wnioskowanie statystyczne o charakterystykach technologii

Wnioskowanie statystyczne w ekonometrycznej analizie procesu produkcyjnego
1/5
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
W EKONOMETRYCZNEJ ANALIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO
Materiał pomocniczy: proszę przejrzeć strony
www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl04.html
www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/ek1zaj09.html
www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/ek1zaj10.html
Rozważmy następujące formy funkcyjne technologii:
Funkcja translogarytmiczna:
2
2
ln Q = α 0 + α 1 ln K + α 2 ln L + α 3 (ln K ) + α 4 (ln L ) + α 5 ln K ln L
Funkcja Cobba i Douglasa (potęgowa):
ln Q = α 0 + α 1 ln K + α 2 ln L
Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES):
[
Q = γ δ 1 K ρ + (1 − δ 1 )Lρ
]
ν
ρ
(1)
(2)
(3)
(Uwaga! powyżej podajemy deterministyczną postać technologii, z pominięciem składników
losowych, dane są przykładowe postacie funkcji dwuczynnikowych z wielkościami nakładów
oznaczonymi jako K oraz L)
W zastosowaniach ekonometrycznych możemy zbudować następujące równania obserwacji (po
uwzględnieniu specyfikacji stochastycznej oraz dodatkowo z dynamizacją [tylko dla danych
w postaci szeregów czasowych]):
Dla funkcji translogarytmicznej:
2
2
ln Qt = α 0 + α 1 ln K t + α 2 ln Lt + α 3 (ln K t ) + α 4 (ln Lt ) + α 5 ln K t ln Lt + τ t + ε t
Dla funkcji Cobba i Douglasa (potęgowej):
ln Qt = α 0 + α 1 ln K t + α 2 ln Lt + τ t + ε t
Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES):
[
(4)
(5)
]
ν
ρ
ρ
ln δ 1 K t + (1 − δ 1 )Lt + τ t + ε t .
(6)
ρ
Jeśli możemy założyć, iż ε t ~ iiN (0, σ 2 ) , to równania (4) oraz (5) spełniają założenia
ln Qt = ln γ +
Klasycznego Modelu Normalnej Regresji Liniowej, zaś równanie (6) spełnia założenia Modelu
Normalnej Regresji Nieliniowej. Gdy mamy do czynienia z danymi przekrojowymi (lub nie
chcemy rozważać funkcji zdynamizowanej), pomijamy ...+τ t +... .
Załóżmy, że przyjęto następującą kolejność w wektorze parametrów [i co za tym idzie,
odpowiednio w xt dla równania (4) oraz (5) oraz w At ( β ) dla równania (6)]:
-dla funkcji translogarytmicznej (4):
β ' = [α 0 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 τ ]
(7)
Wnioskowanie statystyczne w ekonometrycznej analizie procesu produkcyjnego
-dla funkcji Cobba i Douglasa (5):
-dla funkcji CES (6):
β ' = [α 0 α 1 α 2 τ ]
β ' = [γ δ 1 ν ρ τ ]
2/5
(8)
(9)
Po dokonaniu estymacji dysponujemy ocenami parametrów MNK: βˆ [dla f. CES (6) są to oceny
nieliniowej MNK] oraz oszacowaną macierzą kowariancji estymatora: Vˆ β̂ [dla f. CES (6)
()
()
mamy oszacowaną asymptotyczną macierz kowariancji estymatora nieliniowej MNK: Vˆas β̂ ].
Rozważmy zastosowania znanych nam możliwości wnioskowania statystycznego w KMNRL
oraz MNRN.
Możliwość redukcji modelu:
Możemy się zastanawiać, czy dane dopuszczają możliwość zastąpienia wykorzystywanej formy
funkcyjnej przez formę prostszą. W szczególności:
Dla funkcji CES (6) zauważamy, że przy ρ→0 funkcja CES ma własności funkcji Cobba
i Douglasa. W związku z tym hipotezę o zerowaniu się parametru ρ możemy interpretować
w przybliżeniu jako test redukcji funkcji CES do funkcji Cobba i Douglasa. Parę hipotez:
(H0: ρ = 0; H1: ρ ≠ 0) testujemy testem t-Studenta.
Dla funkcji translogarytmicznej (6) zauważamy, że gdy równocześnie wyzerujemy parametry α3,
α4,
α5,
to
otrzymamy
funkcję
Cobba
i
Douglasa.
Parę
hipotez:
(H0: α3 = α4 = α5 = 0; H1: α3 ≠ 0 ∨ α4 ≠ 0 ∨ α5 ≠ 0) testujemy testem F.
W powyższych przypadkach modelowi prostszemu (funkcji Cobba i Douglasa) odpowiada
hipoteza zerowa. Pamiętajmy, że wynik testu „brak podstaw do odrzucenia H0” nie oznacza, iż
musimy ją przyjąć – nie można automatycznie wyniku testu przenosić na decyzję o redukcji
modelu, jednakże wynik testu może być istotną przesłanką takiej decyzji. Wobec tego
w przypadku „braku podstaw do odrzucenia H0” możemy zredukować formę CES lub funkcję
translogarytmiczną do formy Cobba i Douglasa.
Wnioskowanie o współczynniku postępu techniczno-organizacyjnego:
Możemy każdorazowo testować zasadność wprowadzenia dynamizacji (co można interpretować
jako badanie występowania istotnego postępu/regresu techniczno-organizacyjnego). Odpowiada
to oczywiście testowaniu istotności parametru τ, do czego wykorzystamy test typu t-Studenta.
Podobnie możemy dokonać estymacji przedziałowej parametru τ, wykorzystując standardowy
sposób postępowania.
Wnioskowanie o elastycznościach produkcji względem wielkości nakładów:
W przypadku funkcji Cobba i Douglasa (2) otrzymujemy:
∂ ln Q(.)
El Q / K =
= α 1 . Wobec tego ElˆQ / K = αˆ 1 , D ElˆQ / K = D(αˆ 1 ) wyliczamy standardowo
∂ ln K
i możemy standardowymi technikami prowadzić zarówno estymację przedziałową tej
elastyczności, jak i weryfikować parę hipotez typu: (H0: ElQ/K = x*; H1: ElQ/K ≠ x*) testem tStudenta [x* oznacza pewną ustaloną, interesującą nas wartość, np. 1]
(
)
Wnioskowanie statystyczne w ekonometrycznej analizie procesu produkcyjnego
3/5
W przypadku funkcji translogarytmicznej (1) otrzymujemy:
∂ ln Q(.)
El Q / K =
= α 1 + 2α 3 ln K + α 5 ln L . Wobec tego ElˆQ / K = αˆ 1 + 2αˆ 3 ln K * +αˆ 5 ln L *
∂ ln K
[gdzie K* oraz L* to pewne interesujące nas znane, nielosowe wielkości nakładów], zaś aby
wyliczyć D ElˆQ / K odwołujemy się do wnioskowania o liniowej funkcji współczynników
(
)
regresji:
przyjmujemy: ψ = c' β = α 1 + 2α 3 ln K * +α 5 ln L *
gdzie (por. (7)): c′ = [0
1
0
2lnK*
0
lnL*
0]]. Dalej standardowo wyliczamy
ˆ
D El Q / K = D(ψˆ ) i możemy zwykłymi technikami prowadzić zarówno estymację przedziałową
(
)
tej elastyczności, jak i weryfikować parę hipotez typu: (H0: ElQ/K = x*; H1: ElQ/K ≠ x*) testem tStudenta.
W przypadku funkcji CES mamy:
νδ1 K ρ
∂Q (.) K
ElQ / K =
=
∂K Q(.) δ1 K ρ + (1 − δ1 ) Lρ
Co prawda ocenę punktową elastyczności możemy łatwo otrzymać wstawiając do powyższego
wzoru oceny parametrów oraz pewne ustalone wartości K* oraz L*, jednakże dla estymacji
przedziałowej lub testowania hipotez typu (H0: ElQ/K = x*; H1: ElQ/K ≠ x*) nie da się wykorzystać
znanych nam dotąd technik. Wymagałoby to bowiem wnioskowania o NIELINIOWYCH
funkcjach parametrów, co będziemy rozważać w dalszej kolejności.
Wnioskowanie o współczynniku efektu skali:
W przypadku funkcji o stałej elastyczności substytucji (CES) możemy pokazać iż:
RTS = ElQ / K + ElQ / L = ν (tylko trzeba to wyprowadzić, zob. zajęcia 9). W związku z tym
wnioskowanie o współczynniku efektu skali [estymacja przedziałowa, testowanie stałych
korzyści skali tj. (H0: RTS = 1; H1: RTS ≠ 1) lub ogólnie (H0: RTS = x*; H1: RTS ≠ x*)] prowadzi
się standardowo: testujemy hipotezy lub estymujemy przedziałowo parametr ν, do czego
wystarczy nam znajomość jego oceny oraz oszacowana asymptotyczna macierz kowariancji
estymatora nieliniowej MNK Vˆas β̂ .
()
W funkcji Cobba i Douglasa można pokazać iż:
∂ ln Q(.) ∂ ln Q(.)
RTS = El Q / K + ElQ / L =
+
= α 1 + α 2 . Wobec tego RTˆS = αˆ 1 + αˆ 2 , zaś dla
∂ ln K
∂ ln L
estymacji przedziałowej lub testowania hipotez o współczynniku efektu skali (jak np. hipotezy
o występowaniu stałych korzyści skali potrzebujemy D RTˆS . Widać jednak iż wystarczy
przyjąć:
RTS = ψ = c′β, gdzie c′ = [0 1 1 0] (por. (5) oraz (8))
i już błąd średni szacunku dla efektu skali możemy wyliczyć jako:
( )
ˆ ) = D(ψˆ ) = c 'Vˆ ( βˆ )c
D( RTS
co pozwala dokonać estymacji przedziałowej wartości współczynnika efektu skali oraz np.
testować hipotezę o występowaniu stałych korzyści skali.
Wnioskowanie statystyczne w ekonometrycznej analizie procesu produkcyjnego
4/5
W przypadku funkcji translogarytmicznej (w przeciwieństwie do funkcji CES oraz funkcji Cobba
i Douglasa) współczynnik efektu skali jest zależny od poziomów wszystkich nakładów:
RTS = ElQ / K + ElQ / L = α1 + α 2 + 2α 3 ln K * +2α 4 ln L * +α 5 (ln K * + ln L*)
(por. zajęcia 10 oraz zadl04.html)
Możemy postąpić podobnie jak dla funkcji Cobba i Douglasa, przyjmuąc:
RTS = ψ = c′β,
tylko że c′ będzie miał bardziej skomplikowaną postać. Na podstawie (4) i (7) możemy
stwierdzić, iż w naszym przypadku:
c′ = [0 1 1 2lnK* 2lnK* lnK*+lnL* 0]
ˆ = ψˆ = c ' βˆ , D( RTS
ˆ ) = D(ψˆ ) = c 'Vˆ ( βˆ )c
RTS
podobnie:
co pozwala dokonywać estymacji przedziałowej współczynnika efektu skali lub testować
hipotezę mówiącą o tym, iż przyjmuje on pewną konkretną wartość x* (dla ustalonych wartości
K* oraz L*).
Wnioskowanie o technicznej stopie substytucji:
Techniczna stopa substytucji RLK w żadnym przypadku (ani dla funkcji Cobba i Douglasa, ani dla
funkcji CES, ani dla funkcji o translogarytmicznej) nie jest liniową funkcją parametrów. Ogólnie
mamy RLK =
RLK CiD =
PK ElQ / K L
=
PL ElQ / L K
α1 L *
α2 K *
ρ −1
δ ⎛ K *⎞
RLK = 1 ⎜
1 − δ1 ⎝ L * ⎟⎠
α + 2α 3 ln K * +α 5 ln L * L *
RLK TL = 1
α 2 + 2α 4 ln L * +α 5 ln K * K *
co oznacza, że dla celów estymacji przedziałowej musielibyśmy wykorzystać techniki
wnioskowania o nieliniowych funkcjach parametrów.
Jednakże w przypadku pary hipotez typu: (H0: RLK = x*; H1: RLK ≠ x*) możemy (dla funkcji
translogarytmicznej oraz Cobba i Douglasa) dokonać takiej transformacji testowanej równości, że
może być ona przedstawiona jako liniowa funkcja parametrów.
CES
Dla funkcji Cobba i Douglasa:
H0: RLK = x*; H1: RLK ≠ x*
α L*
= x*
α1 L* = α 2 K * x *
ponieważ: 1
α2 K *
to równoważnie:
H1: ψ ≠ 0
H0: ψ = 0;
przyjmujemy więc: ψ = c′β, gdzie: c′ = [ 0
L*
α1 L * −α 2 K * x* = 0
-x*K*
0], co testujemy standardowo
wykorzystując: ψˆ = c ' βˆ oraz D(ψˆ ) = c 'Vˆ ( βˆ )c . To samo równanie można przekształcić także
w inny sposób, dzieląc jeszcze dodatkowo przez L* lub K*.
Wnioskowanie statystyczne w ekonometrycznej analizie procesu produkcyjnego
5/5
Dla funkcji translogarytmicznej postępujemy podobnie, tj. mnożymy przez mianownik w taki
sposób, żeby uzyskać linową funkcję parametrów:
H0: RLK = x*; H1: RLK ≠ x*
ponieważ rozpatrywaną równość możemy przekształcić:
α1 + 2α 3 ln K * +α 5 ln L * L *
= x*
α 2 + 2α 4 ln L * +α 5 ln K * K *
L*
= x * (α 2 + 2α 4 ln L * +α 5 ln K *)
K*
L*
L*
⎛ L*
⎞
α1
− α 2 x * +α 3
2ln K * −α 4 x * 2ln L * +α 5 ⎜
ln L * − x * ln K * ⎟ = 0
K*
K*
⎝K*
⎠
(α1 + 2α 3 ln K * +α 5 ln L *)
odpowiednio do tego podstawiamy:
H0: ψ = 0;
H1: ψ ≠ 0
gdzie:
ψ = c′β oraz
c′ = [ 0 L*/K* -x* (L*/K*) 2 ln K*
dalej postępujemy jak wyżej.
-x* (2 ln L*)
(L*/K*)lnL*-x* (ln K*)
0],
Wnioskowanie o elastyczności substytucji:
Elastyczność substytucji w funkcji Cobba i Douglasa wynosi 1 i nie podlega wnioskowaniu
statystycznemu, zaś dla funkcji translogarytmicznej tej charakterystyki nie rozpatrujemy, bo
wymaga to pewnych dodatkowych komplikacji. Jednak w przypadku funkcji CES:
ES CES =
1
1− ρ
jak widać, elastyczność substytucji jest nieliniową funkcją ρ, więc nie możemy poznanymi dotąd
technikami prowadzić estymacji przedziałowej. Jednak w przypadku pary hipotez:
H0: ES = x*; H1: ES ≠ x*
możemy dokonać serii przekształceń:
ES CES = x *
1
= x*
1− ρ
1 = x * −ρ x *
ρ x* = x * −1
x * −1
ρ=
x*
i sprowadzić przedstawiony problem do testowania hipotezy o współczynniku ρ.