θ - Ekonometria
Transkrypt
θ - Ekonometria
Uogólniona Metoda Momentów • Momenty z próby daż ˛ a˛ do momentów teoretycznych (Prawo Wielkich Liczb) n 1X yi = E (y) plim n i=1 • Klasyczna Metoda Momentów (M M ) polega na szacowaniu momentów teoretycznych E (y), za pomoca˛ momentów z próby. ¡ ¢ Przykład Załóżmy, że próba pochodzi z rozkładu normalnego N 0, σ . Jeśli spełnione sa˛ założenia prawa wielkich liczb, to 2 n 1X plim yi = plim y = E (y) = µ n i=1 Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 1 n X £ 2 ¤ 1 2 2 sy = plim (yi − y) = E y − E (y) = Var (y) = σ 2 n i=1 Za estymatory metody momentów µ można wiec ˛ przyjać ˛ y a σ 2 można oszacować za pomoca˛ s2y . • Uogólniona Metoda Momentów (GM M - Generalised Method of Moments) rozszerza ta˛ metode˛ o dwa elementy. • Wektor momentów teoretycznych jest funkcja˛ nieznanych wektora parametrów θ taka, ˛ że E [m (yi, xi, θ)] = 0 • m (yi, xi, θ) bedziemy ˛ oznaczać jako mi (θ). Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 2 • Jeśli spełnione sa˛ założenia prawa wielkich liczb, to n 1X mi (θ) = 0 plim n i=1 • Estymator GM M rozwiazuj ˛ ac ˛ nastepuj ˛ acy ˛ układ równań: ³ ´ 1X b =0 mi θ n i=1 n • Bardzo cz˛esto warunki wynikajace ˛ z teorii maja˛ postać mometów warunkowych: E [f i (θ)| z i] = 0 gdzie z i może cz˛eściowo składać sie˛ z elementów wektora zmiennych objaśniajacych ˛ xi Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 3 • Liczenie empirycznych momentów warunkowych w przypadku, kiedy z i jest ciagłe ˛ jest sprawa˛ beznadziejna. ˛ • W zwiazku ˛ z tym staramy sie˛ zastapić ˛ momenty warunkowe momentami bezwarunkowymi. • Z prawa iterowanych wartości oczekiwanych dla mi (θ) = w0if i (θ) i wi = w (z i) wynika, że 0 0 E [mi (θ)] = E [wif i (θ)] = Ezi [wi E (f i (θ)| z i)] = 0 • I ograniczenia narzucone na warunkowe wartości oczekiwane możemy zastapić ˛ ograniczeniami narzuconymi na bezwarunkowe wartości oczekiwane 0 E [wif i (θ)] = 0. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 4 • Elementy wektora wi nazywamy instrumentami Przykład Wyprowadzenie estymatora MNK w Uogólnionej Metodzie Momentów Założenia KM RL można modyfikować w sposób nastepuj ˛ acy: ˛ 1. yi = xiβ + εi 2. E (εi| xi) = 0 3. Var (ε) = σ 2I Zauważmy, że założenia o tym, że xi jest deterministyczne i E (εi) = 0 zastapiło ˛ założenie, że E (εi| xi) = 0. Przyjmijmy za instrumenty w Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 5 tym modelu elementy xi. Otrzymujemy nastepuj ˛ acy ˛ warunek nałożony na bezwarunkowa˛ wartość oczekiwana: ˛ 0 0 E (xiεi) = E [xi (yi − xiβ)] = 0 Odpowiadajacy ˛ temu warunkowi warunek narzucony na momenty empiryczne bedzie ˛ miał postać n ´ 1³ ´ 1X 0³ 0 0 b = b =0 xi y i −xi β X y − X Xβ n i=1 n ¡ 0 ¢−1 0 b Xβ Co daje nam znany wzór β = X X • Ogromna˛ zaleta˛ Uogólnionej Metody Momentów jest to, że niekiedy możliwe jest wyprowadzenie postaci warunków narzuconych na momenty bezpośrednio z teorii. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 6 Identyfikacja i asymptotyczne własności estymatorów GM M • Załóżmy, że ³ ´ ³ ´ ³ ´ 0 m θ̇ = plim mn θ̇ = M θ̇ l ³ ´ ³ ´ Pn 0 1 gdzie mn θ̇ = n i=1 mi θ̇ , M = (m1, . . . , mn) a l jest wektorem jedynek. • Możliwe jest jednoznaczne znalezienie θ jeśli prawdziwe jest założenie, że ³ ´ m θ̇ = 0 dla θ̇ = θ ³ ´ m θ̇ 6= 0 dla θ̇ 6= θ Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 7 • Jeśli m (θ) nie spełnia tych warunków, to nie można jednoznacznie wyznaczyć estymatora parametru θ. W takim przypadku mówimy, że parametr θ jest nieidentyfikowalny. • Jeśli wektor θ zawiera k parametrów, to ilość równań w musi być conajmniej równa k, by θ było identyfikowalne • Cz˛esta jest sytuacja, kiedy ilość równań w przekracza k. Parametr θ przeidentyfikowany. • Możemy wyznaczyć θ na postawie jakichkolwiek k równań • Asymptotycznie równania te sa˛ niesprzeczne w małych próbach moga˛ być sprzeczne Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 8 • Jeśli spełnione sa˛ założenia Centralnego Twierdzenia Granicznego, to 1 2 n mn (θ) −→ N (0, V (θ)) gdzie 1 V (θ) = plim M 0 (θ) M (θ) = plim V n (θ) n Przykład Dla rozkładu Poissona dla naturalnych yi: e−λλyi P (yi) = yi ! W rozkładzie Poissona E (yi) = Var (yi) = λ. Załóżmy, że λ = α + xi β Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 9 oraz, że xi jest nielosowe a x, x2 sa˛ zbieżne. Wynika z tego, że E (yi) = λi Var (yi) = λi E (xiyi) = xiλi Warunki narzucone na momenty implikuja, ˛ że y = α + xβ s2y = α + xβ yx = αx + x2β Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 10 Z tego układu równań otrzymujemy dwa rozwiazania ˛ b = sxy β s2x b b = y − xβ α yx − s2y x e= β s2x e e = y − xβ α Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 11 Optymalna macierz wag • Szukamy takiej średniej ważonej estymatorów dla przeidentyfikowanego θ by wariancja była najmniejsza • Problem szukania interesujacego ˛ nas estymatora można sprowadzić do szukania minimum wzgledem ˛ θ formy kwadratowej: Q (θ) = m0n (θ) Anmn (θ) gdzie An jest pewna˛ dodatnio określona˛ macierza, ˛ która spełnia plim An = A. Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 12 b które minimalizuje funkcje˛ Q (θ): • Estymatorem θ jest teraz takie θ, ³ ´ ³ ´ b Anmn θ b b = arg minm0 θ θ n b θ • Estymator ten bedzie ˛ estymatorem zgodnym ponieważ spełnione sa˛ założenia konieczne dla zgodności estymatora M • Rzeczywiście dla dodatnio określonej An, q (θ) = m0n (θ) Anmn (θ) daje najmniejsza˛ wartość (równa˛ 0) dla θ = θ 0. • Można pokazać, że estymator GM M bedzie ˛ miał najniższa˛ wariancje˛ jeśli A = V −1. • Za An przyjmujemy wiec ˛ zwykle An = V n (θ) Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 13 • Ponieważ w momencie wyliczania estymatora nie znamy θ wiec ˛ zazwyczaj estymacja nastepuje ˛ w dwóch krkocach b z użyciem jakiejkolwiek An (zwykle An = I), 1. najpierw znajdujemy θ ³ ´ b zanjdujemy oszacowanie V n θ ³ ´ b b za pomoca˛ efektywnego GM M używajac bn = V n θ 2. znajdujemy θ ˛ A • Przy tak dobranej macierz An asymptotyczna rozkład estymatora GM M bedzie ˛ dany wzorem n ¡ 0 gdzie Σ = D V −1 D Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW ¢−1 1 2 ³ ´ D b − θ −→ θ N (0, Σ) i D n (θ) = ∂mn (θ) ∂θ . 14 Wybór instrumentów • Generalnie im wiecej ˛ instrumentów tym lepiej • Trzeba jednak uważać, by nie używać intrumentów słabo skorelowanych ze zmiennymi objaśniajacymi ˛ – przyjecie ˛ takich intrumentów może doprowdzić do tego, że nawet niewielka korelacja intrumentu z zaburzeniem losowym doprowadzi do dużego obciażenia. ˛ • Przy warunku E [f i (θ)| z i] = 0 • Każda funkcja z i jest nieskorelowana z f i (θ) - potencjalnie nieskończenie wiele instrumentów Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 15 • Można pokazać, że wariancja bedzie ˛ najniższa dla instrumentów danych wzorem: ³ ´ ¯¯ b ¯ ∂f θ i ¯ Ji = E ¯ z i 0 ∂θ ¯ ¯ • Intrumenty takie nazywamy optymalnymi intrumentami Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 16 Testowanie hipotez w GM M • Testowanie w GM M daje proste ³ ´wzory dla przypadku, kiedy macierz b . Najważniejszym testem jest test na wag jest optymalna An = V −1 θ n przeidentyfikowujace ˛ ograniczenia −1 D b c −→ χ2g nc mV m 0 gdzie g jest ilościa˛ przeidentyfikowujacych ˛ ograniczeń. ograniczenia ponad te konieczne do identyfikacji. Testuje on • Dla hipotezy h (θ) = 0 i H (θ) = ∂h(θ) mamy odpowiednik GM M testu ∂θ 0 Walda: ¸−1 · ³ ´ −1 0 0 0 −1 D b −→ b c b b b c h χ2g H W = nh H D V D Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 17 b Vb sa˛ odpowiednimi macierzami policzonymi dla θ: b c D, b h, gdzie H, estymatora GM M w modelu bez ograniczeń. • Odpowiednik testu LM ma postać LM = −1 0 eR nc mRVb R D ³ ´−1 0 −1 0 −1 b Vb D bR b Vb m D D R R R R cR D −→ χ2g bR : b R, Vb R sa˛ odpowiednimi macierzami policzonymi dla θ cR , D gdzie m estymatora GM M w modelu z ograniczeniami. • Odpowiednikiem testu LR jest Quasi LR ³ ´ −1 −1 0 cR cVb m c−m cRVb R m QLR = n m ³ ³ ´ ³ ´´ D b −Q θ bR −→ =n Q θ χ2g Wykład z Ekonometrii, III rok, WNE UW 18