Fale elektromagnetyczne

Fale elektromagnetyczne
Strona 1 z 5
Fale elektromagnetyczne
Równania Maxwell’a w układzie SI:
Uwaga: małe litery oznaczają pola eksplicite zależne od czasu.

  d

h  j 
d  
t


b

e  
b  0
t

 
d   0e  p


b   0 r h

h

e
b
d

p

j
- natężenie pola magnetycznego
- natężenie pola elektrycznego
- indukcja pola magnetycznego
- indukcja pola elektrycznego
- (prąd) polaryzacji


- prąd przewodnictwa: j   e

 

W dielektryku: p  e , albo p   0 d ( - podatność dielektryczna ośrodka).
Tak więc:





d   0 e   0 e   0 1   e   0er e (  r  n 2 jeżeli  jest skalarem)
a f
Fale elektromagnetyczne
Strona 2 z 5
Zbadajmy, co wynika z równań Maxwell’a dla ośrodka jednorodnego,
amag
netycznego i nieprzewodzącego (dielektryka):  r  1, j  0,  r  const. ):
Obliczmy:
 b 
 h 
    e         0     
 t 
 t 
 
 

  d 
2 d
2 e
  0
  h    0      0 2    0  0 er 2
t
t  t 
t
t
a f
af





    e   e   2 e   0   2 e   2 e
Tak więc:

2e
 e   0 0er 2  0
t
zbadajmy czym jest ta stała
2
r I
s
F
Okazuje się, że rozwiązaniem jest każda funkcja postaci f t 
, gdzie
H
v K

s jest wersorem w kierunku rozchodzenia się fali z prędkością v.
rI F zI
Dla uproszczenia dowodu obierzmy
s
F

 f Gt  J  f t 
taki układ współrzędnych, że s || z :
H v K H vK
F z I  f F t  z I  1 f '' F t  z I U|
 f t 
H v K z H v K v H v K |V 1 f '' F t  z I     f '' F t  z I  0
H vK

Ff t  z I  f '' F t  z I
|| v H v K
H vK
t H v K
W
2
2
2
2
0 0 r
2
2
2
Tak więc prędkość fazowa:
1
v2
  0 0 r , w próżni:
1
c2
  0 0
Fale elektromagnetyczne
2
Równanie falowe ma więc postać:
RS a
Ta

e

h

r ,t

r ,t
fUV
fW
RS a
Ta

1 e
 2 
v h

r ,t

r ,t
Strona 3 z 5
fUV  0
fW
Łatwo można pokazać, że:
LMRS UV F
NT W H
LMRS UV F
NT W H
I OP
KQ


  r
e
E0
s
1
     f t 
 f' t
h
v
v
H0


  r
  r
 e  E0
s
s

 f t
 f' t
t h t H0
v
v
RS
T
RS
T
I OP
KQ
F
H
F
H
s  r I F  R E UI
s  0
I RS
KT
Wstawiając do równań Maxwell’a na rotację :





  e   b t  s  E0  v 0  r H0 


  h  d t

v

E0

H0
K GH STH VWJK
0
 0 r 
H
 0 r 0


s  H0  v 0 r E0  
 0 r 
E
 0 r 0
Wnioski:
1. Pola mogą być zespolone, ale są powiązane przez współczynniki  , a
więc są
 wfazie.
2. Pola E i H są do
prostopadłe
 siebie

E
3. Wektory , E i H tworzą
układ prawoskrętny:
s
H
s
4. Amplitudy pól są powiązane współczynnikiem Rr wyrażanym w  i nazywanym opornością falową ośrodka:

E0 

 0 r 
0
H0  Rr H0 w próżni: Rr 
 377 
 0 r
0

H0 

 0 r 
E0  Rr1 E0
 0 r
Oporność falowa
Fale elektromagnetyczne
Strona 4 z 5
Dowolne pole zależne od czasu można przedstawić jak sumę lub dystrybucję
funkcji o ustalonej częstości . Wprowadźmy oznaczenia, np.:
a
f
a
f


e x , y , z, t  Re E x , y , z  ei t
pole zespolone, niezależne
explicite od czasu
Zbadajmy, jak może wyglądać funkcja opisująca pole monochromatyczne. W
 
 

funkcji e r , t  E r eit dokonajmy podstawienia t  t  s  r / v , aby pole
było rozwiązaniem równania falowego:
a f
a f af
a f
LM a f F
H
N

 
e r , t  Re E  , k  exp i t  i

Wprowadziliśmy tutaj oznaczenie: k 
s  r I O  ReL E a , k fe id kr  t i O
v
s 
K PQ
MN
PQ
dla wektora falowego. Tak więc
v
 



k   n  nk0 , w próżni: k  k0 
v
c
c


Uwaga: E nie zależy od r ponieważ cała zależność jest dalej w eksponencie. Inaczej
równanie falowe nie byłoby spełnione.


i d k r  t i
Pole postaci E  , k e
nazywa się falą płaską.
a f
r

r cos()
k
z
Front falowy: miejsce geometryczne o takiej
samej
  fazie w danej chwili czasu :
k  r   t  const.
 
 k  r  k  r  cos  = const.
af
af
a
 r  cos  = z = const. x , y dowolne
- jest to definicja płaszczyzny
prostopadłej

do kierunku wektora k .
Korzystając z dotychczasowych wyników ogólnych dla funkcji f t 

można od razu napisać związki pomiędzy k i wektorami pól:
 



k  E0   0 H0
 
 ; k0  E0   0 H0
k  H0   0 r E0
a s  r f / v
f
Fale elektromagnetyczne
Strona 5 z 5
Wnioski:
5. Oczywiście nadal słuszne są wnioski 1-4 dla fali typu f

  
6. Przepływ energii (wektor Poytinga S ): S  E  H* ;
 
 
k  E0 *
 1 
1 
S  E0 

E0  k *  E0*
2
2 0
 0

 
1   

k  E0  E0*  E0* E0  k
2 0
d
i
c

S 
d
h
d
i
i
 2 1  2 1
E0 k  E0
2 0
2
Rr
1
s
t
a s  r f / v
 1 

S  E0  H0*
2


k 3