Pr(X<x0 ) = FZ

1. Obliczanie wartości prawdopodobieństwa
dla zmiennej losowej X o rozkÃladzie N (µ, σ 2):
µ
¶
X −µ
x0 − µ
P r(X < x0) ≡ P r
<
σ
σ
Podstawiajac
, Z = (X − µ)/σ otrzymujemy
x −µ
x −µ
) = FZ ( 0
).
P r(Z < 0
σ
σ
Tak wiec
, ostatecznie:
P r(X < x0) =
x0−µ ¶
FZ σ
µ
1
2. PrzedziaÃly 1-sigma, 2–sigma i 3–sigma
dla zmiennej losowej normalnej
Dla zmiennej losowej Z o rozkÃladzie normalnym N (0, 1)
P r(−1 < Z < +1) = 0.6826
P r(−2 < Z < +2) = 0.9544
P r(−3 < Z < +3) = 0.9974
Analogicznie dla zmiennej losowej X o rozkÃladzie
normalnym N (µ, σ 2)
P r(µ − 1 ∗ σ < X < µ + 1 ∗ σ) = 0.6826
P r(µ − 2 ∗ σ < X < µ + 2 ∗ σ) = 0.9544
P r(µ − 3 ∗ σ < X < µ + 3 ∗ σ) = 0.9974
2
3. Trzy rozkÃlady normalne o tej samej
średniej i różnych wariancjach
3 rozklady o tej samej sredniej i roznych wariancjach
0.4
sigma=1
sigma=2
sigma=3
0.35
0.3
gestosc p−stwa g(x; m, s)
sigma=1
0.25
0.2
sigma=2
0.15
0.1
sigma=3
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
zmienna losowa X o rozkladzie N(10,1), N(10,22), N(10,32)
Paramer ’sigma’ jest miara, rozproszenia wartości
zmiennej losowej dookoÃla wartości oczekiwanej
tej zmiennej losowej.
Parametr ’sigma’ jest nazywany również
precyzja, pomiarów.
3
4. Aproksymacja rozkÃladu binomialnego za
pomoca, rozkÃladu normalnego
E(Xbin) = np,
V ar(Xbin) = npq.
Aproksymujemy rozkÃladem N (µ = np, σ 2 = npq)
P (Xbin < k) = P (Xnormal < k − 1
2 ).
4
5. Obliczanie kwantyli w rozkÃladzie normalnym N (0, 1)
Niech Z ∼ N (0, 1).
Dla danego α (’alpha’, wartości prawdopodobieństwa) szukamy takiej wartości zα, żeby
P (Z < zα) = α
5
6. Obliczanie kwantyli w rozkÃladzie normalnym N (µ, σ 2)
Rozważmy teraz ogólnie zmienna, X taka, że:
X ∼ N (µ, σ 2).
Mamy wyznaczyć kwantyl rzedu
α, czyli taka,
,
wartość qα, że
P (X < qα) = α.
Postepujemy
teraz nastepuj
aco:
,
,
,
1. Dla danego α wyznaczamy z rozkÃladu Gaussa–
Laplace’a kwantyl zα.
2. Obliczony kwantyle destandaryzujemy, tzn.
obliczamy
qα = zα ∗ σ + µ.
Wyznaczona w ten sposób wartość qα jest szukanym kwantylem rozkÃladu zmiennej X.
6