Matematyka dyskretna Zestaw 1. 1. Rzucamy cztery razy kostką

Matematyka dyskretna
Zestaw 1.
(zadania 8-18 na 9.III)
1. Rzucamy cztery razy kostką sześcienną. Ile różnych wyników możemy uzyskać? Ile
wśród nich jest takich, że liczba oczek jest różna w każdym rzucie? Rozwiązać
zadanie również w przypadku gdy 4 rzuty kostką na jednoczesny rzut czterema
(nierozróżnialnymi) kostkami.
2. Na ile sposobów można wylosować 5 kart z talii liczącej 24 karty (w tym 4 asy),
aby wśród wylosowanych kart były:
a) dokładnie dwa asy,
b) przynajmniej dwa asy?
3. Z talii 52 kart losujemy kolejno (ze zwracaniem) 10 kart. Na ile sposobów można
to zrobić tak, aby ostatnia z wylosowanych kart nie została wybrana wcześniej? Na
ile, jeśli ostatnia ma być wybrana wcześniej?
4. Talią 52 kart:
a) trzech graczy zamierza grać w pokera (w rozdaniu każdy otrzymuje po 5 kart),
b) czterech graczy zamierza grać w brydża (każdy otrzymuje po 13 kart).
Ile jest wszystkich możliwych rozdań?
5. Dane są zbiory X = {1, . . . , k} oraz Y = {1, . . . , n}, przy czym n ­ k > 0. Ile jest
wszystkich funkcji f : X → Y ? Ile spośród nich jest różnowartościowych? Ile jest
niemalejących?
6. Na ile sposobów można posadzić n osób przy okrągłym stole (żadne miejsce nie jest
wyróżnione). Na ile sposobów można to zrobić, jeśli osoba A nie może siedzieć obok
osoby B?
7. Grupa składa się z 8 kobiet i 5 mężczyzn. Na ile sposobów można wybrać z tej grupy
zespół składający się z 3 kobiet i 2 mężczyzn? Na ile sposobów można wybrać z
tej grupy trzy rozłączne zespoły liczące odpowiednio a) 6, 3 i 2, b) każdy po 3
członków? Odpowiedzieć na ostatnie pytanie przy dodatkowym założeniu, że w
każdym z zespołów musi być przynajmniej jedna kobieta.
8. Ile różnych liczb 6-cyfrowych można uzyskać zapisując w dowolnej kolejności następujący zestaw cyfr: 1, 2, 2, 3, 3, 3? Ile jest liczb 6-cyfrowych, w których zapisie
występują tylko cyfry od 1 do 7?
9. Ile jest różnych liczb 5-cyfrowych:
a) o sumie cyfr równej 8,
b) o sumie cyfr równej 12, przy czym każda cyfra jest różna od zera?
10. Ile jest ciągów binarnych długości n? Ile spośród nich zawiera dokładnie k zer?
W ilu zawierających dokładnie k zer ciągach żadne dwa zera nie występują obok
siebie?
11. Przez jednomian stopnia d o zmiennych x1 , . . . , xn rozumiemy wyrażenie postaci
xα1 1 . . . xαnn dla pewnych α1 , . . . , αn ∈ N takich, że α1 + . . . + αn = d. Ile jest różnych
jednomianów stopnia d o zmiennych x1 , . . . , xn ?
12. Na ile sposobów można umieścić k (rozróżnialnych) elementów w n (rozróżnialnych)
pudełkach, jeśli każde pudełko ma zawierać uporządkowany ciąg elementów (być
może pusty)?
13. Rozważając kolorowania k spośród n obiektów przy użyciu dwóch kolorów, pokazać,
że:
! !
!
!
!
!
!
n n
n n−1
n n−k
k n
+
+ ... +
=2
0 k
1 k−1
k
0
k
14. Na okręgu znajduje się n punktów połączonych (każdy z każdym) odcinkami. Ile jest
tych odcinków? Przy założeniu, że żadne trzy odcinki nie przecinają się w jednym
punkcie wewnątrz koła, wyznaczyć liczbę obszarów, na które dzielą one wnętrze
koła.*
15. Pokazać, że w każdej grupie sześciu osób są przynajmniej trzy osoby, które się
wzajemnie (każda z każdą) znają lub są sobie obce.
16. Dowieść, że spośród n dowolnych liczb całkowitych można wybrać (niepusty) podzbiór, w którym suma wybranych liczb jest podzielna przez n.
17. Każdy punkt okręgu pomalowano na biało lub czarno. Pokazać, że istnieje trójkąt
równoramienny wpisany w ten okrąg o wierzchołkach w jednym kolorze.
18. Pokazać, że wśród dowolnych 17 punktów leżących we wnętrzu trójkąta równobocznego o boku 4 istnieją dwa, których odległość jest mniejsza niż 1.