Algebra liniowa z geomeria analityczna

1. LICZBY ZESPOLONE
1.1 PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNO CI
Def. 1.1.1 (liczba zespolona, płaszczyzna zespolona)
Liczb zespolon nazywamy uporz dkowan par liczb rzeczywistych np. (x,y), (u,v), (a,b). Liczby zespolone oznaczamy
krótko przez z, w itp. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczmy przez C. Mamy zatem
def
C = {z = ( x, y ) : x, y ∈ R}.
Uwaga. Liczb zespolon z = (x,y) przedstawiamy na płaszczy nie w postaci punktu o współrz dnych (x,y) lub w postaci
wektora o pocz tku w punkcie (0,0) i ko cu w punkcie (x,y). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy
płaszczyzn zespolon .
Def. 1.1.2 (równo , suma i iloczyn liczb zespolonych)
Niech z1 = ( x1 , y1 ) , z 2 = ( x 2 , y 2 ) b d liczbami zespolonymi.
1. Równo liczb zespolonych okre lamy przez warunek:
def
z1 = z 2 ⇔ x1 = x 2 oraz y1 = y 2 .
2. Sum liczb zespolonych okre lamy wzorem:
def
z1 + z 2 = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) .
3. Iloczyn liczb zespolonych okre lamy wzorem:
def
z1 ⋅ z 2 = ( x1 x 2 − y1 y 2 , x1 y 2 + x 2 y1 ) .
Fakt 1.1.3 (własno ci działa w zbiorze liczb zespolonych)
Niech z1, z2, z3 b d dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy
1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z1 + z 2 = z 2 + z1
2. dodawanie liczb zespolonych jest ł czne, tzn.
( z1 + z 2 ) + z 3 = z1 + ( z 2 + z 2 )
def
3. dla ka dej liczby zespolonej z liczba zespolona 0 = (0,0) spełnia równo
z+0=z
def
4. dla ka dej liczby zespolonej z = ( x, y ) liczba − z = (− x,− y ) spełnia równo
z + (− z ) = 0
5. mno enie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
6. mno enie liczb zespolonych jest ł czne, tzn.
z1 ⋅ z 2 = z 2 ⋅ z1
( z1 ⋅ z 2 ) ⋅ z 3 = z1 ⋅ ( z 2 ⋅ z 3 )
def
7. dla ka dej liczby zespolonej z liczba zespolona 1 = (1,0) spełnia równo
z ⋅1 = z
8. dla ka dej liczby zespolonej z = ( x, y ) ≠ 0 liczba zespolona
y
1 def
x
= 2
,− 2
2
z
x +y
x + y2
spełnia równo
z⋅
1
=1
z
9. mno enie liczb zespolonych jest rozdzielne wzgl dem dodawania, tzn.
z1 ⋅ ( z 2 + z 3 ) = z1 ⋅ z 2 + z1 ⋅ z 3 .
Uwaga. Liczby zespolone 0, –z, 1 oraz 1 wprowadzone odpowiednio w punktach 3, 4, 7 oraz 8 powy szego faktu s
z
jedynymi liczbami o danych w tych punktach własno ciach. Liczby te nazywamy odpowiednio: elementem neutralnym
dodawania, elementem przeciwnym liczby z, elementem neutralnym mno enia oraz elementem odwrotnym do liczby z.
Def. 1.1.4 (odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych)
Niech z1, z2 ∈ C b d dowolnymi liczbami zespolonymi.
1. odejmowanie liczb zespolonych okre lamy wzorem:
def
2. dzielenie liczb zespolonych okre lamy wzorem:
z1 − z 2 = z1 + ( − z 2 )
z1 def
1
, o ile z2 ≠ 0.
= z1 ⋅
z2
z2
Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działa algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mno enie, dzielenie)
znane z liczb rzeczywistych obowi zuj tak e w zbiorze liczb zespolonych. W szczególno ci prawdziwe s wzory skróconego
mno enia, wzory na sum wyrazów ci gu arytmetycznego i geometrycznego itd.
Fakt 1.1.5 (zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych)
Podzbiór R zbioru liczb zespolonych C zło ony z liczb postaci (x,0), gdzie x ∈ R, ma nast puj ce własno ci:
1. ( x1 ,0) + ( x 2 ,0) = ( x1 + x 2 ,0) ,
2.
3.
4.
( x1 ,0) − ( x 2 ,0) = ( x1 − x 2 ,0) ,
( x1 ,0) ⋅ ( x 2 ,0) = ( x1 ⋅ x 2 ,0) ,
( x1 ,0)
x
= 1 ,0 , gdzie x2 ≠ 0.
( x 2 ,0)
x2
Uwaga. Z własno ci tych wynika, zbiór R mo na uto samia ze zbiorem liczb rzeczywistych R. B dziemy pisali x zamiast
(x,0); w szczególno ci 0 = (0,0) oraz 1 = (1,0).
1.2 POSTA ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.2.1 (jednostka urojona)
Liczb zespolon (0,1) nazywamy jednostk urojon i oznaczamy j przez i;
def
i = (0,1) .
Fakt 1.2.2 (posta algebraiczna liczby zespolonej)
Ka d liczb zespolon mo na jednoznacznie zapisa w postaci:
z = x + iy ,
gdzie x, y ∈ R .
Uwaga. Ten sposób przedstawienia liczb zespolonych nazywamy ich postaci algebraiczn . Nie ka de przedstawienie liczby
zespolonej w postaci x + iy jest jej postaci algebraiczn . Niezb dne jest dodanie warunku x, y ∈ R.
Def. 1.2.3 (cz
rzeczywista i urojona liczby zespolonej)
Niech x + iy b dzie postaci algebraiczn liczby zespolonej z. Wówczas
1. liczb x nazywamy cz ci rzeczywist liczby zespolonej z, co zapisujemy
def
Re z = x ,
2. liczb y nazywamy cz ci urojon liczby zespolonej z, co zapisujemy
def
Im z = y .
Liczb zespolon postaci iy, gdzie y ∈ R \ {0}, nazywamy liczb czysto urojon .
Rys. 1.2.1 Interpretacja geometryczna jednostek rzeczywistej i urojonej oraz liczby zespolonej
w postaci algebraicznej.
Uwaga. Dodawanie, odejmowanie i mno enie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie,
odejmowanie i mno enie wielomianów zmiennej i, przy warunku i 2 = −1 . Przy dzieleniu przez liczb zespolon x + iy, gdzie
x, y ∈ R, nale y dzieln i dzielnik pomno y przez liczb x – iy, aby w mianowniku uzyska liczb rzeczywist .
Fakt 1.2.4 (o równo ci liczb zespolonych w postaci algebraicznej)
Dwie liczby zespolone s równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich cz ci rzeczywiste i urojone s równe, tzn.
z1 = z 2 ⇔
1.3 SPRZ
Re z1 = Re z 2
Im z1 = Im z 2
.
ENIE I MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.3.1 (sprz enie liczby zespolonej)
Sprz eniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczb zespolon z okre lon wzorem:
def
z = x − iy .
Liczba sprz ona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii osiowej wzgl dem osi Rez.
Fakt 1.3.2 (własno ci sprz enia liczb zespolonych)
Niech z, z1, z2 ∈ C. Wtedy
1.
5.
z1 + z 2 = z1 + z 2
6. z − z = 2i Im z
2. z1 − z 2 = z1 − z 2
3.
4.
z + z = 2 Re z
(z ) = z
8. Im( z ) = − Im( z )
z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
7.
z1
z
= 1 , o ile z2 ≠ 0
z2
z2
Uwaga. Równo ci podane w punktach 1 i 3 prawdziwe s odpowiednio dla dowolnej liczby składników i czynników.
Def. 1.3.3 (moduł liczby zespolonej)
Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczb rzeczywist |z| okre lon wzorem:
def
z =
x2 + y2 .
Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem warto ci bezwzgl dnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł liczby
zespolonej z jest odległo ci punktu z od pocz tku układu współrz dnych.
Uwaga. Moduł ró nicy liczb zespolonych z1, z2 jest długo ci odcinka ł cz cego punkty z1, z2 płaszczyzny zespolonej.
Fakt 1.3.4 (własno ci modułu liczby zespolonej)
Niech z, z1, z2 ∈ C. Wtedy
1.
z = z = −z
5.
2.
z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
6.
z⋅z = z
3.
z1
z1
=
, o ile z2 ≠ 0
z2
z2
7.
Re z ≤ z
4.
z1 + z 2 ≤ z 1 + z 2
8.
Im z ≤ z
z1 − z 2 ≤ z1 − z 2
2
Uwaga. Warunki podane w punktach 2 i 4 powy szego faktu prawdziwe s tak e dla dowolnej liczby odpowiednio czynników
i składników. Przy obliczaniu ilorazu liczb zespolonych w i z ≠ 0 wygodnie jest stosowa to samo :
w wz
= 2 .
z
z
1.4 POSTA TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.4.1 (argument i argument główny liczby zespolonej)
Argumentem liczby zespolonej z = x + iy ≠ 0, gdzie x, y ∈ R, nazywamy ka d liczb ϕ ∈ R spełniaj c układ równa :
cos ϕ =
x
z
y
sin ϕ =
z
.
Przyjmujemy, e argumentem liczby z = 0 jest ka da liczba ϕ ∈ R. Argumentem głównym liczby zespolonej z ≠ 0 nazywamy
argument ϕ tej liczby spełniaj cy nierówno 0 ≤ ϕ < 2π. Przyjmujemy, e argumentem głównym liczby z = 0 jest 0.
Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z . Ka dy argument ϕ liczby zespolonej z ≠ 0 ma posta
ϕ = arg z + 2kπ , gdzie k ∈ Z.
Rys. 1.4.1 Argument liczby zespolonej
Rys. 1.4.2 Argument główny liczby zespolonej
Uwaga. Argumenty liczby zespolonej s miarami z s miarami k ta zorientowanego utworzonego przez dodatni cz
osi
rzeczywistej i wektor wodz cy tej liczby (rys. 1.4.1). Argument główny liczby zespolonej jest najmniejsz nieujemn miar
k ta zorientowanego utworzonego przez dodatni cz
osi rzeczywistej i wektor wodz cy tej liczby (rys. 1.4.2). Czasem
przyjmuje si , e argument główny liczby zespolonej jest liczb z przedziału (-π,π].
Fakt 1.4.2 (posta trygonometryczna liczby zespolonej)
Ka d liczb zespolon z mo na przedstawi w postaci:
z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ,
gdzie r ≥ 0 oraz ϕ ∈ R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a ϕ jednym z jej argumentów.
Fakt 1.4.3 (równo liczb zespolonych postaci trygonometrycznej)
Liczby zespolone z1 = r1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) , z 2 = r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) , gdzie r1, r2 ≥ 0 oraz ϕ1, ϕ2 ∈ R, s równe wtedy i tylko
wtedy, gdy:
r1 = r2 = 0 albo r1 = r2 > 0 oraz ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z.
Fakt 1.4.4 (mno enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometryczne)
Niech z1 = r1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) , z 2 = r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) , gdzie r1, r2 ≥ 0 oraz ϕ1, ϕ2 ∈ R b d liczbami zespolonymi. Wtedy
1.
2.
z1 ⋅ z 2 = r1 r2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )]
z1 r1
= [cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 − ϕ 2 )] , o ile z2 ≠ 0.
z 2 r2
Inaczej mówi c, przy mno eniu liczb zespolonych ich moduły mno ymy, a argumenty dodajemy. Podobnie, przy dzieleniu
liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy.
Uwaga. Pierwszy ze wzorów w ostatnim fakcie jest prawdziwy tak e dla dowolnej liczby czynników.
Fakt 1.4.5 (o argumentach iloczynu, ilorazu, sprz enia oraz liczby przeciwnej)
Niech z, z1, z2 ∈ C oraz niech n ∈ N. Wtedy
1. arg( z1 z 2 ) = arg z1 + arg z 2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z;
2.
arg(z n ) = n arg z + 2kπ dla pewnego k ∈ Z;
3.
arg
4.
5.
6.
z1
= arg z1 − arg z 2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z, o ile z2 ≠ 0;
z2
arg( z ) = − arg z + 2kπ dla pewnego k ∈ Z;
arg(− z ) = π + arg z + 2kπ dla pewnego k ∈ Z;
1
arg
= − arg z + 2kπ dla pewnego k ∈ Z, o ile z ≠ 0;
z
Uwaga. W rzeczywisto ci k mo e przyjmowa warto ci 1. 0 lub –1; 2. dowolne; 3. 0 lub 1; 4. 1; 5. 0, 1 lub –1; 6. 1.
Fakt 1.4.6 (wzór de Moivre’a)
Niech z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , gdzie r ≥ 0, ϕ ∈ R oraz niech n ∈ N. Wtedy
z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) .
Def. 1.4.7 (symbol
e iϕ )
Dla ϕ ∈ R liczb zespolon cosϕ + isinϕ oznaczamy krótko przez
e iϕ ;
def
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ .
iϕ
Fakt 1.4.8 (własno ci symbolu e )
Niech ϕ, ϕ1, ϕ2 b d dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech k b dzie dowoln liczb całkowit . Wtedy
ei (ϕ1 +ϕ 2 ) = e iϕ1 ⋅ e iϕ 2
eiϕ1
i (ϕ −ϕ )
2. e 1 2 = iϕ
e 2
e iϕ ≠ 0
iϕ
iϕ
6. e 1 = e 2 ⇔ ϕ1 = ϕ 2 + 2lπ , gdzie l ∈ Z
1.
3.
4.
(e )
iϕ k
5.
= e ikϕ
7.
ei (ϕ + 2 kπ ) = eiϕ
8.
e iϕ = 1
arg(eiϕ ) = ϕ + 2lπ dla pewnego l ∈ Z
Fakt 1.4.9 (posta wykładnicza liczby zespolonej)
Ka d liczb zespolon z mo na zapisa w postaci wykładniczej, tj. w postaci
z = re iϕ ,
gdzie r ≥ 0, ϕ ∈ R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a ϕ jej argumentem.
Fakt 1.4.10 (o równo ci liczb zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech r1, r2 ≥ 0 oraz ϕ1, ϕ2 ∈ R. Wówczas
r1e iϕ1 = r2 e iϕ 2 ⇔ r1 = r2 = 0 albo r1 = r2 > 0 oraz ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ , gdzie k ∈ Z.
Fakt 1.4.11 (działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech z = e iϕ , z1 = e iϕ1 , z 2 = e iϕ 2 , gdzie r, r1, r2 ≥ 0 oraz ϕ, ϕ1, ϕ2 ∈ R, b d liczbami zespolonymi oraz niech k b dzie
liczb całkowit . Wtedy
z = re − iϕ
i (ϕ +π )
2. − z = re
1 1 − iϕ
3. = e , o ile z ≠ 0
z r
z k = r k e ikϕ
i (ϕ +ϕ )
5. z1 ⋅ z 2 = r1 r2 e 1 2
z1 r1 i (ϕ1 −ϕ 2 )
6.
= e
, o ile z2 ≠ 0
z 2 r2
1.
4.
1.5 PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH
Def. 1.5.1 (pierwiastek z liczby zespolonej)
Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy ka d liczb zespolon w spełniaj c równo :
wn = z .
Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez
n
z.
Uwaga. Symbol n
ma inne znaczenie w odniesieniu do liczb rzeczywistych, a inne do liczb zespolonych (w tym tak e
rzeczywistych traktowanych jak zespolone). Pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej jest okre lony jednoznacznie i jest to
funkcja R → R dla n nieparzystych oraz [0,∞) →[0,∞) dla n parzystych. Pierwiastkowanie w dziedzinie zespolonej jest
natomiast rozwi zywaniem równania w n = z , zatem n z jest zbiorem rozwi za tego równania. Symbolu pierwiastka w
dziedzinie zespolonej nie wolno u ywa do adnych działa i oblicze , gdy podstawowe wzory dla pierwiastków, prawdziwe
w dziedzinie rzeczywistej tutaj nie maj sensu, np.
z4 ≠ z2 .
Fakt 1.5.2 (wzór na pierwiastki z liczby zespolonej)
Ka da liczba zespolona z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , gdzie r ≥ 0 oraz ϕ ∈ R, ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych
pierwiastków ma posta :
n
gdzie
wk = n r cos
z = {w0 , w1 ,
ϕ + 2kπ
n
, i sin
Uwaga. Dla k = 0, 1, …, n – 2 prawdziwa jest zale no :
, wn −1 },
ϕ + 2kπ
n
dla k = 0, 1, …, n – 1.
wk +1 = wk cos
2π
2π
2π
2π
= w0 cos
, i sin
, i sin
n
n
n
n
k
.
Fakt 1.5.2 (interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej)
Zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , gdzie r = |z| oraz ϕ = argz, pokrywa si ze
zbiorem wierzchołków n–k ta foremnego wpisanego w okr g o promieniu
Pierwszy wierzchołek tego wielok ta jest w punkcie w0 = n r cos
kolejnych wierzchołków jest równy
2π
(rys. 1.5.1).
n
ϕ
n
n
r i rodku w pocz tku układu współrz dnych.
+ i sin
ϕ , a k t mi dzy promieniami wodz cymi
n
Rys. 1.5.1 Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej
2. WIELOMIANY
2.1 PODSTAWOWE POJ CIA I WŁASNO CI
Def. 2.1.1 (wielomian rzeczywisty)
Wielomianem rzeczywistym stopnia n ∈ N ∪ {0} nazywamy funkcj W: R → R okre lon wzorem:
W ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 +
+ a1 x + a 0 ,
gdzie ak ∈ R dla 0 ≤ k ≤ n oraz an ≠ 0. Ponadto przyjmujemy, e funkcja W(x) ≡ 0 jest wielomianem stopnia –∞. Liczby ak, 0 ≤
k ≤ n, nazywamy współczynnikami wielomianu W.
Def. 2.1.2 (wielomian zespolony)
Wielomianem zespolonym stopnia n ∈ N ∪ {0} nazywamy funkcj W: C → C okre lon wzorem:
W ( z ) = c n z n + c n −1 z n −1 +
+ c1 z + c 0 ,
gdzie ck ∈ C dla 0 ≤ k ≤ n oraz cn ≠ 0. Ponadto przyjmujemy, e funkcja W(z) ≡ 0 jest wielomianem stopnia –∞. Liczby ck, 0 ≤
k ≤ n, nazywamy współczynnikami wielomianu W.
Uwaga. Ka dy wielomian rzeczywisty mo na traktowa jako wielomian zespolony rozszerzaj c jego dziedzin z R na C. Tak
b dziemy post powa przy omawianiu pierwiastków zespolonych wielomianów rzeczywistych. Wielomian zespolony lub
rzeczywisty b dziemy nazywali krótko wielomianem.
Def. 2.1.3 (suma, ró nica i iloczyn wielomianów)
Niech P i Q b d wielomianami. Sum , ró nic i iloczyn wielomianów P i Q okre lamy w sposób naturalny, tj. przyjmujemy:
def
(P ± Q )( x) = P( x) ± Q( x) ,
def
(P ⋅ Q )( x) = P( x) ⋅ Q( x) .
Def. 2.1.4 (podzielno wielomianów)
Mówimy, e wielomian S jest ilorazem, a wielomian R reszt z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, je eli dla ka dego
x ∈R (x ∈ C) spełniony jest warunek
P ( x) = Q ( x ) ⋅ S ( x ) + R ( x )
oraz stopie reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q.
Je eli R(x) ≡ 0, to mówimy, e wielomian P jest podzielny przez wielomian Q.
2.2 PIERWIASTKI WIELOMIANÓW
Def. 2.2.1 (pierwiastek wielomianu)
Liczb rzeczywist (zespolon ) x0 nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W, je eli W(x0) = 0.
Tw. 2.2.2 (Bezout)
Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, e
W ( x) = ( x − x 0 ) P( x) .
Uwaga. Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x – x0 jest równa W(x0).
Def. 2.2.3 (pierwiastek wielokrotny wielomianu)
Liczba x0 jest pierwiastkiem k–krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, e
W ( x) = ( x − x 0 ) k P ( x) oraz P( x 0 ) ≠ 0 .
Fakt 2.2.4 (o pierwiastkach wielokrotnych wielomianu)
Liczba x0 jest pierwiastkiem k–krotnym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy
W ( x0 ) = W / ( x0 ) =
W ( k −1) ( x 0 ) = 0 oraz W ( k ) ( x 0 ) ≠ 0 .
Tw. 2.2.5 (o pierwiastkach całkowitych wielomianu)
Niech
W ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 +
+ a1 x + a 0
b dzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita p ≠ 0 b dzie pierwiastkiem wielomianu W.
Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Tw. 2.1.6 (o pierwiastkach wymiernych wielomianu)
Niech
W ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 +
+ a1 x + a 0
b dzie wielomianem stopnia n o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna p , gdzie p i q s liczbami
q
całkowitymi wzgl dnie pierwszymi, b dzie pierwiastkiem wielomianu W. Wtedy p jest dzielnikiem współczynnika a0, a q jest
dzielnikiem współczynnika an tego wielomianu.
Uwaga. Je eli an = 1, to wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu s całkowite.
2.3 ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY
Tw. 2.3.1 (zasadnicze twierdzenie algebry)
Ka dy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Fakt 2.3.2 (o przedstawieniu wielomianu w postaci iloczynu dwumianów)
1. Ka dy wielomian zespolony stopnia n ∈ N ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzgl dniaj c pierwiastki
wielokrotne).
2. Niech wielomian W stopnia n ∈ N ma pierwiastki zespolone zj o krotno ciach odpowiednio kj, gdzie kj ∈ N dla 1 ≤ j ≤ m
oraz k1 + k2 + … + km = n. Wtedy
W ( z ) = c n ( z − z1 ) k1 ⋅ ( z − z 2 ) k 2 ⋅
⋅ ( z − z m ) km ,
gdzie cn jest współczynnikiem stoj cym przy zn w wielomianie W.
Fakt 2.3.3 (wzory Viete’a)
Niech W ( z ) = c n z n + c n −1 z n −1 + + c1 z + c 0 b dzie wielomianem zespolonym stopnia n ∈ N. Wówczas liczby z1, z2, ..., zn
s pierwiastkami wielomianu W (z uwzgl dnieniem krotno ci) wtedy i tylko wtedy, gdy
z1 + z 2 + ... + z n = −
c n −1
cn
z1 z 2 + z1 z 3 + ... + z n −1 z n =
cn−2
cn
.
c
z1 z 2 z 3 + z1 z 2 z 4 + ... + z n − 2 z n −1 z n = − n −3
cn
z1 z 2 z 3 ...z n −1 z n = (− 1)
n
c0
cn
Uwaga. Je eli znamy niektóre pierwiastki wielomianu, to wzory Viete’a pozwalaj znale
wielomianu.
pozostałe pierwiastki tego
Fakt 2.3.4 (o pierwiastkach zespolonych wielomianu rzeczywistego)
Niech W b dzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z0 jest k–krotnym pierwiastkiem
wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z 0 jest pierwiastkiem k–krotnym tego wielomianu.
Tw. 2.3.5 (o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki rzeczywiste)
Niech W b dzie wielomianem stopnia n ∈ N o współczynnikach rzeczywistych. Ponadto niech xj b d pierwiastkami rzeczywistymi tego wielomianu o krotno ci kj, gdzie kj ∈ N dla 1 ≤ j ≤ r oraz niech z j , z j , gdzie Imzj > 0, b d pierwiastkami
zespolonymi tego wielomianu o krotno ci lj, gdzie 1 ≤ j ≤ s, przy czym (k1 + ... + k r ) + 2(l1 + ... + l s ) = n . Wtedy
W ( x) = a n ( x − x1 ) k1 ⋅ ... ⋅ ( x − x r ) kr ⋅ ( x 2 + p1 x + q1 ) l1 ⋅ ... ⋅ ( x 2 + p s x + q s ) l s ,
gdzie pj = –2Rezj oraz qj = |zj|2 dla 1 ≤ j ≤ s, a an jest współczynnikiem wielomianu W stoj cym przy xn.
Inaczej mówi c, ka dy wielomian rzeczywisty mo na przedstawi w postaci iloczynu wielomianów rzeczywistych stopnia co
najwy ej drugiego. Mówimy wówczas o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na rzeczywiste czynniki nierozkładalne.
2.4 UŁAMKI PROSTE
Def. 2.4.1 (funkcja wymierna)
Funkcj wymiern rzeczywist (zespolon ) nazywamy iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych).
Def. 2.4.2 (funkcja wymierna wła ciwa)
Funkcj wymiern nazywamy wła ciw , je eli stopie wielomianu w liczniku ułamka okre laj cego t funkcj jest mniejszy
od stopnia wielomianu w mianowniku.
Uwaga. Ka da funkcja wymierna jest sum wielomianu oraz funkcji wymiernej wła ciwej.
Def. 2.4.3 (ułamki proste)
1. Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy zespolon funkcj wymiern postaci:
A
, gdzie A, a ∈ C oraz n ∈ N.
( z + a) n
2. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywist funkcj wymiern postaci:
A
, gdzie A, a ∈ R oraz n ∈ N.
( x + a) n
3. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywist funkcj wymiern postaci:
Ax + B
, gdzie p, q, A, B ∈ R oraz n ∈ N, przy czym ∆ = p 2 − 4q < 0
( x + px + q ) n
2
Tw. 2.4.4 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Ka da funkcja wymierna wła ciwa rzeczywista (zespolona) jest sum rzeczywistych (zespolonych) ułamków prostych.
Przedstawienie to jest jednoznaczne.
1. Zespolona funkcja wymierna wła ciwa postaci
P( z)
, gdzie
Q( z )
Q( z ) = c n ( z − z1 ) k1 ( z − z 2 ) k 2 ⋅ ... ⋅ ( z − z m ) km ,
jest sum k1 + k2 + ... + km zespolonych ułamków prostych, przy czym czynnikowi ( z − zi ) ki odpowiada suma ki ułamków
prostych postaci:
Aiki
Ai1
Ai 2
+
+
...
+
,
z − z i ( z − z i )2
( z − z i )ki
gdzie Ai1, Ai2, …, Aiki ∈ C dla 1 ≤ i ≤ m.
P( x)
, gdzie
Q( x )
2. Rzeczywista funkcja wymierna wła ciwa postaci
Q( x) = a n ( x − x1 ) k1 ⋅ ( x − x 2 ) k 2 ⋅ ... ⋅ ( x − x r ) k r ⋅ ( x 2 + p1 x + q1 ) l1 ⋅ ( x 2 + p 2 x + q 2 ) l 2 ⋅ ... ⋅ ( x 2 + p s x + q s ) l s ,
jest sum k1 + k2 + ... + km rzeczywistych ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l1 + l2 + ... + ls rzeczywistych ułamków
prostych drugiego rodzaju, przy czym
• czynnikowi ( x − xi ) ki odpowiada suma ki ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci
Aiki
Ai1
Ai 2
+
+ ... +
,
2
x − x i ( x − xi )
( x − x i ) ki
gdzie Ai1, Ai2, …, Aiki ∈ R dla 1 ≤ i ≤ r.
• czynnikowi ( x 2 + p j x + q j )
lj
odpowiada suma lj ułamków prostych drugiego rodzaju postaci
B j1 x + C j1
x2 + p j x + q j
+
(x
B j2 x + C j2
2
+ pjx + qj
gdzie B j1 , B j 2 ,..., B jl , C j1 , C j 2 ,...C jl ∈ R dla 1 ≤ j ≤ s.
j
j
)
2
+ ... +
(x
B jl j x + C jl j
2
+ pjx + qj
)
lj
,
3. MACIERZE I WYZNACZNIKI
3.1 MACIERZE – PODSTAWOWE OKRE LENIA
Def. 3.1.1 (macierz rzeczywista i zespolona)
Macierz rzeczywist (zespolon ) wymiaru m × n, gdzie m, n ∈ N, nazywamy prostok tn tablic zło on z mn liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach.
Uwaga. Macierze b dziemy oznaczali du ymi literami alfabetu np. A, B, X itp. Element macierzy A stoj cy w i–tym wierszu
oraz w j–tej kolumnie oznaczamy przez aij. Macierz A mo na tak e zapisywa w postaci [aij ] m×n lub [aij], gdy znany jest jej
wymiar. Macierze A lub B s równe, gdy maj te same wymiary m × n oraz aij = bij dla ka dego 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n.
Def. 3.1.2 (rodzaje macierzy)
1. Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy s równe 0 nazywamy macierz zerow wymiaru m × n i oznaczmy
0 m×n lub przez 0, gdy znamy jej wymiar.
0 0
0 0
0
0
0 0
0
2.
Macierz, której liczba wierszy równa si liczbie kolumn nazywamy macierz kwadratow . Liczb wierszy (kolumn)
nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy, które maj ten sam numer wiersza co kolumny,
tworz główn przek tn macierzy.
3.
Macierz kwadratow stopnia n ≥ 2, w której wszystkie elementy stoj ce nad główn przek tn s równe 0, nazywamy
macierz trójk tn doln stopnia n.
a11
a 21
0
a 22
0
0
0
0
a 31
a 32
a 33
0
a n1
an2
a n3
a nn
Podobnie okre la si macierz trójk tn górn .
4.
a11
a12
a13
a1n
0
0
a 22
0
a 23
a 33
a 2n
a 3n
0
0
0
a nn
Macierz kwadratow stopnia n, w której wszystkie elementy nie stoj ce na głównej przek tnej s równe 0, nazywamy
macierz diagonaln lub przek tniow stopnia n.
a11
0
0
a 22
0
0
0
0
0
0
a 33
0
0
0
0
a nn
Macierz diagonaln stopnia n, w której wszystkie elementy głównej przek tnej s równe 1, nazywamy macierz
jednostkow stopnia n. Macierz jednostkow stopnia n oznaczamy przez In lub przez I, gdy znany jest jej stopie .
1 0 0
0
0 1 0
0 0 1
0
0
0 0 0
1
3.2 DZIAŁANIA NA MACIERZACH
Def. 3.2.1 (suma i ró nica macierzy)
Niech A = [aij] i B = [bij] b d macierzami wymiaru m × n. Sum (ró nic ) macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij], której
elementy okre lone s wzorem:
def
def
c ij = a ij + bij
c ij = a ij − bij
dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy wtedy C = A + B (C = A – B).
Def. 3.2.2 (mno enie macierzy przez liczb )
Niech A = [aij] b dzie macierz wymiaru m × n oraz niech α b dzie liczb rzeczywist lub zespolon . Iloczynem macierzy A
przez liczb α nazywamy macierz B = [bij], której elementy s okre lone wzorem:
def
bij = αa ij
dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy wtedy B = αA.
Fakt 3.2.3 (własno ci działa na macierzach)
Niech A, B, C b d dowolnymi macierzami tego samego wymiaru rzeczywistymi lub zespolonymi oraz niech α, β b d
odpowiednio liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Wtedy
1. A + B = B + A
5. α(A + B) = αA + αB
2. A + (B + C) = (A + B) + C
6. (α + β)A = αA + βA
3. A + 0 = 0 + A = A
7. 1⋅A = A
4. A + (–A) = 0
8. (αβ)A = α(βA)
Def. 3.2.4 (iloczyn macierzy)
Niech A = [aij] ma wymiar m × n, a macierz B = [bij] wymiar n × k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [cij],
wymiaru m × k, której elementy okre lone s wzorem:
def
c ij = a i1b1 j + a i 2 b2 j + ... + a in bnj
dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Piszemy wtedy C = AB.
Uwaga. Element cij iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumuj c iloczyny odpowiadaj cych sobie elementów i–tego wiersza
macierzy A i j–tej kolumny macierzy B. Iloczyn macierzy A i B mo na obliczy tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A
równa si liczbie wierszy macierzy B.
Rys. 3.2.1 Schemat obliczania elementów iloczynu macierzy A i B
Fakt 3.2.5 (własno ci iloczynu macierzy)
1. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierze B i C wymiar n × k. Wtedy
A( B + C ) = AB + AC .
2. Niech macierze A, B maj wymiar m × n, a macierz C wymiar n × k. Wtedy
( A + B)C = AC + BC .
3. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierz B wymiar n × k oraz niech α b dzie liczb rzeczywist lub zespolon .
Wtedy
A(αB) = (αA) B = α ( AB ) .
4. Niech macierz A ma wymiar m × n, macierz B ma wymiar n × k, a macierz C wymiar k × l. Wtedy
( AB)C = A( BC ) .
5. Niech macierz A ma wymiar m × n. Wtedy
AI n = I m A = A .
Uwaga. Własno ci podane w punktach 1 i 2 nazywamy rozdzielno ci dodawania wzgl dem mno enia, a własno podan w
punkcie 4 ł czno ci mno enia. Mno enie macierzy kwadratowych nie jest przemienne, bowiem na ogół AB ≠ BA. Zamiast
n
AA... A b dziemy pisali A .
n czynników
Def. 3.2.6 (macierz transponowana)
Niech A = [aij] b dzie macierz wymiaru m × n. Macierz transponowan do macierzy A nazywamy macierz B = [bij] wymiaru
n × m okre lon wzorem:
def
bij = a ji
dla 1 ≤ i ≤ m oraz 1 ≤ j ≤ n. Macierz transponowan do macierzy A oznaczamy AT.
Uwaga. Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyj ciowej staj si kolejnymi kolumnami macierzy transponowanej.
Ilustrujemy to na przykładzie macierzy wymiaru 3 × 4.
a11 a 21 a 31
a11 a12 a13 a14
a
a 22 a 32 .
A = a 21 a 22 a 23 a 24 , AT = 12
a13 a 23 a 33
a 31 a 32 a 33 a 34
a14 a 24 a 34
Fakt 3.2.7 (własno ci transpozycji macierzy)
1. Niech A i B b d macierzami wymiaru m × n. Wtedy
( A + B) T = AT + B T .
2.
Niech A b dzie macierz wymiaru m × n oraz niech α b dzie liczb rzeczywist lub zespolon . Wtedy
(A )
T T
3.
= A oraz (αA) = αAT .
T
Niech A b dzie macierz wymiaru m × n, a B macierz wymiaru n × k. Wtedy
( AB) T = B T AT .
4.
Niech A b dzie macierz kwadratow oraz niech r ∈ N. Wtedy
( A r ) T = ( AT ) r .
Def. 3.2.8 (macierz symetryczna i antysymetryczna)
Niech A b dzie macierz kwadratow .
1. Macierz A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
2.
AT = A .
Macierz A jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
AT = − A .
Uwaga. Macierz jest symetryczna, gdy jej elementy poło one symetrycznie wzgl dem głównej przek tnej s sobie równe.
Macierz jest antysymetryczna, gdy jej elementy poło one symetrycznie wzgl dem głównej przek tnej ró ni si tylko
znakiem, a elementy głównej przek tnej s równe 0.
Fakt 3.2.9 (własno ci macierzy symetrycznych i antysymetrycznych)
1. Niech A b dzie dowoln macierz kwadratow . Wtedy
a) macierz A + AT jest symetryczna,
b) macierz A – AT jest antysymetryczna.
2. Niech A b dzie dowoln macierz . Wtedy macierze AAT i ATA s symetryczne.
3. Ka d macierz kwadratow mo na jednoznacznie przedstawi w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej:
A=
1
1
(
A + A T ) + (A − A T ) .
2
2
3.3 DEFINICJA INDUKCYJNA WYZNACZNIKA
Def. 3.3.1 (wyznacznik macierzy)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj , która ka dej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A = [aij] przypisuje liczb rzeczywist (zespolon ) detA. Funkcja ta jest okre lona wzorem indukcyjnym:
1. je eli macierz A ma stopie n = 1, to
det A = a11 ,
2. je eli macierz A ma stopie n ≥ 2, to
det A = (−1) 1+1 a11 det A11 + (−1) 1+ 2 a12 det A12 + ... + (−1) n +1 a1n det A1n
gdzie Aij oznacza macierz otrzyman z macierzy A przez skre lenie i–tego wiersza i j–tej kolumny.
Uwaga. Wyznacznik macierz A oznaczamy tak e przez det[aij] lub |A|, a w formie rozwini tej przez
det
a11
a12
a12
a22
a1n
a2 n
an1 an 2
ann
lub
a11
a12
a12
a 22
a1n
a 2n .
a n1
a n2
a nn
B dziemy mówili wymiennie stopie wyznacznika ↔ stopie macierzy, element wyznacznika ↔ element macierzy, wiersz
wyznacznika ↔ wiersz macierzy, kolumna wyznacznika ↔ kolumna macierzy.
Fakt 3.3.2 (reguły obliczania wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
1. Niech A =
a b
b dzie macierz stopnia 2. Wtedy
c d
.
a b
2. Niech A = d e
g
h
c
f b dzie nacierz stopnia 3. Wtedy
i
.
Uwaga. Podany wy ej sposób obliczania wyznaczników stopnia 3 nazywamy reguł
wyznaczników nie przenosi si na wyznaczniki wy szych stopni.
Sarrusa. Ten sposób obliczania
Fakt 3.3.3 (interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia)
1. Niech D oznacza równoległobok rozpi ty na wektorach a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) (rys. 3.3.1). Pole |D| tego
równoległoboku wyra a si wzorem:
D =| det
x1
x2
y1
|.
y2
Rys. 3.3.1 Interpretacja geometryczna wyznacznika drugiego stopnia
2.
Niech V oznacza równoległo cian rozpi ty na wektorach a = ( x1 , y1 , z 1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) , c = ( x3 , y3 , z3 ) (rys. 3.3.2).
Obj to |V| tego równoległo cianu wyra a si wzorem:
x1
V =| det x 2
x3
y1
y2
y3
z1
z2 | .
z3
Rys. 3.3.2 Interpretacja geometryczna wyznacznika trzeciego stopnia
Def. 3.3.4 (dopełnienie algebraiczne)
Niech A = [aij] b dzie macierz kwadratow stopnia n ≥ 2. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy
liczb :
def
Dij = (−1) i + j det Aij ,
gdzie Aij oznacza macierz stopnia n – 1 powstał przez skre lenie i–tego wiersza i j–tej kolumny macierzy A.
Tw. 3.3.5 (rozwini cia Laplace’a wyznacznika)
Niech A b dzie macierz kwadratow stopnia n ≥ 2 oraz niech liczby 1 ≤ i, j ≤ n b d ustalone. Wtedy wyznacznik macierzy A
mo na obliczy ze wzorów:
1.
det A = a i1 Di1 + a i 2 Di 2 + ... + a in Din .
Inaczej mówi c, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów i–tego wiersza i ich dopełnie algebraicznych.
Wzór ten nazywamy rozwini ciem Laplace’a wyznacznika wzgl dem i–tego wiersza.
2.
det A = a1 j D1 j + a 2 j D2 j + ... + a nj D nj .
Inaczej mówi c, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów j–tej kolumny i ich dopełnie algebraicznych.
Wzór ten nazywamy rozwini ciem Laplace’a wyznacznika wzgl dem j–tej kilumny.
Uwaga. Dla ustalonych liczb 1 ≤ r, s ≤ n, gdzie r ≠ s, prawdziwe s wzory:
a s1 Dr1 + a s 2 Dr 2 + ... + a sn Drn = 0
a1s D1r + a 2 s D2 r + ... + a ns Dnr = 0
.
Inaczej mówi c, suma iloczynów elementów dowolnego wiersza i dopełnie algebraicznych elementów innego wiersza jest
równa 0. Podobnie, suma iloczynów dowolnej kolumny i odpowiadaj cych im dopełni algebraicznych innej kolumny jest
równa 0.
Fakt 3.3.6 (wyznacznik macierzy trójk tnej)
Niech A = [aij] b dzie macierz trójk tn doln lub górn stopnia n ≥ 2. Wtedy
det A = a11 ⋅ a 22 ⋅ ... ⋅ a nn .
Inaczej mówi c, wyznacznik macierzy trójk tnej jest równy iloczynowi elementów stoj cych na głównej przek tnej.
3.4 DEFINICJA PERMUTACYJNA WYZNACZNIKA*
Def. 3.4.1 (permutacja)
Permutacj n–elementow , gdzie n ∈ N, nazywamy ka de ró nowarto ciowe odwzorowanie p zbioru {1, 2, …, n} na siebie.
Permutacj tak zapisujemy w postaci
p=
1
2
i
n
p1
p2
pi
pn
,
gdzie pi oznacza warto permutacji p dla i, 1 ≤ i ≤ n. Zbiór wszystkich permutacji n–elementowych oznaczamy przez Pn.
Uwaga. Istnieje n! ró nych permutacji n–elementowych.
Def. 3.4.2 (inwersja, znak permutacji)
Niech p =
1
p1
2
p2
tworzy inwersj , gdy
i
pi
j
pj
n
pn
b dzie permutacj n–elementow . Para {pi, pj} elementów tej permutacji
p i > p j oraz i < j .
Znak permutacji p jest okre lony wzorem
def
sgn( p ) = (−1) k ,
gdzie k oznacza liczb par elementów tej permutacji, które tworz inwersje.
Def. 3.4.3 (wyznacznik macierzy)
Niech A = [aij] b dzie macierz kwadratow stopnia n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczb detA okre lon wzorem:
def
det A =
p∈Pn
gdzie p =
1
p1
2
p2
sgn( p ) a1 p1 a 2 p2 ...a npn ,
n
, a sumowanie obejmuje wszystkie (tj. n!) permutacje n–elementowe.
pn
Uwaga. Obie definicje wyznacznika, indukcyjna i permutacyjna, s równowa ne.
3.5 WŁASNO CI WYZNACZNIKÓW
Fakt 3.5.1 (własno ci wyznaczników)
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej maj cej kolumn (wiersz) zło on z samych zer jest równy 0.
a11 a12
0
a1n
a 21
2.
3.
4.
a 22
0
a 2n
=0
0
a n1 a n 2
0
a nn
Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak je eli mi dzy sob przestawimy dwie kolumny (wiersze).
a1i
a1k
a1k
a1i
a 2i
a 2k
a 2k
a 2i
.
=−
a ni
a nk
a nk
a ni
wyznacznik macierzy kwadratowej maj cej dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest równy 0.
α
β
α
β
ω
ω
= 0.
Je eli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawieraj wspólny czynnik, to czynnik ten
mo na wył czy przed wyznacznik tej macierzy.
a11 a12
ca1i
a1n
a11 a12
a1i
a1n
a21
a22
ca2i
a2 n
a21
a22
a2i
a2 n .
an1
an 2
cani
ann
an1
an 2
ani
ann
a11
a
n 21
a12
a22
a1i
a2i
a1n
a2 n .
an1
an 2
ani
ann
=c
Ponadto
5.
6.
ca11 ca12
ca21 ca22
ca1i
ca2i
ca1n
ca2 n
can1 can 2
cani
cann
=c
Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (wiersza) s sumami dwóch składników jest równy
sumie wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wiersza) s zast pione tymi składnikami.
a11 a12
a1i
a1n a11 a12
a11 a12
a1i + a1/i
a1n
a1/i
a1n
/
/
a
a
a
a
a21 a22
a2i + a2 i
a2 n
a
a22
a2i
a2 n .
22
2i
2n
= 21
+ 21
an1 an 2
ani
ann an1 an 2
an1 an 2
ani + ani/
ann
ani/
ann
Wyznacznik macierzy nie zmieni si , je eli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadaj ce im
elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomno one przez dowoln liczb .
a11 a12
a1 j
a1k
a1n
a11 a12
a1 j + ca1k
a1k
a1n
a 21
a 22
a2 j
a 2k
a 2n
a n1
a n2
a nj
a nk
a nn
=
a 21
a 22
a 2 j + ca 2 k
a 2k
a 2n .
a n1
a n2
a nj + ca nk
a nk
a nn
7.
Ogólnie: wyznacznik macierzy nie zmieni si , je eli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy sum odpowiadaj cych im elementów innych wierszy (kolumn) tej macierzy pomno onych przez dowoln liczb .
Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji s równe.
a11 a12
a1n
a11 a 21
a n1
a 21
a 22
a 2n
a n1
an2
a nn
=
a12
a 22
an2
a1n
a 2n
a nn
Uwaga. Korzystaj c z powy szych własno ci wyznaczników mo na istotnie upro ci jego obliczanie. W tym celu w
wybranym wierszu lub kolumnie wyznacznika staramy si uzyska mo liwie najwi cej zer. Do oznaczenia podanych wy ej
operacji na macierzach b dziemy stosowali nast puj ce symbole:
1. wi ↔ wj – oznacza zamian mi dzy sob i–tego oraz j–tego wiersza,
2. ki ↔ kj – oznacza zamian mi dzy sob i–tej oraz j–tej kolumny,
3. cwi – oznacza pomno enie i–tego wiersza przez liczb c,
4. cki – oznacza pomno enie i–tej kolumny przez liczb c,
5. wi + cwj – oznacza dodanie do elemnetów i–tego wiersza odpowiadaj cych im elementów j–tego wiersza pomno onych
przez liczb c,
6. ki + ckj – oznacza dodanie do elemnetów i–tej kolumny odpowiadaj cych im elementów j–tej kolumny pomno onych
przez liczb c,
Wymienione wy ej przekształcenia macierzy nazywamy operacjami elementarnymi.
Fakt 3.5.2 (algorytm Chió obliczania wyznaczników)
Niech A = [aij] b dzie macierz kwadratow stopnia n ≥ 3 oraz niech a11 ≠ 0. Wówczas
det A =
1
⋅ det
(a11 ) n − 2
/
a 22
/
a 32
/
a 23
/
a 33
a 2/ n
a 3/ n
a n/ 2
a n/ 3
/
a nn
, gdzie
a ij/ = det
a11
a i1
a1 j
a ij
dla i, j = 2, 3, …, n.
Uwaga. Algorytm Chió stosujemy głównie do obliczania wyznaczników macierzy niwielkich stopni, których elementy s
liczbami całkowitymi. Algorytm ten w prosty sposób pozwala obni a stopnie obliczanych wyznaczników.
a11 a12
a 21 a 22
a 31 a 32
a13
← a1 j
→ a1n
a 23
a 33
a2 j
a3 j
a 2n
a 3n
↑
↑
a i1 a i 2
↓
a n1 a n 2
ai3
←
a ij
↓
a nj
a n3
/
a 22
/
a 32
=
→
a in
/
a 23
/
a 33
a 2/ j
a 3/ j
a 2/ n
a 3/ n
, gdzie a ij/ =
↑
1
/
( a11 ) n − 2 a i 2
a i/3
a n/ 2
a n/ 3
←
a ij/
→
a in/
a11
a i1
a1 j
.
a ij
↓
a nn
a nj/
/
a nn
Rys. 3.5.1 Schemat algorytmu Chió obliczania wyznaczników
Tw. 3.5.3 (Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy)
Niech A i B b d macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wtedy
det( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B .
Fakt 3.5.4 (wyznacznik Vandermonde’a)
Niech n ≥ 2 oraz niech z1, z2, …, zn b d liczbami zespolonymi. Wtedy
1 z1
def 1
z2
V ( z1 , z 2 ,..., z n ) =
z12
z 22
1 zn
z n2
Je eli liczby z1, z2, …, zn s parami ró ne, to
z1n −1
z 2n −1
=
∏ (z
1≤ k < l ≤ n
l
− zk ) .
z nn −1
V ( z1 , z 2 ,..., z n ) ≠ 0 .
3.6 MACIERZ ODWROTNA
Def. 3.6.1 (macierz odwrotna)
Niech A b dzie macierz stopnia n. Macierz odwrotn do macierzy A nazywamy macierz B spełniaj c warunek:
AB = BA = In ,
gdzie In oznacza macierz jednostkow stopnia n. macierz odwrotn do macierzy A oznaczamy przez A–1.
Uwaga. Je eli macierz A ma macierz odwrotn , to nazywamy j odwracaln i wówczas detA ≠ 0. Macierz odwrotna do danej
macierzy jest okre lona jednoznacznie.
Def. 3.6.2 (macierz osobliwa i nieosobliwa)
Macierz kwadratow A nazywamy macierz osobliw , gdy
det A = 0 .
W przeciwnym przypadku mówimy, e macierz A jest nieosobliwa.
Fakt 3.6.3 (warunek odwracalno ci macierzy)
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Tw. 3.6.4 (o postaci macierzy odwrotnej)
Niech macierz A = [aij] stopnia n b dzie nieosobliwa. Wtedy
A −1 =
D11
D12
D1n
1 D21
det A
Dn1
D22
D2 n
Dn 2
Dnn
T
,
gdzie Dij oznaczaj dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy A.
Uwaga. Dla macierzy nieosobliwej A =
a b
wzór na macierz odwrotn ma posta :
c d
A −1 =
d −b
1
.
ad − bc − c a
Fakt 3.6.5 (własno ci macierzy odwrotnych)
Niech macierze A i B tego samego stopnia b d odwracalne oraz niech α ∈ C\{0}. Wtedy macierze A–1, AT, AB, αA tak e s
odwracalne i prawdziwe s równo ci:
1.
det (A −1 ) = (det A)
2.
(A )
3.
(A )
−1 −1
T −1
=A
4.
5.
( )
= A
−1
( AB )−1 = B −1 A −1
(αA)−1 = 1 (A −1 )
α
−1 T
Fakt 3.6.6 (bezwyznacznikowy sposób znajdowania macierzy odwrotnej)
Niech A b dzie macierz nieosobliw . Aby znale macierz odwrotn do macierzy A post pujemy w nast puj cy sposób. Z
prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkow I tego samego stopnia. Na wierszach otrzymanej w ten sposób
macierzy blokowej [A|I] b dziemy wykonywa nast puj ce operacje elementarne:
1. przestawia mi dzy sob dwa dowolne wiersze (wi ↔ wj),
2. dowlny wiersz mno y przez stał ró n od zera (cwi),
3. do elementów dowolnego wiersza dodawa sumy odpowiadaj cych im elementów innych wierszy pomno onych przez
dowolne liczby (wi + cwj).
Przy pomocy tych operacji sprowadzamy macierz blokow [A|I] do postaci [I|B]. Macierz B jest wtedy macierz odwrotn do
macierzy A, tj. B = A–1.
−1
[ A | I ] dzia
[
]
l




→
I
|
A
ania na wierszach
Rys. 3.6.1 Schemat bezwyznacznikowego sposobu znajdowania macierzy odwrotnej.
3.7 ALGORYTM SPROWADZANIA MACIERZY DO POSTACI JEDNOSTKOWEJ
Fakt 3.7.1 (algorytm Gaussa)
Niech A b dzie macierz stopnia n ≥ 2 o wyznaczniku ró nym od zera. Macierz t mo na przekształci do macierzy
jednostkowej In wykonuj c na jej wierszach nast puj ce operacje elementarne:
1. zamiana mi dzy sob dwóch dowolnych wierszy,
2. mno enie dowolnego wiersza przez liczb ró n od zera,
3. dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadaj cych im elementów innego wiersza pomno onych przez
dowoln liczb .
Macierz jednostkow uzyskamy w dwóch krokach:
I krok. Otrzymanie macierzy trójk tnej górnej z jedynkami na głównej przek tnej postaci:
1 b12
0 1
0 0
b13
b23
1
b1n
b2 n
b3n
0 0
0
1
Operacje elementarne wykonujemy tak, aby kolejne kolumny macierzy A uzyskały przedstawion powy ej posta .
Przekształcenia zaczynamy od uzyskania odpowiedniej postaci pierwszej kolumny. Je eli a11 ≠ 0, to wiersze w1, w2, …, wn
macierzy A przekształacamy kolejno na wiersze w1/ , w2/ ,..., wn/ według wzorów:
w1/ =
w1
a11
w2/ = w2 − a21w1/
.
wn/ = wn − an1w1/
Je eli natomiast a11 = 0, to wiersze macierzy A przestawiamy tak, aby w jej lewym górnym rogu znalazł si element niezerowy
i dalej wykonujemy wymienione wcze niej operacje.
Kolejne kolumny z jedynkami na przek tnej i zerami poni ej przek tnej uzyskujemy stosuj c przedstawione wy ej post powanie do macierzy coraz ni szych stopni, pocz wszy od stopnia n – 1 a do stopnia 1 wł cznie.
II krok. Otrzymanie macierzy jednostkowej postaci:
1 0 0
0
/
n
/
n −1
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
/
1
Wiersze w , w ,..., w otrzymanej macierzy trójk tnej przekształcamy kolejno na wiersze wn// , wn//−1 ,..., w1// macierzy jednostkowej w nast puj cy sposób:
wn// = wn/
wn//−1 = wn/ −1 − bn −1 n wn//
wn//− 2 = wn/ − 22 − bn − 2 n −1wn//−1 − bn − 2 n wn//
.
w1// = w1/ − b12 w2// − b13 w3// − ... − b1n wn//
Uwaga. Macierzy o wyznaczniku 0 nie mo na sprowadzi do macierzy jednostkowej. Algorytm Gaussa jest bardzo wygodnym
narz dziem przy obliczaniu wyznaczniow, odwracaniu macierzy, okre laniu ich rz dów oraz przy rozwi zywaniu układów
równa liniowych.
4. UKŁADY RÓWNA LINIOWYCH
4.1 PODSTAWOWE OKRE LENIA
Def. 4.1.1 (układ równa liniowych, rozwi zanie układu równa )
Układem m równa liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …, xn, gdzie m, n ∈ N, nazywamy układ równa postaci:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 ,
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm
gdzie aij ∈ R, bi ∈ R dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Rozwi zaniem układu równa liniowych nazywamy ka dy ci g (x1, x2, …, xn) n liczb rzeczywistych spełniaj cych ten układ.
Układ równa , który nie ma rozwi za nazywamy układem sprzecznym.
Uwaga. Powy szy układ równan liniowych mo na zapisa w postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie
def
A=
a11
a12
a12
a 22
a1n
a2n ,
a m1
am2
a mn
x1
def
X =
x2 ,
xn
b1
def
B=
b2 .
bm
Macierz A nazywamy macierz główn układu równa liniowych, macierz X macierz (kolumn ) niewiadomych, a B macierz
(kolumn ) wyrazów wolnych. Rozwa a si tak e układy równa liniowych, w których macierze A, X oraz B s zespolone. W
przypadku „małej liczby” niewiadomych b dziemy je oznacza literami x, y, z, t, u, v, w.
Def. 4.1.2 (układ jednorodny i niejednorodny)
Układ równa liniowych postaci
AX = 0,
gdzie A jest macierz wymiaru m × n, natomiast 0 jest macierz zerow wymiaru m × 1, nazywamy układem jednorodnym.
Układ równa liniowych postaci
AX = B,
w którym B jest macierz niezerow nazywamy układem niejednorodnym.
Uwaga. Jednym z rozwi za ka dego układu jednorodnego AX = 0 jest macierz zerowa
0
X =
0
0
wymiaru n × 1, gdzie n oznacza liczb kolumn macierzy A.
4.2 UKŁADY CRAMERA
Def. 4.2.1 (układ Cramera)
Układem Cramera nazywamy układ równa liniowych AX = B, w którym A jest macierz nieosobliw .
Tw. 4.2.2 (wzór Cramera)
Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwi znie. Rozwi zanie to jest okre lone wzorem
X=
1
det A
det A1
det A2
,
det An
gdzie n oznacza stopie macierzy A, natomiast Aj, dla 1 ≤ j ≤ n, oznacza macierz A, w której j–t kolumn zast piono kolumn
wyrazów wolnych B, tzn.
def
Aj =
a11
a 21
a12
a 22
b1
b2
a1n
a2n
a n1
an2
bn
a nn
.
Uwaga. Równo okre laj c rozwi zanie układu równa liniowych nazywamy wzorem Cramera. Równo
przyjmuje posta :
x1 =
zwan wzorami Cramera.
ta po rozpisaniu
det An
det A1
det A2
, x2 =
, …, x n =
,
det A
det A
det A
Fakt 4.2.3 (metoda macierzy odwrotnej)
Rozwi zanie układu Cramera AX = B jest okre lone wzorem:
X = A −1 B .
4.3 METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA UKŁADÓW CRAMERA
Fakt 4.3.1 (metoda eliminacji Gaussa dla układów Cramera)
Niech AX = B b dzie układem Cramera, w którym A jest macierz stopnia n. Rozwi zanie tego układu znajdujemy w nast puj cy sposób:
1. budujemy macierz rozszerzon układu postaci
[A | B] =
a11
a12
a1n b1
a 21
a 22
a 2 n b2 .
a n1
a n2
a nn bn
2. przekształcamy macierz rozszerzon do postaci [I | X ] wykonuj c na jej wierszach nast puj ce operacje elementarne:
a) zamian mi dzy sob dwóch dowolnych wierszy (wi ↔ wj),
b) pomno enie dowolnego wiersza przez liczb ró n od zera (cwi),
c) dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadaj cych im elementów innego wiersza pomno onego przez dowoln
liczb (wi + cwj).
Operacje te maj na celu doprowadzenie macierzy rozszerzonej do postaci:
[I | X ] =
1 0
0 1
0 x1
0 x2 .
0 0
1 xn
Ostatnia kolumna macierzy rozszerzonej (macierz X) jest wtedy rozwi zaniem wyj ciowego układu równa .
[A | B]→[I | X ]
operacje elementarne na wierszach
Rys. 4.3.1 Schemat metody eliminacji Gaussa rozwi zywania układów równa liniowych.
Uwaga. Przy przekształcaniu macierzy rozszerzonej układu do postaci ko cowej mo emy wykorzysta algorytm Gaussa
sprowadzania macierzy nieosobliwej do postaci jednostkowej podany w fakcie 3.7.1.
Uwaga. Praktyczn wersj metody eliminacji Gaussa dla układów Cramera jest metoda kolumn jednostkowych. Polega ona
na przekształceniu macierzy rozszerzonej układu w celu doprowadzenia wszystkich kolumn macierzy tego układu do postaci
jednostkowej (tzn. z jedn jedynk i reszt zer). Jedynki z ró nych kolumn musz si przy tym znale w ró nych wierszach.
Ko cowa posta [I/|X/] macierzy rozszerzonej b dzie si ró ni od postaci[I|X] jedynie kolejno ci wierszy. Dla układu
Cramera z n niwiadomymi metoda ta wymaga n kroków, gdy w ka dym kroku przekształca si ostatecznie cał kolumn .
Kolejno przekształcanych kolumn oraz poło enie ko cowych „jedynek” jest dowolna, przy czym wygodnie jest do
przekształcenia wybra kolumn składaj c si z jedynki, „małych” liczb całkowitych i „du ej” liczby zer. W porównaniu z
klasycznym algorytmem Gaussa metoda ta nie wymaga przestawiania wierszy ani budowania macierzy trójk tnej. Wymaga
jednak wykonania wi kszej liczby mno e .
Fakt 4.3.2 (algorytm przekształcania j–tej kolumny)
Chc c w miejsce niezerowego elementu aij otrzyma „jedynk ”, a na pozostałych miejscach j–tej kolumny same zera
wystarczy i–ty wiersz macierzy rozszerzonej podzieli przez aij. Nast pnie nale y od pozostałych kolejnych wierszy
odejmowa i–ty wiersz mno ony odpowiednio przez a1j, a2j, …, ai-1j, ai+1j, …, anj. Schematycznie przedstawimy to poni ej
a1 j
a1 j
.
.
0
.
ai −1 j
ai −1 j
.
wi : aij
aij
ai +1 j
. →
.
ai +1 j
anj
.
anj
.
0
.
i −1
j i
i−1
→
. 
wi +1 − ai +1 j wi
.
wn − anj wi
1
0
.
.
.
0
.
w1 − a1 j wi
w
1
−a
w
.
4.4 METODA ELIMINACJI GAUSSA DLA DOWOLNYCH UKŁADÓW RÓWNA LINIOWYCH
Def. 4.4.1 (równowa no układów równa liniowych)
Niech A, A/, B, B/ b d macierzami o wymiarach odpowiednio m × n, k × n, m × 1, k × 1. Ponadto niech
x1
x1/
x ,
x/
X = 2
X/ = 2
(
xn
)
xn/
b d macierzami niewiadomych, przy czym ci g x1/ , x 2/ ,..., x n/ jest permutacj ci gu (x1, x2, …, xn). Mówimy, e układy
równa liniowych AX = B i A/X/ = B/ s równowa ne, je eli zbiory ich rozwi za s identyczne.
Fakt 4.4.2 (o równowa nym przekształcaniu układów równa )
Podane poni ej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej [A|B] układu równa liniowych AX = B przekształcaj go na
układ równowa ny:
1. zamiana mi dzy sob wierszy (wi ↔ wj),
2. mno enie wiersza przez stał ró n od zera (cwi),
3. dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza wyraz po wyrazie (wi + wj),
4. skre lenie wiersza zło onego z samych zer (wi),
5. skre lenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych (wi ~ wj).
Dodatkowo otrzymuje si układ równowa ny, je eli w macierzy A zamienimy miejscami dwie kolumny przy jednoczesnej
zamianie niewiadomych (ki ↔ kj).
niewiadome
A=
niewiadome
x1
↓
xi
↓
xj
↓
xn
↓
x1
↓
xj
↓
xi
↓
xn
↓
a11
a21
a1i
a2 i
a1 j
a2 j
a1n
a2 n
a11
a21
a1 j
a2 j
a1i
a2 i
a1n
a2 n
am1
ami
amj
amn
am1
amj
ami
amn
k ↔k
i

j →
= A/
Fakt 4.4.3. (metoda eliminacji Gaussa)
Niech AX = B b dzie układem równa liniowych, gdzie A jest macierz wymiaru m × n. Wówczas układ ten rozwi zujemy
nast puj co:
1. budujemy macierz rozszerzon układu postaci:
niewiadome
[ A | B] =
x1
x2
xn
↓
↓
↓
a11
a12
a1n b1
a21
a22
a2 n b2
am1 a2m
amn bm
2. na macierzy rozszerzonej dokonujemy równowa nych przekształce układu sprowadzaj c j do postaci:
parametry
niewiadome
x 1/
↓
[A
/
]
x 2/
↓
x r/
↓
x r +1/
↓
x n/
↓
1 0
0 | s1r +1
s1n
z1
0 1
s 2n
z2
0 0
0 | s 2 r +1
|
1 | s rr +1
s rn
zr
0 0
0 |
| B/ =
0
.
0 z r +1
Wówczas,
a) je eli zr+1 ≠ 0, to układ AX = B jest sprzeczny,
b) je eli zr+1 = 0 i n = r, to układ AX = B jest równowa ny układowi Cramera i jego jedyne rozwi zanie ma posta x1 = z1, x2
= z2, …, xn = zn,
c) je eli zr+1 = 0 i n > r, to układ AX = B ma niesko czenie wiele rozwi za , przy czym r spo ród zmiennych x1, x2, …, xn
oznaczanych symbolami x1/ , x 2/ ,..., xr/ zale y od pozostałych n – r zmiennych oznaczanych symbolami x r/ +1 , x r/ + 2 ,..., x n/ w
nast puj cy sposób:
x1/
x 2/
x r/
=
z1
z2
z3
−
s1r +1
s 2 r +1
s1r + 2
s 2r +2
s1n
s2n
s rr +1
s rr + 2
s rn
x r/ +1
x r/ + 2 .
x n/
Uwaga. Liczba r jest wyznaczona jednoznacznie. Jest to tzw. rz d macierzy A. Zmienne x1/ , x 2/ ,..., xr/ b dziemy nazywa
zmiennymi zale nymi, a zmienne x r/ +1 , x r/ + 2 ,..., x n/ zmiennymi niezale nymi lub parametrami. Podział zmiennych na zale ne i
parametry nie jest jednoznaczny, ale nie jest te dowolny. Przy przekształcaniu macierzy rozszerzonej układu do postaci
ko cowej mo emy wykorzysta algorytm sprowadzania macierzy nieosobliwej do postaci jednozstkowej (patrz fakt 3.7.1). W
przeciwie stwie do układu Cramera, omówionego w poprzednim paragrafie, mog pojawi si tu trzy nowe sytuacje:
1. wiersz zło ony z samych zer – wtedy go skre lamy,
2. dwa wiersze równe lub proporcjonalne – wtedy skre lamy jeden z nich,
3. brak elementu niezerowego w kolejnej kolumnie powoduj cy niemo no ustawienia kolejnej jedynki na przek tnej –
wtedy cał kolumn wraz z jej zmienn przestawiamy na miejsce przedostatnie przed kolumn wyrazów wolnych
(zmienna ta staje si parametrem).
Uwaga. Praktyczn wersj metody eliminacji Gaussa dla dowolnych układów równa liniowych jest metoda kolumn
jednostkowych. Jest ona rozszerzeniem metody opisanej dla układów Cramera (patrz fakt 4.3.2) na przypadek ogólny. Polega
ona na równowa nym przekształceniu macierzy rozszerzonej układu, w celu doprowadzenia mo liwie najwi kszej liczby
kolumn do postaci jednostkowej. Jedynki z ró nych kolumn jednostkowych powinny si przy tym znale w ró nych
wierszach. Przekształcenie poszczególnych kolumn wykonujemy dokładnie tak samo, jak dla układów Cramera. Przy wyborze
tych kolumn oraz miejsc na jedynki mamy pełn dowolno . Jednoznacznie okre lona jest tylko liczba tych kolumn, ale
pojawia si ona w naturalny sposób na ko cu post powania. Najwygodniej jest bra do przekształce kolumny zawieraj ce
„małe” liczby całkowite i „du o” zer. W przypadku dowolnych układów równa w trakcie post powania mog pojawi si
wiersze zerowe – wtedy je skre lamy, wiersze równe lub proporcjonalne – wtedy skre lamy jeden z nich. Mo e si tak e
zdarzy , e w macierzy rozszerzonej układu pojawi si wiersz zerowy z elementem niezerowym w kolumnie wyrazów
wolnych. Taki układ równa jest oczywi cie sprzeczny. Je li tak si nie zdarzy, to post powanie ko czy si wtedy, gdy liczba
wyró nionych kolumn jest równa liczbie wierszy, które pozostały w macierzy. Rozwi zanie układu odczytujemy teraz z
ko cowej postaci macierzy, wyró nione „jedynki” wskazuj zmienne zale ne.
5. GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
5.1 WEKTORY
Def. 5.1.1 (przestrze R3)
Przestrzeni R3 nazywamy zbiór wszystkich uporz dkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych;
def
R 3 = {( x, y , z ) : x, y, z ∈ R} .
Uwaga. Przestrze R3 b dziemy interpretowa geometrycznie na trzy sposoby, tzn. jako:
1. zbiór wszystkich punktów P = (x,y,z) w przestrzeni (rys. 5.1.1). W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy
punktami i oznaczamy przez A, B, C, P, Q itd. Liczby x, y, z nazywamy wtedy współrz dnymi punktu P = (x,y,z).
Rys. 5.1.1 Punkty w przestrzeni
2.
zbiór wszystkich wektorów zaczepionych a = OP w przestrzeni. Wektory te maj wspólny pocz tek O = (0,0,0), a ko ce
w punktach P = (x,y,z) (rys. 5.1.2). Wektor OP nazywamy wektorem wodz cym punktu P. W tej interpretacji elementy
przestrzeni R3 nazywamy wektorami i oznaczamy przez a , b , c , u , v , w itd. Wektory wodz ce punktów b dziemy
oznaczali przez r , r0 , r1 itd. Liczby x, y, z nazywamy współrz dnymi wektora a = ( x, y, z ) .
Rys. 5.1.2 Wektory zaczepione
3.
zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobody u (rys. 5.1.3) rozumiemy tutaj zbiór
wszystkich wektorów zaczepionych w ró nych punktach, które maj ten sam kierunek, a zwrot oraz długo co wektor u .
W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 tak e nazywamy wektorami.
Rys. 5.1.3 Wektory swobodne
Def. 5.1.2 (punkty współliniowe i współpłaszczyznowe)
1. Mówimy, e punkty A, B, C przestrzeni R3 s współliniowe, gdy istnieje prosta, do której nale
Rys. 5.1.4 Punkty A, B, C s współliniowe
te punkty (rys. 5.1.4).
2.
Mówimy, e punkty K, L, M, N przestrzeni R3 s współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której nale
punkty.
te
Rys. 5.1.5 Punkty K, L, M, N s współpłaszczyznowe
Def. 5.1.3 (wektory współliniowe i współpłaszczyznowe)
1. Mówimy, e wektory a , b s współliniowe, gdy istnieje prosta, w której zawarte s te wektory (rys. 5.1.6). Wektory
współliniowe b dziemy nazywa tak e wektorami równoległymi; piszemy wtedy a || b . Przyjmujemy, e wektor o jest
równoległy do dowolnego wektora.
Rys. 5.1.6 Wektory a , b s współliniowe
2.
Mówimy, e wektory u , v , w s współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte s
Przyjmujemy, e wektor o i dwa dowolne wektory s współpłaszczyznowe.
te wektory.
Rys. 5.1.7 Wektory u , v , w s współpłaszczyznowe
Def. 5.1.4 (działania na wektorach)
Niech u = ( x, y, z ) , w = ( x1 , y1 , z1 ) , v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) oraz niech α ∈ R. Sum wektorów w i v okre lamy wzorem:
def
w + v = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 , z1 + z 2 ) .
Ró nic wektorów w i v okre lamy wzorem:
def
w − v = ( x1 − x 2 , y1 − y 2 , z1 − z 2 ) .
Iloczyn wektora u przez liczb rzeczywist α okre lamy wzorem:
def
αu = (αx, αy, αz ) .
def
def
Dodatkowo przyjmujemy oznaczenia o = (0,0,0) oraz − u = (− x,− y,− z ) . Wektor o nazywamy wektorem zerowym, a
wektor − u wektorem przeciwmym do wektora u .
Fakt 5.1.5 (warunki równoległo ci i współpłaszczyznowo ci wektorów)
1. Mówimy, e wektory a i b s równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista α taka, e
b = αa .
2.
Mówimy, e wektory a , b , c s współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy istniej liczby rzeczywiste α i β takie, e
c = αa + βb .
Fakt 5.1.6 (własno ci dziła na wektorach)
Niech u , v , w b d wektorami w R3 oraz niech α, β ∈ R. Wtedy
1.
2.
dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym,tj. u + v = v + u ,
dodawanie wektorów jest działaniem ł cznym, tj. u + (v + w) = (u + v ) +
w,
wektor o jest elementem neutralnym dodawania, tj. u + o = u ,
wektor − u jest elementem przeciwnym do wektora u , tj. u + (−u ) = o ,
3.
4.
1⋅ u = u ,
(αβ )u = α ( βu ) ,
7. (α + β )u = αu + βu ) ,
8. α (u + v ) = αu + αv .
5.
6.
Fakt 5.1.7 (o własno ciach rzutów wektorów)
Niech u , v , w b d dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Ponadto niech l b dzie dowoln prost w przestrzeni.
Wtedy
1. rzut prostok tny sumy wektorów u , v na prost l jest równy sumie rzutów tych wektorów na t prost ,
rzut prostok tny iloczynu wektora w przez liczb α na prost l jest równy iloczynowi rzutu tego wektora na t prost
przez liczb α.
2.
Def. 5.1.8 (układ współrz dnych w przestrzeni)
Układem współrz dnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinaj ce si w jednym punkcie 0, które s
wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrz dnych oznaczamy przez Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a
płaszczyzny xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu współrz dnych.
Def. 5.1.9 (orientacja układu współrz dnych w przestrzeni)
W zale no ci od wzajemnego poło enia osi Ox, Oy, Oz układu współrz dnych wyró niamy dwie jego orientacje: układ
prawoskr tny (rys. 5.1.8) i układ lewoskr tny (rys. 5.1.9).
Rys. 5.1.8 Układ współrz dnych o orientacji
Rys. 5.1.9 Układ współrz dnych o orientacji
prawoskr tnej
lewoskr tnej
Uwaga. Nazwa układ prawoskr tny pochodzi z nast puj cej interpretacji: je eli praw r k umie cimy tak, aby kciuk
wskazywał dodatni cz
osi Oz, to zgi te palce wska kierunek obrotu od osi Ox do osi Oy. Podobn interpretacj ma układ
lewoskr tny.
Def. 5.1.10 (wersory na osiach układu współrz dnych)
Wektory i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz (rys. 5.1.8 i 5.1.9).
Def. 5.1.11 (długo wektora)
Długo wektora v = ( x, y, z ) jest okre lona wzorem:
def
v =
Uwaga. Długo
5.1.10).
x2 + y2 + z 2 .
wektora v = ( x, y , z ) jest równa odległo ci punktu P = (x,y,z) od pocz tku układu współrz dnych (rys.
Rys. 5.1.10 Interpretacja geometryczna długo ci wektora
Fakt 5.1.12 (własno ci długo ci wektora)
Niech u , v b d wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy
1.
u ≥ 0 , przy czym u = 0 ⇔ u = o
3.
u+v ≤ u + v
2.
αu = α ⋅ u
4.
u − v ≤ u −v
Uwaga. Nierówno 3 jest prawdziwa tak e dla dowolnej liczby składników. Nierówno t ze wzgl du na jej interpretacj
geometryczn nazywamy nierówno ci trójk ta (rys. 5.1.11). równo w tej nierówno ci jest mo liwa tylko wtedy, gdy u = o
lub v = o albo, gdy v = βu dla pewnego β > 0.
Rys. 5.1.11 Ilustracja nierówno ci trójk ta
Fakt 5.1.13 (poło enie punktu podziału odcinka)
Niech r1 oraz r2 b d wektorami wodz cymi odpowiednio punktów A i B. Punkt P podziału odcinka AB w stosunku 1 : λ,
gdzie λ > 0, ma wektor wodz cy
r=
λr1 + r2
1+ λ
.
Uwaga. Je eli r1 = ( x1 , y1 , z1 ), r2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , to współrz dne wektora r = ( x, y, z ) wyra aj si wzorami:
λx1 + x 2
1+ λ
λy1 + y 2 .
y=
1+ λ
λz1 + z 2
z=
1+ λ
x=
Rys. 5.1.12 Podział odcinka AB w stosunku 1 : λ
Fakt 5.1.14 (współrz dne rodka masy układu punktów materialnych)
Niech ri , gdzie 1 ≤ i ≤ k, b d wektorami wodz cymi punktów materialnych Pi o masach mi. Wektor wodz cy rodka masy C
tego układu punktów materialnych ma posta :
r=
m1 r1 + m 2 r2 + ... + m k rk
.
m1 + m 2 + ... + m k
Uwaga. Je eli ri = ( xi , yi , zi ) , gdzie 1 ≤ i ≤ k, to współrz dne wektora r = ( x, y, z ) wyra aj si wzorami:
x=
m1 x1 + m 2 x 2 + ... + m k x k
m1 + m 2 + ... + m k
y=
m1 y1 + m 2 y 2 + ... + m k y k .
m1 + m 2 + ... + m k
z=
m1 z1 + m 2 z 2 + ... + m k z k
m1 + m 2 + ... + m k
5.2 ILOCZYN SKALARNY
Def. 5.2.1 (iloczyn skalarny)
Niech u , v b d dowolnymi wektorami w R3. Iloczyn skalarny wektorów u i v okre lamy wzorem:
def
u v = u ⋅ v ⋅ cos ϕ ,
gdzie ϕ jest miar k ta mi dzy wektorami u i v (rys. 5.2.1).
Rys. 5.2.1 Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego
Uwaga. Miara k ta mi dzy wektorami niezerowymi u i v wyra a si wzorem:
ϕ = arc cos
u v
.
u⋅v
Rzut prostopadły wektora u na wektor v wyra a si wzorem:
w=
u v
v
2
⋅v .
Fakt 5.2.2 (wzór do obliczania iloczynu skalarnego)
Niech u = ( x1 , y1 , z1 ) oraz v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) b d wektorami w R3. Wtedy
u v = x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 .
Fakt 5.2.3 (własno ci iloczynu skalarnego)
Niech u , v , w b d dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy
3.
u v =v u,
(αu ) v = α (v u ) ,
(u + v ) w = u w + v w ,
4.
u u=u ,
5.
u v ≤u⋅v ,
1.
2.
2
6. wektory u i v s prostopadłe ⇔ u v = 0 .
Uwaga. Równo podana w punkcie 3 jest prawdziwa tak e dla dowolnej liczby wektorów składników. Równo
ci 5 jest mo liwa tylko wtedy, gdy wektory u i v s równoległe.
w nierówno-
5.3 ILOCZYN WEKTOROWY
Def. 5.3.1 (iloczyn wektorowy)
Niech u i v b d niewspółliniowymi wektorami w R3. Iloczynem wektorowym uporz dkowanej pary wektorów u i v
nazywamy wektor w , który spełnia warunki:
1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpi tej na wektorach u i v (rys. 5.3.1),
2. jego długo jest równa polu równoległoboku rozpi tego na wektorach u i v , tj. równa u ⋅ v ⋅ sin ϕ , gdzie ϕ jest miar
k ta mi dzy wektorami u i v ,
3. orientacja trójki wektorów u , v , w jest zgodna z orientacj układu współrz dnych Oxyz.
Iloczyn wektorowy pary wektorów u i v oznaczamy przez u × v . Je eli jeden z wektorów u , v jest wektorem zerowym lub
wektory te s współliniowe, to przyjmujemy, e u × v = o .
Rys.5.3.1 Wektor w jest iloczynem wektorowym wektorów u i v .
Fakt 5.3.2 (wzór do obliczania iloczynu wektorowego)
Niech u = ( x1 , y1 , z1 ) oraz v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) b d wektorami w R3. Wtedy
i
u × v = x1
x2
j
y1
y2
k
z1 ,
z2
gdzie i , j , k oznaczaj wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.
Fakt 5.3.3 (własno ci iloczynu wektorowego)
Niech u , v , w b d dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy
4.
u × v = −v × u ,
(αu ) × v = α (u × v ) ,
(u + v ) × w = u × w + v × w ,
u × (v + w) = u × v + u × w ,
5.
u×v ≤ u ⋅ v ,
1.
2.
3.
6. wektory u i v s równoległe ⇔ u × v = 0 .
Uwaga. Równo w nierówno ci 5 jest mo liwa tylko wtedy, gdy wektory u i v s prostopadłe. Iloczyn wektorów
zapisanych jako kombinacje liniowe wersorów i , j , k mo na obliczy stosuj c powy sze własno ci oraz wykorzystuj c
tabelk :
×
i
j
k
i
o
j
−k
j
k
k
o
− j
−i
i
o
Def. 5.3.4 (moment siły)
Momentem siły F przyło onej w punkcie P, wzgl dem punktu O nazywamy wektor M okre lony wzorem:
M = OP × F .
Rys. 5.3.2 Moment siły
5.4 ILOCZYN MIESZANY
Def. 5.4.1 (iloczyn mieszany)
Niech u , v , w b d wektorami w R3. Iloczyn mieszany uporz dowanej trójki wektorów u , v , w okre lamy wzorem:
def
(u , v , w) = (u × v )
w.
Fakt 5.4.2 (interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów)
Iloczyn mieszany wektorów u , v , w jest równy (z dokładno ci do znaku) obj to ci równoległo cianu V rozpi tego na
wektorach u , v , w (rys. 5.4.1).
V = (u , v , w) .
Rys. 5.4.1 Równoległo cian rozpi ty ma wektorach u , v , w
Fakt 5.4.3 (wzór do obliczania iloczynu mieszanego)
Niech u = ( x1 , y1 , z1 ) , v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , w = ( x 3 , y 3 , z 3 ) b d wektorami w R3. Wtedy
x1
(u , v , w) = x 2
x3
y1
y3
y3
z1
z2 .
z3
Fakt 5.4.4 (własno ci iloczynu mieszanego)
Niech u , v , w, r b d wektorami w R3 oraz niech α ∈ R. Wtedy
4.
(u , v , w) = (v , w, u ) ,
(u , v , w) = −(v , u , w) ,
(u + r , v , w) = (u , v , w) + (r , v , w) ,
(αu , v , w) = α (u , v , w) ,
5.
wektory u , v , w le
1.
2.
3.
6.
w jednej płaszczy nie ⇔
(u , v , w) = 0 ,
(u , v , w) ≤ u ⋅ v ⋅ w .
Uwaga. Równo w ostatniej nierówno ci jest mo liwa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z wektorów u , v , w jest zerowy
albo, gdy te wektory s wzajemnie prostopadłe.
Obj to
czworo cianu V o wierzchołkach A1 = (x1,y1,z1), A2 = (x2,y2,z2), A3 = (x3,y3,z3), A4 = (x4,y4,z4) wyra a si wzorem:
x1 y1 z1 1
V =
x
1
det 2
x3
6
x4
y2
y3
y4
z2 1 .
z3 1
z4 1
5.5 RÓWNANIA PŁASZCZYZNY
Fakt 5.5.1 (równanie normalne płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny π przechodz cej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodz cym r0 i prostopadłej do wektora
n = ( A, B, C ) ≠ o (rys. 5.5.1) ma posta :
π : (r − r0 ) n = 0 ,
gdzie r = ( x 0 , y 0 , z 0 ) jest wektorem wodz cym punktów przestrzeni. Wektor n nazywamy wektorem normalnym tej
płaszczyzny.
Rys. 5.5.1 Płaszczyzna π przechodzi przez punkt P0 i jest prostopadła do wektora n
W formie rozwini tej równanie płaszczyzny π przyjmuje posta :
π : A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 .
Powy sze zale no ci nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny.
Fakt 5.5.2 (równanie ogólne płaszczyzny)
Ka de równanie postaci:
π : Ax + By + Cz + D = 0 ,
gdzie |A| + |B| + |C| > 0, przedstawia płaszczyzn . Płaszczyzna ta ma wektor normalny n = ( A, B, C ) i przecina o Oz w
punkcie z = −
D
, o ile C ≠ 0 (rys. 5.5.2).
C
Rys. 5.5.2 Płaszczyzna π jest opisana przez równanie Ax + By + Cz + D = 0, C ≠ 0
Fakt 5.5.3 (równanie parametryczne płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny π przechodz cej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodz cym r0 i rozpi tej na niewspółliniowych
wektorach u = ( a1 , b1 , c1 ) i v = ( a2 , b2 , c2 ) (rys. 5.5.3) ma posta :
π : r = r0 + su + tv ,
lub inaczej:
gdzie s, t ∈ R
π : ( x, y, z ) = ( x 0 + y 0 + z 0 ) + s (a1 , b1 , c1 ) + t (a 2 , b2 , c 2 ) , gdzie s, t ∈ R.
W formie rozwini tej równanie tej płaszczyzny przyjmuje posta :
x = x 0 + sa1 + ta 2
π : y = y 0 + sb1 + tb2
, gdzie s, t ∈ R.
z = z 0 + sc1 + tc 2
Powy sze zale no ci nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.
Rys. 5.5.3 Płaszczyzna π przechodzi przez punkt P0 i jest równoległa do wektorów u i v
Fakt 5.5.4 (równanie płaszczyzny przechodz cej przez 3 punkty)
Równanie płaszczyzny π przechodz cej przez 3 niewspółliniowe punkty Pi = (xi,yi,zi), gdzie 1 ≤ i ≤ 3, (rys. 5.5.4) ma posta :
π:
x
x1
y
y1
z
z1
1
1
x2
x3
y2
y3
z2 1
z3 1
= 0.
Rys. 5.5.4 Płaszczyzna wyznaczona przez trzy punkty
Fakt 5.5.5 (równanie odcinkowe płaszczyzny)
Równanie płaszczyzny π odcinaj cej na osiach Ox, Oy, Oz układu współrz dnych odpowiednio odcinki (zorientowane)
a, b, c ≠ 0 (rys. 5.5.5) ma posta :
π:
Powy sz zale no
x y z
+ + = 1.
a b c
nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.
Rys. 5.5.5 Płaszczyzna odcinaj ca na osiach układu odcinki a, b, c
5.6 RÓWNANIA PROSTEJ
Fakt 5.6.1 (równanie parametryczne prostej)
Równanie prostej l przechodz cej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) o wektorze wodz cym r0 i wyznaczonej przez niezerowy wektor
kierunku v = (a, b, c ) (rys. 5.6.1) ma posta :
l : r = r0 + tv , gdzie t ∈ R
lub inaczej:
Powy sz zale no
l : ( x, y, z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + t (a, b, c) , gdzie t ∈ R.
nazywamy równaniem parametrycznym prostej w postaci wektorowej.
Rys. 5.6.1 Prosta l przechodzi przez punkt P0 i jest równoległa do wektora v
Po rozpisaniu na współrz dne parametryczne prosta przyjmuje posta :
x = x 0 + at
l : y = y 0 + bt , gdzie t ∈ R.
z = z 0 + ct
Fakt 5.6.2 (równanie kierunkowe prostej)
Równanie prostej l przechodz cej przez punkt P0 = (x0,y0,z0) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v = (a, b, c ) (rys.
5.6.2) ma posta :
l:
x − x0 y − y 0 z − z 0
.
=
=
a
b
c
Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym.
Rys. 5.6.2 Prosta l przechodzi przez punkt P0 i jest równoległa do wektora v
Uwaga. Poniewa jest to zapis umowny równania prostej, w mianownikach powy szych ułamków mog wyst pi zera.
Fakt 5.6.3 (równanie kraw dziowe prostej)
Równanie prostej l, która jest cz ci wspóln
dwóch nierównoległych płaszczyzn π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ,
π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 (rys. 5.6.3), ma posta :
l:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
.
Ten sposób zapisu prostej nazywamy jej równaniem kraw dziowym.
Uwaga. Wektor kierunkowy v prostej l ma posta v = n1 × n2 , gdzie n1 = ( A1 , B1 , C1 ) , n2 = ( A2 , B2 , C2 ) .
Rys. 5.6.3 Prosta l jest cz ci wspóln płaszczyzn π1 i π2
5.7 WZAJEMNE POŁO ENIA PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN
Def. 5.7.1 (rzut punktu na płaszczyzn i na prost )
Rzutem prostopadłym punktu P na płaszczyzn π nazywamy punkt P/ tej płaszczyzny (rys. 5.7.1) spełniaj cy warunek:
PP / ⊥π .
Rys. 5.7.1 Rzut prostopadły P/ punktu P na płaszczyzn π oraz odległo
d punktu P od tej płaszczyzny
Podobnie rzutem prostopadłym punktu P na prost l nazywamy punkt P/ tej prostej (rys. 5.7.2) spełniaj cy warunek:
PP / ⊥l .
Rys. 5.7.2 Rzut prostopadły P/ punktu P na prost l oraz odległo
d punktu P od tej prostej
Uwaga. W podobny sposób definiuje si rzut uko ny punktu na płaszczyzn lub prost w kierunku ustalonego wktora.
Fakt 5.7.2 (odległo punktu od płaszczyzny)
Odległo d punktu P0 = (x0,y0,z0) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyra a si wzorem:
d=
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A2 + B 2 + C 2
.
Uwaga. Odległo punktu P od płaszczyzny π jest równa długo ci odcinka PP/, gdzie P/ jest rzutem prostopadłym punktu P na
płaszczyzn π (rys. 5.7.1). Podobnie, odległo punktu P od prostej l jest równa długo ci odcinka PP/, gdzie P/ jest rzutem
prostopadłym punktu P na prost l (rys. 5.7.2).
Fakt 5.7.3 (odległo płaszczyzn równoległych)
Odległo d mi dzy płaszczyznami równoległymi π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 (rys. 5.7.3)
wyra a si wzorem:
d=
D1 − D 2
A2 + B 2 + C 2
.
Rys. 5.7.3 Odległo
mi dzy płaszczyznami π1 i π2
Def. 5.7.4 (k t nachylenia prostej do płaszczyzny)
K tem nachylenia prostej l do płaszczyzny π nazywamy k t ostry α mi dzy prost l, a jej rzutem prostopadłym l/ na
płaszczyzn π (rys. 5.7.4). Je eli prosta l jest równoległa do płaszczyzny π, to przyjmujemy, e k t jej nachylenia do tej
płaszczyzny jest równy 0.
Rys. 5.7.4 K t nachylenia prostej l do płaszczyzny π
Fakt 5.7.5 (miara k ta nachylenia prostej do płaszczyzny)
K t nachylenia ϕ prostej o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny o wektorze normalnym n wyra a si wzorem:
ϕ = arc cos
n×v
n⋅v
lub
ϕ=
π
2
− arc cos
n v
n⋅v
.
Def. 5.7.6 (k t mi dzy prostymi)
K tem mi dzy prostymi nazywamy k t ostry utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych (rys. 5.7.5). Przyjmujemy, e
k t mi dzy prostymi równoległymi jest równy 0.
Rys. 5.7.5 K t mi dzy prostymi przecinaj cymi si oraz mi dzy prostymi sko nymi
Fakt 5.7.7 (miara k ta mi dzy prostymi)
Miar k ta ϕ mi dzy prostymi o wektorach kierunkowych v1 i v2 wyra a si wzorem:
ϕ = arc cos
v1 v 2
v1 ⋅ v 2
.
Def. 5.7.8 (k t mi dzy płaszczyznami)
K tem mi dzy płaszczyznami nazywamy k t ostry mi dzy wektorami normalnymi tych płaszczyzn (rys. 5.7.6). Przyjmujemy,
e k t mi dzy płaszczyznami równoległymi jest równy 0.
Rys. 5.7.6 K t mi dzy płaszczyznami
Fakt 5.7.9 (miara k ta mi dzy płaszczyznami)
Miar k ta ϕ mi dzy płaszczyznami π1 i π2 o wektorach normalnych odpowiednio n1 i n2 wyra a si wzorem:
ϕ = arc cos
n1 n 2
n1 ⋅ n 2
.
6. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZY NIE
6.1 PROSTA NA PŁASZCZY NIE
Fakt 6.1.1 (równanie prostej)
1. Równanie prostej l przechodz cej przez punkt P0 = (x0,y0) i nachylonej od dodatniej cz ci osi Ox pod k tem α (rys. 6.1.1)
ma posta :
l : y − y 0 = tg α ( x − x 0 ) .
Rys. 6.1.1
2.
3.
Rys. 6.1.2
Równanie prostej l przechodz cej przez punkty P1 = (x1,y1), P2 = (x2,y2) (rys. 6.1.2) ma posta :
l : ( x 2 − x1 )( y − y1 ) = ( y 2 − y1 )( x − x1 ) .
Równanie prostej l odcinaj cej na osiach Ox i Oy odcinki (skierowane) o długo ciach odpowiednio a i b, gdzie ab ≠ 0,
(rys. 6.1.3) ma posta :
l:
Jest to tzw. równanie odcinkowe prostej.
x y
+ = 1.
a b
Rys. 6.1.3
4.
Rys. 6.1.4
Równanie prostej l przechodz cej przez punkt P0 = (x0,y0) i maj cej wektor normalny n = ( A, B ) ≠ 0 (rys. 6.1.4) ma
posta :
l : A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) = 0 .
Jest to tzw. równanie normalne prostej.
Rys. 6.1.5
5.
Rys. 6.1.6
Równanie parametryczne prostej l przechodz cej przez punkty P1 = (x1,y1), P2 = (x2,y2) (rys. 6.1.5) ma posta :
l:
6.
x = x1 + ( x 2 − x1 )t
y = y1 + ( y 2 − y1 )t
, t ∈ R.
Równanie parametryczne (posta wektorowa) prostej l przechodz cej przez punkt P0 o wektorze wodz cym r0 i maj cej
kierunek zadany przez wektor v (rys. 6.1.6) ma posta :
l : r = r0 + tv , t ∈ R,
gdzie r jest promieniem wodz cym punktu P płaszczyzny.
Fakt 6.1.2 (warunki równoległo ci prostych)
1. Proste l1: A1x + B1y + C1 = 0, l2: A2x + B2y + C2 = 0 s równoległe wtedy i tylko, gdy
A1 B 2 − A2 B1 = 0 .
2. Proste l1: y = m1x + b1, l2: y = m2x + b2 s równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy m1 = m 2 .
3. Proste l1 : r = r1 + tv1 , t ∈ R, l2 : r = r2 + tv2 , t ∈ R, s równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy v1 = kv 2 dla pewnego k ≠ 0.
Rys. 6.1.7 Proste równoległe
Fakt 6.1.3 (warunki prostopadło ci prostych)
1. Proste l1: A1x + B1y + C1 = 0, l2: A2x + B2y + C2 = 0 s prostopadłe wtedy i tylko, gdy
A1 A2 + B1 B2 = 0 .
2. Proste l1: y = m1x + b1, l2: y = m2x + b2 s prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy m1 m 2 = −1 .
3. Proste l1 : r = r1 + tv1 , t ∈ R, l2 : r = r2 + tv2 , t ∈ R, s prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy v1 v 2 = 0 .
Rys. 6.1.8 Proste prostopadłe
Fakt 6.1.4 (k t mi dzy prostymi)
1. Miara k ta ostrego ϕ utworzonego przez proste l1: A1x + B1y + C1 = 0, l2: A2x + B2y + C2 = 0 wyra a si wzorem:
A1 A2 + B1 B2
ϕ = arc cos
2.
( A1 ) + ( B1 ) 2 ( A2 ) 2 + ( B2 ) 2
2
.
Miara k ta ostrego ϕ utworzonego przez proste l1: y = m1x + b1, l2: y = m2x + b2 wyra a si wzorem:
ϕ = arctg
Je eli m1m2 = – 1, to przyjmujemy, e ϕ =
π
2
m1 − m 2
.
1 + m1 m 2
.
Rys. 6.1.9 K t ostry mi dzy prostymi l1 i l2
Fakt 6.1.5 (odległo ci punktów i prostych)
1. Odległo d punktów P1 = (x1,y1), P2 = (x2,y2) wyra a si wzorem:
d = P1 P2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 .
Rys. 6.1.10 Odległo
punktów P1 i P2
Rys. 6.1.11 Odległo
punktu P0 od prostej l
2.
Odległo
d punktu P0 = (x0,y0) od prostej l: Ax + By + C = 0 wyra a si wzorem:
d = d ( P0 , l ) =
3.
Odległo
Ax 0 + By 0 + C
A2 + B 2
.
d prostych l1: A1x + B1y + C1 = 0, l2: A2x + B2y + C2 = 0 wyra a si wzorem:
d = d (l1 , l 2 ) =
Rys. 6.1.12 Odległo
C1 − C 2
A2 + B 2
.
dwóch prostych równoległych
6.2 PRZEKSZTAŁCENIA PŁASZCZYZNY
Fakt 6.2.1 (przekształcenia płaszczyzny)
1. Współrz dne punktu P/ otrzymanego w wyniku przesuni cia punktu P = (x,y) o wektor v = (a, b) wyra aj si wzorami:
P/ :
x/ = x
y/ = −y
P // :
,
Rys. 6.2.3 Symetria wzgl dem pocz tku układu
współrz dnych
y // = y
.
x / = −x
y/ = −y
.
Rys. 6.2.4 Obrót wokół pocz tku układu współrz dnych o
k tα
Współrz dne punktu P/ otrzymanego w wyniku obrotu punktu P = (x,y) wokół pocz tku układu współrz dnych o k t α (w
kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) wyra aj si wzorami:
P/ :
5.
x // = − x
Współrz dne punktu P/ otrzymanego w wyniku symetrii punktu P = (x,y) wzgl dem pocz tku układu współrz dnych
wyra aj si wzorami:
P/ :
4.
.
Współrz dne punktów P/ i P// otrzymanych w wyniku symetrii punktu P = (x,y) odpowiednio wzgl dem osi Ox i Oy
wyra aj si wzorami:
P/ :
3.
y/ = y + b
Rys. 6.2.2 Symetrie wzgl dem osi układu współrz dnych
Rys. 6.2.1 Przesuni cie punktu P o wektor v
2.
x/ = x + a
x / = x cos α − y sin α
y / = x sin α + y cos α
.
Współrz dne punktów P/ i P// otrzymanych w wyniku podobie stw (powinowactw) punktu P = (x,y) w skali k wzgl dem
odpowiednio osi Ox i Oy wyra aj si wzorami:
P/ :
x/ = x
y / = ky
P // :
,
Rys. 6.2.5 Podobie stwo w skali k=-1/2 wzgl dem osi
Ox oraz podobie stwo w skali k=1/3 wzgl dem osi Oy
6.
x // = kx
y // = y
.
Rys. 6.2.6 Jednokładno w skali k=2 wzgl dem
pocz tku układu współrz dnych
Współrz dne punktu P/ otrzymanego w wyniku jednokładno ci (podobie stwa) punktu P = (x,y) w skali k wzgl dem
pocz tku układu współrz dnych wyra aj si wzorami:
P/ :
x / = kx
y / = ky
.
Fakt 6.2.2 (równania krzywych przesuni tych i obróconych)
1. Niech Γ oznacza zbiór punktów (x,y) ∈ R2 spełniaj cych równanie F(x,y) = 0. Wtedy zbiór Γ/ otrzymany w wyniku
przesuni cia zbioru Γ o wektor v = (a, b) jest opisany przez równanie:
Γ / : F ( x − a, y − b) = 0 .
Rys. 6.2.7 Zbiór Γ/ powstał w wyniku przesuni cia zbior Γ o wektor v
2.
Niech Γ oznacza zbiór punktów (x,y) ∈ R2 spełniaj cych równanie F(x,y) = 0. Wtedy zbiór Γ/ otrzymany w wyniku obrotu
zbioru Γ wokół pocz tku układu współrz dnych o k t α jest opisany przez równanie:
Γ / : F ( x cos α + y sin α ,− x sin α + y cos α ) = 0 .
Rys. 6.2.8 Zbiór Γ/ powstał ze zbioru Γ w wyniku jego obrotu wokół pocz tku układu współrz dnych o k t α
Uwaga. Podobn posta maj równania zbiorów Γ/ otrzymanych w wyniku zastosowania do zbioru Γ = {(x,y)∈R2: F(x,y) = 0}
pozostałych przekształce płaszczyzny, tj. symetrii osiowej lub punktowej, podobie stwa wzgl dem prostej lub punktu.
6.3 KRZYWE STO KOWE
Def. 6.3.1 (okr g)
Okr giem o rodku w punkcie O i promieniu r > 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny poło onych w odległo ci r od
punktu O (rys. 6.3.1).
Rys. 6.3.1 Okr g o rodku w punkcie O i promieniu r
Fakt 6.3.2 (równanie okr gu)
Równanie okr gu o rodku w pocz tku układu współrz dnych i promieniu r > 0 ma posta :
x2 + y 2 = r 2 .
Def 6.3.3 (elipsa)
Elips o ogniskach w punktach F1, F2 oraz o du ej osi 2a, gdzie 2a > 2c = |F1F2|, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny,
których suma odległo ci od ognisk F1 i F2 jest stała i równa 2a (rys. 6.3.2)
PF1 + PF2 = 2a .
Rys. 6.3.2 Elipsa o ogniskach F1 i F2
Fakt 6.3.4 (równanie elipsy)
Równanie elipsy o rodku w pocz tku układu współrz dnych i półosiach a > 0 i b > 0 ma posta :
Zale no
x2 y2
+
=1.
a2 b2
mi dzy półosiami a, b oraz ogniskow c elipsy ma posta :
a2 − b2 = c2 .
Def. 6.3.5 (hiperbola)
Hiperbol o ogniskach w punktach F1, F2 oraz o du ej osi 2a, gdzie 2a < 2c = |F1F2|, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny,
których warto bezwzgl dna ró nicy odległo ci od ognisk F1 i F2 jest stała i równa 2a (rys. 6.3.3)
PF1 − PF2 = 2a .
Rys. 6.3.3 Hiperbola o ogniskach F1 i F2
Fakt 6.3.6 (równanie hiperboli)
Równanie hiperboli o rodku w pocz tku układu współrz dnych i półosiach rzeczywistej a > 0 i urojonej b > 0 ma posta :
Zale no
x2 y2
−
=1.
a2 b2
mi dzy półosiami a, b oraz ogniskow c hiperboli ma posta :
a2 + b2 = c2 .
Asymptoty hiperboli maj równania:
l: y=
b
x,
a
l/ : y = −
b
x.
a
Def. 6.3.7 (parabola)
Parabol o ognisku w punkcie F i kierownicy k, nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległo
równa ich odległo ci od kierownicy (rys. 6.3.4).
PF = PK = d ( P, k ) .
od ogniska jest
Rys. 6.3.4 Parabola o ognisku F i kierownicy k
Fakt 6.3.8 (równania paraboli)
1.
Równanie paraboli, której ognisko F ma współrz dne
p
p
ma
,0 , gdzie p ≠ 0, a kierownica k ma równanie x = −
2
2
posta :
y 2 = 2 px .
2.
Równanie y = ax 2 + bx + c , gdzie a ≠ 0, przedstawia parabol . Osi tej paraboli jest prosta x = −
b
, a wierzchołek
2a
W = ( xw , yw ) ma współrz dne okre lone wzorami:
xw = −
b
∆
2
, yw = −
, gdzie ∆ = b − 4ac .
2a
4a
Je eli a > 0, to parabola ma ramiona skierowane do góry, a dla a < 0 na dół.
Rys. 6.3.5 Parabola o równaniu y = ax2 + bx + c, gdzie a ≠ 0
Uwaga. Okr g, elips , parabol i hiperbol nazywamy krzywymi sto kowymi, gdy ka da z nich jest przekrojem powierzchni
bocznej sto ka pewn płaszczyzn .
Fakt 6.3.9 (równania parametryczne krzywych sto kowych)
1. Równanie parametryczne elipsy E o rodku w pocz tku układu współrz dnych i półosiach a > 0, b > 0 ma posta
E:
2.
x = a cos t
, t ∈ [0,2π).
y = b sin t
Gdy przyjmiemy a = b = r, to otrzymany równanie parametryczne okr gu.
Równanie paramrtryczne hiperboli H o rodku w pocz tku układu współrz dnych i półosi rzeczywistej a > 0 oraz półosi
urojonej b > 0 ma posta :
H:
x = ± acht
, t ∈ R.
y = bsht
Uwaga. Przyjmuj c we wzorze znak „+” otrzymamy praw gał
hiperboli, a przyjmuj c znak „–” otrzymamy lew gał .
Fakt 6.3.10 (równania stycznych do krzywych sto kowych)
1. Równanie stycznej s do okr gu O: x2 + y2 = r2 wystawionej w punkcie P1 = (x1,y1) nale cym do tego okr gu ma posta :
s : x1 x + y1 y = r 2 .
Rys. 6.3.6 Styczna do okr gu O w punkcie P1
2.
Równanie stycznej s do elipsy E :
x2 y2
+
= 1 wystawionej w punkcie P1 = (x1,y1) nale cym do tej elipsy ma posta :
a2 b2
s:
x1 x y1 y
+ 2 = 1.
a2
b
Rys. 6.3.7 Styczna do elipsy E w punkcie P1
3.
Równanie stycznej s do hiperboli H :
posta :
x2 y2
−
= 1 wystawionej w punkcie P1 = (x1,y1) nale cym do tej hiperboli ma
a 2 b2
s:
x1 x y1 y
− 2 =1.
a2
b
Rys. 6.3.8 Styczna do hiperboli h w punkcie P1
4.
Równanie stycznej s do paraboli P: y2 = 2px wystawionej w punkcie P1 = (x1,y1) nale cym do tej paraboli ma posta :
s : y1 y = p ( x + x1 ) .
Rys. 6.3.9 Styczna do paraboli P w punkcie P1