31 Izolowane punkty osobliwe funkcji holomor- ficznych i

31
31.1
Izolowane punkty osobliwe funkcji holomorficznych i ich klasyfikacja. Residuum punktu
osobliwego. Wzór na residuum bieguna.
Punkty osobliwe
Definicja 1 Mówimy, że punkt z0 ∈ C jest izolowanym punktem osobliwym
funkcji f , jeśli dla pewnego otwartego zbioru Ω ∋ z0 funkcja f jest funkcją
dobrze określoną i holomorficzną w zbiorze Ω\{z0 }. Funkcja f może, ale nie
musi, być zdefiniowana w z0 .
31.2
Klasyfikacja punktów osobliwych
Klasyfikację punktów osobliwych funkcji holomorficznych przeprowadzimy badając rozwinięcie funkcji w szereg Laurenta.
Funkcja f ma rozwinięcie w szereg laurenta, ponieważ zbiór Ω w definicji można uznać za pierścień o promieniu r: R(z0 , 0, r). Rozwinięcie z definicji
przyjmuje postać:
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n ,
z ∈ R(z0 , 0, r).
n=−∞
Wyodrębnimy trzy przypadki:
1. an = 0 dla n < 0. Wówczas przyjmując f (z0 ) = a0 , mamy
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n ,
z ∈ K(z0 , r),
n=0
czyli funkcja f jest holomorficzna na kuli K(z0 , r). Punkt z0 nazywamy
wtedy usuwalnym izolowanym punktem osobliwym funkcji f .
2. Istnieje k < 0 takie, że an = 0 dla n < k oraz ak 6= 0. Wówczas
f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n ,
z ∈ R(z0 , 0, r).
n=k
Punkt z0 nazywamy wtedy biegunem rzędu k funkcji f . Warto zauważyć, że
rząd bieguna jest równy liczbie wyrazów części głównej rozwinięcia funkcji
f . Bieguny pierwszego rzędu noszą nazwę biegunów prostych.
3. Dla każdego k < 0 istnieje k1 < k takie, że ak1 6= 0. Wówczas
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n ,
z ∈ R(z0 , 0, r).
n=−∞
Punkt z0 nazywamy wtedy punktem istotnie izolowanym.
1
31.3
Residuum punktu osobliwego
Definicja 2 Jeżeli z0 jest izolowanym punktem osobliwym funkcji f , to współczynnik a−1 rozwinięcia w szereg Laurenta tej funkcji wokół z0 nazywamy residuum funckji f w punkcie z0 i oznaczamy symbolem Resz0 f .
Ze wzoru na współczynniki rozwinięcia w szereg Laurenta otrzymujemy
Z
1
f (ζ)dζ,
Resz0 f := a−a =
2πi |ζ−z0 |=r
gdzie r1 > r > 0 jest takie, że funkcja f ∈ H (R(z0 , 0, r)). Znajomość residuów w
danym punkcie umożliwia wyznaczenie wartości całki po odpowiednio dobranym
okręgu o środu w z0 . Okazuje się, że istnieje możliwość obliczania residuów bez
rozwijania w szereg Laurenta.
Twierdzenie 1 Gdy z0 jest biegunem rzędu n funkcji f , wtedy
Resz0 f =
dn−1
1
[(z − z0 )n f (z)] .
lim
(n − 1)! z→z0 dz n−1
W przypadku szczególnym, dla bieguna prostego, wzór przyjmuje postać:
Resz0 f = lim [(z − z0 )f (z)] .
z→z0
2