Microsoft Word Viewer 97

WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
1
WSPÓŁCZYNNIK KAPPA
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 3
WSPÓŁCZYNNIK KAPPA:
dz
z
h/2
h/2
Współczynnik kappa dla prostokąta:
b
Wzór ogólny współczynnika:
κ=
Politechnika Poznańska®
A
Iy
2
∫
A
S y ( z) 2
b( z ) 2
dA
(bonus.1)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
2
WSPÓŁCZYNNIK KAPPA
Przedstawienie parametrów:
A = h⋅b
b2h6
Iy =
144
b( z ) = b
2
Sy =
4
1h
  h
  h
2 b
 + z  ⋅  b ⋅  − z   =  − z  ⋅
22
  2
  4
 2
(bonus.2)
 h 4 h 2b 2
 b2
2
S y =  −
+ z 4  ⋅
2
 16
 4
dA = bdz
Podstawienie wszystkich wartości:
κ=
A
Iy
2
∫
A
S y ( z) 2
b( z ) 2
dA
2
 h 4 h 2b 2
4 b


−
+
z
⋅
h/2 
 4
16
2
144

κ= 5⋅ ∫ 
bdz
2
bh 0
b
144
κ= 5⋅
4h
h/2
∫
0
 h 4 h 2b 2

 −
+ z 4 dz
2
 16

h/2
144  h 4
h2
κ = 5 ⋅
zdz
−
2
4h  16 ∫0
κ=
h/2
∫z
(bonus.3)
h/2
2
dz +
0

∫ (z )dz 
4
0
144  h h h h
h  576
⋅
⋅ −
⋅
+
= 1,2
=
5 
4h  16 2 2 24 160  480
Politechnika Poznańska®
4
2
3
5
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
3
WSPÓŁCZYNNIK KAPPA
h(z)
Współczynnik kappa dla koła:
dh
alfa
b(z)
Wzór ogólny współczynnika:
κ=
A
Iy
2
∫
A
S y ( z) 2
b( z ) 2
dA
(bonus.4)
Przedstawienie parametrów:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
4
WSPÓŁCZYNNIK KAPPA
A = πR 2
π 2 R8
16
b( z ) = 2 R sin α
h = R cos α
2
Iy =
(bonus.5)
Moment statyczny pola wycinka koła (obszar zakreskowany) wyznaczyć można
korzystając ze wzorów na wycinek koła O,A1,A2 oraz trójkąta:
Awycinka = αR 2
2 R sin α
3α
1
Atrójkąró = b( z ) ⋅ h
2
2
x= h
3
x=
(bonus.7)
Gdzie x to współrzędna środka ciężkości
Moment statyczny szukanego zakreskowanego obszaru to różnica momentów
statycznych wycinka koła (1) i trójkąta (2):
S = S1 − S 2
2 3
2
R sin α − R 3 sin α cos α 2
3
3
2
S = R 3 sin α (1 − cos α 2 )
3
2
S = R 3 sin α 3
3
S =
(bonus.8)
Przechodząc na współrzędne biegunowe całkę powierzchniową zmieniamy na całkę
tylko po jednej zmiennej- po kącie obrotu:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
5
WSPÓŁCZYNNIK KAPPA
dA = b( z ) ⋅ dh
b( z ) = 2 R sin α
h(α ) = − R cos α
(bonus.9)
dh
= h' (α ) = − R sin α
dα
dA = 2 R sin 2 αdα
Należy zwrócić uwagę, że dodatni wzrost zmiennej α powoduje ujemną zmianę funkcji
h(α)
Inne spojrzenie na dh
da
dh
dh
= sin a
ds
dh = ds sin a
ds = Rda
dh = − R sin da
ds=Rda
(bonus.10)
Znak ujemny z tego samego powodu co powyżej (dodatni przyrost kąta a ujemny
przyrost funkcji h(α))
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
6
WSPÓŁCZYNNIK KAPPA
κ=
κ=
κ=
A
Iy
2
16
πR 6
∫
S y ( z) 2
A
∫
A
b( z ) 2
dA
4 6
R sin 6 α
9
⋅ 2 R sin 2 α dα
4 R 2 sin 2 α
(
)
(bonus.11)
32
sin 6 α dα
∫
9π A
Obliczenie całki:
π
π
1 5
5
4
∫0 sin α dα = − 6 sin α cos α + 6 ∫0 sin αdα =
6
π

1 5
5 1
3
3
= − sin α cos α + − sin α cos α + ∫ sin 2 αdα  =
40
6
6 4

π
1
5 1
3
3 
=  sin 5 α cos α + − sin 3 α cos α − sin α cos α + α  
6 4
8
8  0
6
=
(bonus.12)
15
π
48
Podstawienie wszystkich składowych i wyznaczenie kappy:
κ =−
16
sin 6 α dα
∫
9π A
32 15
10
κ =− ⋅ π =
9π 48
9
Politechnika Poznańska®
(bonus.13)
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber