Kółko z Jensena 1. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+, że x + y + z = 1
Transkrypt
Kółko z Jensena 1. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+, że x + y + z = 1
Kółko z Jensena 1. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+ , że x + y + z = 1 zachodzi: 3x + 1 3y + 1 3z + 1 9 + + ¬ x+1 y+1 z+1 2 2. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+ , że x + y + z = 1 zachodzi: 3 3 q 3 x2 + y 2 + z 2 ¬ x2 + y 2 + z 2 3. Pokazać, że dla x, y, z ∈ R+ zachodzi: q √ √ √ x y + z + y x + z + z x + y ¬ 2(x + y + z)(xy + yz + zx) 4. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ R+ zachodzi: √ 3 a b c d √ √ √ + + + 1 3 3 3 a3 + 63bcd b3 + 63acd c3 + 63abd d3 + 63abc 5. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ R+ zachodzi: s a3 + b+c s b3 + c+d s c3 + d+a s d3 a+b+c+d √ a+b 2 6. Liczby x, y, z sa, nieujemne i sumuja, sie, do π2 . Pokazać, że: 1 ¬ sin x + sin y + sin z ¬ 3 2 7. Wewnatrz trójkata ostrokatnego ABC obrano punkt P zaś K, L, M sa, jego rzutami na , , , boki BC, AC, AB odpowiednio. Pokazać, że: 8|P K||P L||P M | ¬ |P A||P B||P C| 8. Liczby x, y, z sa, dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, zaś t jest dowolna, liczba, )t . rzeczywista., Oznaczmy: L = xt y + xy t + xt z + xz t + y t z + yz t oraz P = 2(x + y + z)( xy+yz+xz x+y+z Dla jakich t dla dowlnego wyboru x, y, z zachodzi zawsze L ¬ P a dla jakiego L P ? 1