DWRP-6 Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej oraz

DWRP-6 Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej oraz funkcji zmiennej losowej.
1. Poradnik gracza rekomenduje następującą „wygrywającą strategię” w grze w ruletkę: Postaw 1zł
), to zatrzymaj 1zł i przerwij grę. Jeśli
na czerwone. Jeśli wypadnie pole czerwone ( z prawd. 18
38
przegrasz, to postaw jeszcze raz 1zł na czerwone w każdej z dwóch kolejnych gier (obrotów koła),
a następnie przerwij grę. Niech X oznacza wygraną gracza w momencie przerwania gry.
a) Oblicz P {X > 0}.
b) Czy uważasz, że proponowana strategia jest rzeczywiście wygrywająca? Wyjaśnij odpowiedź.
c) Oblicz E[X].
2. Wylosowano liczbę z zakresu od 1 do 10. Twoim zadaniem jest odgadnięcie wylosowanej liczby
na podstawie pytań „tak, nie.” Oblicz wartość oczekiwaną liczby pytań, które musisz zadać w
dwóch przypadkach:
a) Twoje i-te pytanie brzmi: Czy to jest i? i = 1, 2, . . . , 10?
b) W każdym pytaniu starasz się najbardziej jak to możliwe wyeliminować połowę pozostałych
liczb.
3. Wykorzystując znajomość wartości oczekiwanej zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym,
oblicz wartość oczekiwaną łącznej wygranej w grze, w której jest n etapów, w każdym prawdopodobieństwo wygranej wynosi p oraz
a) za wejście do gry płacimy 100zł, a za każdą wygraną dostajemy 100zł.
b) za każdą wygraną dostajemy 2zł, a za przegraną płacimy 3zł.
4. Wiedząc, że E[X] = 1 i Var[X] = 5, oblicz E[(2 + X)2 ] oraz Var[4 + 3X].
5. Przypuśćmy, że P (X = 0) = 1 − P (X = 1). Wiedząc, że E[X] = 3Var[X], oblicz P (X = 0).
6. Niech X oznacza liczbę reszek wyrzuconych przy n-krotnym rzucie monetą. Podaj rozkład
zmiennej losowej Y = (−1)X . Oblicz E[Y ].
1