mtv reprezentuje

WYBRANE ZAGADNIENIA
PRZETWARZANIA
SYGNAŁÓW
Układy transmisji sygnału
Zadaniem układu transmisji sygnału jest wytworzenie na wyjściu sygnału,
odtwarzającego wiernie kształt sygnału wejściowego, z różnicą najwyżej
co do współczynnika skali amplitudy i w rozsądnych granicach
z opóźnieniem czasowym. Ogólnie mamy dwa rodzaje problemów;
zniekształcenia i sygnały zakłócające.
Sygnały zakłócające są to sygnały niezależne od sygnału wejściowego,
które z tego lub innego powodu pojawiają się na wyjściu i usiłują
„zamaskować” lub nawet usunąć sygnał pożądany. Do tej kategorii należą
sygnały interferencji, tj. sygnały pochodzące ze źródeł zewnętrznych
i szumy, tj. niepożądane sygnały przypadkowe, pochodzące często ze
źródeł znajdujących się w samym układzie. W zasadzie interferencje
spowodowane działalnością człowieka można wyeliminować całkowicie,
wyłączając źródło tych zakłóceń; jeżeli to nie jest możliwe, do zmniejszenia
interferencji należy stosować takie sposoby jak ekranowanie, anteny
kierunkowe i odpowiedni wybór kanału. Szumy ze źródeł
wewnętrznych nie dadzą się „wyłączyć”, lub wyeliminować w inny sposób.
Dlatego wprowadza się skomplikowane metody przekształcania sygnału,
takie jak modulacja częstotliwości, kodowanie, filtry dopasowane itd.
Zniekształcenia, w przeciwieństwie do sygnałów zakłócających, są
wynikiem „popsucia” samego sygnału wejściowego w czasie jego
przechodzenia przez układ. Jeżeli w układzie istnieją wyraźne
nieliniowości, takie że sygnał wyjściowy jest nieliniową funkcją sygnału
wejściowego, wówczas na wyjściu będzie przebieg zniekształcony; będą
to zniekształcenia nieliniowe. Jednakże również wtedy, gdy model
układu jest stacjonarny i liniowy, powstaną zniekształcenia, jeżeli nie
będą spełnione warunki transmisji bez zniekształceń. W takim
przypadku mówimy o zniekształceniach liniowych,
które w przeciwieństwie do zniekształceń nieliniowych można bardzo
dobrze wyeliminować, przynajmniej w teorii, dzięki zastosowaniu
korektorów (lub inaczej układów kompensacji charakterystyk).
Zniekształcenia liniowe i korektory zniekształceń
Układ transmisji sygnału jest stacjonarny i liniowy i ma transmitancję
Hs( f )
oraz powoduje zniekształcenia liniowe.
Dla kompensacji tych zniekształceń wystarczy dołączyć kaskadowo
dodatkowy podukład; uzyska się wówczas transmisję bez zniekształceń.
Podukład kompensujący, zwany korektorem i jego transmitancja
muszą być takie, aby wypadkowa transmitancja widmowa układu
spełniała zależność:
H s ( f ) H k ( f ) = Ce − jωt d
Układ transmisji sygnału z korekcją
Wymaga się zatem, by było:
− jωtd
C
e
Hk ( f ) =
Hs( f )
Zwykle nie jest możliwa całkowita kompensacja zniekształceń,
gdyż wymagane parametry korektorów nie dają się zrealizować
w praktyce. Jednakże, dzięki takim urządzeniom jak filtr zwany
niekiedy „poprzecznym” i obwody przepuszczające wszystkie
częstotliwości, można zrobić dużo w zakresie minimalizacji
zniekształceń liniowych za pomocą obwodów względnie prostych
i dających się zrealizować w praktyce.
Kompensacja „echa”
Całkowity sygnał odebrany można zapisać w postaci:
y (t ) = C p x (t − t d ) + aC p x[t − (t d + ∆ )]
Transmitancja ma postać:
H s ( f ) = C pe
− jωt p
+ aC p e
− jω ( t p + ∆ )
= C pe
− jωt p
(1 + ae − jω∆ )
Charakterystyka częstotliwościowa z małym zniekształceniem
H s ( f ) ≈ C p (1 + a cos( 2π f ∆ ))
arg[H s ( f )] ≈ −2π f t p − a sin( 2π f ∆ )
Układ kompensujący zniekształcenia musi spełniać wymaganie:
− jω ( t p − t d )
H k ( f ) = Ce
C p (1 + ae − jω∆ )
Przyjmując dla uproszczenia:
C = Cp
td = t p
i rozwijając w szereg Taylora:
H k ( f ) = (1 + ae − jω∆ ) −1 = 1 + ae − jω∆ + a 2 e − j 2ω∆ − a 3e − j 3ω∆ + K
Jeżeli wyeliminujemy wszystkie wyrazy z wyjątkiem czterech pierwszych,
otrzymamy aproksymację:
H k ( f ) ≈ 1 − ae − jω∆ + a 2 e − j 2ω∆ − a 3e − j 3ω∆
Korektor z linią opóźniającą z odczepami
Układ kompensujący z linią opóźniającą z odczepami, zwany niekiedy
filtrem „poprzecznym”.
Zwielokrotnianie częstotliwościowe
Zwielokrotnieniem nazywamy metodę transmisji kilku różnych
sygnałów przez jeden tor w taki sposób, że można je wydzielić
i rozdzielić po stronie odbiorczej. Jedna z metod takiej transmisji
nazwana zwielokrotnianiem częstotliwościowym opiera się na
przesunięciu każdego widma wejściowego w oddzielne pasmo
częstotliwości i sumowaniu przesuniętych sygnałów w taki sposób,
że powstaje jeden sygnał wielokrotny, który jest następnie
transmitowany. Chociaż sygnały pierwotne są „przemieszczane”
w dziedzinie czasu, nie zachodzą one na siebie w dziedzinie
częstotliwości i mogą być rozdzielone po stronie odbiorczej za pomocą
filtrów pasmowych (filtrów środkowoprzepustowych), po czym ich
widma należy z powrotem przenieść na oś częstotliwości zgodnie z ich
pierwotnym rozmieszczeniem na tej osi.
Prosty dwukanałowy układ zwielokrotniania częstotliwościowego,
w którym dwa sygnały wejściowe mają ograniczone pasma.
Każdy sygnał wejściowy jest najpierw mnożony przez sinusoidę,
co daje sygnał wielokrotny:
x(t ) = x1 (t ) cos ω1t + x2 (t ) cos ω 2 t
Dwukanałowy układ zwielokrotniania częstotliwościowego
Widmo „zwielokrotnione” (na podstawie twierdzenia o modulacji)
widma obu sygnałów nie mogą zachodzić na siebie
Odpowiednie filtry pasmowe zastosowane w odbiorniku wydzielają
dwa sygnały:
y1 (t ) = x1 (t ) cosω1t
y 2 (t ) = x2 (t ) cosω2 t
Jak realizuje się odtworzenie sygnału pierwotnego? Odbywa się to w taki
sam sposób jak na początku procesu zwielokrotniania,
tj. metodą mnożenia przez przebieg sinusoidalny.
)
647
4y1 (t48
4
z1 (t ) = [x1 (t ) cos ω1t ]2 cos(ωt + θ ) =
= x1 (t )[cos(ω1t − ωt − θ ) + cos(ω1t + ωt + θ )]
Jeżeli:
ω = ω1
θ =0
z1 (t ) = x1 (t ) + x1 (t ) cos 2ω1t
Widmo przebiegu
z1 (t ) = x1 (t ) + x1 (t ) cos 2ω1t
Filtr dolnoprzepustowy może wydzielić X 1 ( f ) w dziedzinie częstotliwości
lub x1 (t ) w dziedzinie czasu. Tak więc całkowicie można odzyskać sygnał
pierwotny.
Zarówno zwielokrotnianie jak i odtwarzanie sygnału – czyli modulacja
i demodulacja – są procesami polegającymi na przesunięciach sygnałów
wzdłuż skali częstotliwości, jeden jest przesunięciem w górę, drugi w dół.
Z twierdzenia o modulacji wiadomo, że mnożenie przez sinusoidę
powoduje przesunięcie częstotliwości w obu kierunkach, co tłumaczy,
dlaczego ten proces daje się zastosować zarówno do modulacji jak
i demodulacji. Dokładne odtworzenie sygnału wymaga mnożącego sygnału
sinusoidalnego o tej samej fazie i częstotliwości jak odpowiedni sygnał
po stronie nadawczej; wynika z tego, że może istnieć potrzeba
synchronizacji między obu sygnałami i stąd nazwa demodulacja
synchroniczna. Ponieważ układy mnożenia nie są układami liniowymi
i stacjonarnymi, układ zwielokrotniania zawiera elementy nieliniowe lub
niestacjonarne, nawet wówczas, gdy jako całość jest układem liniowym
stacjonarnym.
Układy ze sprzężeniem zwrotnym
C (s)
TR ( s ) =
R( s )
R (s) +
−
D( s ) = 0
G( s)
=
1 + G ( s ) H ( s)
C (s )
G (s)
H (s )
d (t )
r (t ) +
−
jeżeli
AG p (s)
TR ( s ) =
≈1
1 + AG p (s)
A
+
+
G p (s )
c(t )
A G p ( s ) >> 1
G p (s)
TD ( s ) =
≈1
1 + AG p (s) A
Potencjalne zalety sprzężenia zwrotnego:
1. Dynamika układu czyli ograniczenie pasma toru
głównego układu może ulec istotnej modyfikacji,
pozwalając na uzyskanie poprawy jakości działania.
2. Można znacznie zmniejszyć wrażliwość na zmiany
parametrów toru głównego układu.
3. Można znacznie zmniejszyć wpływ sygnałów
wejściowych zakłócających, łącznie z szumami.
Potencjalne wady sprzężenia zwrotnego:
1. Odpowiedź układu ze sprzężeniem zwrotnym jest bardzo
wrażliwa na zmiany parametrów elementów w gałęzi
sprzężenia zwrotnego,
2. Ze względu na to, że bieguny układu zamkniętego mogą
zmienić położenie w płaszczyźnie zmiennej , istnieje
niebezpieczeństwo trafienia w prawą półpłaszczyznę
i układ może stać się niestabilny.
Tak więc, ważnym aspektem w projektowaniu układów
ze sprzężeniem zwrotnym jest zapewnienie stabilności
nie tylko w warunkach znamionowych lub idealnych,
lecz również w obecności przewidywanych zmian
parametrów i może nawet uszkodzenia
poszczególnych elementów.
Bieguny i zera układu ze sprzężeniem zwrotnym
TR ( s ) =
C ( s)
G ( s)
=
R(s) 1 + G( s) H (s)
Transmitancja w postaci funkcji wymiernej
N G (s)
:= G ( s)
DG ( s )
N H (s)
:= H (s )
DH ( s)
N G DH
TR ( s) =
DG DH + N G N H
Bieguny
DG ( s ) DH ( s ) + N G ( s) N H ( s ) = 0
Pierwiastki tego równania określają odpowiedź układu zamkniętego
dla wejścia zerowego i, w konsekwencji, stabilność tego układu.
Analiza w dziedzinie czasu
ε (t ) = r (t ) − c(t )
c(t ) = g (t )Gε (t )
c (t ) + [ g (t )Gc (t )] = g (t )Gr (t )
[δ (t ) + g (t )]Gc (t ) = g (t )Gr (t )
 G (s) R(s) 
c (t ) = L 
 1 + G ( s ) 
-1
Sygnały dyskretne i próbkowanie
analogowy
dyskretny (impulsowy)
skwantowany
cyfrowy
Równomierne próbkowanie sygnału
Próbkowanie w układzie z kluczem
schemat
Częstotliwość próbkowania
(okresowego, równomiernego)
przebieg
fs = 1
Ts
funkcja przełączania
schemat równoważny
xs (t ) = x(t ) s(t )
∞


τ
s (t ) = 1 + ∑ 2 An cos nω s t 

Ts  n =1

An = sincnτ
Ts
ω s = 2π f s
xs (t ) = τ [x(t ) + 2 A1 x(t ) cosω s t + 2 A2 x(t ) cos 2ω s t + K]
Ts
X s ( f ) = τ {X ( f ) + A1 [ X s ( f − f s ) + X s ( f + f s )] +
Ts
+ A2 [X s ( f − 2 f s ) + X s ( f + 2 f s )] + K}
widmo wejściowe sygnału
z ograniczonym pasmem
widmo sygnału próbkowanego
X(f )
można wydzielić z
Xs( f )
za pomocą idealnego filtru dolnoprzepustowego
Podstawowym warunkiem na to, by to było możliwe,
jest warunek by „wstęgi boczne”
Xs( f )
nie zachodziły na siebie na osi częstotliwości;
to z kolei wymaga, by:
1. sygnał wejściowy miał ograniczone pasmo,
do wartości W
2. częstotliwość próbkowania była dostatecznie duża, tj.:
fs −W ≥ W
X(f ) =0
f s ≥ 2W
f ≥W
- częstotliwość Nyquista
Próbkowanie idealne
sδ (t ) =
∞
∑ δ (t − mTs )
m = −∞
∞
xδ (t ) = x(t ) sδ (t ) == x(t ) ∑ δ (t − mTs ) =
m = −∞
=
∞
∑ x(mTs )δ (t − mTs )
m = −∞
Widmo wyjściowe przy próbkowaniu idealnym
Xδ ( f ) =
H( f ) = C e
− jω t d
∞
∑ f s X ( f − nf s )
m = −∞
f 
∏ 
B
W ≤ B ≤ fs −W
Y ( f ) = C f s X ( f ) e − jωt d
Próbkowanie idealne i odtwarzanie sygnału
jest równoważne transmisji bez zniekształceń
Twierdzenie o próbkowaniu równomiernym:
Jeżeli sygnał nie zawiera składowych o częstotliwościach
f ≥W
to jest on całkowicie określony wartościami chwilowymi,
uzyskiwanymi przy próbkowaniu idealnym
w równomiernych odstępach czasu z okresem
Ts = 1 ≤ W
fs 2
Jeżeli te próbki są reprezentowane impulsami delta
z odpowiednimi wagami, to sygnał można dokładnie
odtworzyć, przepuszczając ciąg tych impulsów
przez idealny filtr dolnoprzepustowy o paśmie
W ≤ B ≤ fs −W
Odtwarzanie sygnału
y (t ) =
∞
∞
m = −∞
m = −∞
∑ x(mTs )h(t − mTs ) = ∑ x(mTs ) sinc f s (t − mTs )
Odtworzenie idealne sygnału
y (t ) = x (t )
Ilustracja odtwarzania sygnału w dziedzinie częstotliwości
Ekstrapolator rzędu zerowego
Odtworzenie przybliżone przy zastosowaniu
układu ekstrapolatora rzędu zerowego
y (t ) =
∞
∑ x(mTs )[u(t − mTs ) − u(t − mTs − Ts )]
m = −∞
Odpowiedź impulsowa układu ekstrapolatora
T
rzędu zerowego:
− jω 2s
H ( f ) = Ts sin c ( f Ts ) e
Analiza częstotliwościowa układu ekstrapolatora
rzędu zerowego
Przekształcenie dyskretne Fouriera
sygnał dyskretny
–
transformata dyskretna Fouriera
Ponieważ mamy ograniczoną liczbę danych,
(ograniczoną w tym sensie, że skończona liczba próbek
nie może całkowicie opisać sygnału ciągłego,
bez względu na to, czy ma on ograniczone pasmo, czy nie,
każda analiza widmowa oparta na tych danych
musi mieć również ograniczony charakter.
Szczególnie, z punktu widzenia danych w dziedzinie czasu,
reprezentacja w dziedzinie częstotliwości może składać się
z najwyżej M (M=2N+1) niezależnych wyrazów, co oznacza
że jest ona w istocie dyskretna w dziedzinie częstotliwości
Składowe widma sygnału o okresach krótszych od 2T
nie mogą być odtworzone ze względu na
zachodzenie na siebie widm.
Najmniejsza częstotliwość, którą można odtworzyć,
jest równa 1/MT
Dane z dziedziny czasu ograniczają zbiór
częstotliwości odtwarzalnych do zbioru
f 0 = f min = 1
MT
f
max
= 1
2T
Transformata dyskretna Fouriera
będzie reprezentowała widmo prążkowe,
obejmujące zakres
f < 1 ,
2T
f0 = 1
MT
- częstotliwość podstawowa
Transformata Fouriera
c(nf 0 ) = 1
M
N
− j 2π nf 0 mT
v
(
mT
)
e
∑
n = 0,±1,K,± N
m=−N
Transformata odwrotna Fouriera
v(mT ) =
N
j 2π nf 0 mT
c
(
nf
)
e
∑ 0
n=−N
m = 0,±1,K,± N
Różnica między transformatą dyskretną Fouriera
a szeregiem Fouriera
Szereg Fouriera reprezentuje sygnał okresowy ciągły,
który trwa w czasie
−∞ <t < ∞
a wynikające z tego widmo prążkowe
obejmuje częstotliwości
−∞ < f < ∞
Transformata dyskretna Fouriera reprezentuje skończoną
liczbę wartości próbek w skończonym czasie obserwacji
− MT < t < MT
2
2
a odpowiadające temu widmo prążkowe
jest ograniczone do częstotliwości
− 1 <t < 1
2T
2T