Wiadomości wstępne

Algebra to język nie używający słów, lecz symboli.
(G. Polya)
Wykład 1 (8 X 2009)
Wiadomości wstępne
Treść wykładu.
Wiadomości wstępne
Wstęp: Najważniejsze systemy liczbowe — liczby naturalne, całkowite, wymierne
Zapis matematyczny i jego znaczenie
Notacja wskaźnikowa
Zasada indukcji
Określenie liczb zespolonych
1.1
Liczby: naturalne, całkowite, wymierne
Liczby naturalne można traktować jako wielokrotne sumy jedynki. Mówiąc dokładniej, zbiór liczb naturalnych
jest najmniejszym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R, który zawiera liczbę 1 oraz (warunek indukcji)
wraz z każdą zawartą w nim liczbą, zawiera także liczbę otrzymaną przez dodanie do niej liczby 1(1 ). Innymi
słowy zbiór liczb naturalnych jest określony przez następujące warunki:
Definicja 1.1 (Liczby naturalne)
(P1 ) 1 jest liczbą naturalną;
(P2 ) Jeśli n jest liczbą naturalną, to także n + 1 liczbą naturalną;
(P3 ) Zbiór liczb naturalnych jest zawarty w każdym podzbiorze R spełniającym powyższe dwa warunki.
Liczbę n + 1 nazywa się następnikiem liczby n.
Dalej przyjmiemy, że termin liczba całkowita określa liczby naturalne, liczby przeciwne do liczb naturalnych
oraz liczbę 0. Liczbami wymiernymi będziemy nazywać ilorazy dwóch liczb całkowitych (z zastrzeżeniem, że nie
wolno dzielić przez 0). Dla oznaczenia tych zbiorów będziemy w dalszym ciagu używać następujących oznaczeń:
N
zbiór liczb naturalnych,
Z
zbiór liczb całkowitych,
Q
zbiór liczb wymiernych.
Wszystkie te zbiory liczbowe są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych oznaczanego symbolem R. Uwzględniając ich wzajemne zawierania możemy napisać
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,
Konstrukcja liczb rzeczywistych wchodzi raczej w zakres analizy matematycznej niż algebry i dlatego nie będziemy tu podejmować próby ich określenia, odsyłając czytelnika do wykładów analizy matematycznej.
1
Jak z tego wynika, liczby 0 nie zaliczamy do liczb naturalnych, choć niektóre podręczniki przyjmują odmienną konwencję.
5
ALiGA — Wykład 1.
6
1.1.1
Notacja wskaźnikowa — zapis sumy i iloczynu
Zacznijmy od prostego przykładu, w którym spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, jak krótko (czyli ekonomicznie) zapisywać pewne zbiory liczbowe.
Przykład 1.1.1 Zapisując listę dziesięciu pierwszych liczb nieparzystych w rosnącej kolejności otrzymamy
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Tę samą informację możemy podać inaczej, jeśli zauważmy, że liczba stojąca na i-tym miejscu listy może być przedstawiona jako
2i − 1 (dla i = 1 otrzymujemy 1, dla i = 2 otrzymujemy 2 · 2 − 1 = 3 itd.). Zamiast powyższej listy możemy więc napisać
2i − 1,
i ∈ {1, 2 . . . , 10},
rozumiejąc ten zapis w taki sposób, że każdej liczbie i należącej do zbioru {1, 2 . . . , 10} odpowiada na naszej liście liczba 2i − 1.
Podobnie dziesięć pierwszych potęg liczby 2 tworzy listę
1(= 20 ), 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,
którą będziemy krótko zapisywali jako
2i ,
i ∈ {0, 1 . . . , 9}.
Wzorując sie na tych przykładach czytelnik zauważy bez trudu, że zapis
1
,
i
i ∈ {1, 2 . . . , 5}
przedstawia listę złożoną z pięciu kolejnych odwrotności liczb naturalnych, tj. listę 1,
1 1 1 1
, , , .
2 3 4 5
Powyższy przykład ilustruje to, co w ogólności będziemy nazywać notacją wskaźnikową lub indeksową.
Przyjmijmy w ogólności, że dana jest dowolna funkcja określona na podzbiorze I ⊂ N, której wartości są liczbami (lub funkcjami o wartościach liczbowych). Zazwyczaj zbiorem I będzie zbiór {1, 2 . . . , m} złożony z m
początkowych liczb naturalnych lub N — zbiór wszystkich liczb naturalnych. Przypomnijmy, że funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych nazywane są ciągami, a funkcje określone na zbiorach postaci {1, 2 . . . , m}
— ciągami skończonymi, lub dokładniej — ciągami m-elementowymi. Dla oznaczenia takiego ciągu będziemy
używali oznaczenia
ai , i ∈ {1, 2 . . . , m},
zamiast dłuższego
a1 , a2 , . . . , am .
Będziemy też często stosować następujące specjalne oznaczenia:
a1 + a2 + . . . + am =
m
X
ai ;
suma m wyrazów ciągu liczbowego ai ,
i=1
a1 · a2 · · · am =
n
Q
ai ;
iloczyn m wyrazów ciągu liczbowego ai .
i=1
Litera i występująca w symbolach sumy i iloczynu nazywana jest wskaźnikiem bieżącym lub w pierwszym
przypadku wskaźnikiem sumacyjnym i może być zastąpiona jakąkolwiek inną literą (pod warunkiem, że ta nie
została „zajęta” przez nadanie jej innego ustalonego znaczenia). I tak zapisy
m
P
i=1
jedną i tę samą sumę a1 + a2 + . . . + am .
ai ,
m
P
j=1
aj ,
m
P
as oznaczają
s=1
Przykład 1.1.2 Sumę dziesięciu początkowych liczb nieparzystych możemy zatem zapisać dwoma sposobami — wypisując
kolejno wyrazy tej sumy lub stosując wprowadzony wyżej zapis z użyciem symbolu Σ. Wynik jest oczywiście ten sam.
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 19 =
10
X
k=1
(2k − 1) = 100.
Podobnie sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do n można zapisać
1 +2 + 3 + ... +n =
n
X
i=1
i.
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 22 października 2009 roku)
Jak wiadomo, mamy
n
X
n(n + 1)
.
2
i=
i=1
Podobnie możemy zapisać
7
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 =
9
X
2i
i=0
i przypominając sobie wzór na sumę m wyrazów ciągu geometrycznego a0 q i , i ∈ {0, 1, . . . , m − 1},
m−1
X
a0 + a0 q + a0 q 2 + . . . + a0 q m−1 =
a0 q i = a0
i=0
otrzymamy
qm − 1
q−1
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023.
Definicja 1.2 (Funkcja „silnia”) Iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n zapisujemy
1 · 2 · 3···n =
n
Q
k
k=1
i nazywamy n silnia. Zazwyczaj stosuje się oznaczenie
n
Q
k = n!
k=1
W drodze umowy określamy wartość funkcji silnia dla liczby 0 przyjmując 0! = 1.
Za pomocą funkcji „silnia” można wprowadzić tak zwane współczynniki dwumianowe Newtona, grające
ważną rolę w rozmaitych działach matematyki.
Definicja 1.3 (Współczynniki dwumianowe Newtona) Dla liczb całkowitych nieujemnych n, j, takich
że n ­ j, współczynnik dwumianowy Newtona nj jest określony wzorem
!
n
n!
n(n − 1) · · · (n − j + 1)
=
=
.
j
j!(n − j)!
1 · 2 · · · (j − 1) · j
(1.1)
Współczynniki dwumianowe Newtona są liczbami naturalnymi, o czym łatwo można przekonać się przez
zastosowanie związku rekurencyjnego
!
!
n
n
+
=
j
j−1
!
n+1
,
j
1 ¬ j ¬ n,
który wraz z „warunkami brzegowymi”
!
!
n
=
0
n
=1
n
jednoznacznie wyznacza te wspólczynniki. Ten związek rekurencyjny jest podstawą konstrukcji tzw. trójkąta
Pascala, graficzno-mnemotechnicznej reguły pozwalającej wyznaczyć wartości tych współczynników.
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
1
2
6
10
15
1
3
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
..........................................................
ALiGA — Ćwiczenia 1.
8
Algebra liniowa i geometria analityczna
Lista zadań nr 1
Tematyka: Notacja wskaźnikowa, symboliczny zapis sumy i iloczynu. Obliczania sum i iloczynów.
1. Podany zbiór A zapisać dwoma sposobami — a) w postaci listy jego elementów i b) za pomocą notacji
wskaźnikowej.
Zbiór wszystkich liczb nieparzystych między 4 a 18;
Zbiór liczb leżących w przedziale [4, 25], których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2.
2. Zapisać w notacji wskaźnikowej i obliczyć sumy:
3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 21;
30 + 32 + 34 + 36 + 38 .
(1 + p) + (2 + p) + (3 + p) + . . . + (12 + p);
5 i+1 P
5
P
i+1
.
6−i
i=2 6 − i i=2
4. Zapisać w postaci jawnej ciąg ai , i = 3, 4, . . . , 10 o wyrazach ai zadanych wzorem
,
3. Zapisać w postaci jawnej i obliczyć sumy
(−1)i
ai = 2−i+1
i obliczyć sumę i iloczyn
A=
10
X
B=
ai ,
10
Q
ai .
i=3
i=3
5. Wykazać wzory
n
X
a · ai = a
i=1
n
X
(bi + ai ) =
i=1
n
X
n
X
ai ;
i=1
n
X
bi +
i=1
n
X
(1.3)
ai ,
i=1
(a + ai ) = na +
i=1
(1.2)
n
X
(1.4)
ai .
i=1
6. a) Zapisać w postaci sum indeksowanych
1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1;
1 + 9 + 25 + . . . + (2n − 1)2 ;
22 + 52 + 82 + . . . (3n − 1)2 .
b) Wyznaczyć wartości powyższych sum.
7. a) Zapisać w postaci sum indeksowanych
1 + 22 + 32 + · · · + k2 ,
1 + 23 + 33 + · · · + k3 .
b) Wykazać, że
k
X
(aj+1 − aj ) = ak+1 − a1 .
j=1
c) Wykorzystać tę obserwację do wykazania, że
k
X
j2 =
j=1
k(k + 1)(2k + 1)
,
6
k
X
j3 =
j=1
dla wszystkich naturalnych k.
8. Obliczyć j! dla j ∈ {1, 2, . . . , 5}.
9. Wykazać, że dla każdego n ∈ N zachodzi (n + 1)! = n!(n + 1).
k(k + 1)
2
2
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 22 października 2009 roku)
1.1.2
9
Zasada Indukcji Matematycznej
W matematyce raczej rzadko interesują nas pojedyncze przypadki — to, że liczba 97 jest największą dwucyfrową
liczbą pierwszą może być traktowane co najwyżej jako ciekawostka matematyczna i nie przyciągnie uwagi
matematyka. Co innego gdyby udało się podać wzór (jakiego do tej pory nie znaleziono) przedstawiający
pojawiające się kolejno w ciągu liczb naturalnych liczby pierwsze(2 ).
Wśród twierdzeń matematycznych można znaleźć bardzo wiele takich, które orzekają o pewnej własności przysługującej dowolnej liczbie naturalnej n — prostymi przykładami takich wypowiedzi są następujące
stwierdzenia: dla każdej liczby naturalnej n liczba 2n + 1 jest liczbą nieparzystą, lub suma początkowych n liczb
naturalnych jest równa n(n+1)
. W języku logiki takie wypowiedzi noszą nazwę funkcji zdaniowych.
2
W istocie wypowiedź taka jest nieskończonym ciągiem twierdzeń, po jednym dla każdej liczby naturalnej
n. Blaise (Błażej) Pascal (1623 – 1662) jako pierwszy zauważył, że można twierdzenia tego rodzaju dowodzić
bez rozbijania ich na poszczególne przypadki, niejako w jednym rzucie, opierając się na własnościach (P1 ) i
(P2 ) sformułowanych w definicji 1.1 zbioru liczb naturalnych(3 ). Podstawą tej obserwacji jest spostrzeżenie,
iż zaczynając od liczby 1 i kolejno przechodząc od rozpatrywanej liczby naturalnej n do jej następnika n + 1
możemy osiągnąć dowolnie wybraną liczbę naturalną. A więc wystarczy wykazać, że rozpatrywane twierdzenie
jest prawdziwe dla liczby 1 oraz że jest prawdziwe dla liczby n + 1 jeśli jest prawdziwe dla liczby n.
Formalnym sformułowaniem zasady indukcji matematycznej jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej)
Niech T (n) oznacza dowolną funkcję zdaniową określoną na zbiorze N liczb naturalnych. Jeśli:
PI: T (1) jest zdaniem prawdziwym;
KI: Prawdziwa jest implikacja T (n) ⇒ T (n + 1);
to T (n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej.
Dodajmy dwie uwagi: po pierwsze, własność T (n) może dotyczyć tylko liczb naturalnych większych od
pewnej ustalonej wartości, jak np. w przypadku gdy T (n) jest zdaniem „n! > 2n dla n > 3”. Wówczas indukcję
„zaczynamy” od najmniejszej wartości n dopuszczanej przez funkcję zdaniową T (n), w podanym przypadku
od n = 4.
Po drugie, należy starannie sprawdzić, czy dowód kroku indukcyjnego nie korzysta, w sposób bardziej czy
mniej ukryty, z założeń spełnionych nie dla wszystkich liczb naturalnych. Czasem powstaje w taki sposób „luka”
między krokiem początkowym a krokiem indukcyjnym, która umożliwia „dowodzenie” absurdalnych faktów —
por. Przykład 1.1.3.
Często stosowanym sformułowaniem zasady indukcji matematycznej, równoważnym z podanym poprzednio,
jest następujące stwierdzenie.
Twierdzenie 2 (Zasada dobrego uporządkowania)
Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych N zawiera element najmniejszy.
Przykład 1.1.3 „Udowodnimy” stosując indukcję matematyczną, że wszyscy ludzie mają ten sam kolor oczu. Czytelnik powinien dokładnie przeanalizować podany poniżej „dowód” tego twierdzenia i odnaleźć popełniony w tym dowodzie błąd.
Będziemy dowodzić, że dla każdego naturalnego n w grupie ludzi obejmującej n osób wszyscy mają ten sam kolor oczu, co
oczywiście pociąga za sobą wypowiedziane wyżej twierdzenie.
Krok początkowy: Twierdzenie jest oczywiście prawdziwe dla n = 1.
Krok indukcyjny: Niech n będzie liczbą naturalną. Wykażemy, że z tego, iż w każdej n-elementowej grupie osób wszyscy mają ten
sam kolor oczu wynika, że tę samą własność ma dowolna n + 1-osobowa grupa osób.
Rozważmy więc jakąś n+1-osobową grupę osób i odłączmy od niej jedną osobę, powiedzmy panią A. W pozostałej grupie, która
składa się z n-osób, wszystkie, w myśl założenia indukcyjnego, mają ten sam kolor oczu. Dokonajmy teraz wymiany, zastępując
jakąś osobę w tej grupie przez panią A — tak otrzymana grupa składa się z n osób, a więc znowu wszyscy jej członkowie mają
jeden i ten sam kolor oczu. Zatem pani A ma ten sam kolor oczu co pozostali członkowie grupy, więc w wyjściowej, n + 1-osobowej
grupie wszyscy mają ten sam kolor oczu.
2
Na przykład formuła f (n) = n2 − n + 41 daje dla wszystkich liczb naturalnych n ¬ 40 liczbę pierwszą, ale dla n = 41 daje
liczbę złożoną, f (41) = 412 .
3
We własnych słowach Pascala brzmi to następująco: “Nie bacząc na to, że rozpatrywane twierdzenie zawiera nieskończoną liczbę
przypadków szczególnych, podam dla niego bardzo krótki dowód oparty na dwu lematach.” cyt. w: G. Polya, „Odkrycie matematyczne”, str. 100.
ALiGA — Wykład 1.
10
1.1.3
Definicje indukcyjne, rekurencje
Jedno z ważniejszych zastosowań zasady indukcji stanowią tak zwane definicje indukcyjne inaczej nazywane
definicjami rekurencyjnymi. Podamy kilka przykładów. Często w ten sposób wprowadza się funkcje określone
na zbiorze liczb naturalnych (ciągi), o wartościach będących liczbami, zbiorami lub funkcjami. Mówiąc dość
nieprecyzyjnie istotą tej metody jest wybranie jakiegoś obiektu (liczby, zbioru czy funkcji) lub pewnej niewielkiej ich liczby, powiedzmy l, i zadaniu odwzorowania zbioru Nl = {1, . . . , l} kolejnych początkowych liczb
naturalnych na ten wybrany zbiór elementów. Następnie zadaje się sposób (w istocie pewną funkcję), w jaki
od już określonych elementów z numerami 1, . . . , n dla n ­ l przechodzimy do elementu z numerem n + 1.
Z zasady indukcji wynika wówczas, że ta konstrukcja określa jednoznacznie funkcję zadaną na całym zbiorze
liczb naturalnych. W przypadku, gdy tę metodę stosuje się do funkcji zadanych na N i wartościach w zbiorze
liczb rzeczywistych lub zespolonych, mówi się o ciągu zadanym rekurencyjnie, a liczbę l nazywa się stopniem
rekurencji.
Przykład 1.1.4 Ciąg (an ) zadany wzorem rekurencyjnym
an = aan−1 + b,
n = 2, 3, . . .
gdzie a, b są danymi liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. W tym przypadku do wyznaczenia ciągu potrzebne jest jeszcze
określenie pierwszego wyrazu a1 . W przypadku a = 1 wzór opisuje tzw. postęp arytmetyczny o różnicy b, a w przypadku b = 0,
a 6= 0 ciąg (postęp) geometryczny o ilorazie a.
Przykład 1.1.5 Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg liczb rzeczywistych Fn określony następująco:
F0 = 0,
Fn = Fn−1 + Fn−2 ,
F1 = 1;
n = 2, 3, . . . .
Tu zadane są dwa pierwsze wyrazy (w zgodzie z tradycją numerujemy je poczynając od 0), a n-ty wyraz ciągu dla n > 1 jest
jednoznacznie określony przez dwa wyrazy bezpośrednio go poprzedzające. Mamy więc
F2 = F0 + F1 = 1,
F3 = F1 + F2 = 2,
F4 = F3 + F2 = 3,
F5 = F4 + F3 = 5,
...,
F12 = 144, . . .
Oczywiście, to wypisywanie kolejnych liczb Fibonacciego można przedłużać do woli, tworząc kolejny wyraz przez dodanie do siebie
dwóch poprzednich. W ogólności można by jako F0 , F1 obrać dowolne wartości, a wzór Fn = Fn−1 + Fn−2 pozwoliłby obliczyć Fn
dla każdej liczby naturalnej n. Jednakże takie postępowanie jest co najmniej niepraktyczne i trudno się spodziewać, aby z takiego
szeregu liczb można było wyprowadzić jakieś informacje o ciągu jako całości. W tym celu najwygodniej posłużyć się wzorem
wyrażającym n-ty wyraz ciągu w jawny sposób, bez konieczności dokonywania seryjnego obliczania wszystkich poprzedzających
wyrazów.
W celu znalezienia takiego wzoru zauważymy, że określając an = kn można spełnić równanie rekurencyjne xn = xn−1 +xn−2 dla
n > 1 przez wybór odpowiednej wartości k. Rzeczywiście, podstawiając tę postać do równania rekurencyjnego
łatwo√się przekonać,
√
1+ 5
1− 5
2
że wystarcza obrać k jako rozwiązanie równania kwadratowego k = k + 1. Jeśli oznaczymy λ =
,µ=
pierwiastki
2n
2
n
tego równania, to równanie xn = xn−1 + xn−2 będzie spełnione przez wyrazy każdego z ciągów λ i µ przy n > 1. Ponadto każda
kombinacja tych ciągów aλn + bµn z niezależnymi on n współczynnikami a, b też spełnia to równanie. Możemy więc spróbować
poszukać takich współczynników, aby ta kombinacja spełniała również warunki aλn + bµn = Fn dla n = 0, 1, które nazywamy
warunkami początkowymi równania rekurencyjnego. To daje równania
aλ0 + bµ0 = 0
aλ1 + bµ1 = 1,
z rozwiązaniami a = −b =
1
. Stąd już otrzymujemy jawny wzór, zwany wzorem Bineta, wyrażający n-tą liczbę Fibonacciego
λ−µ
√ n √ n 1
1+ 5
1− 5
Fn = √
−
.
2
2
5
Jako zastosowanie tej metody o bardziej teoretycznym charakterze można podać rekurencyjną definicję
potęgi o wykładniku naturalnym.
Definicja 1.4 (Potęga o wykładniku naturalnym) Niech x ∈ R będzie dowolne. Określamy
x0 : = 1,
= xn · x dla n > 0.
xn+1 :
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 22 października 2009 roku)
11
Algebra liniowa i geometria analityczna
Lista zadań nr 2
Tematyka: Wspólczynniki dwumianowe, dowody indukcyjne.
1. Niech S0 , S1 , S2 , S3 będą następującymi sumami złożonymi z n składników:
S0 = 1 + 1 + . . . + 1
S1 = 1 + 2 + . . . + n;
S2 = 12 + 22 + . . . + n2 ;
S3 = 13 + 23 + . . . + n3 .
Wykazać, że
S0 = n;
n(n + 1)
S1 =
;
2
n(n + 1)(2n + 1)
S2 =
;
6
n(n + 1) 2
.
S3 =
2
2. Korzystając z dwumianu Newtona
n
n
n
n 2
n n X
n j
(1 + x)n =
+
x+
x + ... +
x =
x,
0
1
2
n
j
i=0
!
wykazać równość
n
0
!
!2
!
!2
!
!2
n
+
1
n
+ ... +
n
!
!
2n
=
.
n
3. Dowieść metodą indukcji, że dla 0 ¬ x < 1 oraz n ∈ N
!
n 2
(1 − x)n ¬ 1 − nx +
x .
2
4. Wykazać następujące tożsamości dla współczynników dwumianowych Newtona:
a)
n
X
i=0
n
X
i
(−1)
n
i
!
n
c)
(−1) i
i
i=1
i
= 0;
!
n
X
!
n
b)
i
= n2n−1 ;
i
i=1
= 0 (n > 1);
d)
m
X
p
i=0
i
!
!
q
=
m−i
!
p+q
.
m
5. Wyznaczyć sumy:
a) 1 + 3 + 5 + . . . + 2n − 1;
b) 1 + 9 + 25 + . . . + (2n − 1)2 ;
c) 22 + 52 + 82 + . . . + (3n − 1)2 .
6. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 zachodzi nierówność
2n > 2n.
7. Funkcja f : N → R spełnia f (n + m) = f (m) + f (n) + a dla wszystkich m, n ∈ N i pewnego a ∈ R oraz
f (2) = 10 i f (20) = 118. Wyznaczyć f i a.
ALiGA — Wykład 1.
12
1.2
1.2.1
Liczby rzeczywiste — działania
Aksjomaty dodawania i mnożenia
Algebraiczna struktura zbioru liczb rzeczywistych jest scharakteryzowana przez następujące własności.
R jest zbiorem(4 ) z zadanymi odwzorowaniami, nazywanymi odpowiednio działaniami dodawania i mnożenia,
R × R ∋ (a, b) −→ a + b ∈ R,
R × R ∋ (a, b) −→ a · b ∈ R,
które spełniają następujące warunki.
Dodawanie
Mnożenie
Dla dowolnych elementów a, b, c ∈ R zachodzą równości:
A.
Łączność
a + (b + c) = (a + b) + c.
B.
a · (b · c) = (a · b) · c.
Przemienność
a + b = b + a.
C.
a · b = b · a.
Istnienie elementu neutralnego
Istnieje 0 ∈ R, taki że
dla każdego a ∈ R zachodzi
D.
0 + a = a.
Istnienie elementu przeciwnego
Dla każdego a ∈ R istnieje
a′ ∈ R, że
a + a′ = 0.
E.
Istnieje 1 ∈ R, taki że
1 6= 0 i dla każdego a ∈ R zachodzi
1 · a = a.
Dla każdego a ∈ R \ {0} istnieje
a′ ∈ R \ {0}, że
a · a′ = 1.
Rozdzielność
(a + b) · c = a · c + b · c.
Zazwyczaj używa się specjalnych oznaczeń dla elementów przeciwnych — element przeciwny do a względem
dodawania oznacza się jako −a, a element przeciwny do a 6= 0 względem mnożenia nazywa się odwrotnością a
i oznacza a−1 lub a1 .
Powyższe własności wprowadzają w zbiorze liczb rzeczywistych strukturę algebraiczną nazywaną ciałem.
Ogólnie w algebrze nazywa się ciałem dowolny zbiór wyposażony w dwa działania, nazywane odpowiednio
dodawaniem i mnożeniem, które mają własności A–E wymienione powyżej.
Powyższe własności są podstawą do zbudowania znanej ze szkoły arytmetyki liczb rzeczywistych obejmującej cztery działania — dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie. Te dwa ostatnie wprowadza się
następującymi wzorami:
a
a − b = a + (−b),
= a · b−1 , b 6= 0.
b
Zadanie 1.2.1 Wykazać, że z powyższych własności wynika równość
−a = (−1) · a.
Przykład 1.2.1 Chwila namysłu pozwala stwierdzić, że w zbiorze liczb wymiernych Q wyposażonym w znane ze szkolnej
arytmetyki działania dodawania i mnożenia własności A–E są spełnione. Jednakże te same działania rozpatrywane w mniejszym
niż Q zbiorze liczb całkowitych Z już nie spełniają tych wszystkich własności.
4
niepustym, co wynika z istnienia elementów wyróżnionych 0 i 1, zob. niżej,
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 22 października 2009 roku)
1.3
1.3.1
13
Liczby zespolone
Określenie ciała liczb zespolonych
Przyczyną, dla której rozszerza się ciało liczb rzeczywistych jest potrzeba uzupełnienia tego zbioru w taki
sposób, aby zagwarantować istnienie pierwiastków dla równań podobnych do x2 + 1 = 0, które w zbiorze liczb
rzeczywistych pierwiastków nie mają.
Definicja 1.5 (Ciało liczb zespolonych) W zbiorze R × R, którego elementami są pary uporządkowane
liczb rzeczywistych, wprowadzamy następujące działania:
Dodawanie:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);
(1.5)
Mnożenie:
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
(1.6)
Zbiór R×R wyposażony w powyższe działania będziemy nazywać ciałem liczb zespolonych i oznaczać symbolem
C.
Rozważając zbiór R′ = { (a, 0) | a ∈ R } złożony z par, w których 0 jest drugim elementem zauważamy, że
dla takich par wprowadzone wyżej działania sprowadzają się do zwykłych działań na liczbach rzeczywistych,
wykonywanych na pierwszym (niezerowym) elemencie pary.
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0),
oraz
(a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).
Możemy zatem utożsamić zbiór R′ ze zbiorem liczb rzeczywistych R, przy czym dokonane utożsamienie nie
wpływa na wynik działań dokonywanych na liczbach rzeczywistych. Mówiąc nieco dokładniej — przy utożsamieniu liczby rzeczywistej z parą o drugim elemencie równym zeru, a ≃ (a, 0), sumie liczb rzeczywistych a + b
odpowiada liczba (a + b, 0) będąca sumą (a, 0) + (b, 0) liczb odpowiadających a i b. Analogiczna zależność
zachodzi dla iloczynu liczb rzeczywistych ab w porównaniu z iloczynem par (a, 0) · (b, 0).
Twierdzenie 3 Działania w zbiorze R × R określone przez wzory (1.5) i (1.6) spełniają własności A–E z
paragrafu 1.2.
W szczególności elementem neutralnym względem dodawania jest para (0, 0), a elementem neutralnym względem mnożenia jest para (1, 0). W dalszym ciągu elementy te będziemy oznaczać 0 i 1.
Elementy przeciwne do elementu (a, b) są dane wzorami:
−(a, b) = (−a, −b),
element odwrotny względem dodawania,
(1.7)
oraz pod warunkiem (a, b) 6= (0, 0)
(a, b)−1 =
a
−b
,
,
a2 + b2 a2 + b2
element odwrotny względem mnożenia.
(1.8)
Ze wzoru (1.6) dla mnożenia liczb zespolonych wynika zależność
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0).
Zgodnie z wprowadzonym powyżej utożsamieniem liczb rzeczywistych a z parami postaci (a, 0) możemy prawą
stronę tej równości traktować jako liczbę rzeczywistą −1, a zatem liczba zespolona
i = (0, 1)
(1.9)
spełnia równanie
i2 = − 1.
(1.10)
ALiGA — Wykład 1.
14
Definicja 1.6 (Jednostka urojona) Liczbę zespoloną i określoną wzorem (1.9) nazywa się jednostką urojoną.
Korzystając w dalszym ciagu z własności A–E działań w ciele liczb zespolonych C oraz utożsamienia R ≃ R′
możemy zapisać
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi,
gdzie
a, b ∈ R.
W ten sposób uzyskujemy możliwość przedstawienia dowolnej liczby zespolonej (a, b) w przejrzystej i wygodnej
postaci
(a, b) = a + bi.
(1.11)
Wzory (1.5) i (1.6) możemy teraz zapisać w postaci
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
(1.12)
(a + bi) · (c + di) = ac − bd + (ad + bc)i.
(1.13)
Zapis liczb zespolonych w postaci sumy a + bi wraz z własnościami A–E działań w ciele C pozwala prowadzić
rachunki z użyciem liczb zespolonych w sposób formalnie identyczny jak w przypadku liczb rzeczywistych, pod
warunkiem uwzględnienia tożsamości i2 = −1.
Dla ilustracji wyprowadzimy wyrażenie dla ilorazu dwóch liczb zespolonych. Zauważmy najpierw, że na
podstawie wzoru (1.13) mamy
(c + di)(c − di) = c2 + d2 ,
przy czym
c2 + d2 6= 0 ⇐⇒ c + di 6= 0,
(1.14)
a zatem mnożąc licznik i mianownik przez liczbę (c − di) otrzymamy, stosując znowu (1.13)
a + bi
(a + bi)(c − di)
ac + bd + (cb − ad)i
=
=
c + di
(c + di)(c − di)
c2 + d2
czyli
a + bi
ac + bd cb − ad
= 2
+ 2
i.
c + di
c + d2
c + d2
(1.15)
Zauważmy podobieństwo zastosowanego wyżej sposobu eliminowania wielkości urojonej z mianownika do znanej
ze szkoły średniej metody „usuwania niewymierności z mianownika”.
1.3.2
Moduł i sprzężenie liczby zespolonej
Równością (1.14) wprowadziliśmy wyrażenie pełniące ważną rolę w arytmetyce liczb zespolonych. Formalna
definicja jest następująca.
Definicja 1.7 (Moduł liczby zespolonej) Modułem liczby zespolonej z = x + yi (inaczej wartością bezwzględną) nazywa się liczbę
q
|z| =
x2 + y 2 ,
przy czym po prawej stronie równości występuje nieujemna wartość pierwiastka.
W podanej definicji w istocie określiliśmy funkcję, która każdej liczbie zespolonej z ∈ C przyporządkowuje
nieujemną liczbę rzeczywistą |z| ∈ R. Najważniejsze własności tej funkcji zbierzemy w postaci następującego
twierdzenia.
Stwierdzenie 1 Dla dowolnych liczb zespolonych z, z1 , z2 zachodzą wzory
|z| ­ 0,
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
ponadto
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0;
a jeśli z2 6= 0, to także
|z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |.
Nierówność (1.18) nazywana jest powszechnie nierównością trójkąta.
z1 = |z1 | ;
z |z2 |
2
(1.16)
(1.17)
(1.18)
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 22 października 2009 roku)
15
Kolejny przykład dotyczy potęgowania liczb zespolonych.
1
2
√
3
. Mamy
2
2 √ 2
√ √ √
1
3
1
3
1
3
1 3
2
z = − +i
− +i
= −
−
− 2i
2
2
2
2
2
2
2 2
√
3
1
= − −i
2
2
Przykład 1.3.1 Obliczymy trzecią potęgę liczby zespolonej z = − + i
(1.19)
i dalej
z3 =
−
√ √ 2 √ 2
√
√ 1
3
1
3
1
3
1 3
1 3
−i
− +i
=
−
+i −
+
,
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
z3 =
−
√ 3
3
1
+i
= 1.
2
2
więc ostatecznie
(1.20)
Definicja 1.8 (Część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej) Częścią rzeczywistą liczby zespolonej z = x + yi nazywamy liczbę rzeczywistą x, a liczbę y — jej częścią urojoną. Stosuje się oznaczenia
x = Re z;
y = Im z,
dla z = x + yi.
Liczby zespolone o równych częściach rzeczywistych i przeciwnych częściach urojonych nazywamy liczbami
sprzężonymi.
Każda liczba zespolona ma tylko jedną liczbę sprzężoną. Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej z = x + yi
jest liczba
z = x − yi.
Tutaj znowu mamy do czynienia z odwzorowaniem x + yi = z 7→ z = x − yi zbioru liczb zespolonych C na
siebie. Będziemy je nazywać sprzężeniem (w ciele C).
Na przykład mamy
1 + 2i = 1 − 2i,
−3 − 7i = −3 + 7i.
Najważniejsze własności operacji sprzężenia liczb zespolonych podaje następujące twierdzenie.
Twierdzenie 4 (Własności sprzężenia liczb zespolonych) Odwzorowanie sprzężenia liczb zespolonych
C ∋ z = x + iy 7→ z = x − iy ∈ C
(1.21)
ma następujące własności:
(z) = z;
z1 + z2 = z1 + z2 ;
z1 · z2 = z1 · z2 ;
inwolutywność
(1.22)
addytywność
(1.23)
multyplikatywność
(1.24)
a jeśli z2 6= 0, to także
z1
z2
=
z1
.
z2
(1.25)
Ponadto, z ∈ C jest liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy z = z, natomiast z ∈ C jest liczbą czysto urojoną
wtedy i tylko wtedy, gdy z = −z.
Łatwo spostrzec, że prawdziwe są następujące zależności.
1
Re z = (z + z),
2
Im z =
1
(z − z),
2i
z · z = |z|2 .
ALiGA — Wykład 1.
16
1.3.3
Wzór dwumianowy Newtona
Własności A–E sprawiają, że znane w kontekście liczb rzeczywistych tożsamości algebraiczne, takie jak wzory
uproszczonego mnożenia czy wzór dwumianowy Newtona, są spełnione także w ciele liczb zespolonych.
Twierdzenie 5 (Wzór dwumianowy Newtona) Dla dowolnych w, z ∈ C i dowolnej liczby n ∈ N zachodzi
wzór
!
n
X
n j n−j
n
w z
.
(w + z) =
j
j=0
W szczególności dla n = 2 i n = 3 otrzymujemy znane „szkolne” wzory
(w + z)2 = w2 + 2wz + z 2 ;
(w + z)3 = w3 + 3w2 z + 3wz 2 + z 3 .
Mamy także
Wniosek 1 (Wzory uproszczonego mnożenia) Dla dowolnych w, z ∈ C zachodza wzory
w2 − z 2 = (w + z)(w − z);
w3 − z 3 = (w − z)(w2 + wz + z 2 );
w3 + z 3 = (w + z)(w2 − wz + z 2 ).