Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii
Fizyka I (B+C)
Wykład XIV:
• Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna
• Energia kinetyczna i zasada zachowania energii
• Zderzenia elastyczne
Praca i energia
P
dr
Fn
Q
F
Ft
Praca
~ działa na punkt materialny P
Siła F
Praca jaka˛ wykonuje siła przy przesunieciu
˛
P o d~
r
~ · d~
dW = F
r = F cos θds = Ft ds
Siły prostopadłe do przesuniecia
˛
nie wykonuja˛ pracy!
siła Lorenza, siła Coriolisa, siły reakcji wiezów...
˛
~ (~
r ) na drodze miedzy
Praca siły F
˛
AiB
WAB =
ZB
~ (~
F
r ) · d~
r
A
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
1
Praca i energia
Praca
W ogólnym przypadku praca WAB jaka˛ wykonujemy
podczas ruchu punktu z A do B może zależeć od:
• przebytej drogi l
np. praca sił tarcia bedzie
˛
proporcjonalna do l
• toru ruchu
np. jeśli siły oporu zależa˛ od wyboru toru
• predkości
˛
siły oporu w ośrodku zależa˛ od predkości
˛
• czasu
jeśli działajace
˛ siły zależa˛ od czasu
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
2
Praca i energia
Energia potencjalna
~ (~
r ) jest zachowawcza (konserwatywna), jeśli praca przez nia˛ wykonana
Siła F
zależy tylko od położenia punktów poczatkowego
˛
(A) i końcowego (B)
⇒ można ja˛ wyrazić przez zmiane˛ energii potencjalnej
ZB
WAB =
~ (~
F
r ) · d~
r = Ep(~
rA ) − Ep(~
rB ) = −∆Ep
A
Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od predkości.
˛
Jeśli droga jest zamknieta
˛ to praca jest równa zeru
ZA
A
~ (~
F
r ) · d~
r =
I
~ (~
F
r )d~
r = 0
Wykład XIV
A.F.Żarnecki
~
F
3
Praca i energia
Przykład:
~ = m ~g = m (0, −g, 0)
Ruch w jednorodnym polu grawitacyjnym. Siła cieżko
˛
ści F
ZB
~ (~
~
F
r ) · d~
r = F
A
ZB
~ (~
d~
r = F
rB − ~
rA) = −m ~g (~
rA − ~
rB ) = m g (yA − yB )
A
⇒ energia potencjalna dla jednorodnego pola grawitacyjnego
Ep(~
r ) = −m ~g ~
r = mgy
Siłami zachowawczymi sa˛ też wszystkie siły centralne, zależne tylko od odległo ści
~ = F (r) · ~ir
siła kulombowska, siła grawitacyjna, siły spreżysto
˛
ści...
F
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
4
Praca i energia
Gradient
Gradient wskazuje kierunek w którym
najwieksza
˛
zmiana wartości
nastepuje
˛
funkcji skalarnej f (x, y, z).
Wartość gradientu odpowiada wartości
pochodnej funkcji f (x, y, z) wzdłuż tego
kierunku.
f
!
#
"
Wykład XIV
~
n
∂f
~
~
∇f = in
∂n
A.F.Żarnecki
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
∂f
∂f
∂f
~
grad f = ∇f
= ~ix
=
+ ~iy
+ ~iz
∂x
∂y
∂z
~ = ~ix ∂ + ~iy ∂ + ~iz ∂
⇒ ∇
∂x
∂y
∂z
!
5
Praca i energia
Siła a energia potencjalna
Praca wykonana przy infintezymalnym przesunieciu
˛
d~
r = (dx, dy, dz)
~ (~
dW = F
r ) · d~
r = − dEp
(
)
0
/
)
.-,
)
2'
(
&
&
*
(
')
('
&
$%
1
1
+
⇒
= −
∂Ep
∂Ep
∂Ep
dx −
dy −
dz
∂x
∂y
∂z
Otrzymujemy:
~ = −∇E
~ p
F
Znajomość potencjału siły zachowawczej jest rownoważna znajomości samej siły.
Energia potencjalna jest określona z dokładnościa˛ do stałej, istotne sa˛ tylko jej zmiany.
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
6
Praca i energia
Energia kinetyczna
~ przy przesunieciu
Praca jaka˛ wykonuje siła F
˛
P o ds
dv
dW = Ft ds = m at ds = m
ds
dt
ds
⇒
= m
dv = m v dv
dt
dv
ds
ds = dv
dt
dt
~ (~
r ) na drodze miedzy
Praca siły F
˛
AiB
WAB =
ZB
A
Ft(s) · ds =
ZB
A
2
2
mvB
mvA
mv dv =
−
= EkB − EkA = ∆Ek
2
2
~ i drogi
Niezależnie od postaci siły F
na ciało nie działaja˛ inne siły, układ inercjalny
2
praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała Ek = mv
2
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
7
Zasada zachowania energii
Zasada zachowania energii
~ (~
r ) pomiedzy
Praca siły zachowawczej F
˛
AiB
WAB =
ZB
~ (~
F
r ) · d~
r = EpA − EpB
A
Z drugiej strony, praca siły działajacej
˛ na ciało:
WAB = EkB − EkA
⇒
EkB − EkA = EpA − EpB
⇒
EkB + EpB = EkA + EpA
5
67
E = E p + Ek =
34
⇒
W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana.
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
8
Zasada zachowania energii
Wahadło Galileusza
Koło Maxwella
Wysokość na jaka˛ wznosi sie˛ wahadło
nie zmienia sie˛ przy zmianie długości nici:
h
:
;<
89
Ep + Ek = E =
Ek = 0 ⇒ m g h = E
siły reakcji wiezów
˛
nie wykonuja˛ pracy
A.F.Żarnecki
Przemiana energii potencjalnej w
energie˛ kinetyczna˛ ruchu obrotowego.
Wykład XIV
9
Zasada zachowania energii
Spadek swobodny
W jednorodnym polu ~g
ciało spada swobodnie z
wysokości h (~v (0) = 0).
g
g
Predkość
˛
końcowa z zasady zachowania energii:
h
V
A.F.Żarnecki
h
∆Ek = −∆Ep
m v2
= mgh
2
v =
q
2gh
V
Taka˛ sama˛ predkość
˛
uzyska wahadło
puszczone z wysokości h
Wykład XIV
10
Zderzenia
Poprzednio rozpatrywaliśmy zderzenia ciał z punktu
widzenia zasady zachowania pedu
˛ (i momentu pedu)
˛
zasada zachowania pedu
˛
jest zawsze bezwzglednie
˛
spełniona
Czy zachowana jest energia kinetyczna ?
TAK
- jeśli działajace
˛ siły maja˛ charakter zachowawczy
siły kulombowskie, siły speżysto
˛
ści
∆Ep = 0 ⇒ ∆Ek = 0
NIE
- jeśli mamy wkład sił niezachowawczych
w wyniku zderzenia nastepuj
˛ a˛ trwałe zmiany
(np. odkształcenia) w zderzajacych
˛
sie˛ ciałach
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
11
Zderzenia
Zderzenia spreżyste
˛
Z zasad zachowania:
V2=0
M1
V1
Przekształcamy:
p:
E:
M2
V’2
A.F.Żarnecki
M1
m1 V10 + m2 V20 = m1 V1
m1 V102
m2 V202
m1 V12
+
=
2
2
2
E:
M2
BC
p:
?A =
@
.>=
Przypadek jednowymiarowy:
m2 V20 = m1 (V1 − V10 )
m2 V202 = m1 (V12 − V102)
= m1 (V1 − V10 )(V1 + V10 )
⇒ V20 = V1 + V10 , albo V20 − V10 = V1
V’1
wartość bezwzgledna
˛
predkości
˛
wzglednej
˛
przed i po zderzeniu jest taka sama
Wykład XIV
12
Zderzenia
Zderzenia spreżyste
˛
Przekształcajac
˛ dalej otrzymujemy:
m2 (V1 + V10 ) = m1 (V1 − V10 )
⇒
V10 (m1 + m2 ) = V1 (m1 − m2)
Ostatecznie:
V10
m1 − m 2
=
V1
m1 + m2
2 m1
0
V2 =
V1
m1 + m2
A.F.Żarnecki
Przypadek szczególny: m1 = m2
⇒
V10 = V2 = 0
V20 = V1
Zderzajace
˛ sie˛ ciała “wymieniaja˛ sie”
˛ pred˛
kościami; rozwiazanie
˛
słuszne także w przy~2 6= 0
padku V
Wykład XIV
13
Zderzenia
Zderzenia spreżyste
˛
m1 > m 2
Masa “pocisku” wieksza
˛
od masy “tarczy”:
Przypadek graniczny: m1 m2
m1 − m 2
⇒ V10 =
V1 = V 1
m1 + m2
V20 =
2 m1
V1 = 2 · V 1
m1 + m2
“Pocisk” nie zauważa zderzenia
“Tarcza” uzyskuje predkość
˛
2 · V1
Otrzymujemy: V20 > V10 > 0
Po zderzeniu oba ciała poruszaja˛ sie˛ w ta˛ sama˛ strone.
˛
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
14
Zderzenia
Zderzenia spreżyste
˛
Przypadek graniczny: m1 m2
m1 < m 2
⇒
Masa “pocisku” mniejsza od masy “tarczy”:
V20 = 0
Otrzymujemy:
V10
m1 − m 2
=
V1 < 0
m1 + m2
V20
2 m1
=
V1 > 0
m1 + m2
V10 = −V1
Predkość
˛
“pocisku” zmienia znak
⇒ “pocisk” odbija sie˛ od “tarczy”
Spreżyste
˛
odbicie od
nieruchomej “ściany”
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
15
Zderzenia
m1 m 2
“Tarcza” oddala sie˛ od “pocisku”
(“ściana”)
“pocisk” traci energie˛
“Tarcza” przybliża sie˛ do “pocisku”
(“ściana”)
“pocisk” zyskuje energie˛
Mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) sie˛ gazu przy rozpreżaniu
˛
(spreżaniu)
˛
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
16
Zderzenia
Zderzenia nie centralne
Do tej pory rozpatrywaliśmy tzw. zderzenia centralne,
dla których parametr zderzenia b = 0 “pocisk” trafia w sam środek “tarczy”
W przypadku gdy b 6= 0 zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach:
V2
py :
G
D
m2 V20 cos θ2 + m1 V10 cos θ1
px :
FH
I
L
x
K
V’1
JF H
y
b
I GH
Q1
F
Q2
ED
V2 =0
V1
Zasada zachowania pedu:
˛
m2 V20 sin θ2 − m1 V10 sin θ1
= m 1 V1
= 0
Dla zderzeń speżystych:
˛
Ek :
m2 V202
m1 V102
+
2
2
=
m1 V12
2
Znajomość m1, m2 i V1 (V2 = 0) nie wystarcza do wyznaczenia
pełnej kinematyki zderzenia ( V10 , V20 , θ1 i θ2) !
⇒ musimy ustalić b albo jeden z parametrów rozproszenia (np. kat
˛ θ1).
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
17
Zderzenia
Zderzenia nie centralne
Jeśli masy zderzajacych
˛
sie˛ spreżyscie
˛
ciał sa˛ równe
m1 = m2 ⇒ zagadnienie bardzo sie˛ upraszcza
Z zasad zachowania:
~1
V~ 01 + V~ 02 = V
V2
Q2
Q1
V1
V102 + V202 = V12
Q1
Q2
~1, V~ 01 i V~ 02 tworza˛ trójkat
⇒ wektory V
˛ prostokatny.
˛
V’1
A.F.Żarnecki
π
θ1 + θ 2 =
2
Wykład XIV
18
Zderzenia
m1 = m2
Zderzenie proton-proton w komorze pecherzykowej:
˛
Fotografia zderzajacych
˛
sie˛ kul:
V~ 01
~1
V
V~ 02
niska energia padajacej
˛ wiazki
˛
⇒ dynamika nierelatywistyczna
A.F.Żarnecki
Wykład XIV
19
Zderzenia
m1 = m2
Stan końcowy zależy od parametru
zderzenia b
b=R
• b = 0 ⇒ zderzenie centralne
V’2
b=2R
b=0
b=0
b=2R
V’1
• b >= 2R ⇒ brak zderzenia
(kule mijaja˛ sie)
˛
V~ 02 = 0
~1
V~ 01 = V
b=R
A.F.Żarnecki
~1
V~ 02 = V
V~ 01 = 0
Wykład XIV
20