TEORIA GIER Przed egzaminem pisemnym • W czasie przygotowan

TEORIA GIER
Przed egzaminem pisemnym
• W czasie przygotowań można oczywiście korzystać z mojej pomocy, mailem lub osobiście, w
mailem umówionych terminach.
• Należy powtórzyć sobie z grubsza metody rozwia,zywania zadań, które pojawily sie, na zaje, ciach
i kolokwiach. Be, de, zakladać, że metody te Państwo dobrze znacie.
• Poniżej podaje, przykladowe pytaniach/zadania egzaminacyjne. Nie oznacza to, że pojawia, sie,
na egzaminie. Ponadto przyklady te nie wyczerpuja, wszystkich zagadnień. Jeżeli w zadaniu
jest pytanie, to odpowiedź należy zawsze poprzeć albo dowodem, albo przykladem, albo kontrprzykladem (z komentarzem), w zależności od charakteru pytania. Można wykorzystywać
(bez dowodu) dowolne wlasności gier, o jakich mówiliśmy na zaje, ciach, o ile ich dowód nie jest
przedmiotem zadania.
Zad.1. Wszystkie zadania teoretyczne z list 1–13.
Zad.2. Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej |S1 | > 1, |S2 | > 1, a strategie A ∈ S1 i X ∈ S2 sa, slabo
zdominowane. Czy wynika z tego, że
(a) nie istnieje punkt równowagi Nasha (σ1 , σ2 ), dla którego A ∈ supp σ1 i X ∈ supp σ2 ?
(b) istnieje punkt równowagi Nasha (σ1 , σ2 ), dla którego A ∈
/ supp σ1 i X ∈
/ supp σ2 ?
Zad.3. W grach n–osobowych w postaci normalnej poziomem bezpieczeństwa dowolnego gracza i jest
liczba
Bi = sup
inf wi (σ̄−i ; σi ),
σi ∈Mi σ̄−i ∈M−i
równoważnie
Bi = sup
min wi (σ̄−i ; σi ).
σi ∈Mi σ̄−i ∈S −i
(a) Zalóżmy, że w grze dwumacierzowej obaj gracze stosuja, strategie bezpieczeństwa. Czy tworza,
one punkt równowagi Nasha?
(b) Zalóżmy, że w grze macierzowej (czyli o sumie zerowej) obaj gracze stosuja, strategie bezpieczeństwa.
Czy tworza, one punkt równowagi Nasha?
(c) Zalóżmy, że w grze trzyosobowej o sumie zerowej wszyscy trzej gracze stosuja, strategie bezpieczeństwa.
Czy tworza, one punkt równowagi Nasha?
(d) Czy suma poziomów bezpieczeństwa wszystkich graczy w grze trzyosobowej o sumie zerowej
wynosi 0?
Zad.4.


f1 (x1 , x2 , x3 ) = x3 (max)





−a11 x1 − a21 x2 + x3 6 0
−a12 x1 − a22 x2 + x3 6 0


x 1 + x 2 6 1



−x − x 6 −1
1
2


f2 (x4 , x5 , x6 ) = x6 (min)





−a11 x4 − a12 x5 + x6 > 0
−a21 x4 − a22 x5 + x6 > 0


x4 + x5 > 1



−x − x > −1
4
5
Po lewej stronie dane jest zagadnienie LP, zaś po prawej zagadnienie dualne do pewnego zagadnienia
LP.
(a) Sformuluj zagadnienie LP, do którego zagadnienie po prawej stronie jest dualne.
(b) Czy na podstawie rozwia,zań zagadnień po lewej i po prawej stronie można odczytać wartość gry
i strategie optymalne poniższej gry macierzowej?
L
P
A a11 a12
B a21 a22
Jeśli nie, to uzasadnij dlaczego. Jeśli tak, to opisz, w jaki sposób.
(c) Zalóżmy, że (a, b, c) jest rozwia,zaniem zagadnienia po lewej stronie, a (a′ , b′ , c′ ) jest rozwia,zaniem
zagadnienia po prawej. Czy na pewno c = c′ ?
1
2
Zad.5. Zalóżmy, że A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }, a relacja ≼ jest quasi-porza,dkiem liniowym na L(A). Gracz
podal nam cze, ściowe informacje o swoich preferencjach ≼ na zbiorze loterii:
1
2
[a1 ] ≺ [a2 ] ≺ [a3 ] ≺ [a4 ], [a4 ] ≼ [a2 ] + [a1 ].
3
3
Czy relacja ≺ może być monotoniczna?
Zad.6. Rozważmy dwuosobowa, gre, w postaci ekstensywnej z pamie, cia, doskonala,. Zalóżmy, że σ1 ∈ M1 ,
σ2 ∈ M2 , a b1 ∈ B1 i b2 ∈ B2 sa, strategiami równoważnymi odpowiednio σ1 i σ2 . Udowodnij, że σ1
jest najlepsza, odpowiedzia, (mieszana,) na σ2 wtedy i tylko wtedy, gdy b1 jest najlepsza, wśród strategii
behawioralnych odpowiedzia, na b2 .
Zad.7. Niech
{
( x − 1 )2 ( y + 2 )2
}
W = (x, y) ∈ R2 :
+
6 1, y > −2 .
2
4
Udowodnij, korzystaja,c wyla,cznie z aksjomatów schematu arbitrażowego Nasha (czyli nie można korzystać
np. z twierdzenia Nasha o arbitrażu, metody ka,t-ka,t, itp.), że istnieje co najwyżej jeden punkt, be, da,cy
rozwia,zaniem arbitrażowym w sensie Nasha dla zbioru negocjacyjnego W i punktu niezgody Q = (1, −2).
Zad.8. Rozważmy n–osobowa, (n > 3) gre, koalicyjna,, w której role graczy 1 i 2 sa, symetryczne. Czy
dla każdego elementu (x1 , x2 , x3 ) rdzenia gry zachodzi x1 = x2 ?
Zad.9. Czy istnieje gra o niepustym rdzeniu, której wartość Shapleya do tego rdzenia nie należy?
Zad.10. Rozważmy n–osobowa, (n > 3) gre, koalicyjna, o nieujemnej funkcji charakterystycznej v.
Przypuśćmy, że dla każdej koalicji K, która zawiera gracza 1, zachodzi v(K) = 0. Czy oznacza to,
że ϕ1 (v) = 0 ?