Zadanie Ciąg określony wzorem +1 = jest zbieżny do ∗ = √2

Zadanie Ciąg określony wzorem +1 = jest zbieżny do ∗ = √2

Zadanie
𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 +2
jest zbieżny do
𝑥𝑛 +𝑥𝑛−1
Ciąg określony wzorem𝑥𝑛+1 =
𝑥 ∗ = √2.Podaj definicję zbieżności co
najmniej nadliniowej.Pokaż, że zbieżności tego ciągu jest co najmniej nadliniowa
Zbieżność jest co najmniej nadliniowa ,jeśli istnieje ciąg {𝜀𝑛 } zbieżny do zera i liczba całkowita N
takie, że |𝑥𝑛+1 − 𝑥 ∗ | ≤ 𝜀𝑛 |𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ |, 𝑔𝑑𝑦 (𝑛 ≥ 𝑁)
𝑥
𝑥 +2
𝑛
|𝑥𝑛+1 − √2| = | 𝑥𝑛−1
+𝑥
𝑛
|
𝑛−1
− √2| = |
𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 +2−√2𝑥𝑛 +√2𝑥𝑛−1
|
𝑥𝑛 +𝑥𝑛−1
𝑥𝑛−1 (𝑥𝑛 −√2)−√2(𝑥𝑛 −√2)
(𝑥𝑛−1 −√2)(𝑥𝑛 −√2)
𝑥𝑛 +𝑥𝑛−1
𝑥𝑛 +𝑥𝑛−1
|=|
𝑥
=|
𝑥𝑛−1 (𝑥𝑛 −√2)+2−√2𝑥𝑛
𝑥𝑛 +𝑥𝑛−1
|=
−√2
| = |𝑥𝑛−1
+𝑥
𝑛
𝑛−1
| (𝑥𝑛 − √2),
Więc nierówność jest spełniona.
Gdzie 𝜀𝑛 = |
𝑥𝑛−1 −√2
|
𝑥𝑛 +𝑥𝑛−1
lim 𝑥𝑛 = √2
𝑛→∞
lim 𝜀𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑥𝑛−1 −√2
𝑛→∞ 𝑥𝑛 +𝑥𝑛−1
=
√2−√2
√2+√2
= 0,
więc zbieżność jest co najmniej nadliniowa.
Justyna Gruchot
Optyka WPPT