WPL - wielokryteriowa optymalizacja liniowa
Transkrypt
WPL - wielokryteriowa optymalizacja liniowa
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ - Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) Rozwiązanie optymalne zadania WPL 1. Jeżeli rozwiązanie idealne w przestrzeni kryteriów jest rozwiązaniem dopuszczalnym, to zadanie WPL posiada rozwiązanie optymalne i jest nim obraz (wierzchołek) tego rozwiązania w przestrzeni decyzji. 2. Jeżeli rozwiązanie idealne w przestrzeni kryteriów nie jest rozwiązaniem dopuszczalnym, to zadanie WPL nie posiada jednoznacznego rozwiązania optymalnego. Rozwiązaniem optymalnym WPL będzie wówczas dowolne rozwiązanie sprawne, które będzie rozwiązaniem kompromisowo-optymalnym. Wybrane metody generowania rozwiązań sprawnych (skalaryzacja WPL) Rozwiązanie sprawne zadania WPL możemy otrzymać między innymi poprzez: 1. „ściągnięcie” punktu idealnego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów, 2. użycie dowolnej z K funkcji celu (rozwiązanie zadania jednokryterialnego), 3. „ważenie” wszystkich funkcji celu, 4. ustalenie dla K-1 kryteriów satysfakcjonujących poziomów, 5. hierarchizację kryteriów, 6. wykorzystanie podejścia optymalizacji celowej, 7. wykorzystanie metody interaktywnej, Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [2] 1. Wykorzystanie rozwiązania idealnego Metoda polega na znalezieniu w zbiorze rozwiązań niezdominowanych (przestrzeń kryteriów) takiego rozwiązania niezdominowanego, które będzie najbliższe rozwiązaniu idealnemu (metryka euklidesowa). Ponieważ zbiór rozwiązań niezdominowanych jest podzbiorem rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji (zbiór wypukły), to zagadnienie poszukiwania odpowiedniego rozwiązania w przestrzeni kryteriów można przedstawić jako następujące zadanie optymalizacji nieliniowej: „znajdź punkt najbliższy idealnemu należący do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów” (por. rysunek 8). PRZYKŁAD 4 Dla sytuacji decyzyjnej z przykładu 3 znajdź rozwiązanie stosując podejście „ściągania” punktu idealnego. Rys. 8. Ilustracja „ściągania” rozwiązania idealnego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów zadania WPL w przykładzie 2 W celu zbudowania stosownego zadania optymalizacji nieliniowej oznaczmy: j - współczynniki wypukłej kombinacji liniowej wektorów współrzędnych punktów wierzchołkowych zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów j A' , B' , C' , D' Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [3] y1 j y - wektory współrzędnych współrzędnych punktów wierzchołkowych zbioru 2j rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów j A' , B' , C' , D' y1I y - wktor współrzędnych punktu idealnego (I), 2I y1NN y - wektor współrzędnych punktu „najbliższego” niezdominowanego (NN) 2 NN Zadanie optymalizacji nieliniowej minimalizujące odległość rozwiązania idealnego od zbioru rozwiązań niezdominowanych w przestrzeni kryteriów jest następujące: 1 2 2 w y1NN 42400 y2 NN 64000 2 min 27200 40000 42400 16000 y1NN B' C' D' y 70400 96000 112000 64000 2 NN A' A ' B ' C' D' 1 A' 0, B' 0, C' 0, D' 0 Rozwiązanie powyższego problemu1 prowadzi do rozwiązania niezdominowanego 27680 . Powstaje ono jako „najbliższego” rozwiązaniu idealnemu. Ma ono postać: 71360 liniowa kombinacja wypukła wierzchołków A’ oraz B’. Optymalne wartości współczynników kombinacji liniowej wynoszą: A ' 77 3 , B ' , C' 0, D' 0 . 80 80 W celu wyznaczenia „odpowiednika” w przestrzeni decyzji wykorzystamy te współczynniki i wygenerujemy kompromisowo-optymalną decyzję WPL z przykładu 2. 16 0 32 80 15,4 A ' B ' C' D' 48 80 72 0 49,2 Jest to rozwiązanie sprawne (Pareto-optymalne) leżące na krawędzi rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji. Kompromisowo-optymalne rozwiązanie WPL jest następujące: Proces P1 - 15,4 godziny, Proces P2 - 49,2 godziny. Optymalne wartości funkcji celu są następujące: Zysk - 27680 $, Koszty - 71360 $. 1 Użyto narzędzia Solver w Excel z MS Office. AB zbioru Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [4] 2. Wykorzystanie indywidualnych funkcji kryterialnych Użycie jednokryterialnych zadań PL prowadzi również do wskazania rozwiązań sprawnych (Pareto-optymalnych). Omówimy to na podstawie modelu WPL z przykładu 2. z1 200 x1 z '2 800 x1 500 x2 max ( zysk ) 1200 x2 max (koszty) 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) x1 0 , x2 0 Jeżeli użyjemy tylko funkcji ”zysk”, to jako optymalne wskazane zostanie rozwiązanie niezdominowane C’. W przestrzeni decyzji odpowiednikiem będzie rozwiązanie sprawne C. Jeżeli natomiast użyjemy tylko funkcji „- koszty”, to jako optymalne wskazane zostanie rozwiązanie niezdominowane D’. W przestrzeni decyzji odpowiednikiem będzie rozwiązanie sprawne D. Rys. 9. Ilustracja zbioru rozwiązań sprawnych (przestrzeń decyzji) i zbioru rozwiązań niezdominowanych (przestrzeń kryteriów) zadania WPL w przykładzie 2. Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [5] 3. Wykorzystanie współczynników wagowych Kolejnym wariantem użycia jednokryterialnego zadania PL prowadzącego do wskazania rozwiązania sprawnego (Pareto-optymalnego) jest skonstruowanie jednej funkcji kryterialnej w miejsce K funkcji celu zadaniaWPL. Jeżeli decydent jest w stanie podać proporcje w jakiej pozostają względem siebie kryteria, to można sformułować jedną funkcję celu za pomocą tzw. współczynników wagowych (wag). Załóżmy, że w przykładzie 2 decydent określił proporcje ważności pomiędzy zyskiem a kosztami na 7:3. Prowadzi to do następującej pojedynczej funkcji celu: W x1 , x2 7 z1 3 z '2 max Funkcja W powstaje następująco: 7 z1 7 200 x1 3 z '2 3 800x1 7 500 x2 3 1200x2 W x1 , x2 1000 x1 max ( zysk ) max (koszty) 100 x2 max Użycie wagowej funkcji celu W prowadzi do rozwiązania sprawnego (Paretooptymalnego) w punkcie B zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji. W przestrzeni kryteriów odpowiada on rozwiązaniu niezdominowanemu B’. 4. Wykorzystanie satysfakcjonujących poziomów dla K-1 kryteriów Kolejny wariantem użycia jednokryterialnego zadania PL w miejsce WPL prowadzący do rozwiązań sprawnych polega na zamianie K-1 funkcji celu na ograniczenia gwarantujące osiągnięcie satysfakcjonujących decydenta poziomów kryteriów i na rozwiązaniu WPL ze względu na jedną wybraną funkcję celu. Załóżmy, że w przykładzie 2 decydenta satysfakcjonuje kwota zysku na poziomie co najmniej 40000$. W takiej sytuacji wystarczy rozwiązać następujący model optymalizacji jednokryterialnej: z '2 800 x1 1200 x2 max (koszty) 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) 200 x1 500 x2 40000 ( zysk min) x1 0 , x2 0 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [6] Rozwiązaniem optymalnym dla powyższego przykładu jest rozwiązanie sprawne B. W przestrzeni kryteriów odpowiednikiem będzie rozwiązanie niezdominowane B’. Rys. 10. Ilustracja zbiorów rozwiązań dopuszczalnych w przykładzie ze satysfakcjonującym poziomem zysku (40000$) – zacienione obszary. 5a. Hierarchizacja kryteriów (ścisła) Hierarchizacja kryteriów polega na ponumerowaniu (przenumerowaniu) funkcji kryterialnych i przyporządkowaniu ich do określonych poziomów hierarchii ważności według zasady: im niższy nowy numer kryterium, tym jest ono ważniejsze. Inaczej: im niższy nowy numer kryterium, tym niższy (ważniejszy) numer poziom hierarchii. Rozwiązywanie zhierarchizowanego zadania WPL odbywa się sekwencyjnie. W pierwszym kroku rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie PL z funkcją celu numer 1. W następnym kroku rozszerzamy zbiór ograniczeń o warstwicę funkcji celu dla optymalnej wartości funkcji celu z poprzedniego kroku i rozwiązujemy jednokryterialne zadanie PL z funkcją celu z drugiego poziomu hierarchii. W kolejnych krokach postępujemy analogicznie jak w kroku poprzednim używając funkcji celu z kolejnych (aktualnych) poziomów hierarchii i roszerzając zbiór ograniczeń o warstwice funkcji celu ze wszystkich poprzednich poziomów hierarchii (optymalne ich wartości). Zatem z kroku na krok rozwiązywane jest jednokryterialne zadanie PL o coraz większej liczbie dodatkowych ograniczeń. Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 PRZYKŁAD 5 (3-kryterialne zhierarchizowane WPL) Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie 1 szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby osiągnąć: 1. maksymalny zysk, 2. maksymalną ilość paliw X i Y oraz 3. minimalny koszt. Załóżmy, że numeracja kryteriów odpowiada tutaj hierarchii ważności kryteriów. Zadanie WPL ma tutaj postać: z1 200 x1 500 x2 max ( zysk ) z2 130 x1 90 x2 max ( paliwa ) 1200 x2 max (koszty) z '3 800 x1 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) x1 0 , x2 0 W pierwszym kroku rozwiązywane jest następujące jednokryterialne zadanie PL z funkcja celu „zysk” z pierwszego poziomu hierarchii: z1 200 x1 500 x2 max ( zysk ) 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) x1 0 , x2 0 Rozwiązanie zadania z pierwszego poziomu hierarchii odpowiada w przestrzeni decyzji wierzchołkowi C. (por. np. rysunek 9). Wiąże się z nim wartość zysku równa 42400$. W drugim poziomie hierarchii warstwica funkcji zysku na poziomie kwoty 42400$ rozszerza podstawowy zbiór ograniczeń wyjściowego zadania WPL. Model decyzyjny drugiego poziomu hierarchii z funkcją celu „paliwa” jest następujący: [7] Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 z 2 130 x1 90 x2 max ( paliwa ) 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) 42400 ( zysk ) 500 x2 200 x1 x1 0 [8] x2 0 , Rozwiązanie zadania z drugiego poziomu hierarchii odpowiada w przestrzeni decyzji również wierzchołkowi C. Wiąże się z nim ilość paliw równa 10640 galonów. W trzecim poziomie hierarchii warstwica funkcji paliw na poziomie 10640 galonów rozszerza zbiór ograniczeń zadania z poziomu drugiego. Model decyzyjny trzeciego poziomu hierarchii z funkcją celu „-koszty” jest następujący: z '3 800 x1 1200 x2 max (koszty) 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) 200 x1 500 x2 42400 ( zysk ) 130 x1 90 x2 10640 ( paliwa ) x1 0 , x2 0 Rozwiązanie zadania z trzeciego poziomu hierarchii odpowiada w przestrzeni decyzji również wierzchołkowi C. Wiążą się z nim koszty w kwocie 112000 $. Rozwiązanie kompromisowo-optymalne WPL w tym przykładzie jest następujące: proces P1 - 32 godziny, proces P2 – 72 godziny, zysk – 42400 $, paliwa – 10640 galonów oraz koszty – 112000 $. Uwaga !!! Rozwiązanie uzyskane podejściem hierarchizacji kryteriów (ścisłej) jest zawsze rozwiązaniem sprawnym. 5b. Hierarchizacja kryteriów (quasi) Jeżeli w postępowaniu ścisłej hierarchizacji nowo dołączane (od kroku 2) ograniczenia w postaci równości zastąpimy nierównościami z prawymi stronami na poziomie nieco Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [9] niższym od maksymalnych, to postępowanie takie będzie odpowiadało tzw. quasihierarchizacji. Takie postępowanie jest podobne do opisanego postępowania, w którym w charakterze ograniczeń wprowadzaliśmy satysfakcjonujące poziomy kryteriów. Jedyna różnica polega tutaj na kolejności wprowadzania takich restrykcji. Rozpatrzmy przykład 5 i ustalmy w imieniu decydenta, że będą nas satysfakcjonowały 90%-owe poziomy maksymalnych wartości kryteriów na K-1 pierwszych stopniach hierarchii. Przy takich założeniach na drugim stopniu hierarchii rozwiązywać będziemy model: z 2 130 x1 90 x2 max ( paliwa ) 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) 0,9 42400 ( zysk ) 500 x2 200 x1 x1 0 x2 0 , Rozwiązaniem będzie tutaj punkt C z wartością funkcji celu 10640 galonów. Z kolei na trzecim stopniu hierarchii rozwiązywanym będzie model: z '3 800 x1 1200 x2 max (koszty) 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) 200 x1 500 x2 0,9 42400 ( zysk ) 130 x1 90 x2 x1 0 , x2 0 0,9 10640 ( paliwa ) Rozwiązaniem będzie tutaj punkt Q w przestrzeni decyzji o następujących współrzędnych: proces P1 – 28,8 godziny oraz proces P2 – 64,8 godziny. Wartości funkcji celu będą następujące: zysk - 38160 $, paliwa - 9576 galonów oraz koszty - 10080 $. Uwaga !!! Rozwiązanie uzyskane podejściem quasi-hierarchizacji kryteriów nie musi być rozwiązaniem sprawnym. Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [10] 6. Wykorzystanie hierarchicznej optymalizacji celowej Decydent może wskazać dla każdego kryterium cele do osiągnięcia. W ogólności cele mogą być formułowane punktowo (wartość liczbowa kryterium) lub przedziałowo (nie mniej niż lub nie więcej niż założony poziom). Ten ostatni wariant formułowania celów możemy sprowadzić do pierwszego (punktowego) poprzez równania bilansujące cele i nałożenie odpowiednich kar za odstępstwa od ich realizacji. Zróżnicowanie celów osiąga się poprzez hierarchizację celów oraz odpowiednie ich „ważenie”. Na każdym poziomie hierarchii rozwiązywane jest jednokryteriowe zadanie PL, w którym w charakterze ograniczeń używane są wszystkie ograniczenia zadania WPL oraz równania bilansujące cele. Począwszy od drugiego poziomu hierarchii zbiór ograniczeń jest powiększany o optymalną warstwicę funkcji celu z poprzedniego poziomu hierarchii. Funkcja celu na danym poziomie hierarchii jest ściśle powiązana wyłącznie z celami tego poziomu. Ogólna postać równań bilansujących dla każdego z K kryteriów jest następująca: ci1x1 cin xn si si celi i 1,, K gdzie celi - kwota i-tego celu si - niedoszacowanie kwoty i-tego celu si - nadszacowanie kwoty i-tego celu PRZYKŁAD 6 (2-poziomowa hierarchiczna optymalizacja celowa) Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie 1 szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby: 1. pierwszy poziom hierarchii osiągnąć zysk na poziomie co najmniej 40000$ (kara za niedoszacowanie o 1 $ =10$) oraz nie przekroczyć kosztów na poziomie 90000 $ (kara za przekroczenie o 1 $ =5$). 2. drugi poziom hierarchii osiągnąć produkcję na poziomie co najmniej 9000 galonów (kara za niedoszacowanie o 1 galon =8$) Wszystkie 3 cele w przykładzie 6 są celami przedziałowymi. Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [11] Model pierwszego poziomu hierarchii jest następujący: 10s1 S 5s3 min 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) 40000 ( zysk ) 200 x1 500 x2 130 x1 90 x2 800 x1 1200 x2 x1 0, 1 s 1 s s 2 s 2 s3 s3 9000 ( paliwa ) 90000 (koszty) x2 0, s1 0, s1 0, s 2 0, s 2 0, s3 0, s3 0 Jego rozwiązanie optymalne daje wartość funkcji celu S=30000 „ważonych” $ . Model drugiego poziomu hierarchii jest następujący: 8s 2 S min 100 x1 50 x2 4000 ( paliwo X ) 30 x1 40 x2 2400 ( paliwo Y ) x1 4 x2 320 (ropa A) 3x1 2 x2 240 (ropa B) 200 x1 500 x2 40000 ( zysk ) 130 x1 800 x1 s1 90 x2 s 1200 x2 2 s 2 s 1 10 s x1 0, s1 3 s 5s 3 3 x2 0, s1 0, s1 0, s 2 0, s 2 0, s3 0, s3 0 Rozwiązanie modelu z drugiego poziomu hierarchii jest następujące: wartość funkcji kryterialnej S - 14400 „ważonych” $. proces P1 – 0 godzin proces P2 – 80 godzin, kwota zysku dokładna (40000$), kwota kosztów przeszacowana o 6000$ (96000$) oraz ilość paliw niedoszacowana o 1800 galonów (7200 galonów). 9000 ( paliwa ) 90000 (koszty) 30000 ( poziom 1) Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [12] 7. Wykorzystanie metody interaktywnej Idea metody interaktywnej polega na rozwiązywaniu zadań jednokryterialnych w każdej iteracji. Zadania te mają oryginalny zbiór ograniczeń zadania WPL, który wzbogacany jest dodatkowymi żądaniami dla każdego z K kryteriów – poziomy aspiracji (por. metoda satysfakcjonujących poziomów). Rozwiązując jednokryterialne zadanie PL możemy wyliczyć wartości funkcji celu dla pozostałych K-1 kryteriów. W ten sposób dla wszystkich kryteriów możemy w danej iteracji ustalić dwie skrajne wartości: pesymistyczną i optymistyczną. W tabeli 1 pokazano wartości każdej funkcji kryterium uzyskane na podstawie rozwiązań jednokryterialnych (dane z przykładu 5). Tabela 1. Oszacowania kryteriów w przykładzie 5 uzyskane po pierwszej iteracji w metodzie interaktywnej. wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego jednokryterialnego PL użyte funkcje zysk paliwa -koszty celu zysk 42400 10640 -112000 paliwa 42400 10640 -112000 -koszty 16000 10400 -64000 ocena kryterium („widełki”) pesymistyczna 16000 10400 -112000 poziom aspiracji ? ? ? optymistyczna 42400 10640 -64000 Decydent ustala dla każdego kryterium swoje poziomy aspiracji (pomiędzy oceną pesymistyczną i optymistyczną). Następnie konstruuje K nowych ograniczeń i dołącza je do oryginalnych ograniczeń zadania WPL. Przypuśćmy, że poziomy te ustalono na poziomie połowy wartości między wartością optymistyczną, a pesymistyczną dla funkcji zysk, pesymistycznej wartości dla funkcji ilość paliwa oraz koszty i dołączono w związku z tym następujące dodatkowe ograniczenia: 200𝑥1 + 500𝑥2 = 29200 130𝑥1 + 90𝑥2 = 10400 800𝑥1 + 1200𝑥2 = 112000 Otrzymano wyniki i ustalono nowe poziomy aspiracji uwzględniając uzyskane poziomy pesymistyczne i optymistyczne: Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 [13] wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego jednokryterialnego PL użyte funkcje celu zysk paliwa -koszty zysk paliwa -koszty 42400 42400 29200 -112000 -112000 -87591,49 pesymistyczna poziom aspiracji optymistyczna 29200 29200 42400 10640 10640 10400 ocena kryterium („widełki”) 10400 10520 10640 -112000 -112000 -87591,49 W kolejnej (drugiej) iteracji ponownie rozwiązywane są jednokryteriowe zadania PL, tworzone są dla każdego kryterium oceny pesymistyczne i optymistyczne, a następnie na ich podstawie decydent ustala nowe poziomy aspiracji. Powyższe postępowanie prowadzi się tak długo, aż w pewnej iteracji wektory oszacowań (pesymistycznych i optymistycznych) nie ulegną zmianie w stosunku do poprzedniej iteracji. Procedurę można też przerwać na życzenie decydenta, który uzna, że satysfakcjonuje go jedno z dotychczasowych rozwiązań. W dalszym postępowaniu otrzymano następujące wyniki i przyjęto nowy poziom aspiracji dla funkcji koszty: wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego jednokryterialnego PL użyte funkcje celu zysk paliwa -koszty zysk paliwa -koszty 42400 42400 29200 -112000 -112000 -88000 pesymistyczna poziom aspiracji optymistyczna 29200 29200 42400 10640 10640 10520 ocena kryterium („widełki”) 10520 10520 10640 W rezultacie otrzymano wyniki: -112000 -100000 -88000 Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński, KBO UŁ- Wielokryteriowa optymalizacja liniowa (WPL) - cz.2 wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego jednokryterialnego PL użyte funkcje celu zysk paliwa -koszty pesymistyczna poziom aspiracji optymistyczna zysk paliwa -koszty 35914,29 35800 29200 10520 -100000 10580 -100000 10520 -88000 ocena kryterium („widełki”) 29200 10520 -100000 ? ? ? 35914,29 10580 -88000 I wskazano rozwiązanie na poziomie wartości optymistycznej zysku uznając je za satysfakcjonujące. Wartości zmiennych decyzyjnych zostały ustalone na poziomie: x1=43,14, x2=54,57 [14]