Powtórzenie nr 1

Komentarze

Transkrypt

Powtórzenie nr 1
Powtórzenie nr 1
z matematyki na kier. Chemia Kosmetyczna
27 listopada 2015
Zadanie 1. Dla
z2 = −2 − i
z1 = 5 + 2i,
oblicz z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 , z1 /z2 .
Zadanie 2. Przedstaw liczbę zespoloną
√
z=
3 1
+ i
2
2
w postaci biegunowej i oblicz z 49 używając wzoru de Moivre’a.
Zadanie 3. Sprawdź, czy podana formuła zdaniowa jest tautologią.
1. [(p ⇒ q) ⇒ q] ⇐⇒ (p ∨ q),
2. [p ⇒ (q ∨ r)] ⇒ [(q ∧ r) ⇒ p] .
Zadanie 4. Udowodnić, używając indukcji matematycznej, prawdziwość następujących tożsamości dla n ­ 1.
1.
n
X
(−1)k+1 (2k − 1) = −2n,
k=1
2.
n
X
2 · 3k−1 = 3n − 1,
k=1
Zadanie 5. Udowodnić, używając indukcji matematycznej, że dla dowolnego
n ­ 1 prawdziwe są poniższe zdania.
1. n3 + 2n jest podzielne przez 3,
2. 4n + 5 jest podzielne przez 3.
Zadanie 6. Oblicz złożenia funkcji f ◦ g(x) oraz g ◦ f (x) dla podanych poniżej
par funkcji.
1. f (x) = x3 , g(x) = 3 tan(x) + 1,
√
2. f (x) = 3 x2 + 7, g(x) = |x − 2|.
1
Zadanie 7. Obliczyć następujące granice.
n3
,
n→∞ (n − 7)2 (7n − 5)
√
√
3
n+ 6n
2. lim
,
n→∞
n+2
1. lim
3 · 32n+1 + 1
,
n→∞ 7 · 9n+4 + 6
s n n
n
1
2
3
n
+
+
,
4. lim
n→∞
2
7
4
3. lim
5. lim
n→∞
6. lim
n→∞
n5 + 9
n5
n5 /2
3n − 4
3n + 1
n−3
,
.
2