lista 12

Wydział PPT; kierunek: Inż. Biomedyczna. Lista nr 12 do kursu Fizyka. Rok. ak. 2014/15
Studentka/student jest zobligowana/y do przynoszenia na zajęcia portfolio, w którym powinny znaleźć się: wydrukowane
tabele wzorów fizycznych i matematycznych, notatki z wykładów, wszystkie listy zadań itp. Lista nr 12 ma na celu zdobycie przez
studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących II zasady termodynamiki
fenomenologicznej i elementów termodynamiki statystycznej z wykorzystaniem dotychczas zdobytych kompetencji. Zadania nie
rozwiązane na zajęciach lub krótko omówione mogą być treściami sprawdzianów.
87. Poprawny wzór określający bezwzględną wartość entropii n moli gazu doskonałego o temperaturze T zajmującego objętość
V zadaje wzór
, ,
=
ln +
ln
+
, gdzie
– ciepło molowe przy stałej objętości, a S0 – stała wartość entropii
3
w temperaturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak
zmieni się entropia tego gazu, gdy naczynie to podzielimy na dwie równe co do objętości części? B) Naczynie
o objętości 4 dm3 podzielona przegrodą na dwie równe co do objętości części. W jednej z nich znajdują się 2 mole
a w drugiej 3 mole tlenu; temperatury gazów są takie same. Jak zmieni się entropia układu, gdy przegroda zostanie
usunięta? Ws-ka: Patrz notatki do wykładów.
88. A) Oszacuj jaka część cząsteczek φ tlenu w temperaturze T = 300K ma prędkości zawarte w przedziale (199÷201)
m/s. W obliczeniach posłużyć się przybliżonym wzorem φ = 4⁄√ ∙ ∙ exp − dz, gdzie z = (199+201)/(2vp),
dz = (201 – 199)/vp, vp = 2k BT m0 = 2RT ( N Am0 ) = 2RT µ – prędkość najbardziej prawdopodobna. B) Niechaj
x = v vp ; korzystając z wartości całki podanych w tabeli obok
wyznacz, jaka część wszystkich cząsteczek jednego mola gazu
idealnego znajdującego się w zbiorniku ma prędkości z przedziału od vp do 2 vp ? Ile cząsteczek tego gazu ma prędkości
z przedziału od vp do 2 vp ?
89. Rozważmy zbiornik o objętości V, w którym znajduje się N = 100
cząsteczek gazu idealnego. Tabela obok reprezentuje,
w pierwszych dwóch kolumnach, liczby cząsteczek
odpowiednio w lewej połowie NL oraz w prawej
połowie NP zbiornika. Para liczb (NL; NP) określa
dany makrostan rozpatrywanego układu, np. makrostan (60;40) oznacza, że w lewej połowie objętości
znajduje się 60 a w prawej 40 cząsteczek tego gazu.
Trzecia kolumna podaje liczby W mikrostanów realizujących dany makrostan określony parą liczb
(NL; NP), przy czym
W=
N!
, gdzie NL! oznaNL ! NP !
cza funkcję silni. Ostatnia, czwarta kolumna, zawiera
wartości prawdopodobieństw realizacji makrostanu,
które zostało wyznaczone ze wzoru
p( N L ; N P ) =
W
1
N!
= N⋅
. Uwaga: Standardowy kieszonkowy kalkulator zawodzi,
N
2
2 NL ! NP !
gdy chcemy policzyć wartość 100! = 9,33⋅10157 i otrzymujemy zazwyczaj komunikat OVERFLOW lub Math ERROR. Dla bardzo
dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy posługiwać się przybliżeniem Stirlinga
ln N ! ≈ N (ln N ) − N . Uzasadnij stwier-
N
dzenia: a) całkowita liczba mikrostanów wynosi 2 ; ws-ka: wyobraź sobie, że dodajesz rozróżnialne cząstki do zbiornika, jedną
możesz rozmieścić na 2 sposoby (21, tj. albo w lewej albo w prawej), dodając jednocześnie 2 możesz rozmieścić je na 4 sposoby (22;
przedstaw na rysunku te sposoby rozkładu) itd; b) liczba mikrostanów o zadanych liczbach NL i NP jest równa
W = N ! ( N L ! N P !) . W termodynamice statystycznej nadaje się entropii interpretację mikroskopową za pomocą definicji entropii
Boltzmanna
S = k B ln W , gdzie k B = R N A , przy czym W nazywa się często prawdopodobieństwem termodynamicznym lub
parametrem nieuporządkowania. W rozpatrywanym tutaj zagadnieniu S = k B ln ( N ! ( N L ! N P !) ) . Samodzielnie uzupełnij dane w
tabeli obliczając wartości S ( N L ; N P ) = k B ln W ( N L ; N P )  , wyniki zamieścić należy w portfolio. Wyznacz zmianę entropii ∆S w
następujących przypadkach: c) układ przechodzi od początkowego makrostanu (60;40) do końcowego (50;50); d) układ przechodzi
od początkowego makrostanu (50;50) do końcowego (0;100).
1
90. Zasada Landauera (1961): Nieodwracalne zapisanie w temperaturze T przez cyfrowy komputer jednego bitu
informacji w dwustanowej komórce pamięci komputera powoduje wydzielenie do otoczenia energii cieplnej w ilości
∆Q = k BT ln 2. Odkrycie Rolfa Landauera jest fizyczną zasadą dotyczącą najniższej teoretycznej wartości energetycznego kosztu przetwarzania informacji przez cyfrowy komputer. Precyzyjniejsze sformułowanie tej fizycznej zasady
(2003, Charles Bennett): Z każdym procesem nieodwracalnego przetwarzanie informacji logicznej, jak wymazanie bitu
informacji, jest związany wzrost entropii elementów komputera lub wzrost entropii jego otoczenia. Uzasadnij zasadę
Landauera. Ws-ka: Komórkę pamięci komputerowej plus jej bezpośrednie otoczenie można modelowo potraktować jako
izolowany układ termodynamiczny; komórka pamięci to termodynamiczny podukład o dwóch umownych stanach: ZERO i JEDEN;
nieodwracalny zapis jednego bitu informacji powoduje, że komórka poddana jest przemianie termodynamicznej od początkowych
dwóch stanów ZERO lub JEDEN do jednego ze stanów, np. JEDEN; wyznaczmy teraz zmianę entropii Boltzmanna dla naszego
podukładu (dwustanowa komórka pamięci cyfrowego komputera): ∆S 2→1 = S  ( N = 1)  − S  ( N = 2 )  = k B ln1 − k B ln 2 = − k B ln 2,
widzimy, że lokalnie w naszym izolowanym układzie entropia komórki pamięci zmalała, ale układ jest zamknięty, więc (II zasada
termodynamika) entropia otoczenia wzrasta o co najmniej k B ln 2.
91. Energia mechaniczna cząsteczki gazu o masie m wchodzącego w skład powietrza na powierzchni Ziemi wynosi
!"#$%. = −G
()*
+*
+
(, -
= −./
0
+
(, -
, gdzie RZ – promień Ziemi. Uzasadnij ten wzór. Wyznacz temperaturę po-
wietrza, przy której cząsteczkowy wodór, azot, tlen mogą uciec z pola grawitacyjnego Ziemi. Ws-ka: Przyjąć za v2 prędkość średnią kwadratową. Jakie konsekwencje mają otrzymane wyniki dla składu atmosfery ziemskiej. Czy z upływem
wieków skład atmosfer ziemskiej będzie zmieniał się? Jeśli tak, to w jaki sposób?
92. Średnia wartość kwadratu prędkości cząstki mugolonu, tworzącego hipotetyczny gaz idealny mugolonów, wynosi
<v2 > = αkT2/m0, gdzie m0 —masa jednego mugolonu i α — stała Pottera. Korzystając z toku rozumowania zastosowanego na wykładzie do otrzymania równania Clapeyrona stanu gazu doskonałego, pokaż, że „równanie stanu” swobodnych mugolonów ma postać 1 ∙ = 2 ∙ ∙ ∙ /3. Wykreśl: a) izotermy gazu mugolonów w zmiennych p-V, V-T i
p-T; b) izobary w zmiennych V-T, p-V i p-T; c) izochory w zmiennych V-T, p-V i p-T.
93. Swobodne rozprężanie gazu – rys. obok. Jest to proces adiabatyczny, w którym nie ma wymiany ciepła
z otoczeniem ani nie jest przez gaz wykonywana praca. Dlatego ∆Q = ∆W = 0.
Zatem pierwsza zasada termodynamiki wymaga, aby nie zmieniała się energia
wewnętrzna, tj. ∆U = 0. Otwarcie zaworu (stopcock) powoduje swobodną
ekspansję gazu, który wypełni całą objętość dwukrotnie większą od początkowej.
Takie zjawisko różnie się kompletnie od innych przemian, ponieważ odbywa się
gwałtownie, a nie kwazistatycznie (a więc bardzo, bardzo powoli, a gaz przechodzi
płynnie od jednego stanu równowagi do kolejnego) w kontrolowany sposób. Podczas swobodnego
rozprężania się gaz nie znajduje się w stanie równowagi cieplnej, a jego ciśnienie nie jest jednorodne w objętości zbiornika. Nie jest więc możliwe sporządzenie ciągłego wykresu p-V dla tego procesu. Jeden mol tlenu
(gaz idealny) rozpręża się izotermicznie w temp. 310 K od objętości V1 = 12 dm3 do V2=24 dm3. Uzasadnij, że
w tych warunkach energia wewnętrzna gazu nie ulega zmianie, praca gazu i ciepło wymienione z otoczeniem
są
sobie
równe
i
wynoszą
∆Q = ∆W = RT ln (V2 V1 ) , a
zmiana
(wzrost)
entropii
jest
równa
∆S = R ln (V2 V1 ) = R ln 2. Jaka będzie temperatura i ciśnienie końcowe, jeśli opisany proces rozprężania
będzie adiabatycznym? Ws-ka: Zastosuj VTγ-1= const. Jaka będzie temperatura i ciśnienie końcowe, jeśli
opisany proces rozprężania będzie procesem swobodnego rozprężania? W tym przypadku sporządź wykres tej
δQ
dV
dT
przemiany w zmiennych p-V i T-V. Korzystając ze wzoru dS =
=R
+ CV
pokaż, że zmiana entropii
T
V
T
w procesie swobodnego rozprężania gazu wynosi ∆S = R ln (V2 V1 ) , co wskazuje, że proces jest nieodwracalny. Inne podejście do tego problemu przedstawiono w zad. 89, którego treść tutaj przytaczamy.
W termodynamice statystycznej nadaje się entropii interpretację mikroskopową za pomocą definicji entropii
Boltzmanna S = k B ln W , gdzie k B = R N A , W nazywa się prawdopodobieństwem termodynamicznym lub
parametrem nieuporządkowania i definiuje on liczbę mikrostanów realizujących dany makrostan układu
2
termodynamicznego. W rozpatrywanym przypadku makrostan początkowy odpowiada stanowi, w którym
w jednej połowie zbiornika znajdują się wszystkie NA cząsteczek tlenu. Makrostan końcowy odpowiada
sytuacji, gdy cząsteczki tlenu są rozłożone równomiernie w zbiorniku, tj. NA/2 znajduje się w lewej połowie
i tyle samo w prawej połowie. Zmiana entropii Boltzmanna ∆S1→2 = k B ⋅ ln (W2 W1 ) , gdzie W2 ,W1 to odpowiednio
parametry nieuporządkowania stanu końcowego i początkowego. Liczba W określa ile mikrostanów realizuje
N!
dany makrostan zadany parą liczb (NL; NP), przy czym W =
, gdzie symbol ! oznacza silnię, zaś N L
NL ! NP !
i N P określają liczbę cząsteczek gazu odpowiednio w lewej i prawej połowie zbiornika. Rozważmy swobodne
rozprężanie jednego mola gazu idealnego (np. tlenu) jako przejście od stanu (100;0), dla którego
NA !
100!
W1 =
= 1, do stanów odpowiadających (50;50), dla którego W2 =
. Wartość entropii
100!0!
( N A 2 )!( N A 2 )!
Boltzmanna
dla
stanu
(100;0)
S1 = k B ⋅ ln (W1 ) = 0.
wynosi
Dla
stanów
(50;50)


NA !
S2 = k B ⋅ ln (W2 ) = k B ⋅ ln 
 . Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy
 ( N A 2 )!( N A 2 )! 
posługiwać się przybliżeniem Stirlinga ln N ! ≈ N (ln N ) − N .
Pokaż, że ∆S1→2 = k B ⋅ ln (W2 W1 ) = R ⋅ ln2.


NA !
ln 
 = ln N A ! − 2 ln ( ( N A 2 ) !) ; do tej równości należy teraz zastosować
 ( N A 2)!( N A 2)!
przybliżenie Stirlinga.
94. Silnik Stirlinga jest nieco podobny do silnika Otto (benzynowego) chociaż kompresja i rozprężanie zachodzi izotermicznie a nie adiabatycznie. Jest to silnik
zewnętrznego spalania, ponieważ w jego wnętrzu nie zachodzi spalanie się
mieszanki paliwowej. Do działania silnika wystarcza różnica stworzenie różnicy
temperatur między substancją roboczą i otoczeniem. Może to być wywołane przez
światło słoneczne, wody geotermalne, różnica temperatur między wodą
mórz/oceanów, ogrzewanie silnika płomieniem ze źródła. Ciepło jest pobierane z
zewnątrz ze spalanego poza silnikiem paliwa. Dlatego jest to bardzo cichy silnik, w
porównaniu z silnikiem Otto ponieważ nie jest spalana mieszanka wybuchowa. Jednak nie znalazł na razie
powszechnego zastosowania w samochodach ze względu na rozmiary, masę i mniejszą sprawność niż silnik
Otto i Diesla. Zamknięty cykl składa się z 4 przemian: a→b – przemiana izotermiczna w temperaturze T1,
której stopień kompresji wynosi r; b→c – przemiana izochoryczna, w której temperatura rośnie do T2; c→d –
przemiana izotermiczna w temperaturze T2; d→a – przemiana izochoryczna, która obniża temperaturę do T1.
Załóżmy, że n moli gazu idealnego o danej wartości ciepła molowego CV jest ośrodkiem roboczym. Wyznacz
∆Q, ∆W, ∆U dla wszystkich przemian odwracalnego cyklu zamkniętego. Pokaz, że teoretyczna sprawność
silnika Sterlinga jest równa η = 1 − 6 ⁄ . Ws-ki: Uzasadnij, że: a) ciepła pobrane przez gaz idealny w przemianach izochorycznych w sumie są równe zeru; b) całkowita praca wykonana przez gaz w przemianach
izotermicznych wynosi 78$9ł;<=>?9 = R
− 6 ln A ; c) ciepło jest dostarczane układowi tylko w przemianie c→d w ilości ΔD = R ln A . Silnik ma szanse być współcześnie zastosowany w samochodach,
pojazdach kosmicznych i łodziach podwodnych!
95. Jak energia wewnętrzna i molowe ciepła CV dowolnego gazu idealnego zależą od stopni swobody jego
cząsteczek. Należy rozważyć wszystkie stopnie swobody związane z ruchem postępowym, obrotowym
i drgającym.
Ws-ka:
W. Salejda
Wrocław, 5 stycznia 2015
3
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. Poprawny wzór określający bezwzględną wartość entropii n moli gazu doskonałego o temperaturze T zajmującego objętość V
zadaje wzór
, ,
=
ln +
ln
+
, gdzie
– ciepło molowe przy stałej objętości, a S0 – stała wartość entropii w
3
temperaturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak
zmieni się entropia tego gazu, gdy naczynie to podzielimy na dwie równe co do objętości części, a jak gdy zostanie
podzielone na dwie części o objętościach 1 dm3 i 3 dm3? B) W naczyniu o objętości 4 dm3 podzielonego przegrodą na
dwie równe co do objętości części znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak zmieni się entropia tego gazu,
gdy zostanie usunięta przegroda? C) Naczynie o objętości 4 dm3 podzielona przegrodą na dwie równe co do objętości
części. W jednej z nich znajdują się 2 mole a w drugiej 3 mole tlenu; temperatury gazów są takie same. Jak zmieni się
entropia układu, gdy przegroda zostanie usunięta? Ws-ka: Patrz notatki do wykładów.
2. Tlen, który w temperaturze 40oC pod ciśnieniem 1,01⋅105 Pa zajmuje objętość 1000 cm3, rozpręża się do 1500 cm3,
czemu towarzyszy wzrost ciśnienia do wartości 1,06⋅105 Pa. Wyznacz: a) liczby moli i cząsteczek gazowego tlenu, b)
temperaturę końcową tlenu.
3. Zbiornik A z rys. poniżej wypełnia gaz idealny pod znanym ciśnieniem pA i o znanej temperaturze TA i nieznanej
objętości V. Zbiornik ten jest połączony cienką rurką cienką rurką z zaworem ze
zbiornikiem B o objętości 3V, który wypełnia ten sam gaz doskonały pod
ciśnieniem pB = pA/3 i o temperaturze TB = 1,5ˑTA. W pewnej chwili otworzono
zawór, co spowodowało wyrównanie się ciśnień w obu zbiornikach, w których gaz
jest utrzymywany w temperaturach początkowych. Wyznacz ciśnienie w
połączonych zbiornikach. Ws-ka: Uzasadnij, że warunek zadania można zapisać w
postaci 1ˑ F = F − G R F , 1ˑ H = H + G R H , gdzie założono, że G jest
liczba moli gazu, które ubyły ze zbiornika A; G może mieć wartość dodatnią lub ujemną.
4. W zbiorniku znajduje się jeden mol gazu idealnego o temperaturze 20oC pod ciśnieniem 105 Pa. Podaj wzór
określający liczbę cząsteczek (ale nie obliczaj) tego gazu, których wartości prędkości są większe od prędkości dźwięku
w tym gazie.
5. Ciepło właściwe gazu argonu 0,075 cal/(gˑK). Wyznacz masę molową argonu oraz masę jednego atomu tego gazu.
6. Wykres obok reprezentuje hipotetyczny rozkład prędkości cząsteczek gazu w
zbiorniku zawierającym danych N cząsteczek gazu, przy czym prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczek o prędkości większej od danej v0 wynosi zero, tj.
P(v > 2v0) = 0. Jak parametr a zależy od v0? Ile cząsteczek ma prędkości z
przedziału <1,5v0; 2v0 >? Wyznacz prędkość średnią cząsteczek oraz prędkość
średnią kwadratową. Ws-ka: I
,L
J K dK = 1, zauważ, że wartość tej całki jest równa powierzchni pod wykresem P(v);
potrzebne całki znajdź samodzielnie w tabeli wzorów matematycznych.
7. W zbiorniku znajduje się 10 moli tlenu o temperaturze 300 K. Jaka liczba cząsteczek tlenu o masie molowej
µ = 0,032 kg/mol ma prędkości w przedziale od 599 m/s do 601 m/s? Uzasadnij, że szukany ułamek należy wyznaczyć
2
ze wzoru 4π  µ  ⋅ v 2 ⋅ 10 ⋅ N A ⋅ exp  − µ v  ∆v , gdzie ∆v = 2 m/s. Odp. ≈1,58⋅1022.
 2π RT 
 2RT 
3/2
8. Rysunek obok reprezentuje rozkład prędkości cząsteczek hipotetycznego gazu, przy
czym P ( v ) = α ⋅ v 2 dla v ≤ v0 i P ( v ) = 0 dla v > v0. Wyznacz: a) α ; b) wartość prędkości
średniej, c) prędkość średnią kwadratową.
9. Gęstość pewnego gazu o temperaturze 273 K pod ciśnieniem 103 Pa wynosi 1,24ˑ10-5 g/cm3. Wyznacz prędkość
średnią kwadratową cząsteczek oraz masę jednej cząstki tego gazu. Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu
postępowego cząsteczek tego gazu?
10. A) Pokaż, że podczas adiabatycznego rozprężania gazu idealnego jego temperatura maleje. B) Gaz idealny o
wykładniku adiabaty 1,4 pod ciśnieniem początkowym p0 = 1,2ˑ 105 Pa o temperaturze T0 = 310 K zajmował objętość V0
= 0,76 dm3. Następnie gaz ten adiabatycznie rozprężono do objętości V1 = 4,3 dm3 . B1) Oblicz temperaturę końcową T1
gazu. B2) Pokaż, że praca tego gazu podczas opisanego rozprężania adiabatycznego wyraża się wzorem nˑCV(T0 – T1),
gdzie = 1 /R , CV = 5R/2.
4
11. Tabela określa liczbę cząsteczek gazu o podanych prędkościach. Oblicz prędkość: a) średnią cząsteczek, b) średnią
kwadratową cząsteczek. Pokaż, że obie prędkości średnie cząsteczek gazu będą sobie równe, pod warunkiem, że
wszystkie wartości prędkości są takie same.
Liczba
3
5
9
6
2
cząsteczek
Prędkości [m/s]
100
200
400
500
800
12. Cztery mole tlenu, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym i drgającym ogrzano o 40 K pod stałym
ciśnieniem. Ile ciepła dostarczono do gazu? O ile wzrosła energia wewnętrzna gazu? Jaką pracę wykonał gaz? O ile
wzrosła energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek tego gazu idealnego?
13. Jeden mol gazu idealnego poddano cyklicznej przemianie pokazanej na rys. obok. Przemiana
2 → 3 jest adiabatyczna; T1 = 300 K, p1 = 105 Pa, T2 = 600 K, T3 = 455K, R = 8,3 J/(molˑK).
Oblicz ciepło, pracę oraz zmianę energii wewnętrznej dla każdej z tych przemian osobno oraz
dla całego cyklu zamkniętego.
14. Dwa mole gazu idealnego podlega odwracalnej przemianie
przedstawionej na wykresie obok. A) Ile energii w postaci ciepła
pobrał gaz? B) Ile wyniosła zmiana energii wewnętrznej gazu? C) Jaka pracę wykonał gaz
podczas tej przemiany? Stan początkowy ma parametry (T0 = 400 K; S0 = 5 J/K), (Tk = 200
K; Sk = 20 J/K), Ws-ka: ∆Q = TˑdS i porównaj to ze sposobem obliczania pracy ∆W = pˑdV.
15. Oblicz ilość ciepła dostarczonego próbce gazu idealnego, jeżeli jego entropia w wyniku
odwracalnego rozprężania izotermicznego w temperaturze 140oC wzrosła o 50 J/K.
16. Dwuatomowy gaz doskonały, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie
wykonują drgań, poddano procesowi cyklicznemu z rysunku obok. Przyjmując za dane p1, V1 i T1
oraz R oblicz: A) p3, V3 i T3 ; B) pracę W, Q, ∆U, ∆S w przeliczeniu na mol gazu we wszystkich 3
przemianach cyklu; C) Ile wynosi sprawność takiej maszyny cieplnej?
17. Załóżmy, że jeden mol jednocząsteczkowego gazu przeprowadzono od stanu początkowego
(p1,V1) do stanu końcowego (2p1,2V1) poddając go dwóm różnym przemianom: (I) gaz
izotermicznie rozpręża się do objętości 2V1 a następnie jest izochorycznie sprężane do 2p1. (II)
Gaz jest izotermicznie sprężany aż jego ciśnienie wzrośnie dwukrotnie po czym jest izochorycznie rozprężany do
objętości 2V1. A) Przedstaw każdą z przemian w zmiennych p-V. B) Dla przemian (I) i (II) wyznacz Q/(p1ˑV1) dla
każdego z etapów przemian. C) Pracę wykonaną W/(p1ˑV1) dla każdego z etapów przemian. D) Ile wynosi dla (I) i (II)
przemian ∆U/(p1ˑV1) a ile ∆S?
18. Cykl odwrotny Carnota reprezentują poniższe diagramy w zmiennych p-V (3→2→1→4→3) i T-S
(C→D→A→B→C na środkowym diagramie; 3→4→1→2→3 na prawym). W tym odwracalnym cyklu zamkniętym
(cykl przebiega odwrotnie do ruchu wskazówek zegara), gaz idealny pobiera ciepło w ilości ∆Q3→2 = QL od układu
o niższej temperaturze TL (chłodnicy) i przekazuje ciepło w ilości ∆Q1→4 = QH, układowi o wyższej temperaturze
(grzejnicy) kosztem wykonania pracy ∆W. Sprawność tego cyklu definiuje współczynnik wydajności M =
∆O
.
PQ
Korzy-
stając z odwracalności cyklu, I zasady termodynamiki i zmiany entropii ( ∆U3→2→1→4→3 = 0 i ∆S3→2→1→4→3 = 0), pokaż,
że wydajność tego cyklu wynosi M =
∆O
PQ
=
RS TRQ
RQ
. Ws-ki: Uzasadnij, że: a) całkowita ilość ciepła wymieniona w jed-
nym cyklu z otoczeniem ∆Q = QL – QH; b) praca wykonana przez gaz na rzecz otoczenia ∆W = – ∆Q; c) spełniona jest
równość
PQ
RQ
P
− R S = 0.
S
5
19. Pokaż, że sprawność cyklu Carnota wynosi η = (TH − TL ) TH = (ε − 1) ε , gdzie ε jest współczynnikiem wydajności
cyklu odwrotnego.
20. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został poddany przemianie cyklicznej
przedstawionej na rys, obok w zmiennych p-V. Przyjmijmy, że p = 2p0, V = 2V0, gdzie p0
= 105 Pa, V0 = 0,0225 m3.. Oblicz: a) Pracę wykonaną podczas cyklu; b) ciepło
dostarczone w procesie a →b→c, c) sprawność cyklu; d) ile wynosiłaby sprawność
silnika Carnota pracującego pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą tego cyklu?
21. Masa m wodoru rozszerza się izobarycznie, dwukrotnie powiększając objętość.
Znaleźć zmianę entropii w tym procesie. Dane są: masa cząsteczkowa wodoru µ i ciepło
właściwe przy stałym ciśnieniu cp.
22. Cztery mole gazu doskonałego poddano izotermicznemu przy T = 400K odwracalnemu rozprężaniu od V1 do V2 =
2V1. Obliczyć pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę entropii gazu.
23. W dwóch naczyniach o pojemnościach V1 i V2 znajdują się masy m1 i m2 gazów o masach cząsteczkowych odpowiednio µ1 i µ2. Obliczyć ciśnienie mieszaniny gazów powstałej po połączeniu tych naczyń przewodem o pomijalnej
objętości oraz zmianę entropii w tym procesie. Temperatura mieszających się gazów jest stała i wynosi T.
24. Dwa podukłady o temperaturach początkowych T1 i T2 > T1 oraz pojemnościach cieplnych odpowiednio C1 i C2
zetknięto ze sobą, pozwalając na wyrównanie się temperatur. Znaleźć zmianę entropii układu w całym procesie.
25. Znaleźć zmianę entropii przy zamianie masy m lodu o temperaturze T1 w parę o temperaturze T2. Dane są ciepła
właściwe lodu, wody, pary wodnej oraz ciepła topnienia lodu i parowania wody.
26. Pierwszy stopień dwustopniowego silnika Carnota pobiera z grzejnika o temperaturze T1 energię w postaci ciepła
Q1, wykonuje pracę W1 i oddaje do chłodnicy o temperaturze T2 energię w postaci ciepła Q2. Drugi stopień pobiera
energię Q2, wykonuje pracę W2 i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temperaturze T3 energię Q3. Udowodnij, że
sprawność dwustopniowego silnika Carnota jest równa (T1 − T3)/T1.
27. Jeden mol gazu doskonałego o nieznanej liczbie stopni swobody oraz ciepłach molowych użyto jako substancji
roboczej w silniku wysokoprężnym (silnik Diesla) pracującym według
następującego cyklu zamkniętego pokazanego na diagramie obok w
zmiennych p-V: (1) (1 → 2) zapłon od (p1,V1) do (p2 = p1,V2 = 2V1); (2)
(2→3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p2,V2) do (p3 = p1/32,V3 =
16V1); (3) (3 → 4) od (p3,V3) do (p4 = p3,V4 = 8V1); (4) suw (4 → 1) bez
wymiany ciepła z otoczeniem od (p4,V4) do (p1,V1). Wyznacz wykładnik
adiabaty oraz liczbę stopni swobody tego gazu. Obliczyć: a) Temperatury na
początku i końcu każdej z przemian; b) Sprawność silnika. Ws-ki: Ciepło jest wymieniane z otoczeniem tylko w
przemianach izobarycznych; temperatury w punktach 1, 2, 3 i 4 wykresu należy wyznaczyć z równania stanu gazu
doskonałego.
28. Jeden zamknięty cykl silnika benzynowego składa się z 4 następujących przemian; patrz diagram obok w zmiennych
p-V: (1) (1 → 2) zapłon od (p1,V1) do (p2 = 3p1,V1); (2) (2 → 3) suw bez wymiany ciepła
z otoczeniem od (p2,V1) do (p3,V3); (3) (3 → 4) ssanie od (p3,V3) do (p4,4V1); (4) (4 → 1)
suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p4,4V1) do (p1,V1). Traktując mieszaninę
benzyna-powietrze jako gaz idealny o znanym wykładniku adiabaty γ obliczyć: a)
Ciśnienie i temperaturę na początku i końcu przemian; b) sprawność silnika. Ws-ki:
Pokaż najpierw, że równanie adiabaty w zmiennych V-T ma postać ∙ VT6 ; następnie
wykorzystując równania adiabat i izobar pokaż, że ∆Q1→2 = 2CV ⋅T1 i ∆Q3→4 = –
∆Q1→2/(4)γ-1.
29. a) Chłodziarka Carnota wymaga 300 J pracy, aby pobrać 800 J ciepła z komory chłodzenia. Ile wynosi jej
współczynnik sprawność? Ile ciepła jest odprowadzane na zewnątrz przez chłodziarkę? b) Klimatyzator pobiera energię
cieplna z pokoju o temperaturze tZ = 21oC i odprowadza ją do otoczenia o temperaturze t0G = 32oC. Ile wynosi jej
współczynnik wydajności? Ile dżuli energii pobranej z pokoju przypada na jeden dżul energii elektrycznej dostarczonej
klimatyzatorowi? Ile wyniesie wydajność chłodziarki, jeśli temperatura otoczenia wzrośnie do 3t0G, a potem do 10t0G?
30. Dwa pręty, z miedzi i z aluminium, o przewodnościach cieplnych odpowiednio 394 i 218W/(mK), długości 50 cm
każdy i promieniu 1 cm są połączone szeregowo. Ich powierzchnie boczne są izolowane cieplnie. Wolny koniec pręta
6
miedzianego znajduje się w temperaturze 80◦C, a aluminiowego – w temperaturze 10◦C. (a) Jaka jest temperatura na
złączu? (b) Jaka jest szybkość przepływu ciepła przez pręty?
31. Oblicz strumień ciepła uciekającego z organizmu narciarza przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące dane:
pole powierzchni ciała 1,8m2, grubość ubrania 1 cm, temperatura skory 33◦C, temperatura powietrza 1◦C i przewodność
cieplna właściwa ubrania 0,04W/(mK). Jak zmieniłby się ten wynik, jeżeli w wyniku upadku kombinezon narciarza
nasiąkłby wodą, której przewodność cieplna właściwa wynosi 0,6W/(mK)?
◦
32. Kulę o promieniu 0,5m, temperaturze 27 C i zdolności emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze
77◦C. Z jaką szybkością kula: (a) emituje; (b) pochłania promieniowanie cieplne? (c) Jaka jest wypadkowa szybkość
wymiany energii przez kulę?
33. Uzasadnij, że ciśnienie p(h) w gazie o stałej temperaturze T poddanym działaniu pola grawitacyjnego Ziemi na
wysokości h ma wartość p(h) = p0⋅exp[−µgh/(RT)] = p0⋅exp[−m0gh/(kT)], gdzie p0 – ciśnienie na poziomie morza, µ –
masa molowa, m0 – masa jednej cząstki gazu doskonałego. Twoim zadaniem jest
wykonanie kalibracji pokojowych barometrów, które umieszczone są w miastach
znajdujących się na różnych wysokościach h nad poziomem morza (nazwy
miasta/miejsc oraz wartości średnich wysokości nad poziomem morza (n.p.m.)
zestawiono w tabeli). Widoczny na fotografii obok fragment barometru jest
wykalibrowany w pewnym mieście na ciśnienie unormowane 74,5 cm Hg, na co
wskazuje ustawienie miedzianej wskazówki tego barometru. Wzór
p ( h ) = p0 ⋅ exp  − µ gh / ( RT ) 
określa unormowane ciśnienie atmosferyczne panujące na wysokości h nad poziomem
morza; µ – masa molowa powietrza, p0 = 760 mm Hg (1013,25 hPa) – ciśnienie
atmosferyczne na poziomie morza. Przyjmując, że dla powietrza µ = 29 g/mol, a jego temperatura T = 300 K jest stała,
uzupełnij poniższą tabelę (wyniki kalibracji podaj z dokładnością do 1 mm Hg).
Miasto
Wysokość h
n.p.m. [m]
Wrocław
108
Świdnica
250
Wałbrzych
475
Karpacz
700
Ciśnienie
unormowane [mmHg]
Wskaż źródła możliwych niedokładności obliczonych i zamieszczonych w tabeli wartości unormowanych ciśnień.
34. Samolot leci na wysokości 8,3 km. W kabinie pasażerów utrzymywane jest ciśnienie odpowiadające ciśnieniu
powietrza na wysokości 2,7 km. Oszacować: a) stosunek gęstości powietrza w kabinie, gdzie temperatura wynosi
+20◦C, do gęstości powietrza otoczenia o temperaturze −20◦C; b) różnicę ciśnień między wnętrzem i otoczeniem. Masa
molowa powietrza 29 g/mol.
VT6
35. Pokaż, że równanie przemiany adiabatycznej w zmiennych T-V ma postać
= W XY6 i V 16TV = W XY w
zmiennych p-T.
36. (”Odmrażanie stopni swobody”). a) Obliczyć energię ruchu cieplnego oraz molową pojemność cieplną CV gazu
idealnego o temperaturze T oraz i stopniach swobody korzystając z zasady ekwipartycji energii cieplnej. b) Przy
dostatecznie wysokich temperaturach cząsteczka gazu dwuatomowego wykonuje w przestrzeni obroty (sztywna
dwuatomowa molekuła wiruje w przestrzeni) o średniej energii kBT. Ile wynosi w tych warunkach pojemność molowa
C(1)V ? (Gaz cząsteczek H2 w przedziale temperatur od 350K do około 800K ma CV = C(1)V.). c) Przy jeszcze wyższych
temperaturach wzbudzane są wibracyjne stopnie swobody cząstki dwuatomowej (atomy wykonują ruch drgający wzdłuż
linii łączącej je), przy czym średnia energia takiego ruchu wynosi kT. Obliczyć pojemność C(2)V przy bardzo wysokich
temperaturach. (Gaz cząsteczek H2 o temperaturze powyżej 5000K wykazuje CV = C(2)V.)
37. Prędkość najbardziej prawdopodobna vp odpowiada wartości maksymalnej funkcji rozkładu Maxwella Z) K =
[W XY ∙ K exp −. K ⁄ 2]H
. Pokaż, że: a) K^ =
to Z) K = [W XY ∙ K exp −. K ⁄ 2]H
_` R
,tj.
(L
dK = 4⁄√
v p = 2k BT m0 ; b) jeśli przyjąć nową zmienną x =
∙ a ∙ exp −a da.
7
v
,
vp
38. A) Stacja meteorologiczna jest umieszczona na wysokości 3250m. Oszacować ciśnienie powietrza na tej wysokości.
Przyjąć: temperaturę powietrza 5◦C, masę molową powietrza 29 g/mol, ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa. B)
Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza stanowi 75% ciśnienia na poziomie morza? Masa molowa powietrza 29 g/mol.
C) Załóżmy, że atmosfera Ziemi jest złożona tylko z atomów: azotu, lub tlenu albo wodoru. Oszacować ciśnienie takiej
atmosfery na wysokości 1 km. Przyjąć: temperaturę atmosfery 5◦C, ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa.
3
39. Ile waży 1m powietrza: A) na powierzchni Ziemi; B) na wysokości 4 km nad powierzchnią? Przyjąć temperaturę
powietrza za 0◦C. Ciśnienie na poziomie morza p0 = 1000 hPa.
40. Diagramy obok przedstawiają cykl zamknięty silnika
spalinowego (cykl Otta): 1→2 suw adiabatycznego zasysania
mieszanki paliwowej; 2→3 – zapłon mieszanki paliwowej w przemianie izochorycznej; 3→4 – adiabatyczny suw pracy (rozprężanie);
4→1 – przemiana izochoryczna usuwania spalin do otoczenia. Pokaż,
6
że sprawność takiego cyklu wynosi 1 − cde , gdzie A = e jest
b
-
współczynnikiem sprężania w przemianie 1→2. Ws-ka: Patrz
https://www.fizyka.umk.pl/~andywojt/wyklady/termo/TD%20wyklad%2012.ppt
41. Diagramy
obok
reprezentują
cykl
zamknięty pracy modelu silnika Diesla. Przemiana adiabatyczna 1→2 (a→b) to sprężanie
powietrza (bez paliwa); w punkcie 2 (b)
następuje wtrysk paliwa pod wysokim
ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez iskry;
generacja i transfer ciepła do sprężonego
powietrza przybliżamy przemianą izobaryczną
2→3 (b→c); suw pracy 3→4 (c→d) modelujemy przemianą adiabatyczną; po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach
gorące powietrze i produkty spalania są zastępowane w przemianie izochorycznej 4→1 (d→a) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze
substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciepłach molowych. Pokaż, że współczynnik sprawności tego cyklu można wyrazić
za pomocą temperatur Ta, Tb, Tc, Td oraz wykładnik adiabaty γ i wynosi on
związki dla przemian adiabatycznych
η = 1−
1 Td − Ta
. Następnie wykorzystując
γ Tc − Tb
TaVaγ −1 = TbVbγ −1 i TcVcγ −1 = TdVdγ −1 oraz równość Va = Vb, pokaż, że
γ −1
  V γ −1
 Vb  
c
 Tc   − Tb   
  Vd 
 Va  
η =1− 
.
γ (Tc − Tb )
42. Diagramy poniżej prezentują cykl zamknięty pracy modelu silnika Diesla. Przemiana adiabatyczna 1→2 (a→b)
to sprężanie powietrza (bez paliwa); w
punkcie 2 (b) następuje wtrysk paliwa pod
wysokim ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez
iskry; generacja i transfer ciepła do
sprężonego powietrza przybliżamy przemianą
izobaryczną 2→3 (b→c); suw pracy 3→4
(c→d) modelujemy przemianą adiabatyczną;
po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych
suwach gorące powietrze i produkty spalania
są zastępowane w przemianie izochorycznej 4→1 (d→a) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą
jest
gaz
idealny
o
znanych
ciepłach
molowych.
Pokaż,
że
współczynnik
sprawności
γ
 T1   T4 T1 − 1 
 1   α −1 
,
⋅
 = 1 −  γ −1  ⋅ 
 r   γ ⋅ (α − 1) 
 γ T2   T3 T2 − 1 
η = 1− 
gdzie
https://www.fizyka.umk.pl/~andywojt/wyklady/termo/TD%20wyklad%2012.ppt
8
r=V1/V2
i
R
2 = Rf = f .
-
-
Ws-ka:
Patrz
43. Rysunki
obok przedstawiają zamknięty cykl
Braytona pracy silników turbin gazowych stosowanych w generatorach prądu elektrycznego, w samolotach i rakietach. Na odcinku 1→2 (A→B)
powietrze o ciśnieniu atmosferycznym pmin= p1,
temperaturze T1 jest poddawane adiabatycznemu
sprężaniu, co podnosi jego ciśnienie do pmax= p2 i
temperaturę do T2, ponieważ nad powietrzem jest wykonywana praca. Następnie gorące powietrze trafia do
komory spalania (combustion chamber), gdzie jest mieszane z paliwem i mieszanka ulega wybuchowemu
spalaniu 2→3 (B→C), co podnosi temperaturę mieszaniny do T3 pod stałym ciśnieniem pmax= p2. Mieszanina
gazowa wykonuje etap pracy (napędza turbinę) 3→4 (C→D), rozprężając się adiabatycznie do ciśnienia
atmosferycznego pmin= p1 = p4, osiągając temperaturę T4. Ostatni etap cyklu 4→1 (D→A), polega na
izobarycznym ochłodzeniu spalin do temperatury T1 i usunięciu ich na zewnątrz silnika. Pokaż, że sprawność
T −T
tego silnika, jeśli substancją robocza jest gaz idealny w ilości n moli, wynosi η = 1 − 4 1 . Ws-ka: Ciepło
T3 − T2
jest pobierane w przemianie 2→3 (B→C) w ilości QH = nCp (T3 − T2 ) i oddawane układowi w ilości
QC = nCp (T4 − T1 ) , więc η =
QH − QC
.
QH
Pokaż, że równanie adiabaty w zmiennych p-V ma postać
p ( γ −1) γT = const. Pokaż, że analiza procesu adiabatycznego 1→2 (A→B) pozwala otrzymać wyrażenie
p 
T1 =  max 
 pmin 
( γ −1)
γ
⋅ T2 =rp(
γ −1) γ
T2 , gdzie rp =
pmax
pmin
określa stopień zwiększenia ciśnienia w tym procesie.
p 
Podobnie pokaż, że dla adiabatycznego rozprężania mamy T4 =  max 
 pmin 
uzasadnij, że η = 1 − rp(
1−γ ) γ
( γ −1)
γ
⋅ T3 = rp( γ −1) γT3 .
Następnie
. Wyznacz sprawność silnika Braytona dla dwuatomowego gazu idealnego, w
którym nie i są wzbudzane oscylacyjne stopnie swobody i dla rp = 10. Czy wzbudzenie oscylacyjnych stopni
swobody zwiększa η?

44. Równanie gazu Van der Waalsa ma postać  p +

a ⋅ n2 
 ⋅ ( B − nb ) = nRT . Punkt krytyczny ma 3 ściśle określone
V2 
wartości ciśnienia pkr, temperatury Tkr i objętości Vkr, które odpowiadają punktowi przegięcia izotermy krytycznej.
Parametry krytyczne wyznaczamy z warunków na pierwszą pochodną
∂2 p
∂V 2
= 0. Pokaż, że A)
pkr
B)
∂2 p
∂V 2
=2
pkr
∂p
∂V
=−
pkr
nRTkr
(Vkr − nb )
3
nRTkr
(Vkr − nb )
−6
2
∂p
∂V
= 0 oraz na drugą pochodną
pkr
2an 2
2an 2
nRTkr
+ 3 =0→ 3 =
2 ;
Vkr
Vkr
(Vkr − nb )
an 2
an 2
nRTkr
=
0
→
6
=2
,
3
4
4
Vkr
Vkr
(Vkr − nb )
C) Vkr = 3nb; ws-ka: podziel stronami otrzymane wyżej rezultaty,
D) Tkr = 8a/(27bR); ws-ka: podstaw Vkr do otrzymanego wzoru
2an 2
nRTkr
,
=
2
3
Vkr
(Vkr − nb )
E) pkr = a/(27b2); ws-ka: podstaw wyniki z C) i D) do równania gazu.
F) Wyznacz temperaturę krytyczną dla dwutlenku węgla, dla którego a = 2,13 Pa⋅m6/mol2 i b = 31,3⋅10-6 m3/mol i
porównaj z danymi tablicowymi.
9
45. Jeden kg wody o temp. 100o C jest podgrzewany (rys. obok) i paruje pod ciśnieniem
atmosferycznym 1,01⋅105 Pa, w wyniku czego objętość wody 10-3 m3 przekształca się w
parę o objętości 1,67⋅10-3 m3. Jaka pracę wykonuje układ podczas odparowywania
wody? Ile ciepła jest dostarczonego układowi podczas parowania? Jaka jest zmiana
energii wewnętrznej układu?
46. Układ może wymieniać ciepło z otoczeniem promieniując lub absorbują energię fal
elektromagnetycznych. Promieniowanie energii w postaci fal elektromagnetycznych
znany jest pod nazwą promieniowania cieplnego (termicznego). Strumień promieniowania cieplnego emitowanego wynosi J#">?. = σhε j, gdzie A – powierzchnia
emitująca, σ = 5,67⋅10-8 W/(m2 K4) – stała Stefana-Boltzmanna (od nazwiska odkrywcy
na drodze eksperymentalnej Józefa Stefana i Ludwika Boltzmanna (podał uzasadnienie teoretyczne), T – temperatura
powierzchni emitującej; ε – parametr przyjmujący wartości z przedziału (0.0;1.0>. Strumień promieniowania cieplnego
j
j
absorbowanego J9kl. = σhε <?<$m#n>9
, gdzie A – powierzchnia absorbująca; <?<$m#n>9
– temperatura otoczenia; ε –
parametr przyjmujący wartości z przedziału (0.0;1.0>. Wypadkowy strumień energii cieplnej J = Jabs. − Jemit. =
σhε 4otoczenia − 4 . Niektóre insekty (żuk Melanophila) potrafią dokonać detekcji pożaru z odległości ponad 10 km,
dzięki posiadania stosownych organów-receptorów pochłaniających promieniowanie cieplne powodującego
(rozszerzanie się określonych fragmentów ciała) pobudzenie synaps. Niektóre węże (np. grzechotnik) także posługują
się receptorami promieniowania cieplnego, co umożliwia im polowanie w zupełnych ciemnościach. Wyobraź sobie, że
4,5 g wody o temperaturze 6oC rozlałeś na powierzchni 9 cm2 i pozostawiłeś gwiaździstej nocy na powietrzu, którego
temperatura wynosiła –23oC. Oszacuj czas t, po upływie którego woda zamarznie. Ciepło właściwe wody 4190
J/(kg⋅K); ciepło topnienia 3,33⋅105 J/kg. Przyjmij, że układ woda+lód emituje promieniowania cieplne w temperaturze
0oC. Ws-ka: Pokaż, że woda po całkowitym zamarznięciu oddaje ciepło w ilości 1612 J, które jest wypromieniowane do
atmosfery; należy uwzględnić zjawisko absorpcji z powietrza (otoczenia) energii cieplnej przez układ woda+lód. Odp.
t = 2,13⋅104 s.
47. Załóżmy, że 2 kg wody o temperaturze spontanicznie zmienia temperaturę, w ten sposób, że 1 kg ochładza się do
0oC (i nie zamarza) a pozostała część ogrzewa się do 100oC (i nie paruje). Jaka jest zmiana entropii układu? Czy ten
proces jest możliwy do zaobserwowania? Ws-ka: Zmiana entropii ciała o masie m, cieple właściwym cW, gdy jego
temperatura zmienia się od T1 do T2 wynosi ∆S1→2 = mcw
T2
dT
.
T
T1
∫
W. Salejda
Wrocław, 5 stycznia 2015
10