2007-06-16a

Egzamin z Algebry, 16 VI 2007 godz. 9.00
1. Omówić postać trygonometryczną liczby
zespolonej z = a + ib . Wyznaczyć moduł
√
i argument iloczynu (1 + i)(−1 + 3i) wykorzystując twierdzenie o iloczynie liczb
zespolonych w postaci trygonometrycznej.
Rozwiązanie:
Przekształacmy liczby do postaci trygonometrycznej:
√
1 + i = 2(cos( π4 ) + i sin( π4 ))
√
−1 + 3i = 2(cos( 2π
) + i sin( 2π
))
3
3
√
√
√
π
2π
(1 + i)(−1 + 3i) = 2 2(cos( π4 + 2π
)
+
i
sin(
+
)
=
2
2(cos( 11π
) + i sin( 11π
))
3
4
3
12
12
Odpowiedź:
√
Moduł jest równy 2 2 , a argument
11π
12
2. Podać definicję rzędu macierzy. Wyznaczyć rząd macierzy


2 1 0 −2

1 
A =  −1 3 1

m 4 1 −1
w zależności od parametru m.
Rozwiązanie:
Obliczmy wyznacznik (usuwamy czwartą kolumnę):
2 1 0 |A1 | = −1 3 1 = 6 + m − 8 + 1 = m − 1
m 4 1 Rozwiązujemy równanie:
m−1=0
m=1
Wniosek:
gdy m 6= 1 wtedy rząd macierzy A jest równy 3.
gdy m = 1 wtedy rząd macierzy A może być
kiem:



2 1 0 −2
2 1



1  = rz  −1 3
rz(A) = rz  −1 3 1
1 4 1 −1
1 4
h
i
1 + rz 2 1 = 2
3 lub mniej. Zajmijmy się tym przypad


"
#
0
2
1 0
2
1



1  = rz  −2 −1 0  = 1+rz
=
−2 −1
1
1
4 1
Wykonane operacje:
1. usunięcie czwartej kolumny proporcjonalnej do pierwszej,
2. odjęcie od wiersza drugiego wiersza trzeciego,
3. usunięcie trzeciej kolumny i trzeciego wiersza,
4. usunięcie drugiego wiersza.
3. Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Dane są macierze:




3 1 −1
3



A =  1 2 −2  ; B =  1 

4 m −3
2
Dla jakich m układ równań AX = B posiada rozwiązanie.
Rozwiązanie:
Badamy rzędy macierzy A i AR
3 1
|A| = 1 2
4 m
−1
−2
−3
= −18 − 8 − m + 8 + 6m + 3 = 5m − 15
5m − 15 = 0
m=3
Dla m 6= 3 rząd macierzy A jest równy 3, rząd AR też jest równy 3 więc układ ma
rozwiązanie.
Dla m = 3 rząd macierzy A jest mniejszy niż 3.
Liczymy wyznacznik (2 pierwsze kolumny, 2 pierwsze wiersze):
3 1
1 2
= 6 − 1 = 5 6= 0
A więc rząd macierzy A jest równy 2.
Badamy rząd macierzy AR :






"
#
3 1 −1 3
3 1 3
0 1 3
1 3






rz(AR ) = rz  1 2 −2 1  = rz  1 2 1  = rz  0 2 1  = 1 + rz
=
2 1
4 3 −3 2
4 3 2
2 3 2
3
Wykonane operacje:
1. usunięcie kolumnny 3 propoprcjonalnej do kolumny 2, 2. odjęcie kolumny 3 od
kolumny 1, 3. usunięcie kolumny 1 i wiersza 3
Dla m = 3 układ nie ma rozwiązań.
4. Podać definicję iloczynu mieszanego wektorów, jego interpretację geometryczną i postać
analityczną. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(−1, 1, 0) , B(0, 1, 2) ,
C(3, 1, 2) i S(2, 3, 4).
Rozwiązanie:
Ojętość czworościanu jest równa:
−→ −→ −→
V = 16 |(AB × AC)AS|
−→
AB = [1, 0, 2]
−→
AC = [4, 0, 2]
−→
AS = [3, 2, 4]
1 0
−→ −→ −→ (AB × AC)AS = 4 0
3 2
Czyli V = 2
2
2
4
= 16 − 4 = 12
5. Sformułować twierdzenie o własności ogniskowej hiperboli. Znaleźć styczne do hiperboli
8x2 − 18y 2 = 144 w punktach o rzędnej y = 1 .
Rozwiązanie:
Znajdujemy x
8x2 = 162
x = ± 29
Przekstałcamy równanie hiperboli:
x2 y 2
−
=1
18
8
Równanie prostej stycznej do hiperboli w punkcie (a, b):
ax by
−
=1
18
8
Pierwsza styczna:
9
x
2
y
=1
18
8
y = 2x − 8
−
Druga styczna:
− 92 x y
− =1
18
8
y = −2x − 8
6. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą
(
l:
3x + y − 2 = 0
x−z+1 =0
i prostopadłą do płaszczyzny π : 2x + y + z + 1 = 0
Rozwiązanie:
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l:
α(3x + y − 2) + β(x − z + 1) = 0
(3α + β)x + αy − βz − 2α + β = 0
Wektor do niej prostopadły : [3α + β, α, −β] ma być prostopadły do wektora [2, 1, 1]
prostopadłego do π
Czyli
[3α + β, α, −β] · [2, 1, 1] = 0
7α + β = 0
Przyjmujemy za α dowolną wartość (6= 0) np. 1. Wtedy β = −7
Równanie szukanej płaszczyzny:
−4x + y + 7z − 9 = 0