Przebieg zmienności funkcji

Automatyka i Robotyka
sem I, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Pochodne a wykres funkcji.
f ′′
+
+
–
–
+
–
f′
+
–
+
–
0
0
min. lok
max. lok
f
Uwaga 1. Jeżeli f ′′ (x0 ) = 0 i f ′′′ (x0 ) 6= 0, to x0 jest punktem przegięcia się wykresu funkcji f .
Badanie funkcji.
Przez badanie przebiegu zmienności funkcji i sporządzanie jej wykresu rozumiemy wykonanie
następujących czynności:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wskazanie podstawowych własności:
(a) parzystość lub nieparzystość
(b) okresowość
(c) miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX) i punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OY
(d) ciągłość
3. Zbadanie zachowania się funkcji na ”końcach” dziedziny - wyznaczenie asymptot wykresu
funkcji.
4. Zbadanie pierwszej pochodnej - monotoniczność i ekstrema funkcji.
5. Zbadanie drugiej pochodnej - przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia
wykresu funkcji.
6. Sporządzenie wykresu funkcji.
Przykład 0.1. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcji f danej wzorem:
ln x
f (x) = √ .
x
1. Df = (0, +∞).
2. Podstawowe własności funkcji f :
(a) funkcja f nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
1
Automatyka i Robotyka
sem I, 2009/2010
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
(b) f nie jest funkcją okresową.
(c) f (x) = 0 ⇔ ln x = 0 ⇔ x = 1, zatem (1, 0) jest punktem przecięcia wykresu funkcji
z osią OX; brak punktów przecięcia wykresu funkcji z osią OY .
(d) f jest ciągła w swojej dziedzinie.
3. Ponieważ
ln x
lim+ √ = −∞,
x→0
x
więc prosta x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f .
Ponieważ
ln x
lim √ = 0,
x→+∞
x
więc prosta y = 0 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f .
4. Monotoniczność i ekstrema:
f ′ (x) =
f ′ (x) = 0 ⇔ x = e2 .
f
f′
2 − ln x
√ ,
2x x
+
x > 0.
−
0
2
Ponadto f (e2 ) = .
e
e2
max. lok
5. Wklęsłość i wypukłość:
f ′′ (x) =
8
f ′′ (x) = 0 ⇔ x = e 3 .
f
f ′′
−8 + 3 ln x
√
,
4x2 x
+
−
0
x > 0.
8
8 4
Ponadto f e 3 = e− 3 .
3
8
3
punkt przegięcia
e
6.
8
8
8
(0, 1)
1
(1, e2 )
e2
f ′′
–
–
–
–
–
0
+
f′
+
+
+
0
2
e
–
–
8 −4
e 3
3
–
0
f
e2 , e 3
x
e3
−∞
max. lok.
Naszkicuj wykres funkcji na podstawie powyższej tabeli
2
p.p.
e 3 , +∞
y=0