plik PDF

Marcin Karpiński
A jednak nie jest płaska
Ziemia nie jest płaska – większość ludzi w to wierzy, ale w konsekwencje płynące z tego faktu czasami trudno uwierzyć. Wtedy trzeba
po prostu zaufać obliczeniom.
Patrzymy w dal
Za daleko w t˛e dal nasz wzrok nie si˛egnie. Każde dziecko wie, że tylko do
horyzontu. Ale czy każde dziecko wie,
jak daleko jest jego horyzont?
Zapytajmy inaczej. Stoimy nad brzegiem
jeziora Śniardwy. Nasze oczy znajduja˛
si˛e 2 m powyżej poziomu wody. Widoczność jest znakomita, wi˛ec chcielibyśmy
dojrzeć drugi brzeg. Z mapy odczytaliśmy, że powinien si˛e on znajdować
w odległości około 10 km. Czy mamy
szans˛e go zobaczyć?
Rachunki sa˛ proste; wystarczy tylko znać
promień Ziemi (6370 km), popatrzeć na
rysunek (2 m = 0,002 km) i skorzystać
z twierdzenia Pitagorasa.
x2 = (6370,002)2 − 63702
x ≈ 5 [km]
Tak wi˛ec nie zobaczymy drugiego brzegu
Śniardw – zasłania go nam kula ziemska.
Budujemy tunel
Wyobraźmy sobie, że mamy zbudować
tunel przechodzacy
˛ z jednej strony góry
na druga.
˛ Góra jest skalista, bardzo
trudno drażyć
˛
w niej tunele, chcemy
16
zatem, aby tunel był jak najkrótszy.
Powinniśmy wi˛ec budować wzdłuż linii
prostej.
Kiedy wydawało si˛e, że budowa udała
si˛e znakomicie, zdarzyło si˛e coś bardzo
dziwnego. Po kilku ulewnych deszczach
na środku tunelu powstał gł˛eboki staw.
Jak to możliwe? Przecież zbudowaliśmy
w tunelu płaska˛ drog˛e dokładnie wzdłuż
linii prostej i woda nie miała prawa tam
si˛e gromadzić.
Spójrzmy na rysunek. No tak, droga jest
płaska, ale Ziemia nie! Dlatego właśnie powierzchnia spokojnej wody to nie
kawałek płaszczyzny, ale kawałek sfery.
Wydawałoby si˛e jednak, że skoro promień tej sfery jest bardzo duży, to na tak
krótkim dystansie krzywizna Ziemi nie
b˛edzie zauważalna.
Policzmy, jak gł˛eboki byłby ten staw
(może to nie staw, tylko góra wody?),
gdyby nasz tunel miał 16 km długości
(tzn. był prawie tak długi, jak słynny
tunel św. Gottharda
w Szwajcarii).
Na rysunku
gł˛ebokość ta
oznaczona jest
przez x.
MATEMATYKA JEST WSZĘDZIE
CYAN BLACK
ML6 str. 16
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy
równość:
(6370 − x)2 = 63702 − 82 ,
stad:
˛
6370 − x ≈ 6369,995.
Zatem:
wi˛ecej odległość z Krakowa do Gdańska). Obliczymy, jaka jest odległość mi˛edzy ich wieżami mierzona na wysokości
80 m (na rysunku odległość ta oznaczona
jest przez x).
Skorzystamy z tego, że dwa zaznaczone
na rysunku trójkaty
˛ równoramienne sa˛
podobne. Wobec tego:
6370,08
x
=
600
6370
x ≈ 0,005 [km].
Z powyższych obliczeń wynika, że
w najgł˛ebszym (najwyższym?) miejscu
warstwa wody ma ponad 5 m! Wystarczy
zaledwie 16 km, by zaobserwować aż tak
duża˛ krzywizn˛e Ziemi. Czy to nie szokujace?
˛
Podziwiamy krzywa˛ wież˛e
Wieża kościoła Mariackiego w Gdańsku
ma 82 m wysokości, a wyższa z wież
kościoła Mariackiego w Krakowie 81 m.
Domyślamy si˛e, że skoro Ziemia nie jest
płaska, to odległość mi˛edzy tymi wieżami mierzona na wysokości ich podstaw
nie jest taka sama, jak odległość mierzona na wysokości 80 m nad Ziemia.
˛
Czy potrafisz zgadnać,
˛ Czytelniku, o ile
różnia˛ si˛e te odległości? Czy to b˛edzie
około 1 cm, około 10 cm, czy może jeszcze wi˛ecej?
Otrzymamy stad:
˛
x ≈ 600, 0075 [km].
Szczyty wież kościołów Mariackich
w Gdańsku i w Krakowie odległe sa˛ od
siebie o 7,5 m wi˛ecej niż ich podstawy!
Kościół Mariacki w Gdańsku to dla
mieszkańców Krakowa krzywa wieża1 .
Uczymy w szkole
Wszystkie opisane wyżej zadania można
pokazać uczniom. Powinni do nich
znać jedynie twierdzenie Pitagorasa,
a w wypadku ostatniego przykładu także
własności trójkatów
˛
podobnych. Dobra˛
okazja,
˛ aby je zaprezentować, sa˛ np.
lekcje na temat zastosowań twierdzenia
Pitagorasa.
Jeśli chcemy być modni i zgodni
z duchem reformy, możemy podkreślać,
że przykłady te pozwalaja˛ nam zintegrować nauczanie matematyki z nauczaniem
innych przedmiotów szkolnych. Zdrowy
rozsadek
˛
podpowiada jednak, że sa˛ to
po prostu przykłady ciekawych zadań,
które powinny pojawiać si˛e na lekcjach
niezależnie od tego, czy jesteśmy przed
reforma˛ czy po niej.
1
Odległość mi˛edzy tymi dwoma kościołami wynosi 600 km (taka jest mniej
Krzywa wieża w Pizie odchylona jest od
pionu o ok. 5◦ . Łatwo obliczyć, że odchylenie
o 7,5 m
na wysokości 80 m to odchylenie
◦
o arctg 7,5
80 ≈ 5,4 .
MATEMATYKA JEST WSZĘDZIE
CYAN BLACK
ML6 str. 17
17