Analiza numeryczna pola temperatur w obszarze tkanki skórnej dla

Transkrypt

Fizjoterapia 2008, 16, 2, 7-12
ISSN 1230-8323
DOI: 10.2478/v10109-009-0014-y
Analiza numeryczna pola temperatur w obszarze tkanki skórnej
dla zróżnicowanych zewnętrznych i wewnętrznych stanów cieplnych
Numerical analysis of temperature field in domain of skin tissue
for different external and internal thermal conditions
Bohdan Mochnacki1, Marek Jasiński2
1
2
Politechnika Częstochowska
Częstochowa University of Technology
Politechnika Śląska
Silesian University of Technology, Gliwice
Streszczenie:
Rozkład temperatur w tkance skórnej jest uzależniony od wielu czynników, przede wszystkim od warunków chłodzenia i ogrzewania powierzchni skóry oraz zdolności wewnętrznych metabolicznych źródeł ciepła, które określają
przebieg procesów termalnych w obszarze branym pod uwagę. W niniejszej pracy tkanka skórna jest traktowana
jako niejednorodny wielowarstwowy obszar. Krótkotrwałe, ulotne pole temperatur dla kolejnych warstw jest opisane przez dobrze znane równanie Pennesa. Ponadto można przypuszczać, że istnieje idealny kontakt pomiędzy
warstwami. Przepływ ciepła pomiędzy powierzchnią skóry a środowiskiem jest określony przez warunek Robina.
Rozkład temperatur początkowych jest jednolity (37°C). Metoda elementów brzegowych została zastosowana na
etapie obliczeń numerycznych.
Słowa kluczowe: przepływ biociepła, metody numeryczne.
Abstract:
The temperature distribution in domain of skin tissue is dependent on many factors, first of all the cooling (heating)
conditions of skin surface and the capacity of internal metabolic heat sources determine a course of thermal processes proceeding in the domain considered. In the paper the skin tissue is treated as non-homogeneous multilayer
domain. The transient temperature field for successive layers is described by the well known Pennes equations,
additionally an ideal contact between sub-domains is assumed. The heat transfer between skin surface and environment is determined by the Robin condition. The initial temperature distribution is uniform (37°C). On a stage of
numerical computations the boundary element method has been used.
Key words: bioheat transfer, numerical methods.
Wprowadzenie
Introduction
Warunki przepływu ciepła pomiędzy powierzchnią skóry
a środowiskiem oraz wydolność wewnętrznych źródeł
ciepła są głównymi czynnikami determinującymi chwilowe pole termiczne w obszarze tkanki skórnej. Można
stwierdzić, że graniczny strumień ciepła jest określony
za pomocą granicznego warunku Robina, podczas gdy
wartość zastępczego współczynnika przepływu ciepła
wynika z intensywności konwekcji, promieniowania oraz
zjawiska parowania. Wiedza o chwilowych temperaturach
powierzchni skóry zezwala na określenie wspomnianych
czynników z zastosowaniem powszechnie znanych równań z wszystkimi szczegółami opisanymi w literaturze (np.
[1]). Wydajność wewnętrznych źródeł ciepła (metabolicznych oraz perfuzyjnych) jest funkcją fizjologicznych uwarunkowań, w szczególności Qmet zmiany z 245-420 W/m3
(spoczynek). Podczas ćwiczenia jest ukształtowany przez
wzrastające metaboliczne źródło ciepła przez współczynnik 100 [2]. Przyjmuje się, że wskaźnik perfuzji krwi
w mięśniu (określający wartość Qperf) jest podwyższony do
poziomu maksymalnego przez współczynnik 20 [2].
The heat transfer conditions between skin surface and
environment and the capacity of internal heat sources
are the main factors determining the transient temperature field in skin tissue domain. One can assume that the
boundary heat flux is determined by the Robin condition,
while the value of substitute heat transfer coefficient results from intensity of convection, radiation and evaporation phenomena. The knowledge of temporary skin surface temperature allows to determine above mentioned
components using the well known formulae with full particulars described in literature (e.g. [1]). The efficiency of
internal heat sources (metabolic and perfusion ones) is
a function of physiological conditions, in particular Qmet
changes from 245-420 W/m3 (rest), while the exercise
is modelled by increasing the metabolic heat source by
a factor of 100 [2]. The blood perfusion rate (determining
the value of Qperf) in the muscle is assumed to be elevated
to a maximum by a factor of 20 [2].
In the paper the numerical algorithm basing on the
boundary element method is used to analyze the mutual
Unauthenticated
Download Date | 3/9/17 1:57 AM
7
Bohdan Mochnacki, Marek Jasiński
Analiza numeryczna pola temperatur w obszarze tkanki skórnej dla zróżnicowanych zewnętrznych i wewnętrznych stanów...
Fizjoterapia 2008, 16, 2
W niniejszej pracy algorytm numeryczny oparty na metodzie wartości granicznych został zastosowany w celu analizy wzajemnych powiązań pomiędzy wewnętrznymi i zewnętrznymi warunkami termalnymi (cieplnymi) w przebiegu
temperatur w obszarze tkanki skórnej.
connections between external and internal thermal conditions on a course of temperature in skin tissue domain.
Zbiór równań
Governing equations
Skóra jest traktowana jako wielowarstwowy obszar, w którym można wyróżnić naskórek Ω1 o grubości L1 – L0 [m],
skórę właściwą Ω2 o grubości L2 – L1 oraz warstwę podskórną Ω3 o grubości L3 – L2. Termofizyczne parametry
tych warstw są równe λe [W/(mK)] (przewodnictwo ciepła)
oraz ce [J/(m3 K)] (swoiste ciepło przypadające na jednostkę o wartości), e = 1, 2, 3. Chwilowy przepływ biociepła
w obszarze skóry jest opisany przez następujący zespół
równań [3, 4]:
The skin is treated as a multi-layer domain in which one
can distinguish the epidermis Ω1 of thickness L1 – L0 [m],
dermis Ω2 of thickness L2 – L1 and subcutaneous region
Ω3 of thickness L3 – L2. The thermophysical parameters
of these sub-domains are equal to λe [W/(mK)] (thermal
conductivity) and ce [J/(m3 K)] (specific heat per unit of volume), e = 1, 2, 3. The transient bioheat transfer in domain
of skin is described by the following system of equations
[3, 4]:
x ∈ Ωe : ce
∂Te ( x, t )
∂ 2Te ( x, t )
= λe
+ ke [TB − Te ( x, t ) ]+ Qme ,
∂t
∂x 2
gdzie: ke = Ge cB (Ge [(m3 krwi/s)/(m3 tkanki)] jest wskaźnikiem perfuzji krwi, cB [J/(m3 K)] jest objętościową swoistą ciepłotą krwi), TB jest temperaturą krwi tętniczej oraz
Qme [W/m3] jest metabolicznym źródłem ciepła. Trzeba zaznaczyć, że dla warstwy naskórka (e = 1) G1 = 0
i Qm1 = 0.
Zespół równań (1) jest uzupełniony następującymi warunkami granicznymi:
– na powierzchni kontaktowej pomiędzy warstwami branymi pod uwagę (e = 1, 2)
∂Te ( x, t )
∂T ( x, t )

= −λ e +1 e +1
−λ
x ∈ Γ e,e +1 :  e ∂x
∂x

Te ( x, t ) = Te +1 ( x, t )
,
– na standardowo przyjętych wewnętrznych ograniczeniach, ograniczających zbiór
x ∈ Γ3 : T3 ( x, t ) = Tc ,
∂Te ( x, t )
∂ 2Te ( x, t )
= λe
+ ke [TB − Te ( x, t ) ]+ Qme ,
∂t
∂x 2
where: ke = Ge cB (Ge [(m3 blood/s)/(m3 tissue)] is the blood
perfusion rate, cB [J/(m3 K)] is the volumetric specific heat of
blood), TB is the arterial blood temperature and Qme [W/m3] is
the metabolic heat source. It should be pointed out that for
the epidermis sub-domain (e = 1) G1 = 0 and Qm1 = 0.
The system of equations (1) is supplemented by the following boundary conditions:
– on the contact surfaces between sub-domains considered (e = 1, 2)
∂Te ( x, t )
∂T ( x, t )

= −λ e +1 e +1
−λ e
x ∈ Γ e,e +1 : 
∂x
∂x

Te ( x, t ) = Te +1 ( x, t )
,
– on the conventionally assumed internal boundary limiting the system
x ∈ Γ3 : T3 ( x, t ) = Tc ,
– on the skin surface
– na powierzchni skóry
x ∈ Γ 0 : q1 ( x, t ) = −λ1
x ∈ Ωe : ce
x ∈ Γ 0 : q1 ( x, t ) = −λ1
∂T1 ( x, t )
= −α[T1 ( x, t ) − Ta ] ,
∂x
gdzie α [W/(m2 K)] jest zastępczym wskaźnikiem przepływu ciepła, Ta jest temperaturą otoczenia. Rozkład
temperatur początkowych jest również znany.
∂T1 ( x, t )
= −α[T1 ( x, t ) − Ta ] ,
∂x
where α [W/(m2 K)] is the substitute heat transfer coefficient, Ta is the ambient temperature. The initial temperature distribution is also known
t = 0 : Te ( x, t ) = T0 ( x), e = 1,
1,2,3
2, 3. .
2, 3. .
t = 0 : Te ( x, t ) = T0 ( x), e = 1, 2,3
Metoda rozwiązania
Method of solution
W celu rozwiązania opracowanego problemu została zastosowana metoda elementów brzegowych [5, 6]. Ta metoda
dla równań (3) oraz stanów przejściowych t f – 1 → t f prowadzi
do wzorów (dla kolejnych warstw skóry – e = 1, 2, 3):
In order to solve the problem formulated the boundary element method has been used [5, 6]. This method for equations (3) and transition t f – 1 → t f leads to the formulas (for
successive layers of the skin – e = 1, 2, 3):
1
Te (ξ, t ) + 
 ce
f
8
1
=
 ce
x = Le

∫f −1 T (ξ, x, t , t )qe ( x, t ) d t  =
t
 x = Le−1
tf
*
e
f
x = Le

f
*
∫f −1 qe (ξ, x, t , t )Te ( x, t ) d t  +
t
 x = Le−1
tf
1
Te (ξ, t ) + 
 ce
f
1
=
 ce
x = Le

∫f −1 T (ξ, x, t , t )qe ( x, t ) d t  =
t
 x = Le−1
tf
*
e
f
x = Le

f
*
∫f −1 qe (ξ, x, t , t )Te ( x, t ) d t  +
t
 x = Le−1
tf
Unauthenticated
Numerical analysis of temperature field in domain of skin tissue for different external and internal thermal conditions
Physiotheraphy 2008, 16, 2
+
Le
∫T
*
e
(ξ, x, t f , t f −1 )Te ( x, t f −1 ) d x +
Le
tf
Le−1
1
+
ce
Le
+
∫T
*
e
(ξ, x, t f , t f −1 )Te ( x, t f −1 ) d x +
Le−1
∫ [k T
e B
− keTe ( x, t
f −1
Le−1
) + Qme ] ∫ T (ξ, x, t , t ) d t d x ,
f
*
e
t
f −1
gdzie: Te* są podstawowymi rozwiązaniami:
Te* (ξ, x, t f , t ) =
1
+
ce
Le
∫ [k T
e B
− keTe ( x, t
f −1
tf
) + Qme ] ∫ Te* (ξ, x, t f , t ) d t d x ,
t f −1
Le−1
where: Te* are the fundamental solutions:
 ( x − ξ) 2 
exp  −
,
f
2 πae (t f − t )
 4ae (t − t ) 
1
Te* (ξ, x, t f , t ) =
 ( x − ξ) 2 
exp  −
,
f
2 πae (t f − t )
 4ae (t − t ) 
1
podczas gdy ξ jest punktem, w którym zastosowane jest
skoncentrowane źródło ciepła, ae = λe/ce, qe*(ξ, x, t f, t) =
–λe ∂Te*(ξ, x, t f, t)/ ∂x.
Przyjmując, że dla t ∈ [t f – 1, t f]: Te(x, t) = Te(x, t f) i qe(x, t) =
qe(x, t f) uzyskujemy następującą formę równań (6)
while ξ is the point in which the concentrated heat source is
applied, ae = λe/ce, qe*(ξ, x, t f, t) = –λe ∂Te*(ξ, x, t f, t)/ ∂x.
Assuming that for t ∈ [t f – 1, t f]: Te(x, t) = Te(x, t f) and
qe(x, t) = qe(x, t f) one obtains the following form of equations (6)
Te (ξ, t f ) + g e (ξ, Le )qe ( Le , t f ) − g e (ξ, Le −1 )qe ( Le −1 , t f )
= he (ξ, Le )Te ( Le , t f ) − he (ξ, Le −1 )Te ( Le −1 , t f ) + pe (ξ) + ze (ξ) ,
= he (ξ, Le )Te ( Le , t f ) − he (ξ, Le −1 )Te ( Le −1 , t f ) + pe (ξ) + ze (ξ) ,
gdzie:
where:
1
he (ξ, x) =
ce
tf
∫q
*
e
t f −1
d t,
1
g e (ξ, x) =
ce
tf
∫T
*
e
1
he (ξ, x) =
ce
dt
t f −1
oraz
tf
∫q
*
e
t f −1
d t,
1
g e (ξ, x) =
ce
tf
∫T
*
e
dt
t f −1
and
pe (ξ) =
Le
∫
Te* (ξ, x, t f , t f −1 )Te ( x, t f −1 ) d x ,
pe (ξ) =
Le−1
*
e
(ξ, x, t f , t f −1 )Te ( x, t f −1 ) d x ,
while
Le
∫
[keTB − keTe ( x, t f −1 ) + Qme ]g e (ξ, x) d x .
z e ( ξ) =
Le −1
Le
∫ [k T
e B
− keTe ( x, t f −1 ) + Qme ]g e (ξ, x) d x .
Le −1
Dla ξ → Le – 1+ i ξ → Le– dla każdej branej pod uwagę
warstwy otrzymujemy system równań [4, 5]:
 g11e
 e
 g 21
∫T
Le−1
podczas gdy
z e ( ξ) =
Le
g12e   qe ( Le −1 , t f )   h11e
= e
f
e 
g 22
  qe ( Le , t )   h21
For ξ → Le – 1+ and ξ → Le– for each sub-domain considered one obtains the system of equations [4, 5]:
h12e  Te ( Le −1 , t f ) 
+

h22e   Te ( Le , t f ) 
 g11e
 e
 g 21
g12e   qe ( Le −1 , t f )   h11e
= e
f
e 
g 22
  qe ( Le , t )   h21
h12e  Te ( Le −1 , t f ) 
+

h22e   Te ( Le , t f ) 
 p (L )  z (L )
+  e e −1  +  e e −1 
 pe ( Le )   ze ( Le )  .
 p (L )  z (L )
+  e e −1  +  e e −1 
 pe ( Le )   ze ( Le )  .
Warunki graniczne (2) dla x = L1 i x = L2 mogą być zapisane w formie
The boundary conditions (2) for x = L1 and x = L2 can be
written in the form
T ( x, t f ) = T2 ( x, t f ) = Tb (t f )
x = L1 :  1
f
f
f
q1 ( x, t ) = q2 ( x, t ) = qb (t ) ,
T ( x, t f ) = T2 ( x, t f ) = Tb (t f )
x = L1 :  1
f
f
f
q1 ( x, t ) = q2 ( x, t ) = qb (t ) ,
oraz
and
T ( x, t f ) = T3 ( x, t f ) = Td (t f )
x = L2 :  2
.
f
f
f
q2 ( x, t ) = q3 ( x, t ) = qd (t )
T ( x, t f ) = T3 ( x, t f ) = Td (t f )
x = L2 :  2
.
f
f
f
q2 ( x, t ) = q3 ( x, t ) = qd (t )
Końcowa forma rozwiązania system (zbioru) wynika z warunków ciągłości oraz warunków podanych dla x = 0 i x = L.
Stąd otrzymujemy:
The final form of resolving system results from these continuity conditions and conditions given for x = 0 and x = L.
So, we have:
Unauthenticated
9
1
 −αg11
− h111

1
1
 −αg 21 − h21

0

0


0

0

− h121
1
g12
0
0
1
− h22
g 122
0
0
2
11
2
21
−h
g
−h
g
−h
0
g
0
−h
−h
g
g
0
0
−h
g
2
11
2
21
2
12
2
22
3
11
3
21
2
12
2
22
3
11
3
21
0   T1 (0, t f ) 


0   Tb (t f ) 
0   qb (t f ) 
=

0   Td (t f ) 
g123   qd (t f ) 


f
3
g 22
  q3 ( L, t ) 
1
 −αg11
− h111

1
1
 −αg 21 − h21

0

0


0

0

− h121
1
g12
0
0
1
− h22
g 122
0
0
2
11
2
21
−h
g
−h
g122
−h
0
g
0
−h
−h
2
g 22
g113
0
0
−h
3
g 21
2
11
2
21
2
12
2
22
3
11
3
21
0   T1 (0, t f ) 


0   Tb (t f ) 
0   qb (t f ) 
=

0   Td (t f ) 
g123   qd (t f ) 


f
3
g 22
  q3 ( L, t ) 
1
 −αg11
Ta + p1 (0) + z1 (0) 


1
 −αg 21Ta + p1 ( L1 ) + z1 ( L1 ) 


p2 ( L1 ) + z2 ( L1 )
=
.
p2 ( L2 ) + z2 ( L2 )


 h3 T + p ( L ) + z ( L ) 
3
2
3
2
 123 c

 h22Tc + p3 ( L) + z3 ( L) 
1
 −αg11
Ta + p1 (0) + z1 (0) 


1
 −αg 21Ta + p1 ( L1 ) + z1 ( L1 ) 


p2 ( L1 ) + z2 ( L1 )
=
.
p2 ( L2 ) + z2 ( L2 )


 h3 T + p ( L ) + z ( L ) 
12 c
3
2
3
2
 3

 h22Tc + p3 ( L) + z3 ( L) 
To rozwiązanie (15) określa temperatury graniczne oraz
obciążenie cieplne powierzchni dla czasu t f dla x = 0, L1, L2,
L. Graniczne obciążenie cieplne na powierzchni skóry jest
obliczane ze wzoru:
The solution of (15) determines the boundary temperatures and heat fluxes for time t f for x = 0, L1, L2, L. The
boundary heat flux on the skin surface is calculated using
the formula:
q1 (0, t f ) = −α[T1 (0, t f ) − Ta ] .
q1 (0, t f ) = −α[T1 (0, t f ) − Ta ] .
Ostatecznie wewnętrzna temperatura może być określona:
Te (ξ, t ) + g e (ξ, Le )qe ( Le , t ) − g e (ξ, Le −1 )qe ( Le −1 , t )
= he (ξ, Le )Te ( Le , t f ) − he (ξ, Le −1 )Te ( Le −1 , t f ) + pe (ξ) + ze (ξ) .
f
f
f
Finally the internal temperature can be found:
= he (ξ, Le )Te ( Le , t f ) − he (ξ, Le −1 )Te ( Le −1 , t f ) + pe (ξ) + ze (ξ) .
Wyniki obliczeń
Results of computations
W numerycznych symulacjach zostały przyjęte następujące wartości średnie: [7]: λ1 = 0,235 [W/(mK)],
λ2 = 0,445 [W/(mK)], λ3 = 0,185 [W/(mK)], c1 = 4,3068⋅106
[J/(m3 K)], c2 = 3,96⋅106 [J/(m3 K)], c3 = 2,674⋅106 [J/(m3 K)],
cB = 3,9962⋅106 [J/(m3 K)], TB = 37°C, GB1 = 0, Qm1 = 0.
Grubość kolejnych warstw skóry: 0,1, 2 oraz 10 [mm]. Owe
warstwy zostały podzielone na 5, 20 oraz 60 wewnętrznych komórek. Takt : ∆t = 0,5 [s]. Dla t = 0: T0 = 37°C.
Brane były pod uwagę różne kombinacje danych wejściowych (temperatura otoczenia, wydajność metabolicznych
źródeł ciepła, współczynnik perfuzji) (patrz: tab. 1). Wyniki
symulacji numerycznych są przedstawione na ryc. 1-5.
In numerical simulations the following mean values of parameters have been assumed [7]: λ1 = 0.235 [W/(mK)], λ2
= 0.445 [W/(mK)], λ3 = 0.185 [W/(mK)], c1 = 4.3068⋅106 [J/
(m3 K)], c2 = 3.96⋅106 [J/(m3 K)], c3 = 2.674⋅106 [J/(m3 K)],
cB = 3.9962⋅106 [J/(m3 K)], TB = 37°C, GB1 = 0, Qm1 = 0. The
thicknesses of successive skin layers: 0.1, 2 and 10 [mm].
These layers have been divided into 5, 20 and 60 internal
cells. Time step: ∆t = 0.5 [s]. For t = 0: T0 = 37°C.
The different combinations of input data (ambient temperature, capacity of metabolic heat sources, perfusion coefficient) have been considered (see: Table 1). The results
of numerical simulation are shown in Figures 1-5.
Uwagi końcowe
Final remarks
Różnice pomiędzy profilami temperatur i krzywymi chłodzenia dla różnych zewnętrznych i wewnętrznych warunków termalnych nie są bardzo znaczące, ale dostrzegalne. Cechą
charakterystyczną dla profili temperatur w rozpatrywanych
warstwach jest ich podobieństwo do zmian o charakterze
The differences between temperature profiles and cooling
curves for different external and internal thermal conditions
are not very big, but visible. Characteristic feature of temperature profiles in the domain considered is their similarity
to the brocked lines (the first part of the line corresponds to
Tabela 1.
Table 1.
10
Lp.
No.
Ta
1
0
2
10
3
20
W stanie spoczynku
Rest conditions
W stanie wysiłku fizycznego
Exercise conditions
Qm = 245
GB = 0,00125
Qm = 24500
GB = 0,025
Unauthenticated
Physiotheraphy 2008, 16, 2
Numerical analysis of temperature field in domain of skin tissue for different external and internal thermal conditions
Ryc.1. Profile temperatury po 10, 20 oraz 60 min
(Qm = 245 [W/m3], Ta = 0, α = 10 [W/(m2 K)])
Fig. 1. Temperature profiles after 10, 20 and 60 minutes
(Qm = 245 [W/m3], Ta = 0, α = 10 [W/(m2 K)])
Ryc. 2. Profile temperatury po 10, 20 oraz 60 min
(Qm = 245 [W/m3], Ta = 10°C, α = 20 [W/(m2 K)])
(Qm = 245 [W/m3], Ta = 10°C, α = 20 [W/(m2 K)])
Ryc. 3. Profile temperatury po 10, 20 oraz 60 min
(Qm = 24500 [W/m3], Ta = 20°C, α = 30 [W/(m2 K)])
(Qm = 24500 [W/m3], Ta = 20°C, α = 30 [W/(m2 K)])
Ryc. 4. Krzywe chłodzenia na powierzchni naskórka – skóry właściwej dla różnych wariantów Ta oraz α (stan spoczynku)
Fig. 4. Cooling curves at the epidermis-dermis surface for different
variants of Ta and α (rest conditions)
Ryc. 5. Krzywe chłodzenia na powierzchni naskórka – skóry
właściwej dla różnych wariantów Ta oraz α (w stanie wysiłku
fizycznego)
Fig. 5. Cooling curves at the epidermis-dermis surface for different variants of Ta and α (exercise conditions)
Unauthenticated
11
skokowym – nieciągłym (pierwsza część linii odpowiada
skórze właściwej oraz warstwie naskórka). Algorytm numeryczny zaproponowany w niniejszej pracy (BEM dla chwilowych pól termicznych i wielowarstwowych obszarów) wydaje się być dość skuteczny i dokładny. Wyniki zbliżone do
rzeczywistych warunków w obrębie tkanki skórnej mogą być
uzyskane wtedy, kiedy będzie wzięta pod uwagę obecność
dużych naczyń krwionośnych. Problemy te będą jeszcze
w przyszłości analizowane.
the dermis and epidermis sub-domains). The numerical algorithm proposed in this paper (the BEM for transient temperature fields and multi-layers domains) seems to be quite
effective and exact. The results closer to real conditions in
volume of skin tissue can be obtained when the presence
of the big blood vessels will be taken into account and in
future this problems will be also analyzed.
This work was sponsored by Grant N N501 3667 34.
Niniejsza praca była finansowana przez grant N N501
Piśmiennictwo
References
[1] Szargut J. Termodynamika. PWN, Warszawa 2000.
[2] Brinck H., Werner J. Estimation of the thermal effects
of blood flow in a branching countercurrent network
using a three-dimensional vascular model. Transacions of the ASME, 1994, 116, 324-330.
[3] Torvi D. A., Dale J. D. A finite element model of skin
subjected to a flash fire. Journal of Mechanical Engineering, 1994, 116, 250-255.
[4] Majchrzak E., Jasiński M. Sensitivity analysis of burns
integrals. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 2004, 11, 2/3, 125-136.
[5] Brebbia C. A., Dominguez J., Boundary elements, an
introductory course. Computational Mechanics Publications, McGraw-Hill Book Company, London 1992.
[6] Majchrzak E. Boundary element method in heat transfer. Publ. of the Czestochowa University of Techology,
Czestochowa 2001.
[7] Jasiński M. Modelling of tissue heating process. Doctoral Thesis, Silesian University of Techology, Gliwice
2001.
Adres do korespondencji:
Address for correspondence:
Bohdan Mochnacki
Instytut Matematyki
Politechniki Częstochowskiej
ul. Dąbrowskiego 73
42-200 Częstochowa
Wpłynęło/Submitted: V 2008
Zatwierdzono/Accepted: VI 2008
12
Unauthenticated

Analiza numeryczna pola temperatur w obszarze tkanki skórnej dla

Transkrypt

Podobne dokumenty

Innollient™LO - Biotechnologia.pl

Budownictwo przemysłowe

Pobierz streszczenie

3500 W

Karta produktu Gelbi M4.1

Nowe lemondki

Mania-Perfum.pl

elastyczna powłoka nieprzepuszczalna i ochronna

Streszczenie, Abstract - Instytut Technologiczno