zapas stabilności

Wyznaczanie zapasu stabilności
Dany jest układ otwarty regulacji opisany następującą transmitancją operatorową
G( s) :=
(
)(
Ko
)(
s⋅ T + 1 ⋅ 1 + s⋅ T ⋅ 1 + s⋅ T
0
1
2
)
T
Ko ≡ 50
gdzie:
T ≡ ( 1 5 0.5 )
Jego charakterystyki częstotlliwościowe podane są poniżej, a z których można określić zapas stabilności.
Zadanie: Ilokrotnie musi się zmienić wartość wzmocnienia K aby zpas modułu i fazy były nie mniejsze niż
Λ u := 5 [dB]
ω := 0.1 , 0.15 .. 100
Δφu := 30⋅ deg
Zakres zmienności pulsacji (częstotliwości kątowej)
L( ω ) := 20⋅ log( G( j ⋅ ω )
)
...... moduł transmitancji widmowej obiektu
Charakterystyka przebiegu fazy układu
otwartego przecina oś -π przy częstotliwośc
40
ωπ
ω1
ω π = 1.612
25
( )
L( ω )
A( ω )
L ωπ
10
Zapas modułu wynosi zatem
( )
Λ := −L ω π
0
5
Λ = −8.047
20
Charakterystyka przebiegu modułu układ
otwartego przecina oś 0 dB przy pulsacji
0.1
1
10
ω
Wartość kąta fazowego dla tej pulsacji
0
ωπ
( )
φ ω 1 = −203.292 deg
ω1
φ ( ω ) 100
deg
( )
a zatem zapas fazy Δφ := π + φ ω 1
− 180 200
300
ω 1 = 2.422
ma wartość
0.1
1
10
ω
K¹t fazowy Go1
180 stopni
1
Δφ = −23.292 deg
Char. amplit.-faz.
Na podstawie transmitancji układu zamkniętego
1
−1
0.5
Q( ω )
OI
m
Gz( s) :=
0
G( s)
1 + G( s)
0
oraz postaci transformaty sygnału wymuszenia
0.5
Yo( s ) := s
−1
wyznacza się postać transformaty
odpowiedzi układu
1
Y( s) := Gz( s) ⋅ Yo( s)
1.5
2
4
2
P( ω ) , OR
tsym := 2
oraz odpowiedź czasową układu
0
y := OdpCzas( Y , tsym)
m
y o := OdpCzas( Yo , tsy
Odpowiedz skokowa uk³adu zamkniêtego
4
〈1〉
y
〈1〉
yo
〈1〉 〈1〉
yo − y
2
0
2
0
5
10
15
20
25
〈0〉
y
Rozwiązanie.
Wprowadzenie członu proporcjonalnego nie zmienia charakterystyki fazowej układu otwartego. Zmienia się
natomiast połozenie (w pionie) charakterystyki modułu układu.
Pulsacja, przy której charakterystyka fazowa przecina warość kąta:
wynosi
Moduł układu przyjmie wartość
(
k φ := G j ⋅ ω φ
)
Zapas modułu wyniesie
Gk( ω ) := k r⋅ G( j ⋅ ω )
(
ω φ = 0.996
k φ = 6.244
Zatem krotność z jaką ma się zmienić moduł układu otwartego wynosi
czyli
φu := π − Δφu
( ))
Λ k := −20⋅ log Gk ω π
Λ k = 7.863
Układ będzie stabilny.
2
k r :=
1
kφ
k r = 0.16
Odpowiedź układu po korekcji
k r⋅ G( s)
Gzk( s) :=
y k := OdpCzas( Yk , tsym)
Yk( s) := Gzk( s) ⋅ Yo( s)
1 + k r⋅ G( s)
Odpowiedz skokowa ukladu zamknietego
1.5
〈1〉
yk
1
〈1〉
yo
〈1〉
yo
〈1〉
0.5
− yk
0
0.5
0
5
10
15
20
25
〈0〉
y
Char. amplit.-faz.
1
−1
0.5
0
Q( ω )
0
OI
m
Q k( ω )
0.5
1
1.5
2
5
4
3
2
P ( ω ) , O R , P k( ω )
m
3
1
0
1