Word Pro

Problem decyzyjny
Liniowy model decyzyjny to taki model decyzyjny w którym funkcja celu i
warunki ograniczające są liniowe
y cel
y różne sposoby działania (decyzje)
Przykładowe zagadnienia PL
y warunki ograniczające (determinują zbiór decyzji dopuszczalnych)
y Ustalanie asortymentu produkcji (koszty - min, zysk - max)
y kryterium wyboru: umożliwia porównanie efektywności różnych decyzji
dopuszczalnych z punktu widzenia celu i wybór najlepszej z nich (decyzja
optymalna)
y Zagadnienie diety (koszty - min)
Rozwiązanie problemu decyzyjnego polega na wskazaniu w zbiorze decyzji
dopuszczalnych decyzji optymalnej.
Model decyzyjny to problem decyzyjny przedsatwiony w postaci modelu
matematycznego
y Zagadnienie rozkroju (odpady - min)
y Alokacja zasobów (koszty, czas łączny, czas maksymalny - min, zysk max)
Posatać matemetyczna modelu liniowego
funkcja celu
max(min)f(x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ¢ + c n x n
warunki ograniczające
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ¢ + a 1n x n ´ b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ¢ + a 2n x n ´ b 2
£££££££££££££
a k1 x 1 + a k2 x 2 + ¢ + a kn x n ´ b k
warunki brzegowe:
x1 ú 0 x2 ú 0 £ xn ú 0
y zmienne - zmienne decyzyjne,
y parametry - parametry funkcji celu i parametry warunków ograniczających
Model decyzyjny:
f(x, )
funkcja kryterium (funkcja celu)
V(x, ) = 0 układ warunków ograniczających
.
gdzie:
gdzie:
f
funkcja celu
x
wektor zmiennych decyzyjnych
zbiór parametrów funkcji celu
V
wektorowa funkcja warunków ograniczających
zbiór parametrów warunków ograniczających
Rozwiązanie optymalne to wektor wartości zmiennych decyzyjnych będących
rozwiązaniem modelu decyzyjnego
1
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
x
zmienne decyzyjne
n
liczba zmiennych decyzyjnych
c
współczynniki funkcji celu
a
współczynniki przy zmienych decyzyjnych w warunkach
ograniczających
k
liczba warunków ograniczających
b
wyrazy wolne warunków ograniczających
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
2
Oznaczmy
x1
x
x= 2
£
xn
b1
b2
b=
£
bk
c1
c
c= 2
£
cn
a 11
a 21
A=
§
a k1
£
£
•
£
a 12
a 22
§
a k2
a 1n
a 2n
§
a kn
Postać standardowa modelu PL w zapisie macierzowym
max f(x ) = c x
min f(x ) = c x
Ax ñ b
Ax ú b
xú0
xú0
T
T
Liczba zmiennych postaci kanonicznej (n + k ) > k (liczba ograniczeń)
Układ k warunków z (n + k ) zmiennymi można rozwiązać przyjmując, że k
zmiennych przyjmuje wartości różne od 0, a pozostałych n zmiennych
wartości równe 0.
Zmienne bazowe - tworzą rozwiązanie (zmienne ! 0)
B - zbiór wszystkich wskaźników wektorów bazy
Baza - macierz złożona z kolumn współczynników ograniczeń przy zmiennych
bazowych (B)
Zmienne niebazowe - w rozwiązaniu z założenia = 0
Postać kanoniczna modelu PL
gdzie s =
Rozwiązanie zdegenerowane - jeśli jedna lub więcej zmiennych bazowych = 0
max f(x ) = c T x + 0s
min f(x ) = c T x + 0s
Ax + Is = b
Ax − Is = b
xú0 sú0
xú0 sú0
s1
s2
£
sk
wektor zmiennych swobodnych - nadwyżki
y zasobów (w ograniczeniach typu ñ)
y w stosunku do niezbędnego minimum
(w ograniczeniach typu ú)
Zbiór (obszar) rozwiązań dopuszczalnych (ORD) jest zbiorem wypukłym tzn.
wszystkie punkty odcinka łączącego dowolne dwa punkty ORD należą ORD.
Rozwiązywanie modeli PL
Rozwiązywanie zadania PL - porównywanie wartości funkcji celu w punktach
wierzchołkowych
Punkty wierzchołkowe - rozwiązania układu równań utworzonego z warunków
postaci kanonicznej dla różnych kombinacji zmiennych bazowych
Spsoby rozwiązywania
y metoda graficzna
y metody analityczne
ORD ma skończoną liczbę wierzchołków
‚ algorytm simpleks
Twierdzenie Weierstrassa
‚ algorytm transportowy
Forma liniowa f(x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ¢ + c n x n określona na domkniętym
zbiorze wypukłym o skończonej liczbie wierzchołków osiąga swą wartość
największą (najmniejszą) na brzegu tego zbioru.
Wniosek
Rozwiązania optymalnego zadania PL należy szukać jedynie wśród rozwiązań
dopuszczalnych będących wierzchołkami ORD.
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
3
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
4
Przykład
Zyski jednostkowy, jednostkowe nakłady środków produkcji
i zasoby środków produkcji niezbędnych do produkcji wyrobów A i B
Środki
produkcji
Jednostka
miary
Nakłady środków produkcji na
Zasoby
jednostkę
środków
produkt A (x 1 ) produkt B (x 2 ) produkcji
Maszyny
rh
2
4
800
Praca
rh
0,5
0,5
200
Surowiec
kg
6
3
1 500
4
6
Zysk jednostkowy ($/szt.)
surowiec x2
5
praca
4
3
maszyny
Model maksymalizacji zysków z produkcji wyrobów A i B
4x 1 + 6x 2
funkcja celu
t max
2x 1 + 4x 2 ñ 800
0, 5x 1 + 0, 5x 2 ñ 200
6x 1 + 3x 2 ñ 1500
warunki ograniczające
B
2
1
(maszyny )
(praca )
(surowce )
ω
D
x1 ú 0 x2 ú 0
warunki brzegowe
C
A
1
2
3
4
S
X 1 - wielkość produkcji wyrobu A (w sztukach)
X 2 - wielkość produkcji wyrobu B (w sztukach)
4x 1 + 6x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3
warunki ograniczające
4x 2 + s 1
0, 5x 1 + 0, 5x 2
6x 1 +
+ s2
=0
u
f (x
B)
= 1200
= 800
C(200, 100 ) u
f( x
C)
= 1400
= 200
D(250, 0 )
f(x D ) = 1000
t max
+ s 3 = 1500
3x 2
B(0, 200 )
u
u
5
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
Wykorzystanie czynników
y maszyny
2 $ 200 + 4 $ 100 = 800
y praca 0, 5 $ 200 + 0, 5 $ 100 = 150
y surowiec 6 $ 200 + 3 $ 100 = 1500
6
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
III. Kryterium
optymalności
Algorytm simpleks
Typ funkcji celu
I. Zagwarantować, aby
max f(x )
min f(x )
. j = zj − cj m 0
. j = zj − cj [ 0
lub
. j = cj − zj [ 0
lub
. j = cj − zj m 0
j
bú0
j
j
II.
Budowa postaci kanonicznej
A.
Zmodyfikować warunki ograniczające (postępowanie nie zależy od typu
funkcji celu):
1.dodać zmienne swobodne do ograniczeń typu " ñ"
j
gdzie z j = c i a ij
icB
IV.
Kryterium WEJŚCIA przy wektorze wchodzącym x p
2.dodać zminne sztuczne do ograniczeń typu " ="
Typ funkcji celu
max f(x )
3.odjąć zmienną swobodną i dodać zminną sztuczną do ograniczeń typu " ú"
p : p =max ( j )
lub
p : p =max ( j )
lub
p : p =min ( j )
j <0
Typ funkcji celu
współczynniki funkcji celu przy zmiennych swobodnych
V.
Typ funkcji celu - nie zależy
max f(x )
min f(x )
współczynniki funkcji celu przy zmiennych sztucznych
cj = M
r:
gdzie M p 0
Jako wyjściową przyjąć bazę złożoną z wektorów współczynników stojących
przy:
y zmiennych swobodnych dołączonych do warunków typu " ñ"
y zmiennych sztucznych dołączonych do warunków typu " =" i "ú" .
j <0
Kryterium WYJŚCIA przy wektorze wychodzącym x r
cj = 0
c j = −M
j >0
j >0
min f(x )
min(x )
p : p =min ( j )
Zmodyfikować funkcję celu
max f(x )
C.
opt
x1 ú 0 x2 ú 0 s1 ú 0 s2 ú 0 s3 ú 0
warunki brzegowe
B.
opt
x 1 = 200 x 2 = 100
f( x
A(0, 0 )
2x 1 +
x1
M
Rozwiązanie optymalne:
A)
Postać kanoniczna
funkcja celu
5
P
br
a rp
=min
a ip >0
bi
a ip
Typy rozwiazań:
Nieograniczone - rozwiązanie nie jest optymalne i można wprowadzić
zmienną do bazy, ale nie można żadnego wyrzucić
Niejednoznaczne - w rozwiązaniu optymalnym liczba wskaźników
optymalności j = 0 jest większa od k (liczby ograniczeń)
Sprzeczne - rozwiązanie optymalne zawiera zmienną sztuczną przyjmącą
wartość ! 0 nierówną 0
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
7
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
8
Rozwiazanie przykładu algorytmem simpleks
Baza cB
x1
x2
s1
s2
s3
4
6
0
0
0
Model dualny
bi
bi
a ik
Model prymalny (MP)
max f(x ) = c T x
Model dualny (MD)
min g(y ) = b T y
ATy ú c
Ax ñ b
s1
0
2
4
1
0
0
800
200
s2
0
1/2
1/2
0
1
0
200
400
xú0
yú0
500
min f(x ) = c T x
max g(y ) = b T y
s3
0
∆j = zj-cj
6
3
0
0
1
1500
-4
-6
0
0
0
0
x2
6
1/2
1
1/4
0
0
200
400
s2
0
1/4
0
-1/8
1
0
100
400
s3
0
9/2
0
-3/4
0
1
900
200
-1
0
3/2
0
0
1200
1/3
0
-1/9
100
∆j = zj-cj
x2
6
0
1
s2
0
0
0 -1/12
1 -1/18
x1
4
1
0
-1/6
0
2/9
200
0
0
4/3
0
2/9
1400
∆j = zj-cj
0
0
= 1, 33
0
0, 22
x1
xD
x2
x opt = − − = s 1
s2
xS
s3
f(x ) = 1400 ($ )
B
x
x opt = − −
xN
Oznacznia:
x D −decyzyjne
x S − swobodne
1
1
3 0 9
1
1
1 − 18
= B −1 b = − 12
1
2
−6 0 9
B
x B − bazowe
x N − niebazowe
−1
2. Współczynniki funkcji celu c MP stają się wyrazami wolnymi warunków
ograniczających MD
50
3. Wyrazy wolne b warunków ograniczających MP stają się współczynnikami
funkcji celu MD
4. Macierz współczynników MD jest transponowaną macierzą A
współczynników MP
5. Ograniczenia i zmienne w MP i MD
MP (max)
i-te ograniczenie typu
ñ
ú
=
zmienna
xj ú 0
xj ñ 0
xj c R
800
100
200 = 50
1500
200
−1
4 0 2
= 0, 5 1 0, 5
3 0 6
1
3
1
− 12
− 16
=
0 19
1
1 − 18
0 29
9
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
0
50
= 0
200
100
800y 1 + 200y 2 + 1500y 3
warunki ograniczające
t min
2y 1 + 0, 5y 2 + 6y 3 ú 4
4y 1 + 0, 5y 2 + 3y 3 ú 6
e
e
e
10
4/3
0
= 2/9
0
0
f(y ) = 1400 ($ )
Związki rozwiązań optymalnych MP i MD
y1 ú 0 y2 ú 0
warunki brzegowe
y1
y2
y opt = y 3
s1
s2
MD (min)
zmienna
yi ú 0
yi ñ 0
yi c R
j-te ograniczenie typu
ú
ñ
=
e
e
e
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
Zadanie dualne
funkcja celu
yú0
1. Maksymalizacji wartości funkcji celu w MP odpowiada minimalizacja w
MD
s 2 = 50 - nadwyżka zasobów pracy w wysokości 50 rh.
x2
xB = s2
x1
ATy ñ c
xú0
Zasady konstrukcji modeli dualnych
produkt A szt.
produkt B szt.
maszyny rh.
rh.
praca
surowiec kg.
200
100
= 0
50
0
Ax ú b
f(x opt ) = g(y opt )
opt - superskrypt oznaczajacy rozwiązanie optymalne
Zadanie dualne w postaci kanonicznej
funkcja celu
800y 1 + 200y 2 + 1500y 3 + 0s 1 + 0s 2 +Mt 1 +Mt 2 t min
warunki
ograniczające
2y 1 + 0, 5y 2 + 6y 3 − s 1
+ t1
=4
4y 1 + 0, 5y 2 + 3y 3
− s2
+ t2 = 6
warunki
brzegowe
y1 ú 0 y2 ú 0 y3 ú 0 s1 ú 0 s2 ú 0 t1 ú 0 t2 ú 0
Baza cB
t1
t2
M
M
∆j = zj-cj
y3 1500
t2
M
∆j = zj-cj
y3
y1
1500
800
y1
800
y2
y3
200 1500
2
4
6M800
1/3
3
3M
-300
0
1
1/2
6
-1
0
1
0
1/2
3
0
-1
0
1
M- 9M-M
-M
0
0
200 1500
1/12
1
-1/6
0
1/6
0
1/4
0
1/2
-1
-1/2
1
M/4
M/2
-3M/2
0
-M
0
-75
-250
+ 250
1/18
1
-2/9 1/9 2/9 -1/9
1/12
0
1/6 -1/3 -1/6 1/3
-M
-M
-50
0
-200 -100
+200 +100
∆j = zj-cj
B −1
d =
62
34
0
−1
=
2
9
− 16
− 19
1
3
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
s1
0
opt
s2
0
y B = B −1
d b=
11
t1
M
2
9
− 16
− 19
1
3
t2
M
4
=
6
B - macierz utworzona ze współczynników przy zmiennych
(y D ) T
bazowych rozwiązania optymalnego MP, występujących
w warunkach ograniczających postaci kanonicznej MP
y D - zmienne decyzyjne w rozwiązaniau optymalnym MD
c B - współczynniki funkcji celu zmiennych bazowych MP
bi
bi
a ik
4
6
2/3
2
Np. (y D ) T = 6 0 4
x B = B −1 b
y B = B −1
d bd
10M
2/3
4
4M+
1000
2/9
4/3
= (c B ) T B−1
2
4/3
4 0 2
0, 5 1 0, 5
3 0 6
−1
= 6 0 4
(y D ) T = (c B ) T B −1 = ( s ) T
s T
(x D ) T = (c Bd ) T B −1
d = ( d )
1/3 0 −1/9
−1/12 1 −1/18
−1/6 0 2/9
4/3
= 0
2/9
gdzie
x D − zmienne decyzyjne MP
y D − zmienne decyzyjne MD
MP - rozwiązanie sprzeczne
MP - rozwiązanie nieograniczone
p
p
MD - rozwiązanie sprzeczne
MD - ??? (nieograniczone lub
sprzeczne)
1400
2
9
4
3
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
12
T
Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego
Zadanie prymalne
Przedziały dla współczynników funkcji celu: c1 i c2 (z j − c j © 0)
Wartości
bezwzględne
wskaźników
optymalności
Optymalne
wartości
zmiennych
Zmienne
z3 − c3 = 6 0 c1
x1
200
0
s1
x2
100
0
s2
s1
0
4/3
y1
s2
50
0
y2
0
2/9
y3
decyzyjne
swobodne
swobodne
s3
Wartości
bezwzględne
wskaźników
optymalności
Optymalne
wartości
zmiennych
Zmienne
Dla oryginalnych ograniczeń:
2
9
− 16
( sd ) T = (x D ) T = (c Bd ) T B −1
d = 1500 800
− 19
1
3
= 1500 801
1
3
200 −
=
100 +
1
6
1
3
f(x 1 ) = 1400 − 4/6 + 6/3 =
T
= f(x opt ) + 4/3
13
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
i=1
tzn. c 1 c …3, 12 .
c1 ú 3
1/3
−1/2 ...
−1/6
Podobnie wyznaczamy przedział dla c2: c 2 0 4
1/3 0 −1/9
−1/12 1 −1/18
−1/6 0 2/9
b1
200 ú 0
1500
tzn. b 1 c …500, 1400 .
1
3 b1
1
− 12 b 1
− 16 b 1
− 19 $ 1500 ú 0
1
+ 200 − 18
$ 1500 ú 0
+ 29 $ 1500 ú 0
b 1 ú 500
b 1 ñ 1400
b 1 ñ 2000
Podobnie wyznaczamy przedziały dla b 2 i b3.
Współczynni
k
Dolne
ograniczenie
Wartość w
modelu
Górne
ograniczenie
C1
3
4
12
C2
2
6
8
Przedziały optymalności dla składowych wektora wyrazów wolnych
= 200 100
Wzrost zasobów czasu pracy maszyn o 1 rh:
− 19
− 69 − 29 c 1 ú 0
gdzie
c 1 ñ 12 z 3 = 3 c i a i3
Przedziały optymalności dla współczynników funkcji celu
Interpretacja wskaźników optymalności:
o ile zmieni się wartość funkcji celu jeśli ograniczenie zmieni się o jedną
jednostkę, np. wzrost limitu czasu pracy maszyn o 1 rh spowoduje zmianę
rozwiązania optymalnego i wzrost wartości funkcji celu o
1.33 dolara
2
9
− 16
−1/9
−1/18 − 0 ú 0
2/9
− 16 c 1 ú 0
Przedziały dla wyrazów wolnych ograniczeń: b1 i b2 i b3 (x B = B −1 b ú 0)
Zadanie dualne
(x D1 ) T
6
3
i
z5 − c5 = 6 0 c1
decyzyjne
1/3
−1/12 − 0 ú 0
−1/6
Współczynni
k
Dolne
ograniczenie
Wartość w
modelu
Górne
ograniczenie
b1
500
800
1 400
b2
150
200
∞
b3
600
1 500
2 400
14
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
Zagadnienie przesyłu i alokacji (zagadnienie transportowe)
Własności zagadnień transportowych
y m + n równań
Dane do zagadnienia
transportowego
Klasyczne zagadnienie
transportowe
Opracować plan przewozów tak aby
y możliwości dostawców
y zaspokoić zapotrzebowanie
odbiorców
y zapotrzebowanie odbiorców
y macierz jednostkowych kosztów
przewozu od każdego dostawcy do
każdego odbiorcy
y m $ n zmiennych
y Każda ze zmiennych x ij występuje w ograniczeniach dwukrotnie
y Współczynniki przy zmiennych decyzyjnych w warunkach ograniczających
(współczynniki macierzy A) równe 0 lub 1.
funkcja celu
min f(x ) = c ij x ij
y Rozwiązanie składa się z co najwyżej
Rozwiązanie niezdegenerowane
m + n − 1 dodatnich zmiennych x ij
zawiera m + n − 1 dodatnich
y Zawsze istnieje przynajmniej jedno
zmiennych x ij
bazowe rozwiząnie dopuszczalne
Rozwiązanie zdegenerowane - jeśli
y Zawsze posiada rozwiązanie
ich liczba jest mniejsza od m + n − 1
optymalne
ograniczenia dostawców
j x ij = a i (i = 1, 2, ¢m )
Typy zagadnień transportowych
popyt odbiorców
i x ij = bj (j = 1, 2, ¢n)
y zamknięte (zbilansowane)
x ij ú 0 (i = 1, ¢, m, j = 1, 2, ¢n )
y otwarte
y zminimalizować koszty
przewozów
Model zagadnienia transportowego
warunki brzegowe
i j
Zadanie zamknięte (zbilansowane)
a i = b j
i
gdzie
m
liczba punktów nadania (dostawców)
n
liczba punktów odbioru (odbiorców)
ai
ilości ładunku u dostawców (i = 1¢m )
bj
zapotrzebowanie odbiorców (j = 1¢n )
c ij
jednostkowe koszty przewozu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy
(i = 1¢m, j = 1¢n )
x ij
wielkość ładunku do przewiezienia od od i-tego dostawcy do j-tego
odbiorcy (i = 1¢m, j = 1¢n )
Macierz c ij może zawierać
y koszty przewozu
y długość trasy
y zysk jednostkowy
y czas przewozu
Tablica przewozów - tabela zawierajaca plan przewozów)
Węzeł (trasa) - element tablicy przewozów
Model dualny zagadnienia transportowego
max a i u i + b j v j
i
u i + v j ñ c ij
j
(i = 1, 2, ¢m ), (j = 1, 2, ¢n )
ui c R vj c R
Wskaźniki optymalności w zagadnieniu transportowym ij = u i + v j − c ij
Liczba zmiennych bazowych ij = 0 wynosi m + n − 1
Liczba nieznanych wartości u i oraz v j wynosi m + n
Linia - wiersz lub kolumna tablicy przewozów
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
15
j
Zadanie otwarte
(niezbilansowane)
a > b lub a < b
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
16
Algorytm transportowy
IV.Kryterium WYJŚCIA z bazy
A. Wyznaczenie cyklu
I. Wyznaczenie wstępneg planu przewozów
Metody
y kąta płónocno - zachodniego (KPZ)
y minimum w wierszu
y minimum w kolumnie
Metoda KPZ
1. Maksymalny przepływ na
trasie (1, 1 ) : x 11 = min(a 1 , b 1 )
2. Korekta podaży a 1 = a 1 − x 11 i
popytu b 1 = b 1 − x 11
y minimum w macierzy kosztów
jednostkowych
3. Wybór następnej trasy
Wskazać węzły cyklu zawierającego trasę
wchodzącą do bazy i oznaczyć elementy
cyklu znakami “+” lub “-” (element
wchdzący znakiem “+”)
+ - zbiór tras oznaczonych znakiem “+”
− - zbiór tras oznaczonych znakiem “-”
B. Wyznaczenie maksymalnego przewozu na trasach cyklu
=min
x ij
−
y metoda przydziałów
‚ r = r + 1, s = s + 1 jeżeli
a r = 0, b s = 0
y metoda potencjałów
‚ r = r + 1 jeżeli a r = 0, b s > 0
4. Maksymalny przepływ na
trasie (rs ) : x rs = min(a r , b s )
Wskaźniki optymalności
ij = u i + v j − c ij
lub
ij = c ij − u i + v j
Z bazy wypadnie trasa (r, s), dla której x rs = ‚ s = s + 1 jeżeli a r > 0, b s = 0
II. Kryterium optymalności
Cykl - taki zbiór węzłów, że
w każdej linii tego zbioru
znajdują 2 węzły lub nie ma
żadnego węzła tego zbioru
V. Wyznaczenie nowego planu przewozów x ∏ij
x ∏ij = x ij + dla (i,j)c +
Degeneracja w trakcie rozwiazywania
- jako zmienną bazową przyjmuje się
tę, która wypadła z cyklu
x ∏ij = x ij + dla (i,j)c −
x ∏ij = x ij dla (i,j)" − oraz (i,j)" +
5. Jeżeli r = m oraz s = n to
KONIEC postępowania
6. Korekta podaży a r = a r − x rs i
popytub s = b s − x rs
Ocena optymalności jak w
algorytmie simpleks
7. Powrót do kroku 3
III.Kryterium WEJŚCIA do bazy
kl =min ij
(i = 1, 2, ..., m ) (j = 1, 2, ..., n )
ij <0
17
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
Postępowanie w przypadku niezbilansowania
i ai < j bj
podaż > popyt
Fikcyjny dostawca m + 1.
y
i ai > j b j
Jednostkowe
koszty
transportu
Fikcyjny odbiorca n + 1.
. c m+1j = 0
y
j
. cin+1 = 0
i
y b n+1 = a i − b j
y a m+1 = bj − a i
j
Macierz jednostkowych kosztów przewozu,
ilość towaru u dostawców oraz
zapotrzebowanie odbiorców
Numer
dostawcy
podaż < popyt
i
i
j
Postępowanie w przypadku ograniczenia przepustowości trasy
c ij =
Przyjąć c kl = M (M >> 0 )
y Częściowa blokada trasy: ograniczenie na trasie (k, l ) wynosi x max
kl
max
2. Popyt: b l ∏ = (b k − x max
kl ) i b l ∏∏ = x kl
3. Współczynniki: cil ∏
dla i = 1, ¢, m
= cil i cil ∏∏ = cil
Analogiczną procedurę
postępowania można również
rozpocząć od zastąpienia r-tego
wiersza
4. Zablokować trasę (k, l ∏ ), tj. przyjmjąc ckl ∏
374
496
5. Rozwiązać zmodyfikowany model
6. Optymalny plan przewozów do l-tego odbiorcy:
x il = x il ∏ + x il ∏∏ (i = 1, ¢, m )
3
1
3
7
4
100
2
0
9
6
200
80
150
70
300
[a i ] =
100
200
19
80
b j = 150
70
Model
3x 11 + 7x 12 + 4x 13 + 4x 21 + 9x 22 + 6x 23
x 11 +
x 12 +
x 13
x 21 + x 22 + x 23
x 21
x 22
x 23
t min
= 100
= 200
= 80
= 150
= 70
u1
u2
v1
v2
v3
x ij ú 0 (i = 1, 2 j = 1, 2, 3 )
1
0
Macierz współczynników A = 1
0
0
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
Podaż
2
i a i =j b j - zadanie zbilansowane
x 11 + x 12 + x 13
= M (M >> 0)
Numer odbiorcy
1
Popyt
y Całkowita blokada trasy (k, l )
1. Zastąpić l-tą kolumnę (odbiorcę)
dwiema kolumnami l ∏ i l ∏∏
18
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
20
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
zmienne dualne
Model dualny
100u 1 + 200u 2 + 80v 1 + 150v 2 + 70v 3
u1 + v1 ñ 3
u1 + v2 ñ 7
u1 + v3 ñ 4
u2 + v1 ñ 4
u2 + v2 ñ 9
u2 + v3 ñ 6
+
80
+
20
-
130
150
200
70
300
Optymalna wartość funkcji celu:
= 4 $ 80 + 7 $ 100 + 9 $ 50 + 6 $ 70 = 1890
i j c ij x opt
ij
u i c R (i = 1, 2 )
v j c R (j = 1, 2, 3 )
= min − 100, 70 = 70
30
Tabela wskaźnikowa
100
70
t max
∏
Tabela przewozowa
80
3
7
5
1
3
4
9
6
7
4
∏∏
x opt =
2
u
v
80
80
50
150
+
+
70
70
-
2
100
-1
200
4
300
2
120
80
150
70
9
7
-1
21
4
0
0
200
4
9
6
300
2
7
4
2
u
v
∏∏
= 4 $ 80 + 7 $ 30 + 9 $ 120 + 4 $ 70 = 1890
i j c ij x opt
ij
∏∏
0 100 0
0 30 70
+ (1 − )
80 50 70
80 120 0
gdzie 0 ñ ñ 1
4
0
6
4
Na przykład
0
= 0, 5
opt
x =0,5 = 0, 5
2
u
0 100 0
0 30 70
0 65 35
+ (1 − 0, 5 )
=
80 50 70
80 120 0
80 85 35
i j c ij x opt
=0,5 = 4 $ 80 + 7 $ 65 + 9 $ 85 + 4 $ 35 + 6 $ 35 = 1890
v
Rozwiązanie jest niejednoznaczne bo liczba wskaźników optymalności
równych 0 wynosi (4+1) > (2+3-1)
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
7
0 30 70
80 120 0
∏
7
2
100
x opt = x opt + (1 − )x opt = Kryterium optymalności: u i + v j − c ij ñ 0
-
80
70
0
0
= min − 80, 130 = 80
100
0 100 0
80 50 70
∏
Rozwiązanie optymalne x opt =
Mariusz Plich, Konspekty wykładów z Ekonometrii
22