II semestr

II semestr
Jan Kubarski
2
0.1
Funkcje wielu zmiennych, granice
De…nition 0.1.1 Kaz·da¾funkcje¾ f : A ! R określona¾na podzbiorze A
nazywamy funkcja¾n-zmiennych.
Rn
Np. Funkcja f (x; y) = x y jest funkcja¾2 zmiennych, tak samo jak funkcja
f (x; y) = x:
Funkcja określona na zbiorze pustym f : ; ! R nosi nazw¾
e funkcji pustej.
Funkcja taka jest tylko jedna. Funkcje
f (x; y) = ln x2 y 2 ;
p
g (x; y) =
sin (x + y) 2
przedstawiaja¾ funkcje¾ pusta.
¾
Przypomnijmy, z·e punkt x0 jest punktem skupienia zbioru A
w A moz·na znaleźć ciag
¾ punktów zbiez·ny do x0 :
Rn jez·eli
De…nition 0.1.2 Niech f : A ! R bedzie
¾
funkcja¾ n-zmiennych (A
Rn )
zaś x0 –punktem skupienia zbioru A: Mówimy, z·e granica¾ n-krotna¾ funkcji
f (x) w punkcie x0 jest liczba jez·eli
8">0 9
>0 8x2A
(d (x; x0 ) <
) jf (x)
j < ):
Zapisujemy
lim f (x) = ;
x!x0
lub
lim f x1 ; :::; xn = :
x1 !x10
x2 !x20
::::::::
xn !xn
0
Dla granic wielokrotnych zachodza¾ takie same prawa rachunku granic
(granica sumy, róz·nicy, iloczynu, ilorazu) jak dla granic funkcji jednej zmiennej.
Remark 0.1.3 Przyroda granic w÷a´sciwych lub niew÷a´sciwych w punktach
”niesko´nczonych” dla funkcji wielu zmiennych jest o wiele bogatsza, bowiem
wystepuj
¾ a¾ granice w punktach w których pewne wspó÷rzedne
¾
sa¾ sko´nczone a
pewne niesko´nczone. Np.
lim f (x; y) =
x!a
y!1
()
0.1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH, GRANICE
, 8">0 9
>0 9L 8(x;y)
(jx
aj <
3
i y > L ) jf (x; y)
j < ):
Analogicznie mo·zna okre´sli´c inne granice podwójne, potrójne, itp. (cze¾´sciowo
w÷a´sciwe a cze¾´sciowo niew÷a´sciwe). Obliczanie granic wielokrotnych na ogó÷
jest trudniejsze od obliczania granic pojedy´nczych.
Example 0.1.4 Obliczyć
x2 y 2
lim
:
x!0 x2 + y 2
y!0
Wymaga to pewnego oszacowania.
0
2 jxj jyj
1
2
x + y2
(jxj jyj)2 = x2 + y 2
x2 + y 2
1
:
2 jxj jyj
2 jxj jyj
Stad
¾
0
x2 y 2
x!0 x2 + y 2
y!0
lim
x2 y 2
jxj jyj
= lim
= 0:
x!0 2 jxj jyj
x!0
2
y!0
y!0
lim
Oprócz granic wielokrotnych wyz·ej opisanych spotykamy tez·granice otrzymane w wyniku kolejnych przejść granicznych wykonanych oddzielnie dla
kaz·dej zmiennej w pewnej kolejności, zwane granicami iterowanymi. Np. dla
n = 2 mamy dwie granice iterowane
lim lim f (x; y) ;
y!b x!a
lim lim f (x; y) :
x!a y!b
Okazuje sie,
¾ z·e nie ma zwiazku
¾
miedzy
¾
istnieniem i wartościa¾ granicy
wielokrotnej a granicami iterowanymi.
Example 0.1.5 Dla funkcji
f (x; y) =
x y
x+y
mamy: dziedzina x 6= y; czyli p÷aszczyzna z wyciet
¾ a¾ prosta¾ y =
(0; 0) jest oczywi´scie punktem skupienia dziedziny
x y
= 1;
x!0 y!0 x + y
lim lim
x y
=
y!0 x!0 x + y
lim lim
1;
x; punkt
4
granica podwójna nie istnieje
lim f (x; y) = lim 1 =
x=0
y!0
y!0
lim = lim 1 = 1 6=
x!0
y=0
x!0
1 (granica po osi OY )
1 (granica po osi OX).
Granica podwójna nie istnieje bo zale·zy od sposobu zbiegania do punktu granicznego.
De…nition 0.1.6 Niech f : A ! R bedzie
¾
funkcja¾ n-zmiennych (A
Rn )
zaś punkt x0 niech bedzie
¾
punktem skupienia zbioru A: Mówimy, z·e funkcja
f jest ciag÷
¾ a w punkcie x0 jez·eli ma granice¾ w tym punkcie równa¾ wartości
funkcji w tym punkcie:
lim f (x) = f (x0 ) :
x!x0
Punkt dziedziny który nie jest punktem skupienia (punkt taki nazywamy
¾ ości.
punktem izolowanym) uznajemy z de…nicji za punkt ciag÷
Dzia÷
ania dodawania, odejmowania, iloczynu, ilorazu, superpozycji wykonane skończona¾ ilość razy na funkcjach ciag÷
¾ ych daja¾ funkcje ciag÷
¾ e. Analogonem w÷
asności Weierstrassa dla funkcji ciag÷
¾ ych wielu zmiennych jest
Theorem 0.1.7 (W÷
asność Weierstrassa) Ka·zda funkcja ciag÷
¾ a na zbiorze
zwartym jest funkcja¾ograniczona¾i przyjmuje swoje kresy.
0.2
Pochodne kierunkowe i czastkowe
¾
De…nition 0.2.1 Niech funkcja f (x) = f (x1 ; :::; xn ) bedzie
¾
dana¾ funkcja¾
n-zmiennych rzeczywistych określona¾ w otoczeniu punktu x0 = (x10 ; :::; xn0 ).
Weźmy dowolny wektor h = [h1 ; :::; hn ] (czesto
¾
oznaczamy go innym sym1
n
bole x = [[ x ; :::; x ]). Pochodna¾kierunkowa¾funkcji f w punkcie x0 w
kierunku wektora h nazywamy granice¾
fh0 (x0 )
f (x0 + t h) f (x0 )
= lim
t!0
t
f (x10 + t h1 ; :::; xn0 + t hn )
= lim
t!0
t
f (x10 ; :::; xn0 )
:
0.2. POCHODNE KIERUNKOWE I CZASTKOWE
¾
5
Jest to pochodna w punkcie t = 0 funkcji ' (t) zmiennej t określonej wzorem
' (t) = f (x0 + t h) ;
d
fh0 (x0 ) =
' (t) = '0 (0)
dt t=0
' (t) ' (0)
= lim
:
t!0
t
e, iloczyn,
Dla pochodnych kierunkowych fh0 (x0 ) zachodza¾ wzory na sum¾
iloraz funkcji –analogiczne jak dla funkcji jednej zmiennej ((f + g)0h (x0 ) =
fh0 (x0 ) + gh0 (x0 ) ; itp.).
Example 0.2.2 We´zmy f (x; y) = x + y 2 ; (x0 ; y0 ) = (1; 1) ; h = [1; 2] :
0
f[1;2]
(1; 1)
f (1 + t 1; 1 + t 2) f (1; 1)
= lim
t!0
t
4t2 + 5t
1 + t + (1 + 2t)2 2
= lim
= 5:
= lim
t!0
t!0
t
t
Lub
=
=
0
' (t) =
0
f[1;2] (1; 1) =
' (t)
f ((1; 1) + t [1; 2]) = f (1 + t; 1 + 2t)
1 + t + (1 + 2t)2 = 4t2 + 5t + 2;
8t + 5;
'0 (0) = 5:
Example 0.2.3 Obliczy´c pochodne kierunkowe funkcji
f (x; y) =
xy
x2 +y 2
(x; y) 6= (0; 0) ;
(x; y) = (0; 0) ;
0
w punkcie (0; 0) w kierunku h1 = [1; 0] oraz h2 = [1; 1] :
0
f[1;0]
(0; 0) = lim
f (t; 0)
t
t!0
= lim
f (0; 0)
0
0
= 0;
t
f (t; t) f (0; 0)
0
(0; 0) = lim
f[1;1]
t!0
t
t2
1
2
2
= lim t +t = lim
nie istnieje.
t!0
t!0 2t
t
t!0
6
De…nition 0.2.4 Pochodna¾kierunkowa¾w kierunku wersora i-tej osi h = ei =
¾
a¾ funkcji f po i–tej
[0; :::; 0; 1;0; :::; 0; 0; :::; 0] nazywamy pochodna¾ czastkow
| {z }
i
zmiennej i oznaczamy
@f
(x0 )
@xi
o ile nazwami zmiennych sa¾x1 ; :::; xn ;
lub fjxi (x0 ) ; lub fxi (x0 ) ; lub
fji (x0 ) :
Tzn.
@f
(x0 )
@xi
f (x0 + t ei ) f (x0 )
= lim
t!0
t
i
1
f (x0 ; :::; x0 + t; :::xn0 ) f (x10 ; :::; xn0 )
= lim
:
t!0
t
Jest to zwyk÷
a pochodna po zmiennej i-tej traktujac
¾ pozosta÷
e zmienne jako
parametry.
Example 0.2.5
2
f (x; y; z) = xyex z ;
@f
2
2
fx =
= yex z + xyex z 2xz;
@x
@f
2
= xex z ;
fy =
@y
@f
2
fz =
= xyex z x2 ;
@z
@2f
@ @f
@
2
fxy =
:=
=
xex z
@x@y
@x @y
@x
2
2
x2 z
x2 z
= e + xe 2xz = ex z + 2x2 zex z ;
@2f
@ @f
@
2
2
fyx =
:=
=
yex z + xyex z 2xz
@y@x
@y @x
@y
2
2
= ex z + 2x2 zex z :
0.3. KONSEKWECJE CIAG×
¾ OŚCI POCH. CZAST.
¾
0.3
7
Konsekwecje ciag÷
¾ ości pochodnych czastkowych
¾
@f
Theorem 0.3.1 Je´sli pochodne czastkowe
¾
sa¾funkcjami ciag÷
¾ ymi, to pochodna
@xi
0
kierunkowa fh istnieje w ka·zdym kierunku i wyra·za sie¾ wzorem
@f
@f
n
+
:::
+
h
@x1
@xn
@f
@f
h1 ; :::; hn :
; :::; n
1
@x
@x
fh0 = h1
=
(1)
Ze wzoru wynika dalej ciag÷
¾ o´s´c pochodnej kierunkowej fh0 (x) dla ka·zdego
ustalonego wektora h: (W ostatnim wzorze wystepuje
¾
iloczyn skalarny wektorów)
Proof. Pominiemy.
Example 0.3.2 Sprawdzimy powy·zszy wzór dla funkcji f (x; y) = xy + y 2 :
We´zmy wektor h = [ x; y] :
f[0
(x; y)
f (x + t
x; y + t
= lim
t!0
t
(x + t
x) (y + t
= lim
x; y]
y)
y) + (y + t
t
x
y + 2y
t!0
= lim x
t!0
y+y
f (x; y)
x+t
y)2
xy
y2
y + t ( y)2
= x
y+y
x + 2y
y
=
x y + y (x + 2y) :
Z drugiej strony
@f
= y;
@x
@f
= x + 2y:
@x
Stad
¾
@f
+ y x + 2y
@x
x y + y (x + 2y) :
x
=
Z za÷
oz·enia ciag÷
¾ ości pochodnych czastkowych
¾
wynikaja¾ tez· dalsze konsekwencje.
8
Theorem 0.3.3 (Twierdzenie Schwarza) Je´sli wszystkie pochodne czastkowe
¾
@2f
drugiego rzedu
¾ @xi @xj sa¾funkcjami ciag÷
¾ ymi, to
@2f
@2f
=
;
@xi @xj
@xj @xi
tzn. (niezale·zno´s´c od kolejno´s´ci ró·zniczkowania).
Example 0.3.4 Wiele praw …zyki ma posta´c równa´n z pochodnymi czastkowymi.
¾
(1) Równanie ciep÷
a. Niech B bedzie
¾
jednorodnym …zycznie cia÷em i
T (x; y; z; t) temperatura¾cia÷a w punkcie (x; y; z) w chwili t: Fourier pokaza÷
- w oparciu o zasade¾ zachowania energii - ·ze T musi spe÷nia´c równanie
ró·zniczkowe (zwane równaniem ciep÷a)
k (Txx + Tyy + Tzz ) = Tt ;
gdzie k jest sta÷¾
a zwana¾ wspó÷czynnikiem przewodnictwa cieplnego cia÷a B (
@2T
Txx = @x2 ; itd).
(2) Równanie Laplace’a. Potencja÷grawitacyjny V (x; y; z) dla masy
m w punkcie (x; y; z) w polu grawitacyjnym wytworzonym przez mase¾ M w
. Spe÷nia
poczatku
¾ uk÷adu wspó÷rzednych
¾
jest równy V (x; y; z) = p GmM
2
2
2
x +y +z
on równanie Laplace’a
Vxx + Vyy + Vzz = 0:
(3) Równanie Poissona. W przypadku, gdy M jest masa¾ przestrzennego cia÷a B i (x; y; z) le·zy w jego wnetrzu,
¾
to V spe÷nia równanie Poissona
Vxx + Vyy + Vzz =
4
;
gdzie jest gesto
¾ ´scia¾masy przyciagaj
¾ acego
¾
cia÷a B:
(4) Równanie falowe. Bernoulli a potem d’Alembert odkryli równanie
opisujace
¾ fale¾ f (x; y; z; t) (d´zwiekow
¾ a,¾ wodna,¾ drgajac
¾ a¾strune,...)
¾
fxx + fyy + fzz = c2 ftt :
(5) Równanie Korteweg-de Vries (KdV w skrócie).
opisujace
¾ fale¾ wodna¾u (x; t) w p÷ytkiej wodzie
ut + uxxx + u ux = 0:
Rozwiazania
¾
(niektóre) tego równania nazywane sa¾solitonami.
Równanie
0.4. GRADIENT A POCHODNA KIERUNKOWA
0.4
9
Gradient a pochodna kierunkowa
De…nition 0.4.1 Gradientem funkcji f (x; y; z) w punkcie x0 = (x0 ; y0 ; z0 )
nazywamy wektor
@f
@f
@f
(x0 ) ;
(x0 ) ;
(x0 )
@x
@y
@z
@f
@f
@f
(x0 ) i +
(x0 ) j +
(x0 ) k
=
@x
@y
@z
(rf )x =
gdzie i = [1; 0; 0] ; j = [0; 1; 0] ; k = [0; 0; 1] oznaczaja wersory osi wspó÷
rzed¾
nych. Dla funkcji 2-zmiennych f (x; y) bedzie
¾
to wektor
@f
@f
(x0 ) ;
(x0 )
@x
@y
@f
@f
=
(x0 ) i +
(x0 ) j:
@x
@y
(rf )x =
h
i
@f @f
Zmieniajac
¾ punkt x0 otrzymamy pole wektorowe rf = @f
;
;
–gradi@x @y @z
ent funkcji f: Analogicznie dla funkcji wielu zmiennych f (x1 ; :::; xn ) :
Lemma 0.4.2 Je´sli funkcja f (x1 ; :::; xn ) ma ciag÷
¾ e pochodne czastkowe,
¾
to
fh0 (x) = (rf )x h;
(iloczyn skalarny gradientu przez wektor).
Proof. Wynika to natychmiast z wzoru (1).
Za÷
óz·my dalej, z·e kvk = 1 i zadajmy pytanie:
W jakim kierunku v o d÷
ugości 1 pochodna kierunkowa fv0 (x)
osiaga
¾ najwieksz
¾ a¾ a w jakim najmniejsza¾ wartość ?
W tym celu napiszmy iloczyn skalarny (rf )x v w nastepuj
¾ acy
¾ sposób:
fv0 (x) = (rf )x v = k(rf )x k kvk cos ;
gdzie jest katem
¾
miedzy
¾
wektorami (rf )x i v. Poniewaz· 1 cos
1;
maksimum jest przyjete
¾ gdy cos = 1; t.j. gdy = 0: Znaczy to, z·e nalez·y
wziać
¾
(rf )x
v=
:
k(rf )x k
10
Zatem,
(rf )
x
jest kierunkiem w którym f najszybciej rośnie.
k(rf )x k
Analogicznie
(rf )x
k(rf )x k
odpowiada katowi
¾
= (cos = 1) i jest kierunkiem w którym f najszybciej
maleje, tzn. jest kierunkiem najwiekszego
¾
spadku
Example 0.4.3 Ciep÷
o. Rozwa·zmy kawa÷ek jednorodnego materia÷u którego
temperatura w ka·zdym punkcie tego cia÷a jest opisana w danym momencie
czasu przez funkcje¾ skalarna¾ T (x; y; z) : Ruch ciep÷a odbywa sie¾ zawsze w
spadku temperatury i dlatego jest opisany przez pole
kierunku najwiekszego
¾
wektorowe
J = k rT;
gdzie k > 0 jest sta÷¾
a zale·zna¾ od o´srodka zwana¾ wspó÷czynnikiem przewodnictwa cieplnego (rT jest gradientem funkcji skalarnej T ). Przypomnijmy,
¾
spadek funkcji T odnotowujemy w kierunku przeciwnym do gra·ze najwiekszy
dientu, stad
¾ minus w powy·zszym wzorze).
Operatorem Laplace’a nazywamy operator oznaczany symbolem r2 określony
na funkcjach skalarnych n-zmiennych f (x1 ; :::; xn ) wzorem
r2 f =
@2f
@2f
@2f
+
+
:::
+
:
@ (x1 )2 @ (x2 )2
@ (xn )2
Funkcje¾ f dla której r2 f = 0 nazywamy harmoniczna.
¾ Przyk÷
adem takiej
1
1
p
funkcji jest rozwaz·ana wyz·ej funkcja r = Pn i 2 (patrz zadanie niz·ej).
i=1 (x
0.5
)
Róz·niczkowanie czastkowe
¾
z÷
oz·enia funkcji
wielu zmiennych
Theorem 0.5.1 Je·zeli funkcja n-zmiennych F (x1 ; :::; xn ) ; (x1 ; :::; xn ) 2 U
@F
Rn , ma ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
; za´s funkcje xi = xi (t) ; t 2 ( ; ) ; sa¾
@xi
ró·zniczkowalne, to z÷o·zenie
F x1 (t) ; :::; xn (t)
·
·
0.5. RÓZNICZKOWANIE
CZASTKOWE
¾
Z×OZENIA
11
jest te·z ró·zniczkowalne i zachodzi wzór
d
F x1 (t) ; :::; xn (t)
dt
@F
dx1
1
n
=
x
(t)
;
:::;
x
(t)
+ :::
@x1
dt
@F
dxn
:
::: + n x1 (t) ; :::; xn (t)
@x
dt
Theorem 0.5.2 Je·zeli funkcja n-zmiennych F (x1 ; :::; xn ) ; (x1 ; :::; xn ) 2 U
@F
Rn , ma ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
; i funkcje xi = xi (t1 ; :::; tm ) ; (t1 ; :::; tm ) 2
@xi
m
R ; te·z maja¾ciag÷
¾ e pochodne czastkowe,
¾
to z÷o·zenie
F x1 t1 ; :::; tm ; :::; xn t1 ; :::; tm
ma te·z ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
równe (w tym wzorze t = (t1 ; :::; tm ))
@F (x1 (t) ; :::; xn (t))
@tt
@F
dx1
1
n
=
+ :::
x (t) ; :::; x (t)
@x1
dtr
@F
dxn
::: + n x1 (t) ; :::; xn (t)
:
@x
dtr
Example 0.5.3 Sprawdzi´c wzór na pochodne superpozycji dla funkcji
2
2
F (x; y) = (x + y) ex +y ;
x = r cos '; y = r sin ':
Najpierw z÷o·zenie, potem ró·zniczkowanie:
2
F (x (r; ') ; y (r; ')) = r (cos ' + sin ') er ;
@F (x (r; ') ; y (r; '))
2
2
= (cos ' + sin ') er + r er 2r
@r
2
= (cos ' + sin ') er
1 + 2r2
12
Najpierw ró·zniczkowanie, potem z÷o·zenie(x + y) ex
=
=
=
=
@x
=
@r
=
@F
@x
2
2
2
2
ex +y + (x + y) ex +y
@F
(x (r; ') ; y (r; '))
@x
2
er + r (cos ' + sin ')
@F
@y
2
2
2
2
ex +y + (x + y) ex +y
@F
(x (r; ') ; y (r; '))
@y
2
er + r (cos ' + sin ')
@y
cos ';
= sin ';
@r
@F @x @F @y
+
@x @r
@y @r
2
2x;
er
2
2r cos ';
2y;
er
2
er + r (cos ' + sin ') er
2r sin ';
2
2
+ er + r (cos ' + sin ') er
= er
2
(cos ' + sin ') + 2r2 er
r2
= (cos ' + sin ') e
Analogicznie sprawdzimy
sposobami.
1 + 2r
@F (x(r;');y(r;'))
@'
2 +y 2
2r cos '
2
2
2
2r sin '
cos ' +
sin '
(cos ' + sin ') 1
:
2
= r er ( sin ' + cos ') : dwoma
Example 0.5.4 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja y = y (x) jest ró·zniczkowalna i jest
uwik÷ana w równanie F (x; y) = 0; tzn. F (x; y (x)) = 0: Powy·zsze wzory na
dy
ró·zniczkowanie z÷o·zenia pozwalaja¾znale·z´c pochodna¾ dx
bez znajomo´sci funkcji
y (x) a jedynie funkcji F (x; y) w która¾jest nasza funkcja uwik÷ana.
@F (x; y (x))
@F
@F
dy
=
(x; y (x)) +
(x; y (x))
;
@x
@x
@y
dx
@F
(x; y (x))
dy
@x
=
:
@F
dx
(x; y (x))
@y
0 =
·
0.6. RÓZNICZKI
13
Np. Znale´z´c pochodna¾funkcji y (x) dla x = 0 uwikanej w funkcje¾ ex y + x2
y = 1 i taka,¾ ·ze y (0) = 0: Pomocniczo de…niujemy F (x; y) = ex y +x2 y 1
dy
dx
=
x=0
@F
@x
@F
@y
(0; 0)
(0; 0)
@ (ex
y +x2
y 1)
@x
=
x=0;y=0
@(ex y +x2
@y
x y
=
e
y 1)
x=0;y=0
+ 2xjx=0;y=0
=
1jx=0;y=0
ex y
1
1
= :
1 1
2
Zagadnieniem istnienia funkcji uwik÷
anej w dane równanie zajmiemy sie¾
później.
0.6
0.6.1
Róz·niczki pierwszego i wyz·szych rzedów
¾
Róz·niczka pierwszego rzedu
¾
Za÷
óz·my, z·e funkcja f (x) ; x = (x1 ; :::; xn ) ; jest określona w otoczeniu punktu
x0 i posiada pochodna¾ kierunkowa¾ fh0 (x0 ) w kaz·dym kierunku h 2Rn :
De…nition 0.6.1 Funkcje¾kierunku h przy ustalonym x0 nazywamy ró·zniczka¾
(pierwsza¾ró·zniczka)
¾ funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem (df )x0
(df )x0 : Rn ! R; h 7 !fh0 (x0 ) :
Zaobserwujmy na konkretnych przyk÷
adach zachowanie sie¾ róz·niczki funkcji
2 zmiennych f (x; y) w przypadku, gdy pochodne czastkowe
¾
funkcji f sa¾
ciag÷
¾ e, i gdy nie sa¾ ciag÷
¾ e.
Example 0.6.2 Rozwa·zmy funkcje¾
f (x; y) =
xy(x+y)
x2 +y 2
0
gdy (x; y) 6= (0; 0) ;
gdy (x; y) = (0; 0) :
14
W ka·zdym punkcie (x; y) 6= (0; 0) funkcja ma ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
@f
2xy + x2 y 2
;
=
y2
@x
(x2 + y 2 )2
@f
x2 y 2 + 2xy
= x2
:
@y
(x2 + y 2 )2
W punkcie (0; 0) te·z sa¾pochodne czastkowe
¾
@f
f (tx; 0) f (0; 0)
0
(0; 0) = lim
= lim = 0;
t!0
t!0 t
@x
t
f (0; ty) f (0; 0)
0
@f
(0; 0) = lim
= lim = 0:
t!0
t!0
@y
t
t
Pochodna czastkowa
¾
@f
=
@x
(
y2
2xy+x2 y 2
(x2 +y 2 )2
0
gdy (x; y) 6= (0; 0) ;
gdy (x; y) = (0; 0) :
@f
y!0 @x
nie jest funkcja¾ciag÷¾
¾ a w punkcie (0; 0) ; bo granica podwójna limx!0
zale·zy
od wyboru kierunku:
@f
= 0;
x!0 @x
y=0
lim
(granica ”po osi OX),
@f
0 y2
= lim y 2
= lim 1 = 1 6= 0:
2 )2
x=0 @x
x=0
x=0
(0
+
y
y!0
y!0
y!0
lim
@f
Podobnie pochodna czastkowa
¾
nie jest te·z ciag÷
¾ a w (0; 0) : Znajdziemy teraz
@y
ró·zniczke¾ funkcji f (x; y) w punkcie (0; 0) :
f (0 + th; 0 + tk)
t
f (th; tk)
= lim
t!0
t
0
f[h;k]
(0; 0) = lim
f (0; 0)
t!0
= lim
thtk(th+tk)
t2 h2 +t2 k2
t3 hk(h+k)
t2 (h2 +k2 )
= lim
t!0
t
t
hk (h + k)
hk (h + k)
= lim 2
=
:
t!0 h + k 2
h2 + k 2
t!0
·
0.6. RÓZNICZKI
15
z
y x
hk(h+k)
h2 +k2
nie jest
Wykres tej funkcji nie jest oczywi´scie p÷aszczyzna;¾ funkcja hk(h+k)
h2 +k2
bowiem liniowa.
Rozwa·zmy teraz jakikolwiek inny punkt np (1; 2) i obliczmy tam pochodne
kierunkowe
0
f[h;k]
(1; 2)
f (1 + th; 2 + tk)
= lim
t!0
t
= lim
f (1; 2)
(1+th)(2+tk)(3+th+tk)
(1+th)2 +(2+tk)2
6
5
t
1 28h + k + 30thk tk 2 + 4th2 + 5t2 h2 k + 5t2 hk 2
= lim
t!0 5
5 + 2th + t2 h2 + 4tk + t2 k 2
28
1
=
h+ k
25
25
t!0
6
4
2
-4
-2 z 00 0
2
4 -2
y
-4
-2 -4
2
4
x
-6
1
+ 25
k
Wykres funkcji
iowa.
28
h
25
28
h
25
+
1
k
25
jest oczywi´scie p÷aszczyzna,¾ funkcja ta jest lin-
16
Ostatnia obserwacja jest typowa dla funkcji o ciag÷
¾ ych pochodnych czastkowych
¾
(wynika to z powyz·szych lematów).
Theorem 0.6.3 Je´sli funkcja f (x1 ; :::; xn ) ma w punkcie x0 ciag÷
¾ e pochodne
czastkowe
¾
to jej pierwsza ró·zniczka (df )x0 : Rn ! R jest funkcja¾ liniowa¾ i
wyra·za sie¾ wzorem
(df )x0 h1 ; :::; hn =
@f
@f
(x0 ) h1 + ::: + n (x0 ) hn :
1
@x
@x
Wyrazimy ja¾ jeszcze inaczej. W tym celu weźmy funkcje h (x1 ; :::; xn ) =
xi : Jej róz·niczka w kaz·dym punkcie jest taka sama; oznaczamy ja przez dxi :
i
@xi
Poniewaz· @x
j = j ; to
dxi h1 ; :::; hn = hi :
(2)
Stad
¾
(df )x0 =
@f
@x1
(x0 ) dx1 + ::: +
@f
@xn
(x0 ) dxn :
Punkt w którym pierwsza róz·niczka jest zerowa nazywamy punktem krytycznym. Zgodnie z nastepnymi
¾
rozdzia÷
ami w punktach krytycznych moga¾
być ekstrema lokalne danej funkcji.
0.6.2
Róz·niczki drugiego i wyz·szych rzedów
¾
¾
do rzedu
¾
Za÷
óz·my, z·e funkcja f (x1 ; :::; xn ) ma ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
drugiego. Wtedy pochodna kierunkowa w ustalonym kierunku h
fh0 x1 ; :::; xn
@f
@f
=
x1 ; :::; xn h1 + ::: + n x1 ; :::; xn
1
@x
@x
n
X
@f
x1 ; :::; xn hi
=
i
@x
i=1
hn
posiada dalej ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
wzgledem
¾
zmiennych x1 ; :::; xn i
oczywiście pochodna¾kierunkowa¾w dowolnym kierunku k; (fh0 )0k (patrz wniosek
00
(0.3.1)): Oznaczamy ja¾ krócej fh;k
: Wyraz·a sie¾ ona wzorem
00
fh;k
=
n
X
@2f
hi k j :
i @xj
@x
i;;j=1
(3)
·
0.6. RÓZNICZKI
17
Istotnie:
00
fh;k
=
n
X
@f
hi
i
@x
i=1
n
X
@
=
@xj
j=1
=
=
n
X
!0
h
n
X
@f
hi
i
@x
i=1
@2f
hi k j
j @xi
@x
i;;j=1
!
kj
(na mocy Tw. Schwarza)
n
X
@2f
hi k j
i @xj
@x
i;;j=1
De…nition 0.6.4 Ró·zniczka¾drugiego rzedu
¾ funkcji f w punkcie x0 (w otoczeniu którego jest okre´slona i w którym ma pochodne czastkowe
¾
ciag÷
¾ e drugiego
rzedu)
¾ nazywamy funkcje¾
d2 f
x0
: Rn ! R ;
00
h 7 !fh;h
(x0 ) :
Proposition 0.6.5 Ró·zniczka¾ drugiego rzedu
¾ funkcji f w punkcie x0 (w
otoczeniu którego jest okre´slona i w którym ma pochodne czastkowe
¾
ciag÷
¾e
drugiego rzedu)
¾ wyra·za sie¾ wzorem
2
df
x0
=
=
n
X
d
j=1
n
X
@f
@xj
dxj
@2f
(x0 ) dxi dxj :
i @xj
@x
i;;j=1
Proof. Na podstawie wzoru (3) oraz (2)
d2 f
x0
00
(h) = fh;h
(x0 )
=
n
X
@2f
hi hj
i @xj
@x
i;;j=1
n
X
@2f
dxi (h) dxj (h)
i @xj
@x
i;;j=1
!
n
X
@2f
=
dxi dxj (h) :
i @xj
@x
i;;j=1
=
18
Róz·niczka druga w danym punkcie jest wiec
¾ znana¾z algebry forma¾kwadratowa.¾
Example 0.6.6 Dla funkcji 2-zmiennych korzystajac
¾ ze Tw. Schwarza dostajemy
@2f
@2f
dx dy +
df =
dx dx +
@x2
@x@y
@2f
@2f
+
dy dx + 2 dy dy
@y@x
@y
2
@2f
@2f
@ f
2
(dx)
+
2
dx
dy
+
(dy)2 :
=
2
2
@x
@x@y
@y
2
Analogicznie
d3 f =
@3f
@3f
@3f
@3f
3
2
2
(dx)
+
3
(dx)
dy
+
3
dx
(dy)
+
(dy)3 :
@x3
@x2 @y
@x@y 2
@x3
Np. dla f (x; y) = x3 2x2 y mamy
@2f
@x@y
=
4x =
@2f
@y@x
;
@2f
@xy
@f
@x
= 3x2 4xy;
@f
@y
=
2x2 ;
@2f
@x2
= 6x 4y;
=0:
df = 3x2 4xy dx 2x2 dy;
d2 f = d 3x2 4xy dx + d 2x2 dy
= (6x 4y) dx dx + ( 4x) dy dx +
+ ( 4x) dx dy + 0dy
= (6x 4y) (dx)2 8xdx dy:
d3 f = d (6x 4y) (dx)2 d (8x) dx dy
= 6 (dx)3 4 (dx)2 dy 8 (dx)2 dy
= 6 (dx)3 12 (dx)2 dy:
Analogicznie dla funkcji f o ciag÷
¾ ych pochodnych czastkowych
¾
do rzedu
¾
k de…niujemy róz·niczk¾
e rzedu
¾ k w danym punkcie wzorem x0
dk f
x0
: Rn ! R
wzorem
dk f
(k)
x0
(x ) :
(h) = f
h; :::; h 0
| {z }
k razy
·
0.6. RÓZNICZKI
19
Róz·niczka ta jest równa
k
d f
x0
=
n
X
i1 ;:::;ik
@kf
(x0 ) dxi1 ::: dxik :
i1 :::@xik
@x
=1
Pomocnym moz·e tez· być wzór
dk+1 f
x0
=
n
X
i1 ;:::;ik =1
d
@kf
@xi1 :::@xik
Np. dla funkcji z poprzedniego przyk÷
adu(6x
d3 x3
(x0 ) dxi1 ::: dxik :
4y) (dx)2
(4)
8xdx dy:
2x2 y
= d (6x 4y) (dx)2 + d ( 8x) dx dy
= 6dx (dx)2 4dy (dx)2 8dx dx dy
= 6 (dx)3 12 (dx)2 dy:
Trzecia róz·niczka dla tej funkcji jest wiec
¾ jednakowa w kaz·dym punkcie.
0.6.3
Wzór Taylora
Zacznijmy od przyk÷
adu funkcji 1-zmiennej.
Example 0.6.7 Dla funkcji 1-zmiennej f (x) wzory wyra·zajace
¾ ró·zniczki pierwszego i wy·zszych rzedów
¾
sa¾bardzo proste, bowiem jest tylko jedna zmienna,
powiedzmy, x i ró·zniczki dk f musza¾wyra·za´c sie¾ w terminach dx:
df = f 0 dx;
d2 f = f 00 (dx)2 ;
dk f = f (k) (dx)k :
Oczywi´scie
dx (h) = h;
oraz
(dx)k : R ! R;
h 7 ! dx (h) ::: dx (h) = hk :
20
Wzór Taylora funkcji f (x) o ´srodku x0 mo·zemy wiec
¾ zapisa´c za pomoca¾
ró·zniczek
f (x0 + h)
f 00 (x0 ) 2
f 0 (x0 )
h+
h + :::
= f (x0 ) +
1!
2!
f (n) (x0 ) n f (n+1) (x0 + h) n+1
::: +
h +
h
n!
(n + 1)!
(df )x0 (h)
(dn f )x0 (h)
= f (x0 ) +
+ ::: +
+
1!
n!
(dn+1 f )x0 + h (h)
+
(n + 1)!
Okazuje sie,
¾ z·e dla funkcji wielu zmiennych wzór Taylora wyraz·ajacy
¾
przyrost
f x10 + h1 ; :::; xn0 + hn
f x10 ; :::; xn0
najprościej wyraz·a sie¾ w terminach róz·niczek wyz·szych rzedów
¾
i wyglada
¾
dok÷
adnie tak samo jak dla funkcji 1-zmiennej.
Theorem 0.6.8 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Je´sli
funkcja n-zmiennych f (x1 ; :::; xn ) ma ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
do rzedu
¾
k + 1 w otoczeniu punktu x0 to dla dostatecznie ma÷ych h (tak aby odcinek
÷¾
aczacy
¾ x0 z punktem x0 + h zawiera÷sie¾ w tym otoczeniu), zachodzi wzór
(5)
f (x0 + h)
k
d f x0 (h)
(df )x0 (h)
+ ::: +
+
1!
k!
dk+1 f x0 + h (h)
+
(k + 1)!
= f (x0 ) +
dla pewnej liczby
2 (0; 1) (zale·znej od pozosta÷ych wielko´sci: f; x0 ; h).
(6)
·
0.6. RÓZNICZKI
21
We wspó÷
rzednych
¾
wzór ten wyglada
¾ mniej przejrzyście
f x10 + h1 ; :::; xn0 + hn
= f x10 ; :::; xn0 +
k
X
1
+
r!
r=1
+
n
X
@rf
(x0 ) hi1 ::: hir
i1 :::@xir
@x
=1
i1 ;:::;ir
n
X
1
(k + 1)! i
1 ;:::;ik+1
@ k+1 f
(x0 +
i1 :::@xik+1
@x
=1
!
+
h) hi1 ::: hir+1 :
W szczególności dla funkcji 2-zmiennych
f (x0 + h; y0 + k)
= f (x0 ; y0 ) +
k
k
X
1X r
@rf
+
(x0 ; y0 ) hr
r s @y s
r!
s
@x
r=1
s=1
s
ks +
X k+1
1
@ k+1 f
+
(x0 + h; y0 + k) hk+1
s
(k + 1)! s=1
@xk+1 s @y s
k+1
s
ks:
Wydaje sie¾ jednak szybciej otrzymać wzór Taylora bezpośrednio z ogólnego
wzoru (5) wyliczajac
¾ kolejne róz·niczki w oparciu o wzór (4).
Example 0.6.9 Dla f (x; y) = x2 ln (y + 2) otrzymujemy dla punktu (0; 0)
f (0; 0) = 0
x2
dy; (df )(0;0) = 0;
y+1
x2
d2 f = d (2x ln (y + 2)) dx + d
dy
y+2
2x
= 2 ln (y + 2) (dx)2 +
dy dx +
y+2
2x
x2
2
+
dx dy +
2 (dy)
y+2
(y + 2)
4x
x2
2
= 2 ln (y + 2) (dx)2 +
dx dy
2 (dy) ;
y+2
(y + 2)
df = 2x ln (y + 2) dx +
22
d2 f
(0;0)
= 2 ln 2 (dx)2 ;
d3 f = d (2 ln (y + 2)) (dx)2 +
4x
x2
(dy)2
+d
dx dy d
2
y+2
(y + 2)
2
4
=
dy (dx)2 +
(dx)2 dy
y+2
y+2
4x
2x
2
2 dy dx dy
2 dx (dy) +
(y + 2)
(y + 2)
2
2x
3
+
3 (dy)
(y + 2)
6x
6
2
(dx)2 dy
=
2 dx (dy) +
y+2
(y + 2)
2
2x
3
+
3 (dy) :
(y + 2)
Zatem
f (x; y)
2 ln 2 x2
6
+
x2 y
2
y+2
6
x
2 2 x2 3
2
x
y
+
y :
( y + 2)2
( y + 2)3
= 0+0+
Dla ma÷
ego przyrostu (x; y) (t.j. bliskiego (0; 0)) zaniedbujac
¾ trzecia¾róz·niczk¾
e
mamy w przybliz·eniu
f (x; y) ln 2 x2 :
f (x; y) = x2 ln (y + 2) ;
2
x
2;
2
y
5
·
0.6. RÓZNICZKI
23
f (x; y) = x2 ln (y + 2) ;
1
x
1;
0:5
y
0:5
0.8
0.6
z
0.4
0.2
-1
0.0
-0.4-0.2 0.000.2 0.4
1
y
x
(d2 f )(0;0) (h; k) = h2 ln 2
0.6
z
0.4
0.2
-1
0.0
-0.4 -0.2 0.00 0.2 0.4
1
k h
Ze wzoru Taylora otrzymujemy wzór przybliz·ony rzedu
¾ k
dk f x0 (h)
(df )x0 (h)
f (x0 + h) = f (x0 ) +
+ ::: +
1!
k!
i oszacowanie bezwzgledne
¾
b÷
edu
¾
sup
0
1
dk+1 f
x0 + h
(k + 1)!
(h)
:
Example 0.6.10 Znale´z´c przybli·zenie rzedu
¾ 2 za pomoca¾wzoru Taylora funkcji
f (x; y) = ex cos y w pobli·zu punktu (0; 0) :
Rozwiazanie:
¾
df =
df(0;0) =
d2 f =
=
=
2
d f(0;0) =
ex cos y dx ex sin y;
dx;
d (ex cos y) dx d (ex sin y) dy
(ex cos y dx ex sin y dy) dx (ex sin y dx + ex cos y dy) dy
ex cos y (dx)2 2ex sin y dx dy ex cos y (dy)2 :
(dx)2 (dy)2 :
24
f (x; y) = f (0; 0) +
= 1+x+
x
(df )(0;0) (x; y)
1!
2
y
2
+
(d2 f )(0;0) (x; y)
2!
2
:
Example 0.6.11 Znale´z´c przybli·zenie rzedu
¾ 1 oraz 2 za pomoca¾wzoru Tayy
lora funkcji f (x; y) = x w pobli·zu punktu (1; 3) a nastepnie
¾
obliczy´c w ten
sposób przybli·zone warto´sci wyra·zenia (1:02)3:05 , porówna´c wyniki z warto´scia¾
obliczona¾na kalkulatorze.
Rozwiazanie.
¾
f (x; y) = xy = ey ln x :
@ y
@ y
df =
x dx +
x dy
@x
@y
= xy 1 y dx + xy ln x dy:
df(1;3) = 3dx:
d2 f = d xy 1 y dx + d (xy ln x) dy
@
@
xy 1 y dx +
xy 1 y dy dx +
=
@x
@y
@
@
(xy ln x) dx +
(xy ln x) dy dy
+
@x
@y
= xy 2 y (y
1) (dx)2 + 2 xy 1 y ln x + xy
1
dx dy + xy ln2 x (dy)2
d2 f(1;3) = 6 (dx)2 + 2dx dy:
f (1 + x; 3 + y) = f (1; 3) +
(df )(1;3) (x; y)
1!
= 1 + 3x
= 1 + 3 0:02 = 1:06
f (1 + x; 3 + y) = f (1; 3) +
(df )(1;3) (x; y)
+
(d2 f )(1;3) (x; y)
1!
2!
6x2 + 2x y
= 1 + 3x +
= 1 + 3x + 3x2 + xy
2
= 1 + 3 0:02 + 3 (0:02)3 + 0:02 0:05
= 1:061:
0.7. EKSTREMA LOKALNE
25
Warto´s´c dok÷adniejsza z kalkulatora
1:023:05 = 1:0623
0.7
0.7.1
Ekstrema lokalne
De…nicja lokalnego ekstremum
De…nition 0.7.1 Mówimy, z·e funkcja n-zmiennych f (x) określona w otoczeniu punktu x0 2 Rn ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jez·eli istnieje
otoczenie U tego punktu (zawarte w dziedzinie funkcji) w którym wartości
funkcji nie przewyz·szaja¾ f (x0 ) ; tzn.
f (x)
f (x0 ) ; dla x 2U:
Jez·eli zachodzi nierówność ostra f (x) < f (x0 ) dla x 6= x0 to mówimy o
maksimum lokalnym w÷a´sciwym.
Dla nierówności w przeciwna¾strone¾ mamy odpowiednio minimum lokalne
i minimum lokalne w÷a´sciwe.
0.7.2
Warunek konieczny
Theorem 0.7.2 Warunek konieczny ekstremum lokalnego. Za÷ó·zmy,
·ze funkcja n-zmiennych f (x1 ; :::; xn ) okre´slona w otoczeniu punktu x0 posiada w tym punkcie ró·zniczke¾ (df )x0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne.
Wówczas
(df )x0 = 0;
w szczególno´sci pochodne czastkowe
¾
w tym punkcie sa¾równe zeru
@f
@f
(x0 ) = ::: =
(x0 ) = 0:
1
@x
@xn
Proof. Dla dowolnego wektora h 2 Rn określmy pomocniczo funkcje¾
' ( ) = f (x0 +
h) :
Jej dziedzina zawiera pewne otoczenie punktu 0 = 0 i funkcja ta posiada
w 0 = 0 ekstremum lokalne. Poniewaz· funkcja ' ( ) ma pochodna¾ w tym
26
punkcie
'0 (0) =
lim
=
lim
=
'( )
!1
' (0)
f (x0 +
f (x0 )
h)
!1
fh0 (x0 )
to z Tw.Fermata w punkcie tym pochodna jest zero. Stad
¾ fh0 (x0 ) = 0 a tym
samym
(df )x0 (h) = fh0 (x0 ) = 0:
Przed warunkami wystarczajacymi
¾
omówimy pewien przyk÷
ad.
Example 0.7.3 Rozwa·zmy funkcje¾
f (x; y) = x3
f (x; y) = x3
3x2 + y 3 + 3y 2 ;
3x2 + y 3 + 3y 2 :
1
x
3;
3
y
1:
4
-3
2
-2
-1z
y
3
0
0 0
-21
2 -4
-1
1
x
Mamy
@f
@f
= 3x2 6x;
= 3y 2 + 6y;
@x
@y
@2f
@2f
@2f
=
6x
6;
=
0;
= 6y + 6
@x2
@x@y
@y 2
df =
3x2
d2 f = (6x
6x dx + 3y 2 + 6y dy;
6) (dx)2 + (6y + 6) (dy)2 :
0.7. EKSTREMA LOKALNE
27
Pierwsza ró·zniczka znika w punktach (x; y) takich, ·ze
3x2 6x = 0
3y 2 + 6y = 0:
Po rozwiazaniu
¾
otrzymujemy 4 punkty
A1 = (0; 0) ;
A2 = (0; 2) ;
A3 = (2; 0) ;
A4 = (2; 2) :
W ka·zdym z tych punktów wzór Taylora mówi
f (x; y) = f (A) +
1 2
df
2
A
+ ::::;
zatem, w przybli·zeniu funkcja f (x; y) po przesunieciu
¾ punktu A do (0; 0)
1
2
wyglada
¾ jak 2 (d f )A
f (x; y)
f (A)
1 2
df
2
A
:
Zobaczymy to na przyk÷adzie powy·zszej funkcji. Przy okazji zaobserwujemy
w ka·zdym z tych 4 punktów nastepuj
¾ ace
¾ elementy
znak pochodnej
@2f
@x2
= 6x
6;
wyró·znik
W = det
"
@2f
@x2
@2f
@x@y
@2f
@x@y
@2f
@y 2
#
= det
6x
6
0
0
6y + 6
okre´slono´s´c formy kwadratowej
d2 f = (6x
6) (dx)2 + (6y + 6) (dy)2
28
A1 = (0; 0)
W =
d2 f (0;0) =
36 < 0;
6 (dx)2 + 6 (dy)2 ;
-nieokre´slonego znaku
x3
3x2 + y 3 + 3y 2
-1
z
y
4
2
0
0
-20
1-4
-1
x
1
Brak lokalnego ekstremum
1
2
1
2
(d2 f )(0;0) =
1
2
(d2 f )(0;0) (h; k) =
6 (dx)2 + 6 (dy)2 ;
3h2 + 3k 2
2
-1
z
y
0
0 0
-2
1
-1
x
1
Druga róz·niczka nieokreślona
0.7. EKSTREMA LOKALNE
29
A2 = (0; 2)
@2f
=
@x2
6 < 0;
6
0
W = det
d2 f
(0; 2)
0
6
6 (dx)2
=
= 36 > 0
6 (dy)2
ujemnie określona
x3
Example 0.7.4
3x2 + y 3 + 3y 2
-3
-2
z
y
4
2
0
0
-2-1
-4
1
-1
x
Maksimum lokalne
1
2
1
2
(d2 f )(0;
2)
=
1
2
(d2 f )(0;0) (h; k) =
6 (dx)2
3h2
6 (dy)2 ;
3k 2
-1
-1
zy
0
0 0
-2
1
-4
x
1
-6
2-róz·niczka ujemnie określona
30
A2 = (2; 0)
Example 0.7.5
@2f
= 6 > 0;
@x2
6
W = det
0
d2 f
(0; 2)
0
6
= 36 > 0
= 6 (dx)2 + 6 (dy)2
dodatnio okre´slona
x3
3x2 + y 3 + 3y 2
-1
z
y
4
2
0
-20 1
-4
2
1
x
3
Mnimum lokalne
1
2
1
2
(d2 f )(0;
2)
=
1
2
6 (dx)2 + 6 (dy)2 ;
(d2 f )(0;0) (h; k) = 3h2 + 3k 2
6
z
4
2
-1
0
0 0
-1
y
1
x
1
2-róz·niczka dodatnio określona
0.7. EKSTREMA LOKALNE
31
A1 = (2; 2)
Example 0.7.6
W = det
d2 f
(0;0)
6 0
0 -6
= 6 (dx)2
=
36 < 0;
6 (dy)2 ;
-nieokre´slonego znaku
-3
-2
z
4
2
0
-2-1 1
-4
2
3
x
y
Brak lokalnego ekstremum
1
2
x
3
2
3
1
2
(d2 f )(0;0) =
3x + y + 3y
1
2
2
6 (dx)2
(d2 f )(0;0) (h; k) = 3h2
6 (dy)2 ;
3k 2
50
-4
-2
-4z -2 0
0 02
-50 2
4
y 4
x
Example 0.7.7
Druga ró·zniczka nieokre´slona
32
0.7.3
Warunki wystarczajace
¾
Za÷
óz·my, z·e funkcja n-zmiennych f (x1 ; :::; xn ) określona w otoczeniu punktu
x0 posiada w tym punkcie druga¾ róz·niczk¾
e (d2 f )x0 . Przypomnijmy wzór
2
df
2
df
x0
n
1
x0
=
h ; :::; h
=
n
X
@2f
(x0 ) dxi dxj ;
i
j
@x @x
i;;j=1
n
X
@2f
(x0 ) hi hj :
i @xj
@x
i;;j=1
Wprowadźmy dla krótkości oznaczenie aij =
@2f
:
@xi @xj
Z Tw. Schwarza
aij = aji :
Druga róz·niczka jest wiec
¾ funkcja¾
g : Rn ! R
określona¾ wzorem
n
1
g h ; :::; h
=
n
X
aij hi hj ;
i;;j=1
gdzie macierz
[aij ]i;j
n
jest symetryczna. Kaz·da¾taka¾funkcje¾ nazywamy forma¾kwadratowa¾a macierz
[aij ]i;j n – macierza¾ tej formy. Dowodzi sie¾ w algebrze, z·e dokonujac
¾ tzw.
adu wspó÷
rzednych
¾
(tzn. dokonujac
¾ obrotu przestrzeni
ortogonalnej zmiany uk÷
Rn ) moz·emy w nowym uk÷
adzie wspó÷
rzednych
¾
otrzymać form¾
e kwadratowa¾
ij
bez wyrazów mieszanych: a = 0 dla i 6= j; tzn form¾
e kanoniczna¾ postaci
1
h1
2
+ ::: +
n
(hn )2 ;
przy czym wspó÷
czynniki 1 ; ::: n sa¾ tu pierwiastkami charakterystycznymi
macierzy A = [aij ]i;j n ; tzn. pierwiastkami wielomianu charakterystycznego
w ( ) = det (A
I) : Zmiana taka nie zmienia wyznacznika macierzy, jest
wiec
¾ on równy iloczynowi 1 ::: n : Forma g ma nieosobliwa¾ macierz A
(tzn. W := det A 6= 0) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie liczby i sa¾
niezerowe. Dla n = 2 mamy x2 + y 2 : (Uwaga, dopuszczajac
¾ wszystkie
0.7. EKSTREMA LOKALNE
33
nieosobliwe zmiany uk÷
adu wspó÷
rzednych,
¾
zatem równiez· nie ortogonalne,
moz·emy zawsze sprowadzić form¾
e kwadratowa¾ do takiej postaci kanonicznej
i
w której wspó÷
czynniki
= 0; +1; 1:) Przypomnijmy z algebry, nastepu¾
jac
¾ a¾ de…nicje¾
De…nition 0.7.8 Forma¾ kwadratowa¾
g : Rn ! R
nazywamy
dodatnio okre´slona,¾ jez·eli
g (h) > 0 dla ka·zdego 0 6= h 2Rn ;
(w postaci kanonicznej
i
> 0),
ujemnie okre´slona,¾ jez·eli
g (h) < 0 dla ka·zdego 0 6= h 2Rn ;
(w postaci kanonicznej
i
< 0),
nieokre´slonego znaku, jez·eli istnieja¾ wektory h1 i h2 2 Rn dla których
g (h1 ) > 0 i g (h2 ) < 0: W postaci kanonicznej wszystkie i 6= 0 i nie
sa¾tego samego znaku.
Powyz·sze trzy mozliwości wyczerpuja¾ jedynie przypadek form niezdegenerowanych, tzn. o macierzy nieosobliwej (inaczej o wyznaczniku W :=
det A 6= 0); równowaz·nie, w postaci kanonicznej z·aden ze wspó÷
czynników
nie jest zero.
Przyk÷
ad z rysunkami powyz·ej wskazywa÷na to, z·e w punkcie znikania
pierwszej róz·niczki i przy warunku niezdegenerowania drugiej róz·niczki (tzn.
W 6= 0) zachodza¾ odpowiedniości
zachowanie w punkcie
druga róz·niczka
wyróz·nik
minumum lokalne w÷
aściwe
dodatnio określona
W >0
maksimum lokalne w÷
aściwe
ujemnie określona
W >0
brak ekstremum
nieokreślonego znaku W < 0
34
W przypadku zdegenerowanym W = 0 nic powiedzieć sie¾ nie da o istnieniu ekstremum lokalnym o czym świadcza¾ nastepujace
¾ proste przyk÷
ady
poniz·szych funkcji 2-zmiennych
x2 + y 4 ;
x2 + y 3
W punkcie (0; 0) pierwsza ma minimum w÷
aściwe, druga nie ma z·adnego
ekstremum, chociaz· obie maja¾ w punkcie (0; 0) drugie róz·niczki nieujemne
(d2 f )(0;0) (h; k) 0 oraz W = 0.
dla f (x; y)
df
2
df
d2 f (0;0) (h; k)
=
=
=
=
W =
dla f (x; y)
1
f 0;
n
1
f 0;
n
df
2
df
2
d f (0;0) (h; k)
x2 + y 4 0; jest minimum lokalne
2x dx + 4y 3 dy;
2 (dx)2 + 12y 2 (dy)2 ;
2h2 0;
2
0
0
0
=0
= x2 + y 3 ;
1
> 0;
=
n3
1
=
< 0 –brak lokalnego minimum
n3
= 2x dx + 3y 2 dy
= 2 (dx)2 + 6y (dy)2
= 2h2 0
W =
2
0
0
0
=0
Zobaczmy na rysunku drugi z tych przyk÷
adów
x2 + y 3 ; (d2 f )(0;0)
0
0.7. EKSTREMA LOKALNE
35
8
6
4
z 2 -2
0
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
-2
-42 y
x
Brak ekstremum, W = 0 i d2 f 6= 0
oraz pierwszy
x2 + y 4 ; (d2 f )(0;0)
0
z
-1
2
y
8
6
4
2
0
-1 -2
10 0 1
x
Jest ekstremum, W = 0; d2 f 6= 0
Theorem 0.7.9 Warunki wystarczajace
¾ istnienia ekstremum lokalnego
1
Za÷ó·zmy, ·ze funkcja n-zmiennych f (x ; :::; xn ) jest okre´slona w otoczeniu
¾ e pochodne czastkowe
¾
punktu x0 = (x10 ; :::; xn0 ) i posiada w tym otoczeniu ciag÷
do rzedu
¾ drugiego oraz jej pierwsza ró·zniczka znika w x0
(df )x0 = 0:
Wówczas, je·zeli druga ró·zniczka
(d2 f )x0 jest dodatnio okre´slona, to w x0 jest minimum lokalne,
(d2 f )x0 jest ujemnie okre´slona, to w x0 jest maksimum lokalne,
(d2 f )x0 jest nieokre´slonego znaku, to w x0 nie ma ekstremum lokalnego.
Przed rozpoczeciem
¾
dowodu tego twierdzenia wykaz·emy pomocniczy lemat.
36
P
Lemma 0.7.10 Je·zeli forma kwadratowa g (h1 ; :::; hn ) = ni;j=1 aij hi hj
o macierzy symetrycznej A = [aij ]Pjest dodatnio okre´slona, to istnieje " > 0
taka, ·ze ka·zda forma kwadratowa ni;j=1 bij hi hj o macierzy symetrycznej
B = [bij ] takiej, ·ze jbij aij j < " dla wszystkich i; j jest te·z dodatnio okre´slona.
Proof. Lematu. Rozwaz·my w przestrzeni Rn sfere¾ n 1 wymiarowa¾
S n 1 = fx 2Rn ; kxk = 1g (tzn. zbiór wersorów): Jest to zbiór
ety
¾ i
Pdomkni
n
1
n
ograniczony, czyli zwarty. Forma kwadratowa g (h ; :::; h ) = i;j=1 aij hi
hj jest ciag÷
¾ a i na zbiorze zwartym S n 1 (w÷
asność Weierstrassa dla funkcji
wielu zmiennych) przyjmuje swoje kresy. Rozwaz·my kres dolny funkcji g na
sferze S n 1 : "o = inf khk=1 g (h) : Z w÷
asności Weierstrassa "o jest przyjete
¾ w
pewnym punkcie ho ; a wiec
¾
"o = g (ho ) > 0
z za÷
oz·onej dodatniej określoności formy g; oraz
n
X
aij hi hj = g (h)
g (ho ) = "o
i;j=1
dla kaz·dego wektora h 2S n 1 : Weźmy
"o
:
n2
Pokaz·emy, z·e dla macierzy B = [bij ] takiej, z·e
"=
jbij
Pn
aij j < "
forma i;j=1 bij hi hj jest tez· dodatnio określona.
Pn
i
Dla dowolnego wersora h = (h1 ; :::; hn ) 2S n 1 mamy jhi j 1; skad
¾
i=1 jh j
n oraz
n
n
X
X
i
j
(bij aij ) h h
jbij aij j hi hj
i;j=1
i;j=1
< "
= "
n
X
i;j=1
n
X
i=1
2
" n
= "o :
hi
i
h
hj
n
X
j=1
hj
0.7. EKSTREMA LOKALNE
37
Zatem dla dowolnego wersora h
n
X
(bij
aij ) hi hj >
"o
i;j=1
n
X
i
bij h
j
h
=
i;j=1
=
n
X
i;j=1
n
X
(bij
aij + aij ) hi hj
(bij
aij ) hi hj +
i;j=1
>
i;j=1
aij hi hj
i;j=1
"o + "o = 0:
Dla dowolnego wektora niezerowego h wektor
n
X
n
X
bij hi hj = khk2
n
X
i;j=1
bij
h
khk
jest wersorem, wiec
¾
hi
hj
> 0:
khk khk
Analogicznie dowodzimy lematu dla ujemnie określonych form kwadratowych.
Proof. twierdzenia.
Dla (d2 f )x0 dodatnio określonej. Ze wzoru Taylora dostajemy
1
f (x0 + h) = f (x0 ) + (df )x0 (h) + d2 f
| {z } 2
(x0 + h)
(h) :
=0
2
df
(x0 +
(h) =
h)
n
X
@2f
(x0 + h) hi hj
i @xj
@x
i;;j=1
Z za÷
oz·enia dodatniej określoności drugiej róz·niczki mamy
n
X
@2f
(x0 ) hi hj > 0 dla h 6=0:
i @xj
@x
i;;j=1
Po÷
óz·my dla krótkości
aij (x) =
@2f
(x) :
@xi @xj
(7)
38
Z lematu
liczby " > 0 takiej, z·e kaz·da forma kwadraPn wnosimyi o istnieniu
j
towa
h jest dodatnio określona gdy jbij aij (x0 )j < ": Z
i;j=1 bij h
2
f
ciag÷
¾ ości funkcji aij (x) = @x@i @x
¾ ij > 0 taka,
¾ z·e gdy
j (x) znajdziemy liczb e
kx x0 k < ij to jaij (x) aij (x0 )j < ": Weźmy = min ij : Wtedy dla
khk < i dowolnej 2 (0; 1) zachodzi k(x0 + h) x0 k < skad
¾ druga
forma kwadratowa o macierzy [aij (x0 + h)] jest tez· dodatnio określona.
W szczególności gdy dodatkowo h 6=0
n
X
aij (x0 +
h) hi hj > 0:
i;;j=1
Ostatecznie ze wzoru (7) otrzymujemy
f (x0 + h)
dla
1 2
d f (x0 +
2
khk <
i h 6=0
f (x0 ) =
h)
(h) > 0
co dowodzi, z·e w punkcie x0 jest minimum w÷
aściwe.
Dla (d2 f )x0 ujemnie określonej analogicznie.
Przypadek trzeci zostawiamy jako zadanie teoretyczne.
[1]Zadanie teoretyczne przypadek trzeci.
W zwiazku
¾ z powyz·szym twierdzeniem istotnego znaczenia nabiera umiejet¾
ność rozstrzygania czy dana forma kwadratrowa bed
¾ aca
¾ druga¾ róz·niczka¾
badanej funkcji jest czy nie jest określonego znaku. Zagadnienie to zosta÷
o
rozstrzygniete
¾ przez Sylvestra (1814-1897)
Notka: James Joseph Sylvester by÷poeta¾ i satyrykiem angielskim zanim
nie pozna÷Cayleya. Arthur Cayley (1821-1895) studiowa÷i praktykowa÷
prawo w Londynie, dopóki nie pozna÷Sylvestra. Po zawarciu znajomości
wspólnym zainteresowaniem okaza÷
a sie¾ matematyka. Sylvester zacza÷j
¾ a¾
wyk÷
adać w 1855 r w Woolwich a Cayley w 1863 w Cambridge. Cayley spokojnie tam pracowa÷30 lat a Sylvester zacza÷
¾ udzielać sie¾ bardziej światowo. Od
1877 mia÷wyk÷
ady na Uniwersytecie Hopkinsa w Baltimore w Stanach. I to
w÷
aśnie od tych wyk÷
adów zacze÷
¾ a sie¾ matematyka w Stanach Zjednoczonych.
Najwaz·niejszym osiagni
¾ eciem
¾
Cayleya i Sylvestra jest rachunek macierzowy.
Wprowadzili Oni macierz przekszta÷
cenia liniowego i formy kwadratowe.
Theorem 0.7.11 Tw. Sylvestra. Za÷ó·zmy, ·ze forma kwadratowa g :
Rn ! R ma macierz symetryczna¾A = [aij ] :
0.7. EKSTREMA LOKALNE
39
Na to aby forma g by÷a dodatnio okre´slona potrzeba i wystarcza aby
wszystkie wyznaczniki
Mk =
a11 ::: a1k
::: ::: ::: ;
ak1 ::: akk
k = 1; 2; :::; n
by÷y dodatnie
M1 = a11 > 0; M2 =
:::Mn =
a11 ::: a1n
::: ::: :::
an1 ::: ann
a11 a12
a21 a22
> 0; :::
> 0:
Na to aby forma g by÷a ujemnie okre´slona potrzeba i wystarcza aby
wyznaczniki w powy·zszym ciagu
¾ by÷y na zmiane¾ ujemne i dodatnie
M1 = a11 < 0; M2 =
Mn = ( 1)n
a11 a12
a21 a22
a11 ::: a1n
::: ::: :::
an1 ::: ann
> 0; :::;
> 0:
Remark 0.7.12 Przypadek n = 2: Wykresem formy kwadratowej g (h; k) =
a h2 + 2b h k + c k 2 jest
w przypadku okre´slonego znaku (dodatniego lub ujemnego) jest paraboloida
eliptyczna
z
-1
2h2 + k 2
y2
8
6
4
2
-2
-1
0
0 0
1
1
x
40
w przypadku nieokre´slonego znaku – paraboloida hiperboliczna
4
2
-2
0
-1
0 0
1
-21
y2 -4
x
-1 z
2h2
k2
Z ogólnej teorii wiadomo, ·ze dla formy a h2 + 2b h k + c k 2 zawsze mo·zna tak wybra´c osie uk÷adu wspó÷rzednych
¾
OX 0 i OY 0 (zachowujac
¾ poczatek
¾ uk÷adu bez zmian) aby w tym uk÷adzie forma nie
mia÷a sk÷adnika mieszanymi zmiennymi h k; t.j. aby by÷a postaci
a0 (h0 )2 + b0 (k 0 )2 : Wówczas gdy oba wspó÷czynniki a0 i b0 sa¾ tego
samego znaku otrzymujemy paraboloide¾ eliptyczna,¾ za´s gdy sa¾ ró·znych
znaków – paraboloide¾ hiperboliczna.¾ Odpowiednia¾ zmiane¾ zmiennych
mo·zemy odszuka´c nastepuj
¾ aco:
¾
— przypadek a 6= 0 lub c 6= 0 : Za÷ó·zmy, ·ze a 6= 0 (c 6= 0 rozpatrujemy
analogicznie). Rozwa·zmy przekszta÷cenie
b
g (h; k) = a h + k
a
2
b2
a
+ c
2
k2
2
= a0 (h0 ) + b0 (k 0 )
dla
a0 = a; b0 = c
b2
a
b
h0 = h + k; k 0 = k:
a
Macierz tego przekszta÷cenia jest nieosobliwa
1 ab
0 1
= 1 6= 0:
— przypadek a = 0 = c: Stosujemy przekszta÷cenie
b
(h
2
2
2
= a0 (h0 ) + b0 (k 0 )
g (h; k) = 2b h k =
k)2 +
b
(h + k)2
2
0.7. EKSTREMA LOKALNE
41
dla
a0 =
h0 = h
b
;
2
b
2
0
k = h + k:
b0 =
k;
Macierz tego przekszta÷cenia jest nieosobliwa
1
1
1
1
= 2 6= 0:
Remark 0.7.13 W przypadku n = 1 forma kwadratowa jest postaci g (h) =
ah2 i wykluczona jest mo·zliwo´s´c nieokre´slonego znaku. Skoro d2 f = f 00 (dx)2
i gdy f 00 (x0 ) 6= 0 to (d2 f )x0 jest okre´slonego znaku i ekstremum istnieje.
Widzimy z Tw. Sylvestra z·e dla formy dodatnio określonej lub ujemnie
a11 a12
określonej drugi wyznacznik jest zawsze dodatni M2 =
= a11
a21 a22
a22 (a12 )2 > 0. (a12 = a21 dla macierzy symetrycznej).
Remark 0.7.14 W przypadku n = 2 (tylko) mo·zemy ÷atwo równie·z scharakteryzowa´c przypadek nieokre´slono´sci znaku formy a h2 + 2b h k + c k 2
a b
w÷asnie poprzez M2 : Mianowicie ma by´c wtedy M2 =
= ac b2 < 0:
b c
Istotnie, je·zeli a 6= 0 to w postaci kanonicznej (po odpowiedniej zmianie zmi2
b2
= ac a b :
ennych) wspó÷czynniki sa¾ wy·zej wyliczone jako równe a i c
a
Zatem sa¾ one ró·znych znaków wtedy i tylko wtedy gdy ac b2 < 0. Je´sli
a = 0 = c to bezpo´srednio z postaci kanonicznej powy·zej otrzymanej widzimy,
·ze wspó÷czynniki a0 = 2b ; b0 = 2b sa¾ró·znych znaków.
×¾
aczac
¾ to z Tw. Sylvestra otrzymamy dla funkcji 2-zmiennych nastepu¾
jace
¾ Twierdzenie.
Theorem 0.7.15 Warunki wystarczajace
¾ ekstremum lokalnego funkcji
2-zmiennych. Za÷ó·zmy, ·ze dana funkcja f (x; y) jest okre´slona w otoczeniu
punktu (x0 ; y0 ) i posiada tam ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
do rzedu
¾ drugiego
oraz, ·ze
(df )(x0 ;y0 ) = 0:
Wówczas,
42
je·zeli wyró·znik jest dodatni
W =
@2f
@x2
@2f
@y@x
@2f
@x@y
@2f
@y 2
(x0 ;y0 )
@2f
@ f
(x0 ; y0 )
(x0 ; y0 )
=
@x2
@y 2
2
@2f
(x0 ; y0 )
@x@y
2
>0
to w punkcie (x0 ; y0 ) jest ekstremum lokalne, przy czym
– je·zeli
– je·zeli
@2f
@x2
@2f
@x2
(x0 ; y0 ) > 0 to jest minimum lokalne w÷a´sciwe,
(x0 ; y0 ) < 0 to jest maksimum lokalne w÷a´sciwe,
je·zeli wyró·znik jest ujemny W < 0 to nie ma ekstremum lokalnego w
punkcie (x0 ; y0 ) :
0.8
Najwieksze
¾
i najmniejsze wartości funkcji
Niech f (x1 ; :::; xn ) bedzie
¾
funkcja ciag÷
¾ a¾i określona¾w pewnym zbiorze zwartym
K; która ma skończone pochodne czastkowe
¾
wszedzie
¾
z wyjatkiem
¾
oddzielnych punktów. Z twierdzenia Weierstrassa wynika, z·e w tym zbiorze f osiaga
¾
w pewnym punkcie wartość najwieksz
¾ a¾ (i w pewnym punkcie wartość najmniejsza).
¾ Jez·eli punkt taki lez·y wewnatrz
¾ zbioru K to w nim funkcja ma maksimum lokalne. W tym przypadku nalez·y do zbioru punktów ”podejrzanych”
o ekstremum, czyli punktów krytycznych (znikania pierwszej róz·niczki, tzn.
znikania pochodnych czastkowych)
¾
lub punktów w których nie istnieje któraś
z pochodnych czastkowych.
¾
Funkcja moz·e mieć swoja¾ najwieksz
¾ a¾ (najmniejsza)
¾ wartość równiez· na brzegu. Dlatego tez·, aby znaleźć najwieksz
¾ a¾
(najmniejsza)
¾ wartość funkcji w zwartym zbiorze K; trzeba znaleźć punkty
wewnetrzne
¾
’podejrzane”o ekstremum i obliczyć wartości funkcji w punktach
brzegowych.
Przyk÷
ady patrz Zaporoz·ec, ”Metody rozwiazywania
¾
zadań z analizy matematycznej”punkt 783, Fichtenholz T1, punkt 200.
0.9
Ekstrema funkcji uwik÷
anych
W rozdziale tym poznamy sposób szukania ekstremów lokalnych funkcji y =
y (x1 ; :::; xn ) uwik÷
anych w dane równanie F (x1 ; :::; xn ; y) = 0 bez rozwiazy¾
0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK×ANYCH
43
wania tego równania wzgledem
¾
y (w wielu sytuacjach rozwiazania
¾
takiego
2
nie da sie¾ bowiem uzyskać, np. w równaniu sin y + ln y + x
xy = 2).
De…nition 0.9.1 Mówimy, ·ze funkcja y = y (x1 ; :::; xn ) ; (x1 ; :::; xn ) 2 0
Rn , jest zadana przez równanie (lub uwik÷ana w równanie) F (x1 ; :::; xn ; y) =
0; (x1 ; :::; xn ; y) 2
Rn+1 ; je·zeli
(x1 ; :::; xn ; y (x1 ; :::; xn )) 2
dla (x1 ; :::; xn ) 2
0
;
F (x1 ; :::; xn ; y (x1 ; :::; xn )) = 0 dla (x1 ; :::; xn ) 2 0 :
p
Np. funkcja y (x) = 1 x2 jest uwik÷
ana w równanie x2 + y 2 = 1:
Najtrudniejszym teoretycznie problemem jest stwierdzenie istnienia funkcji
uwik÷
anej y = y (x1 ; :::; xn ) w dane równanie F (x1 ; :::; xn ; y) = 0 spe÷
niajacej
¾ warunek poczatkowy
¾
y (x10 ; :::; xn0 ) = y0 taki, z·e F (x10 ; :::; xn0 ; y0 ) = 0:
@F
w tym punkcie.
Warunkiem tym jest nieznikanie pochodnej czastkowej
¾
@y
Nie bedziemy
¾
tego dowodzić z powodu d÷
ugiego i trudnego dowodu. Reszta
jest wzglednie
¾
÷
atwa, gdyz·bez trudności znajdziemy szukane pochodne funkcji
uwik÷
anej korzystajac
¾ z Tw. o pochodnej z÷
oz·enia. W terminach tych pochodnych moz·na wyrazić warunki konieczne i warunki wystarczajace
¾ na ekstremum
lokalne.
0.9.1
Ekstrema lokalne funkcji uwik÷
anych jednej zmiennej
Punktem wyjścia do szukania ekstremów lokalanych jest obliczenie pochodnych funkcji uwik÷
anej.
Theorem 0.9.2 (n=1) Za÷ó·zmy, ·ze F (x; y) jest dana¾funkcja¾2-zmiennych
w p÷askim otwartym obszarze
R2 klasy C 1 (t.j. z ciag÷
¾ ymi pochodnymi
@F
@F
i
).
Za÷
ó
z
my
dalej,
z
e
dany
jest
punkt
(x
bed
¾ acy
¾
czastkowymi
¾
·
·
0 ; y0 ) 2
@x
@y
rozwiazaniem
¾
równania F (x; y) = 0; t.j.
F (x0 ; y0 ) = 0:
Je´sli
to
@F
(x0 ; y0 ) 6= 0
@y
44
istnieje funkcja y = y (x) klasy C 1 okre´slona w otoczeniu (x0
punktu x0 i uwik÷ana w równanie F (x; y) = 0; t.j.
F (x; y (x)) = 0 dla x 2 (x0
"; x0 + ")
"; x0 + ")
i spe÷niajaca
¾ warunek poczatkowy
¾
y (x0 ) = y0 ;
pochodna funkcji y (x) w ka·zdym punkcie x z pewnego otoczenia punktu
x0 zadana jest wzorem
@F
@x
@F
@y
dy
(x) =
dx
(x; y (x))
:
(x; y (x))
Proof. Dowód cześci
¾ pierwszej pomijamy. Udowodnimy cześć
¾ druga.
¾
1
Niech y (x) bedzie
¾
funkcja¾klasy C uwik÷
ana¾w równanie F (x; y) = 0 spe÷
niajaca
¾ warunek poczatkowy
¾
y (x0 ) = y0 : Wtedy F (x; y (x)) = 0: Róz·niczkujemy te¾ funkcje¾ po zmiennej x
@F
dy
@F
(x; y (x)) +
(x; y (x)) : (x) = 0:
@x
@y
dx
Jeśli
@F
@y
(x0 ; y0 ) 6= 0 to z ciag÷
¾ ości
@F
@y
równiez·
otoczeniu punktu x0 : W otoczeniu tym
dy
dx
@F
@y
(x) =
(x; y (x)) 6= 0 w pewnym
@F
@x
@F
@y
(x;y(x))
(x;y(x))
:
Theorem 0.9.3 Je·zeli
funkcja F (x; y) jest klasy C 2 w otoczeniu punktu (x0 ; y0 ) (t.j. ma ciag÷
¾e
pochodne czastkowe
¾
do rzedu
¾ 2),
F (x0 ; y0 ) = 0;
@F
@y
(x0 ; y0 ) 6= 0;
to funkcja y = y (x) okre´slona w otoczeniu punktu x0 uwik÷ana w równanie F (x; y) = 0 i spe÷niajaca
¾ warunek y (x0 ) = y0 jest klasy C 2 ; przy
czym
0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK×ANYCH
je´sli
dy
dx
(x0 ) = 0 (czyli
@F
@x
45
(x0 ; y0 ) = 0) to
d2 y
dx2
(y0 ) =
@2F
(x0 ;y0 )
@x2
@F
(x
0 ;y0 )
@y
:
Proof. Pominiemy dowód, z·e funkcja uwik÷
ana jest klasy C 2 : Pokaz·emy
wzór wyraz·ajacy
¾ druga¾ pochodna.
¾ W tym celu dwukrotnie zróz·niczkujemy
równość F (x; y (x)) = 0: Pominiemy dla krótkości zapisu punkty w których
róz·niczkujemy (punkty ((x; y (x))) dla pochodnych czastkowych
¾
funkcji F
oraz x dla pochodnych funkcji y)
@F
dy
@F
(x; y (x)) +
(x; y (x))
(x) = 0:
@x
@y
dx
@ 2 F dy
@2F
+
+
@x2
@y@x dx
@2F
@2F
+
@x@y
@y 2
Wstawiamy punkt (x0 ; y0 ) : Uwzgledniaj
¾
ac
¾
dy
dx
dy
dx
dy @F
+
dx
@y
d2 y
= 0:
dx2
(x0 ) = 0 otrzymujemy
@2F
@F
d2 y
(x
;
y
)
+
(x
;
y
)
(x0 ) = 0:
0
0
0
0
@x2
@y
dx2
Stad
¾ natychmiast wynika szukany wzór.
Dzieki
¾ powyz·szemu twierdzeniu i warunkowi koniecznemu oraz warunkowi
wystarczajacemu
¾
na ekstremum lokalane funkcji jednej zmiennej (I semestr)
otrzymujemy jako wniosek poniz·sze twierdzenie.
Theorem 0.9.4 Je·zeli funkcja F (x; y) jest klasy C 2 w otoczeniu punktu
(x0 ; y0 ) oraz
F (x0 ; y0 ) = 0;
@F
@x
(x0 ; y0 ) = 0;
@F
@y
(x0 ; y0 ) 6= 0;
wówczas
gdy
@2F
(x0 ;y0 )
@x2
@F
(x
0 ;y0 )
@y
> 0 to funkcja y (x) uwik÷ana w równanie F (x; y) = 0 i
spe÷niajaca
¾ warunek y (x0 ) = y0 posiada w punkcie x0 minimum lokalne,
46
@2F
(x0 ;y0 )
@x2
@F
(x
0 ;y0 )
@y
< 0 to powy·zsza funkcja y (x) posiada w punkcie x0
maksimum lokalne.
gdy
Example 0.9.5 Zbada´c ekstrema lokalne funkcji y = y (x) uwik÷anej w równanie
F (x; y) = x3 + y 3 3axy = 0
gdzie a 6= 0 jest parametrem.
Rozwiazanie:
¾
Piszemy stosowny uk÷ad równa´n
F (x; y) = x3 + y 3
@F
= 3x2
@x
@F
= 3y 2
@y
3axy = 0;
3ay = 0;
3ax 6= 0:
Rozwiazanie
¾
otrzymanego uk÷adu jest najwieksza¾trudno´scia¾w takim zadaniu.
W tym przypadku mo·zemy wyznaczy´c y z drugiego równania i podstawi´c do
pierwszego:
y =
x3 +
x6
a3
x2
;
a
3x x2 = 0
x6
2x + 3 = 0
a
x3
= 0
2+ 3
a
3
x3
x3
2+ 3 =0
a
p
3
x = 0 lub x = 2a
x = 0 lub
Uwzgledniaj
¾
ac
¾ zwiazek
¾ y =
liczb
x2
a
stwierdzamy, ·ze rozwiazaniem
¾
sa¾ dwie pary
x = 0; y = 0;
zoraz
x=
p
3
2a; y =
p
3
4a:
0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK×ANYCH
47
W punkcie (0; 0) pochodna @F
= 3y 2 3ax = 0 i nie mo·zemy stwierdzi´c
@y
istnienia funkcji uwik÷anej dlaptego ppunktu. Punktem tym nie bedziemy
¾
sie¾
2
3
wiec
¾ zajmowa´c. W punkcie a 2; a 4 mamy
p
p
@F
3
3
a 2; a 4
@y
= 3 (y0 )2 3ax0
2
p
p
p
3
3
3
= 3 a 4
3a a 2 = 3a2 2 6= 0:
p
p
Dowodzi to istnienia funkcji uwik÷anej y (x) takiej, ·ze y 3 2a = 3 4a i tego,
p
3
·ze funkcja ta ma w punkcie x0 = 2a ekstremum lokalne. O rodzaju tego
ekstremum decyduje liczba
@2F
(x0 ; y0 )
@x2
@F
(x0 ; y0 )
@y
=
6x0
=
3 (y0 )2 3ax0
Zatem, dla a > 0 mamy maksimum lokalne bo
minimum lokalne, bo a2 > 0:
0.9.2
p
6a 3 2
p =
3a2 3 2
2
a
2
:
a
< 0 a dla a < 0 mamy
Ekstrema lokalne funkcji uwik÷
anych dwu zmiennych
Punktem wyjścia do szukania ekstremów lokalanych funkcji z = z (x; y)
uwik÷
anej w równanie F (x; y; z) = 0 jest obliczenie pochodnych czastkowych
¾
funcji z (x; y) przy pomocy funkcji F (x; y; z) :
Theorem 0.9.6 (n=2) Za÷ó·zmy, ·ze F (x; y; z) jest dana¾funkcja¾3-zmiennych
w przestrzennym otwartym obszarze
R3 i ·ze jest ona klasy C 1 . Za÷ó·zmy dalej, ·ze dany jest punkt (x0 ; y0 ; z0 ) 2 bed
¾ acy
¾ rozwiazaniem
¾
równania
F (x; y; z) = 0; t.j.
F (x0 ; y0 ; z0 ) = 0:
Je´sli
to
@F
(x0 ; y0 ; z0 ) 6= 0
@z
48
istnieje funkcja z = z (x; y) klasy C 1 okre´slona w otoczeniu
(x0 ; y0 ) i uwik÷ana w równanie F (x; y; z) = 0; t.j.
0
punktu
0
F (x; y; z (x; y)) = 0 dla (x; y) 2
i spe÷niajaca
¾ warunek poczatkowy
¾
z (x0 ; y0 ) = z0 ;
pochodne czastkowe
¾
funkcji z (x; y) sa¾w ka·zdym punkcie (x; y) z pewnego
otoczenia punktu (x0 ; y0 ) zadane wzorami
@z
(x; y) =
@x
@z
(x; y) =
@y
@F
@x
@F
@z
@F
@y
@F
@z
(x; y; z (x; y))
;
(x; y; z (x; y))
(x; y; z (x; y))
(x; y; z (x; y))
:
Je´sli funkcja F (x; y; z) jest klasy C 2 to wspomniana wy·zej funkcja uwik÷ana
z = z (x; y) jest te·z klasy C 2 , przy czym
je·zeli
dz
dx
(x0 ; y0 ) = 0;
dz
dy
(x0 ; y0 ) = 0 to
@2z
(x0 ; y0 ) =
@x2
@2z
(x0 ; y0 ) =
@x@y
@2z
(x0 ; y0 ) =
@y 2
@2F
(x0 ; y0 ; z0 )
@x2
;
@F
(x0 ; y0 ; z0 )
@z
@2F
(x0 ; y0 ; z0 )
@x@y
@F
(x0 ; y0 ; z0 )
@z
2
@ F
(x0 ; y0 ; z0 )
@y 2
@F
(x0 ; y0 ; z0 )
@z
;
(krócej mo·zna te wszystkie wzory zapisa´c w postaci zjij =
Fjij
:
Fjz
Dowód jako zadanie teoretyczne.
Dzieki
¾ powyz·szemu twierdzeniu i warunkowi koniecznemu oraz warunkowi wystarczajacemu
¾
na ekstremum lokalane funkcji dwu zmiennych otrzymujemy jako wniosek poniz·sze twierdzenie.
0.9. EKSTREMA FUNKCJI UWIK×ANYCH
49
Theorem 0.9.7 Je·zeli funkcja F (x; y; z) jest klasy C 2 w otoczeniu punktu
(x0 ; y0 ; z0 ) oraz
F (x0 ; y0 ; z0 ) = 0;
@F
@x
(x0 ; y0 ; z0 ) = 0;
@F
@y
(x0 ; y0 ; z0 ) = 0;
@F
@z
(x0 ; y0 ; z0 ) 6= 0;
wówczas, gdy
@2F
@x2
@2F
@x@y
@2F
@x@y
@2F
@y 2
(x0 ;y0 ;z0 )
@2F
=
@x2
@2F
@y 2
@2F
@x@y
2
>0
to funkcja z (x; y) uwik÷ana w równanie F (x; y; z) = 0 i spe÷niajaca
¾
warunek z (x0 ; y0 ) = z0 posiada w punkcie (x0 ; y0 ) ekstremum lokalne,
przy czym
gdy
@2F
(x0 ;y0 )
@x2
@F
(x0 ;y0 )
@y
> 0 to jest to minimum lokalne,
gdy
@2F
(x0 ;y0 )
@x2
@F
(x
0 ;y0 )
@y
< 0 to jest to maksimum lokalne.
Uwaga. Uz·ycie powyz·szego wyznacznika uzasadnione jest nastepuj
¾ aco:
¾
@2z
@x2
@2z
@x@y
@2z
@x@y
@2z
@y 2
=
i znaki obu wyznaczników
@2F
@x2
@F
@z
@2F
@x@y
@F
@z
@2z
@x2
@2z
@x@y
@2F
@x@y
@F
@z
@2F
@y 2
@F
@z
@2z
@x@y
@2z
@y 2
=
oraz
1
@F 2
@z
@2F
@x2
@2F
@x@y
@2F
@x2
@2F
@x@y
@2F
@x@y
@2F
@y 2
@2F
@x@y
@2F
@y 2
sa takie same.