Powtórzenie nr 1
Transkrypt
Powtórzenie nr 1
Powtórzenie nr 1 z matematyki na kier. Chemia Kosmetyczna 27 listopada 2015 Zadanie 1. Dla z2 = −2 − i z1 = 5 + 2i, oblicz z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 , z1 /z2 . Zadanie 2. Przedstaw liczbę zespoloną √ z= 3 1 + i 2 2 w postaci biegunowej i oblicz z 49 używając wzoru de Moivre’a. Zadanie 3. Sprawdź, czy podana formuła zdaniowa jest tautologią. 1. [(p ⇒ q) ⇒ q] ⇐⇒ (p ∨ q), 2. [p ⇒ (q ∨ r)] ⇒ [(q ∧ r) ⇒ p] . Zadanie 4. Udowodnić, używając indukcji matematycznej, prawdziwość następujących tożsamości dla n 1. 1. n X (−1)k+1 (2k − 1) = −2n, k=1 2. n X 2 · 3k−1 = 3n − 1, k=1 Zadanie 5. Udowodnić, używając indukcji matematycznej, że dla dowolnego n 1 prawdziwe są poniższe zdania. 1. n3 + 2n jest podzielne przez 3, 2. 4n + 5 jest podzielne przez 3. Zadanie 6. Oblicz złożenia funkcji f ◦ g(x) oraz g ◦ f (x) dla podanych poniżej par funkcji. 1. f (x) = x3 , g(x) = 3 tan(x) + 1, √ 2. f (x) = 3 x2 + 7, g(x) = |x − 2|. 1 Zadanie 7. Obliczyć następujące granice. n3 , n→∞ (n − 7)2 (7n − 5) √ √ 3 n+ 6n 2. lim , n→∞ n+2 1. lim 3 · 32n+1 + 1 , n→∞ 7 · 9n+4 + 6 s n n n 1 2 3 n + + , 4. lim n→∞ 2 7 4 3. lim 5. lim n→∞ 6. lim n→∞ n5 + 9 n5 n5 /2 3n − 4 3n + 1 n−3 , . 2