Zadania z podzielności liczb przedstawione przez CZEM CKE
Transkrypt
Zadania z podzielności liczb przedstawione przez CZEM CKE
Zadania z podzielności liczb przedstawione przez CZEM CKE Zadanie 1. (2 pkt) (V 2014 podstawa) Udowodnij, ze każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby przez 7 jest równa 5. Zadanie 2. (2 pkt) (przykładowy arkusz, podstawa) Udowodnij, ze każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby przez 7 jest równa 5. Zadanie 3. (Informator od 2015, rozszerzenie) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k2+1) jest podzielna przez 5. Zadanie 4. (VI 2013 podstawa, od 2015 rozszerzenie) Wykaż, że liczba (1+20132)(1+20134) jest dzielnikiem liczby 1+2013+20132+20133+20134+20135+20136+20137. Zadanie 5. (2013, podstawa) Wykaż, że liczba 6100-2·699+10·698 jest podzielna przez 17. Zadanie 6. (2012, podstawa) Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Zadanie 7. (2011, rozszerzenie) Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k6-2k4+k2 jest podzielna przez 36. Zadanie 8. (próbna XII, 2014 podstawa) Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Zadanie 9. (modyfikacja zadania 8) Udowodnij, że kwadrat liczby pierwszej różnej od 3 daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Zadanie 10. Liczba całkowita k przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, zaś przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Oblicz resztę z dzielenia liczby k przez 12. Zadanie 11. Uzasadnij, że liczba 100n+4·10n+4 jest podzielna przez 9. Zadanie 12. Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej k liczba k3+3k2-k-3 jest podzielna przez 48. Zadanie 13. Udowodnij, że jeśli p jest liczbą niepodzielną przez 3, to liczba p2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Zadanie 14. Udowodnij, że jeśli p jest liczbą niepodzielną przez 5, to liczba p4 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1. Zebrała Barbara Pawlak