Wstęp do Matematyki — 2. Klasyczny rachunek zdań. Zad. 2.1

Wstęp do Matematyki — 2. Klasyczny rachunek zdań.
Zad. 2.1. Załóżmy, że ktoś stwierdza: „Kocham Barbarę lub Joannę” oraz „Jeśli kocham Barbarę, to
kocham Joannę”. Czy wynika z tego, że kocha Joannę?
Zad. 2.2. Załóżmy, że ktoś zapytany, czy z tego, że kocha Barbarę wynika, że kocha Joannę, odpowiada:
„Jeśli to prawda, to kocham Barbarę”. Czy wynika z tego, że kocha Barbarę? Czy wynika z tego, że kocha
Joannę?
Zad. 2.3. Co można wywnioskować z następujących zdań:
a) Adam zna co najmniej jeden spośród języków: angielski, niemiecki i rosyjski.
b) Jeśli zna angielski, lecz nie zna niemieckiego, to zna rosyjski.
c) Zna jednocześnie niemiecki i rosyjski albo nie zna żadnego z nich.
d) Jeśli zna niemiecki, to zna również angielski.
Zad. 2.4. Zabłądziliśmy w lesie. Przypadkowo spotkany przez nas człowiek zapytany o drogę odpowiedział:
„Ta droga prowadzi do miasta wtedy i tylko wtedy, gdy wypowiadając to zdanie mówię prawdę”. Czy
powiedział prawdę? Czy nasza droga prowadzi do miasta?
Zad. 2.5. Matka, będąca z zawodu logikiem, powiedziała swemu synowi: „ jeśli nie dokończysz kolacji, nie
będziesz mógł oglądać dłużej telewizji dziś wieczorem”. Syn zjadł kolację, ale wtedy został natychmiast
wysłany do łóżka. Przedyskutuj tę sytuację.
Zad. 2.6. Określić wartość logiczną zdań:
a) Jeśli 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 8.
b) Jeśli 2 + 2 = 4, to 2 + 4 = 6.
c) Jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 8.
d) Jeśli 2 + 2 = 5, to 2 + 4 = 6.
Zad. 2.7. Wykazać, że jeśli implikacje α1 ⇒ α2 , α2 ⇒ α3 , . . ., αn−1 ⇒ αn , αn ⇒ α1 są prawdziwe, to
wszystkie zdania α1 , . . . , αn mają tę samą wartość logiczną.
Zad. 2.8. Udowodnić, że następujące wyrażenia są prawami rachunku zdań:
a) p ⇒ p,
b) p ⇒ (q ⇒ p ∧ q),
c) p ⇔∼ (∼ p),
d) p ∨ ∼ p ∨ q,
e) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p),
f) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q),
g) (∼ p ⇒∼ q) ⇔ (q ⇒ p),
h) (p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)),
i) (p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)),
j) (p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)),
k) (p ∨ (p ∧ q)) ⇔ p.
Zad. 2.9. Które z poniższych zdań są tautologiami?
a) ((p ∨ q)∧ ∼ p) ⇒ q,
c) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r),
e) (p ⇒ (p ⇒ q)) ⇔ ((p ∧ q) ⇒ r),
g) (((p ∧ q) ⇒ r) ∧ (p ∨ q ⇒∼ r)) ⇒ p ∧ q ∧ r,
b) p ⇒ (∼ p ∨ q),
d) ((p ∨ q) ∧ (p ⇒ q)) ⇒ (q ⇒ p),
f) p ⇒ ((∼ q ∨ p) ⇒ r),
h) ((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ (q ∨ s)).
Zad. 2.10. Zbadać metodą nie wprost (tzn. przypuszczając, że dla pewnych wartościowań zmiennych zdaniowych p, q, r wyrażenie przyjmuje wartość logiczną 0) , czy następujące zdania są tautologiami:
a) (∼ (p ⇒ q)) ⇒ (p ⇒ q),
b) ∼ ((p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)),
c) (p ⇒ q) ∨ (r ⇒ q) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ q),
d) p ∧ p ⇔ p,
e) p ∨ p ⇒ p,
f) p ⇒ (∼ p ⇒ q),
g) (p ∧ q ⇒ r) ⇒ (p∧ ∼ r ⇒∼ q),
h) (p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)).
Zad. 2.11. Dla jakich wartości n wyrażenie (. . . (((p ⇒ p) ⇒ p) ⇒ p) . . .) ⇒ p, w którym p występuje n
razy, stanowi prawo rachunku zdań.
Zad. 2.12. (Alternatywa wykluczająca XOR) Określamy spójnik ⊕ za pomocą tabelki
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p⊕q
0
1
1
0.
Sprawdzić, że:
a) (p ⊕ q) ⇔∼ (p ⇔ q),
b) (p ⊕ q) ⊕ r ⇔ p ⊕ (q ⊕ r).
Czy prawdą jest, że
c) (p ⊕ (q ⇒ r)) ⇔ ((p ⊕ q) ⇒ (p ⊕ r)) ?
Zad. 2.13. a) Znaleźć zdania, w których występują tylko ∼ i ∨, logicznie równoważne następującym:
p ⇔ q, (p ∧ q) ⇒ (∼ q ∧ r), (p ⇒ q) ∧ (q ∨ r), p ⊕ q.
1
b) Pokazać, że każde zdanie zbudowane za pomocą spójników ∼, ∨, ∧, ⇒, ⇔ jest logicznie równoważne
zdaniu, w którym występują tylko ∼ i ∨.
c) Udowodnić, że wszystkie funktory jedno- i dwuargumentowe można zdefiniować za pomocą ∼ i ∨.
Wskazówka: ` (p ⇒ q) ⇔∼ p ∨ q,
` p ∧ q ⇔∼ (∼ p∨ ∼ q),
` (p ⇒ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
(symbol ` przed zdaniem stosujemy dla zaznaczenia, że jest ono tautologią).
Zad. 2.14. Zdefiniować alternatywę przy pomocy: a) implikacji i negacji, b) koniunkcji i negacji.
Zad. 2.15. Wykazać, że nie można zdefiniować: a) negacji za pomocą alternatywy, implikacji i koniunkcji,
b) implikacji za pomocą alternatywy i koniunkcji, c) alternatywy za pomocą równoważności i negacji.
Zad. 2.16. (Kreska Sheffera NAND) Określamy spójnik | za pomocą tabelki
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p|q
1
1
1
0.
Sprawdzić, że:
a) p|q ⇔∼ (p ∧ q),
b) ∼ p ⇔ p|p,
c) p ∨ q ⇔ (p|p)|(q|q).
d) Za pomocą | zdefiniować ⇒ i ⊕.
e) Wykazać, że wszystkie zdania logiczne zbudowane z pomocą ∼, ∧, ∨, ⇒ i ⇔ można zapisać używając
wyłącznie |. Znaleźć inny funktor o takim charakterze uniwersalności.
Zad. 2.17. Uzasadnić następujące reguły dowodzenia:
a) (modus ponens) p ⇒ q ,
b) p ∨ q ,
c) ∼ q ⇒∼ p ,
p
∼p
p
q
q
q
f) p ⇔ q ,
p⇒q
g) ∼ (∼ p) ,
p
h) p ∧ q ,
q
d)
p⇒q ,
p ⇒∼ q
∼p
e) p ⇒ r ,
q⇒s
p∧q
r∧s
i) p ⇒ (∼ p) .
∼p
Zad. 2.18. Korzystając z prawdziwości wszystkich formuł postaci
P ⇒ (Q ⇒ P ), (P ⇒ (Q ⇒ R)) ⇒ ((P ⇒ Q) ⇒ (P ⇒ R)),
gdzie P , Q i R są dowolnymi formułami zdaniowymi oraz z reguły modus ponens udowodnić prawdziwość
następujących formuł:
a) p ⇒ p,
b) (q ⇒ r) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)).
Zad. 2.19. Oto (podany przez Euklidesa) dowód nieskończoności zbioru liczb pierwszych. Przypuśćmy, że
istnieje skończenie wiele liczb pierwszych. Możemy je więc kolejno wypisać: p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 <
p4 = 7 < p5 = 11 < . . . < pn−1 < pn . Utwórzmy liczbę q := p1 · p2 · . . . · pn + 1. Wówczas q > pn > 1
nie dzieli się przez żadną z liczb p1 , . . . , pn . W takim razie q jest pierwsze. Ale ciąg p1 < . . . < pn zawierał
wszystkie liczby pierwsze. Nasze przypuszczenie, że liczb pierwszych jest skończenie wiele doprowadziło nas
do sprzeczności. Zatem liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
a) Podać logiczną strukturę dowodu.
b) Stosując podobne rozumowanie wykazać, że istnieją pewne dwie liczby pierwsze, które mają takich
samych sześć ostatnich cyfr rozwinięcia dziesiętnego.
c) Pokazać, że istnieją dowolnie długie ciągi kolejnych liczb, które nie są pierwsze. Wskazać 7 kolejnych
liczb złożonych.
Wskazówka: rozważyć (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . . ., (n + 1)! + (n + 1).
Zad. 2.20. Sformułować i uzasadnić regułę dowodzenia, na podstawie której:
a) z założeń: x > y > 0 ⇒ x2 > y 2 , x2 > y 2 ⇒ x2 + z > y 2 + z wynika, że x > y > 0 ⇒ x2 + z > y 2 + z;
b) z założeń: |a| > |b| ⇒ a2 > b2 , (c > 0 ∧ a2 > b2 ) ⇒ c a2 > c b2 wynika, że (c > 0 ∧ |a| > |b|) ⇒ c a2 > c b2 .
Źródła: 1) H.Rasiowa „Wstęp do matematyki współczesnej”; 2) K.Ross, Ch.Wright „Matematyka dyskretna”;
3) J.Słupecki, K.Hałkowska, K.Piróg-Rzepecka „Logika i teoria mnogości”; 4) T.Batóg „Podstawy logiki”; 5) Materiały
do ćwiczeń: S.Kasjan; P. Jędrzejewicz; M. Golasiński.
2