Kółko z Jensena 1. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+, że x + y + z = 1

Kółko z Jensena
1. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+ , że x + y + z = 1 zachodzi:
3x + 1 3y + 1 3z + 1
9
+
+
¬
x+1
y+1
z+1
2
2. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+ , że x + y + z = 1 zachodzi:
3
3
q
3
x2 + y 2 + z 2 ¬
x2 + y 2 + z 2
3. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+ zachodzi:
q
√
√
√
x y + z + y x + z + z x + y ¬ 2(x + y + z)(xy + yz + zx)
4. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ R+ zachodzi:
√
3
a
b
c
d
√
√
√
+
+
+
­1
3
3
3
a3 + 63bcd
b3 + 63acd
c3 + 63abd
d3 + 63abc
5. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ R+ zachodzi:
s
a3
+
b+c
s
b3
+
c+d
s
c3
+
d+a
s
d3
a+b+c+d
√
­
a+b
2
6. Liczby x, y, z sa, nieujemne i sumuja, sie, do π2 . Pokazać, że:
1 ¬ sin x + sin y + sin z ¬
3
2
7. Wewnatrz
trójkata
ostrokatnego
ABC obrano punkt P zaś K, L, M sa, jego rzutami na
,
,
,
boki BC, AC, AB odpowiednio. Pokazać, że:
8|P K||P L||P M | ¬ |P A||P B||P C|
8. Liczby x, y, z sa, dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, zaś t jest dowolna, liczba,
)t .
rzeczywista., Oznaczmy: L = xt y + xy t + xt z + xz t + y t z + yz t oraz P = 2(x + y + z)( xy+yz+xz
x+y+z
Dla jakich t dla dowlnego wyboru x, y, z zachodzi zawsze L ¬ P a dla jakiego L ­ P ?
1