieszczenia i naprężenia w elementach skończonych
funXUS( Q) :=
i←1
for e ∈ 1 .. n
N←2
d ← ( e − 1) ⋅ h
for j ∈ 1 .. N
x←
h
N−1
⋅ ( j − 1)
X ←x+ d
i
 Qe 

U ← ( N1( x , h ) N2( x, h) ) ⋅ 
i
Q 
 e+1 
 Qe 
⋅E X
S ← ( dN1( x , h ) dN2( x , h ) ) ⋅ 
i
 Qe+1  ( i)


i←i+1
(X U S)
XUS := funXUS( Q)
Wpisz X:XUS[1,1 U.a:XUS[1,2 S.a:XUS[1,3
X := XUS
1, 1
Ua := XUS
1, 2
Sa := XUS
1, 3
Wykres przemieszczeń dla pierwszego przypadku konstrukcyjnego a)
0.01
0.0075
Ua
0.005
0.0025
0
0
5
10
15
20
X
Wykres naprężeń dla pierwszego przypadku konstrukcyjnego a)
8 .10
7
6 .10
7
4 .10
7
Sa
2 .10
7
0
0
5
10
15
20
X
Definicja warunków brzegowych dla przypadku drugiego rozwiązania konstrukcyjnego b)
Wyzerowanie wektorów warunków kinematycznych (przemieszczenia) i statycznych (siły
skupione)
QD := 0⋅ QD
P := 0 ⋅ P
 1 
Wektor stopni swobody w których definiowane są podpory
R := 

n + 1 
(wprowadź wektor 2x1 z palety matix)
Wektor wartości stopni swobody w podporach (wpisz:
Q.D[1:0 Q.D[n+1:0 )
QD := 0
QD
:= 0
1
n+ 1
Odtworzenie macierzy sztywności i wektora równoważników obciążenia ciągłego
K := KF
F := KF
1, 1
1, 2
Rozwiązanie układu równań z uwzględniem warunków brzegowych
j := 1 .. rows( R)
K
i, R j
(
i := 1 .. NoF
:= if R = i , −1 , 0
j
)
〈R 〉
Q := lsolve K , F + P − K 1 ⋅ QD

R1
〈R 〉
− K 2 ⋅ QD


R2
Wektor reakcji (wpisz:
Q[R[j= ):
Q
Rj
=
-6.42·107
-7.615·107
Wektor obliczonych stopni swobody (wpisz:
Q[R[j:Q.D[R[j) :
Q
Rj
:= QD
R
j
5. Postprocessing dla drugiego przypadku konstrukcyjnego b)
0


−
3
 1.376 × 10 


Q =  2.251 × 10− 3 


−3
 2.139 × 10 


0
Obliczenie przemieszczeń i naprężeń w elementach skończonych
XUS := funXUS( Q)
X := XUS
1, 1
Ub := XUS
1, 2
Sb := XUS
1, 3
Wykres przemieszczeń dla drugiego przypadku konstrukcyjnego b)
0.003
0.00225
Ub
0.0015
7.5 .10
4
0
0
5
10
15
20
15
20
X
Wykres naprężeń dla drugiego przypadku konstrukcyjnego b)
4 .10
7
1.5 .10
7
Sb
1 .10
7
3.5 .10
7
6 .10
7
0
5
10
X
6. Porównanie wyników dla dwóch rozwiązań konstrukcyjnych
Przemieszczenia
0.01
0.0075
Ua
0.005
Ub
0.0025
0
0
5
10
15
20
15
20
X
Naprężenia
8
1 .10
6.25 .10
7
Sa
Sb
2.5 .10
7
1.25 .10
7
5 .10
7
0
5
10
X
Wyznaczenie naprężeń ekstremalnych dla rozwiązania konstrukcyjnego a)
( )
max Sa = 6.834 × 10
7
( )
7
min Sa = 1.694 × 10
Wyznaczenie naprężeń ekstremalnych dla rozwiązania konstrukcyjnego b)
( )
7
max Sb = 3.027 × 10
( )
7
min Sb = −4.707 × 10
Wykonaj analizę zadania dla zwiększonej liczby elementów skończonych (n=16, 32, 64 ...).
Które z rozwiązań jest korzystniejsze ze względu na wielkość naprężeń w łopatce wirnika?
Zbadaj wpływ prędkosći obrotowej na rozwiązanie. W tym celu wykonaj analizę w zakresie
prędkości kątowych ϖ = 5, 10, 15, 20.
Zbadaj wpływ parametrów materiału na wielkość naprężęń. Wykonaj analizę dla wartości modułu
Younga i gęstości E=80e9 i ρ=2000 (materiał 2).
Jak zmieni się rozwiązanie kiedy łopatka wirnika zostanie wykonana z dwóch materiałów
(materiał 1 w pierwszej części, materiał 2 w drugiej części)?