Rachunek prawdopodobieństwa — lista 10
Transkrypt
Rachunek prawdopodobieństwa — lista 10
Rachunek prawdopodobieństwa — lista 10 Zad. 82. Zadanie o ruinie gracza (JS rozdział 11) Gracz A ma początkowo a złotych, a B ma b złotych. Grają w orła i reszkę monetą, na której orzeł wypada z prawdopodobieństwem p ∈ (0, 1), a reszka z prawdopodobieństwem q = 1 − p. Obserwujemy grę z punktu widzenia gracza A: niech Xi = 1, gdy wypadnie orzeł i A otrzyma od B jedną złotówkę, a gdy wypadnie reszka, to Xi = −1 czyli A daje graczowi B jedną złotówkę. Niech Sn = X1 + ... + Xn , Fn = σ(X1 , ..., Xn ). Określmy dwa momenty stopu względem (Fn ): τA = inf{n : Sn = −a}, τK = inf{n : Sn ∈ {−a, b}}. Pierwszy z nich to moment ruiny gracza A, drugi to moment końca gry. Rozważając odpowiedni martyngał i jego stopowanie, oblicz prawdopodobieństwa ruiny każdego z graczy. Zad. 83. W pierwszym semestrze rozwiązaliśmy następujące zadanie: Wykładowca przygotował i ogłosił n pytań egzaminacyjnych dla grupy n studentów, a Jacek nauczył się odpowiedzi na k ¬ n z nich. Egzamin polega na wylosowaniu jednego pytania. Jeśli udzieli się na nie poprawnej odpowiedzi, to zda się egzamin. Pytania już wylosowane są wycofywane. Jacek ma jutro zdawać i zastanawia się, jakie jest prawdopodobieństwo zdania, gdy wejdzie na salę jako pierwszy, drugi, trzeci, itd. Obliczyliśmy, że to prawdopodobieństwo jest zawsze równe nk . Rozważmy sytuację bardziej zbliżoną do rzeczywistości: Jacek stoi przed salą egzaminacyjną i pyta osoby wychodzące z egzaminu, jakie pytanie zostało właśnie wylosowane. Mając te kolejne informacje próbuje wybrać taki moment, w którym prawdopodobieństwo zdania będzie największe. Czy istnieje strategia pozwalająca zmaksymalizować średnią szansę zdania egzaminu? Komentarz: Rachunek prawdopodobieństwa ma niewiele do powiedzenia w przypadku zdarzeń jednokrotnych (np. Jacek zdaje tylko jeden taki egzamin). Jeśli jednak w czasie studiów Jacek ma zdawać 20 tak zorganizowanych egzaminów, to już można mówić o średnim wyniku tych egzaminów. W zadaniu chodzi o zmaksymalizowanie takiego średniego wyniku. Odpowiedź: Niech Yk oznacza szanse zdania, gdy Jacek wejdzie jako (k + 1)-szy. Niech Fk oznacza n−1 wiedzę o początkowych k pytaniach, F0 = {∅, Ω}. Wykaż, że ciąg (Yk , Fk )k=0 jest martyngałem, a zatem na mocy tw. Dooba ...