badanie dynamiki pierścienia wirowego zaburzonego falami kelvina

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
44, s. 245-251, Gliwice 2012
ISSN 1896-771X
BADANIE DYNAMIKI PIERŚCIENIA WIROWEGO
ZABURZONEGO FALAMI KELVINA
O SKOŃCZONEJ AMPLITUDZIE
Z WYKORZYSTANIEM TRÓJWYMIAROWEJ
METODY „WIR W KOMÓRCE”
PAWEŁ REGUCKI
Instytut Inżynierii Lotniczej, Procesowej i Maszyn Energetycznych, Politechnika Wrocławska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. Jedno z fascynujących i wciąż badanych zjawisk związane jest
z ewolucją fal Kelvina (sinusoidalnych zaburzeń) występujących na obwodzie
pierścienia wirowego. Numeryczne wyniki prezentowane przez Kiknadze
i Mamaladze [4] oraz Barenghi et al. [1] pokazują, że prędkość translacji pierścienia
wirowego w warunkach panujących w nadciekłym helu He4 (brak lepkości oraz
infinitezymalnie mały promień rdzenia pierścienia - nić wirowa) zależy od
częstotliwości i amplitudy fal Kelvina. Interesująca jest więc weryfikacja, czy
podobne zachowanie można zaobserwować w granicy klasycznej cieczy
nielepkiej. Wyniki numerycznego modelowania prezentowane przez autora
odnoszą się do przypadku klasycznego, nielepkiego pierścienia wirowego ze
skończonym promieniem wewnętrznym rdzenia. Ewolucja pierścienia była
modelowana z zastosowaniem trójwymiarowej metody „wir w komórce” [2].
W prezentowanych wynikach fale Kelvina rozwijają się wzdłuż obwodu pierścienia,
prowadząc do skomplikowanej ewolucji pola wirowości. Pomimo złożonej
dynamiki wyniki numeryczne wskazują, że prędkości translacji zarówno pierścienia
zaburzonego jak i niezaburzonego falą Kelvina pozostają takie same.
1. WSTĘP
Pierścienie są najprostszymi strukturami wirowymi, które można w relatywnie prosty
sposób wygenerować w trójwymiarowych przepływach [2, 6, 11]. Pomimo ich geometrycznej
prostoty dynamika tych struktur jest interesującym przykładem nieliniowej interakcji
obszarów o skoncentrowanej wirowości. Jedno z fascynujących i wciąż badanych zjawisk
odnosi się do ewolucji pierścienia wirowego z występującymi na jego obwodzie falami
Kelvina (sinusoidalnymi zaburzeniami) [8]. Wyniki numeryczne prezentowane w pracach
Kiknadze i Mamaladze [4] oraz Barenghi et al. [1] pokazały, że prędkość przemieszczania
pierścienia wirowego zaburzonego falami Kelvina w supercieczy silnie zależy od
częstotliwości i amplitudy tych fal. Wzrost wartości amplitudy fali powodował, że pierścień
wirowy zwalniał, a nawet, dla dostatecznie dużej jej wartości, mógł zmienić kierunek ruchu
na przeciwny. Obliczenia zostały przeprowadzone przy założeniu przepływu nielepkiego
z infinitezymalnie małym promieniem wewnętrznym pierścienia, co odzwierciedla warunki
246
P. REGUCKI
panujące w nadciekłym He4 [3] (brak lepkości i średnica nici wirowej rzędu angstremów).
W celu wyznaczenia pola prędkości generowanego przez włókno wirowe Kiknadze
i Mamaladze [4] zastosowali metodę przybliżenia lokalnej indukcji (LIA - local induction
approximation), zaś Barenghi et al. [1] zastosował prawo Biota-Savarta (BSL).
Interesująca była zatem weryfikacja, czy podobne zachowanie można zaobserwować
w granicy klasycznego, nielepkiego pierścienia wirowego ze skończoną wartością
promienia rdzenia.
2. TRÓJWYMIAROWA METODA „WIR W KOMÓRCE”
Równania opisujące ewolucję pola wirowości w
nieściśliwym przepływie mają postać [2, 7, 9]:
trójwymiarowym,

 



+  u    =     u ,
t

u = 0
nielepkim,
(1)
(2)


gdzie   (1 , 2 , 3 ) oznacza pole wirowości, zaś u = (u1 , u 2 , u 3 ) - pole prędkości. Warunek

nieściśliwości płynu (2) gwarantuje istnieje potencjału wektorowego A [7]:


u = A.
(3)

Składowe pola wektorowego A wyznaczane są z rozwiązania równania Poissona przy

dodatkowym założeniu, że   A = 0 :
 Ai   i ,
i  1, 2,3.
(4)
W metodzie “wir w komórce” ciągłe pole wirowości jest zastępowane dyskretnym

rozkładem cząstek wirowych niosących informacje o trzech składowych pola wirowości 
[2, 5]:
N
 
 
 
 (x)    p (x p )  (x  x p ) ,
(5)
p 1


gdzie  ( x ) jest trójwymiarową deltą Diraca, a  p oznacza intensywność cząstki wirowej




 p   p  p1 ,  p 2 , p 3  p=1,...,N w położeniu x p  x p  x p1 , x p 2 , x p 3  . Obszar obliczeniowy
pokryty jest siatką numeryczną  N x  N y  N z  o równomiernym kroku przestrzennym h, zaś


i-ta składowa wektora  p jest definiowana wyrażeniem x p V p , Vp  h3 :




 i (x p )   i  x1 , x 2 , x 3  d x  h3 i (x p )
Vp

(6)
BADANIE DYNAMIKI PIERŚCIENIA WIROWEGO ZABURZONEGO FALAMI KELVINA …
247
Metoda “wir w komórce” pozwala na rozwiązanie równań Eulera dla trójwymiarowego,
nielepkiego przepływu. Z teorii Helmholtza wynika, że wirowość unoszona jest przez ciecz,
a zatem ewolucja cząstek wirowych odbywa się zgodnie z równaniem:

d xp
 
 u(x p , t ),
(7)

 
  u(x p , t )    p .
(8)
dt

d p
dt
Prawa strona równania (8) może być wyrażona na podstawie tożsamości wektorowej


 
T 

T 
   u   u      u     0.5  u    u    . W obliczeniach zastosowano

wyrażenie
 u     ,
T

ponieważ lepiej zachowuje niezmienniki ruchu dla przepływu
nielepkiego [2].

W celu rozwiązania równania Poissona (4) intensywności cząstek  p są redystrybuowane
na węzły siatki numerycznej (k, l, m) z wykorzystaniem metody „objętości węzła” [2]:

n
   np ,(i ) klm
xp

p


n
in  x klm   
J klm

0
n
dla J klm
0
,
(9)
n
dla J klm
0
n
n
gdzie J klm
  p h3 klm
 x p  jest nazywany objętością węzła, a górny indeks „n” określa krok
czasowy t n  n t . Zastosowana metoda redystrybucji jest mniej czuła na położenie cząstki
w oczku siatki numerycznej i lepiej przeciwdziała samorzutnemu grupowaniu się cząstek
wirowych w obszarach o dużych gradientach prędkości. Jako funkcję  wybrano

trójwymiarową funkcję sklejaną trzeciego stopnia klm  x   k  x  l  y  m  z  .
Jednowymiarowa funkcja sklejana trzeciego stopnia ma postać:
2
 1 3
2
 2 x x  3

4
 1 3
  x    x  x 2  2 x 
3
 6
 0


dla x  1,
dla 1  x  2,
(10)
dla x  2.
Podsumowując, można stwierdzić, że obliczenia w jednym kroku czasowym t n  n t
przebiegały następująco [10]:
- redystrybucja intensywności cząstek wirowych na węzły siatki numerycznej zgodnie
z równaniem (9),
- rozwiązanie równania Poissona (4) z okresowymi warunkami brzegowymi oraz
wyznaczenie w węzłach siatki pola prędkości z wyrażenia (3),
248
P. REGUCKI
-
-
interpolacja prędkości z węzłów siatki na położenia cząstek wirowych
z wykorzystaniem interpolacji Lagrange’a drugiego rzędu oraz wyznaczenie nowych
pozycji cząstek zgodnie z równaniem (7) z wykorzystaniem w tym celu metody
Rungego-Kutty drugiego rzędu,
uaktualnienie intensywności cząstek w nowych położeniach zgodnie z równaniem (8).
3. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
Jako obszar obliczeniowy wybrano sześcian o wymiarach 101010 pokryty prostokątną
siatką o równomiernym kroku h = 0.1 w każdym kierunku (rys. 1A). Wybór takiej wartości h
związany był z optymalizacją czasu obliczeń numerycznych. W pracy [10] przeprowadzono
analizę wpływu kroku siatki h na modelowanie złożonej dynamiki struktur wirowych (np. gry
wirów zaprezentowanej w [5]), uzyskując bardzo dobrą zgodność otrzymanych obliczeń
z wynikami literaturowymi [2]. Ponadto uśredniający charakter metody „objętości węzła”
wymagał, aby w elementarnym sześcianie h3 znajdowało się od kilku do kilkunastu cząstek
wirowych, co było bardzo dobrze spełnione dla h = 0.1. Krok czasowy przyjęto t = 0.02.
Pierścień wirowy został podzielony na 100 przekroi (rys. 1B) a w każdym przekroju
rozmieszczono równomiernie 121 cząstek wirowych (rys. 1C). Finalnie, pojedynczy pierścień
był aproksymowany 12100 cząstkami [10].
Rys.1. A) Obszar obliczeniowy z pierścieniem wirowym; B) podział pierścienia na 100
przekroi; C) początkowy rozkład 121 cząstek wirowych w pojedynczym przekroju
Najpierw zamodelowano ruch nielepkiego, niezaburzonego pierścienia wirowego w celu
porównania wartości prędkości translacji U otrzymanych w wyniku obliczeń numerycznych
z formułą teoretyczną UT [7] (gdzie a, R - wewnętrzny i zewnętrzny promień pierścienia,  cyrkulacja):
   8R  1 
(11)
UT 
ln 
 .
4 R   a  4 
Otrzymano bardzo dobrą zgodność wyników w szerokim zakresie parametrów a, R ,  ,
które zestawiono w tabeli 1.
BADANIE DYNAMIKI PIERŚCIENIA WIROWEGO ZABURZONEGO FALAMI KELVINA …
249
Tabela 1. Porównanie prędkości translacji z obliczeń numerycznych U z formułą (11)
a
0.30
0.30
0.30
0.20
0.20
0.20

R
2.0
1.5
1.0
2.0
1.5
1.0
0.80
1.0
1.6
0.80
1.0
1.6
UT
U
0.110
0.181
0.394
0.120
0.215
0.430
0.120
0.185
0.390
0.133
0.217
0.441
Następnie obwód pierścienia wirowego został zaburzony N falami Kelvina o amplitudzie A
(długość fali zaburzenia wynosi 2R/N) [1]. Początkowe położenie zaburzenia opisano we
współrzędnych walcowych  r,  , z  :
x  R cos    A cos  N  cos( )
y  R sin    A cos  N  sin( )
(12)
z   A sin  N  
Obliczenia przeprowadzono dla szerokiego zakresu parametrów N = 4, 6, ..., 14 i stosunku
A/R = 0.04, 0.08, 0.12, ..., 0.20. Przykładowe wyniki obliczeń zostały przedstawione na rys. 2
dla parametrów pierścienia wirowego R  2.5, a  0.2,   1.5.
Rys.2. Widok w rzucie z boku i przodu położenia początkowego i końcowego tf = 10
(odpowiednio czerwony (ciemny) i niebieski (jasny) kolor): A, D) niezaburzonego pierścienia
wirowego; B, E) oraz C, F) zaburzonego pierścienia wirowego dla parametrów odpowiednio:
A/R = 0.04, N = 4 oraz A/R = 0.04, N = 14
250
P. REGUCKI
Przedstawiony na rys. 2 pierścień wirowy został zaburzony falami Kelvina o parametrach
odpowiednio: N = 4, A/R = 0.04 oraz N = 14, A/R = 0.04 (odpowiednio na rys. 2 B oraz C).
Wyniki obliczeń numerycznych zaburzonych pierścieni zestawiono z jego niezaburzonym
odpowiednikiem (rys. 2 D). W trakcie ewolucji początkowo małe zaburzenia rozwijają się,
deformując kształt pierścienia wirowego, co przedstawiono na rys. 2 E,F. Pomimo
skomplikowanej dynamiki końcowe położenia pierścieni: zaburzonego i niezaburzonego po
czasie t = 10 są identyczne, niezależnie od doboru początkowych parametrów zaburzenia.
Ewolucję izopowierzchni stałej wirowości dla pierścienia wirowego zaburzonego falą
Kelvina o parametrach A/R = 0.04, N = 4 przedstawiono na rys. 3. Można zauważyć, że wraz
z upływem czasu początkowo sinusoidalne zaburzenie zaczyna w znaczący sposób
deformować kształt pierścienia wirowego, prowadząc do bardzo złożonego dynamicznie pola
wirowości.
Rys.3. Widok z boku izopowierzchni stałej wirowości pierścienia wirowego zaburzonego
falą Kelvina o parametrach A/R = 0.04, N = 4 dla czasu: A) t = 0, B) t = 5, C) t = 10
4. PODSUMOWANIE
Przedstawione przykłady obliczeń numerycznych potwierdzają, że w granicy klasycznego,
nielepkiego pierścienia wirowego ze skończonym promieniem wewnętrznym rdzenia
ewolucja fal Kelvina nie wpływa na jego prędkość przemieszczenia. Rozwój początkowo
sinusoidalnego zaburzenia prowadzi z czasem do powstania na obwodzie pierścienia
skomplikowanej struktury. Warto odnotować, że fale Kelvina wywołują również ruch cząstek
wirowych wzdłuż obwodu pierścienia oraz samorzutne ich grupowanie w obszarach
o wysokim gradiencie prędkości. Zjawisko to może powodować niestabilność rozwiązania
numerycznego i przerwanie procesu obliczeń. W algorytmie obliczeniowym przeciwdziałano
temu efektowi, stosując na etapie redystrybucji metodę „objętości węzła”.
Zaprezentowane wyniki wskazują, że trójwymiarowa metoda cząstek wirowych jest
efektywnym i skutecznym narzędziem do modelowania dynamiki struktur wirowych nawet
wtedy, jeżeli do obliczeń wprowadzonych zostaje kilkanaście tysięcy cząstek wirowych.
Aproksymacja ciągłego pola wirowości dyskretnym rozkładem cząstek, niosących
informację o trzech składowych pola wirowości, wymaga w trakcie procesu obliczeniowego
stałej kontroli bezźródłowości pól: prędkości i wirowości. Wartości te w trakcie symulacji
numerycznej zmieniały się w zakresie od 10-4 do 10-2 na końcu obliczeń. W trakcie obliczeń
numerycznych monitorowane były również niezmienniki ruchu dla cieczy nielepkiej: energia
kinetyczna oraz enstropia.
BADANIE DYNAMIKI PIERŚCIENIA WIROWEGO ZABURZONEGO FALAMI KELVINA …
251
Autor dziękuje prof. Carlo F. Barenghi za konstruktywne i intrygujące pytania, które dały
impuls do realizacji niniejszej pracy.
LITERATURA
1.
Barenghi C.F., Hanninen R., Tsubota M.: Anomalous translational velocity of vortex ring with
finite-amplitude Kelvin waves. “Phys. Rev. E“ 2006, 74, 4, 046303(5).
2. Cottet G.-H., P. Koumoutsakos P.: Vortex methods: theory and practice. New York: Cambridge
University Press, 2000.
3. Donnelly R.J.: Quantized vortices in Helium II. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.
4. Kiknadze L., Mamaladze Yu.: The waves on the vortex ring in HeII.” J. Low Temp. Phys.” 2002,
126, 1-2, p. 321-326.
5. Kudela K., Regucki P.: The vortex-in-cell method for the study of three-dimensional vortex
structures. Tubes, sheets and singularities in fluid dynamics. Series: Fluid Mechanics and Its
Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher 2002, 71, p. 49-54.
6. Lim T.T., Nickels T.B.: Vortex rings. In: Fluid vortices. Series: Fluid Mechanics and Its
Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1995.
7. Marshall J.S.: Inviscid incompressible flow. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001.
8. Maxworthy T.: Some experimental studies of vortex rings. “J. Fluid Mech.” 1977, 81, 3, p. 465495.
9. Quartapelle L.: Numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations. Birkhauser
Verlag, 1993.
10. Regucki P.: Modelling of three dimensional flows by vortex methods. Rozprawa doktorska.
Wrocław: Pol. Wrocł., 2003.
11. Saffman P.G.: Vortex dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
INVESTIGATION OF DYNAMICS OF VORTEX RING
WITH FINITE-AMPLITUDE KELVIN WAVES
USING 3D ViC METHOD
Summary. One of the most fascinating and still investigated phenomenon relates to
evolution of Kelvin waves (sinusoidal distortions) which appear on circumference of
vortex ring. Numerical results reported by Kiknadze and Mamaladze [4] and
Barenghi et al. [1] showed that a translational velocity of perturbed ring in superfluid
depends on frequency and amplitude of the Kelvin waves. Their numerical
simulations refer to the case of inviscid vortex ring with infinitesimal thickness of a
core which is realistic for superfluid conditions (zero viscosity and microscopic
vortex core thickness). It was interesting to verify if the same behaviour could be
observed in the limit of classical inviscid fluid. Numerical results presented in the
paper refer to a classical inviscid vortex ring with finite radius of inner core. The
dynamics of the ring is modelled using three-dimensional vorticity particle-in-cell
method [2].
In spite of the complicated dynamics of rings, it seems that its translational
velocities are the same regardless of perturbed or unperturbed structures. In the
presented simulations, the Kelvin waves develop along the circumference of the ring
and lead to the complicated evolution of vorticity field but do not have the
significant influence on the translational velocity.