plik PDF
Transkrypt
plik PDF
Agnieszka Orzeszek Częstość zdarzeń Dlaczego tak niewielu maturzystów wybiera na egzaminie zadania z rachunku prawdopodobieństwa? Myśl˛e, że po prostu nie umieja˛ tego działu, a jedna˛ z przyczyn jest zbyt szybkie przejście od eksperymentu do rozważań teoretycznych. Uczniowie rozumieliby lepiej poj˛ecie prawdopodobieństwa, gdyby wykonali wi˛ecej doświadczeń zwiazanych ˛ z cz˛estościa˛ zdarzeń. Zakładam, że przed wykonaniem opisanych tutaj ćwiczeń uczniowie intuicyjnie określali prawdopodobieństwa prostych zdarzeń losowych, a nast˛epnie obliczali prawdopodobieństwa, dzielac ˛ liczb˛e wyników sprzyjajacych ˛ przez liczb˛e wszystkich możliwych wyników. Co to jest cz˛estość? W klasie jest 10 dziewczat ˛ i 14 chłopców. Tabela przedstawia, ile dziewczat ˛ i ilu chłopców uzyskało poszczególne oceny z pracy klasowej z matematyki. Ocena Dziewcz˛eta Chłopcy 2 1 1 3 2 4 4 5 6 5 2 3 Kto cz˛eściej otrzymywał czwórk˛e – dziewcz˛eta czy chłopcy? Warto poprosić uczniów, aby wyjaśnili, podajac ˛ odpowiednie przykłady, jak rozumieja˛ zwrot „coś zdarza si˛e cz˛eściej”. Pytamy, co trzeba zrobić, żeby obliczyć, jak cz˛esto dziewcz˛eta otrzymywały czwórk˛e, a jak cz˛esto chłopcy. Okazuje si˛e, że nie wystarczy porównać bezwzgl˛edne liczby (5 < 6), trzeba odnieść 5 6 je do liczby osób danej płci: 10 > 14 . 8 Teraz uczniowie nie powinni mieć problemu z nast˛epnym ćwiczeniem: W czerwcu było 12 deszczowych dni, tyle samo co w pierwszych 15 dniach lipca. Kiedy deszcz padał cz˛eściej? Jak cz˛esto padał deszcz w czerwcu, a jak cz˛esto w ciagu ˛ pierwszych 15 dni lipca? Prawdopodobieństwo a cz˛estość doświadczalna Zadajemy kilka pytań sprawdzajacych ˛ wiadomości z poprzednich lekcji: • Określ prawdopodobieństwo zdarzenia, że w rzucie kostka˛ wypadnie 6 oczek. A 2 oczka? • Określ prawdopodobieństwo wylosowania losu wygrywajacego ˛ na loterii, w której jest 30 losów, w tym 6 wygrywajacych. ˛ • Rzucasz moneta. ˛ Jakie masz szanse uzyskania reszki, a jakie – orła? Czy to znaczy, że przy 10 rzutach moneta˛ uzyskujemy tyle samo orłów co reszek? Jak si˛e ma prawdopodobieństwo 12 do wyników przeprowadzonego przez ciebie doświadczenia? Problem postawiony w pierwszym pytaniu uczniowie moga˛ badać, wykonujac ˛ rzuty kostka.˛ Praca w grupach pozwoli wykonać je szybciej. Do opracowania wyników przyda si˛e tabela: Liczba rzutów Liczba otrzymanych reszek Cz˛estość otrzymywania reszki 10 ....... ......... /10=..... 20 ....... ......... /20=..... 40 ....... ......... /40=..... Zaokraglij ˛ wyniki do dwóch miejsc po przecinku. Czy coś zauważasz? TEMAT NUMERU CYAN BLACK ML14 str. 8 Spróbujmy wykonać teraz analogiczne zadanie dla 50, 100, 300 rzutów. Ułatwi to kalkulator graficzny. Na przykład w modelu TI-83 komenda randInt pozwala wygenerować liczby losowe z dowolnego zakresu i w dowolnej ilości. Umawiamy si˛e, że 0 to orzeł, a 1 to reszka. Przy tej umowie wystarczy obliczyć sum˛e wylosowanych liczb, aby dowiedzieć si˛e, ile wypadło reszek. tów sześcienna˛ kostka, ˛ i zaproponował oryginalne wykorzystanie otrzymanych wyników. • Jeżeli wypadnie 1, to odpytywani b˛eda˛ tylko chłopcy. • Jeżeli wypadnie 2, to odpytywane b˛eda˛ tylko dziewcz˛eta. • Jeżeli wypadnie 3 lub 4 lub 5, to nikt nie b˛edzie odpytywany. • Jeżeli wypadnie 6, to pytana b˛edzie jedna osoba (chłopiec lub dziewczyna), ale tylko z zagadnienia, które sama wybierze. Uczniowie uruchamiaja˛ program i otrzymuja˛ wyniki: Na ilustracji widzimy okienko z wynikami losowania 50 „rzutów”. Reszka wypadła 26 razy. Po wykonaniu doświadczeń zapisujemy wniosek: Im wi˛eksza liczba rzutów, tym cz˛estość uzyskania reszki jest bliższa prawdopodobieństwu, które dla tego zdarzenia wynosi 12 . Za pomoca˛ kalkulatora graficznego można także symulować rzut kostka. ˛ Wystarczy losować liczb˛e z przedziału 1–6. Uczniowie moga˛ teraz zbadać, jaka jest cz˛estość wypadania poszczególnej liczby oczek. Możemy podzielić klas˛e na 6 grup, z których jedna bada, jak cz˛esto wypada 1 oczko, druga – 2 oczka itd. Dochodzimy do wniosku: Im wi˛eksza liczba rzutów, tym cz˛estość uzyskania danej liczby oczek jest bliższa prawdopodobieństwu, które dla tego zdarzenia wynosi 16 . Tajemnicza kostka W dalszej cz˛eści lekcji uczniowie korzystaja˛ z zapisanego wcześniej na kalkulatorach programu KOSC1 (można go znaleźć na stronie www.gwo.pl/gazeta2) i zapoznaja˛ si˛e z nast˛epujac ˛ a˛ historyjka: ˛ Maciek napisał program kalkulatorowy KOSC1, który wykonuje symulacje rzu- Okazuje si˛e, że wyniki wcale nie sa˛ równie prawdopodobne. Drugi program, KOSC2, powtarza wielokrotnie rzut kostka˛ Maćka i pozwala upewnić si˛e, że nie jest to zwykła kostka. Celem kolejnego zadania jest odgadni˛ecie układu oczek na kostce. Po wielokrotnym losowaniu uczniowie dochodza˛ do wniosku, że: P(1) = 0, P(2) = 12 , P(3) = 0, P(4) = 0, P(5) = 13 , P(6) = 16 . Sa˛ to odpowiednio prawdopodobieństwa wyrzucenia 1, 2, ..., 6 oczek. Na podstawie tych danych odgaduja, ˛ jaka˛ kostk˛e w programie KOSC1 i KOSC2 skonstruował sobie Maciek (trzy ścianki z 2 oczkami, dwie ścianki z 5 oczkami i jedna z 6 oczkami). Oczywiście do rozwiazania ˛ zadania wystarczyłby sam program KOSC2. Jednak tracimy wtedy tak istotny element zaskoczenia, zbyt szybko uczniowie zauważaja,˛ że kostka jest „fałszywa”. Wprowadzenie w pierwszej kolejności programu KOSC1 wzbudza wi˛eksze emocje i zainteresowanie uczniów, zwłaszcza (co w tej sytuacji zrozumiałe) dziewczat. ˛ TEMAT NUMERU CYAN BLACK ML14 str. 9 9