Mathcad - Przekrój zginany pojedynczo zbrojony EC2

Parametry przekroju
Przekrój żelbetowy prostokątny wg PN-EN 1992-2 (EC2)
(Opracowanie: dr inż. Dariusz Sobala, v. 20110402)
Ogólne parametry modelu/przekroju:
f
Wytrzymałośç charaklterystyczna betonu na ściskanie
ck
:= 40 ⋅ MPa
Moduł sprężystości betonu wyznaczony zgodnie z EC2 na podstawie fck:
⎡
⎛ f
⎞⎤
⎢
⎜ ck
⎟⎥
E
:= 22 ⋅ ⎢0.1 ⋅ ⎜
+ 8⎟⎥
cm
⎣
⎝ MPa
⎠⎦
0.3
⋅ GPa = 35.22 ⋅ GPa
Współczynnik materiałowy dla betonu:
γ := 1.4
c
Współczynnik uwzgledniajacy różnicę wytrzymałości betonu
uzyskaną na próbkach i w konstrukcji:
α := 0.85
cc
Współczynnik kształtu rozkładu naprężeń w strefie ściskanej betonu:
η := 1.0
Współczynnik wysokości bloku zastępczego strefy ściskanej betonu:
λ := 0.8
Maksymalne odkształcenie betonu na krawędzi sciskanej przy zginaniu:
ε
cu3
Maksymalne odkształcenie betonu przy ściskaniu:
ε
c3
Wysokośç przekroju:
h := 400 ⋅ mm
Szerokośç przekroku żelbetowego:
b := 400 ⋅ mm
Wytrzymałośç charakterystyczna stali zbrojeniowej:
f
Współczynnik materiałowy dla stali zbrojeniowej:
γ := 1.15
s
Moduł odkształcenia stali zbrojeniowej:
E := 200 ⋅ GPa
s
f
Minimalne wymagane odkształcenie stali
zbrojeniowej odpowiadające odkształceniu
uplastycznjającemu:
ε
slim
:=
yk
E ⋅γ
s s
yk
:= 0.0035
:= 0.0020
:= 500 ⋅ MPa
= 0.00217
Zbrojenie:
Dolne (1):
Górne (2):
Liczba prętów zbrojenia głównego:
n
n
Średnica prętów zbrojenia głównego:
ϕ := 12 ⋅ mm
s1
ϕ := 12 ⋅ mm
s2
Średnica strzemion:
ϕ
:= 5 ⋅ mm
ss1
ϕ
:= 5 ⋅ mm
ss2
Otulina zbrojenia:
o := 59 ⋅ mm
s1
o := 59 ⋅ mm
s2
s1
:= 10
Powierzchnia zbrojenia dolnego:
A := n ⋅ π ⋅
s1
s1
Wysokośç czynna przekroju:
d
ϕ
s1
Odległośç osi zbrojenia górnego od
d
krawędzi ściskanej przekroju:
Odkształcenie stali zbrojeniowej:
ε
:= 10
2
= 1131 ⋅ mm
4
2
1
:= h − o − ϕ
−
⋅ ϕ = 330 ⋅ mm
1
s1
ss1 2
s1
ϕ
s2
A := n ⋅ π ⋅
s2
s2
Powierzchnia zbrojenia górnego:
s2
2
= 1131 ⋅ mm
4
2
1
:= o + ϕ
+
⋅ ϕ = 70 ⋅ mm
2
s2
ss2 2
s2
s1
( x) := ε
x−d
cu3
⋅
1
ε
x
s2
( x) := ε
x−d
cu3
⋅
x
zbrojeniowej:
⎛⎜ ε ( x)
ε ( x)
ε ( x) ⎟⎞
s1
s1
s1
ρ ( x) := if ⎜
>1,
,
⎟
1
ε
ε ( x)
⎜ ε slim
slim ⎟⎠
s1
⎝
- górnej
⎛⎜ ε ( x)
ε ( x)
ε ( x) ⎟⎞
s2
s2
s2
ρ ( x) := if ⎜
>1,
,
⎟
2
ε
ε ( x)
⎜ ε slim
slim ⎟⎠
s2
⎝
Poziom wykorzystania nośności stali
- dolnej:
Maksymalna siła przenoszona
przez zbrojenie:
F
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
ε
Maksmalna wartośç x:
Siła przenoszona przez beton:
x
:=
max
F ( x) :=
c
ε
yk
γ
+ε
slim
α ⋅η ⋅f
cc
ck
c
F
s
cu3
cu3
γ
f
⋅d
⋅b ⋅
1
( x) := ρ ( x) ⋅
s2
2
= 204 ⋅ mm
h
λ ⋅x
if
x>
h
λ
otherwise
f
2
yk
γ
s
⋅A
s2
Parametry przekroju
Przekrój pojedynczo zbrojony
Przekrój żelbetowy prostokątny pojedynczo zbrojony
Schemat przekroju zginanego pojedynczo zbrojonego z oznaczeniami
Sformyłowanie warunków brzegowych i rozwiązanie równania równowagi sił
w przekroju:
x := 188 ⋅ mm
Wartosç początkowa wysokości strefy ściskanej betonu:
Given
Warunek równowagi sił poziomych :
Warunki dla położenia osi obojętnej:
F
x > 0 ⋅ mm
s1
( x) + F ( x) = 0
c
( x) ≤ −ε
x≤x
max
Warunek uplastycznienia zbrojenia:
ε
Położenie osi obojętnej przekroju:
x := Find ( x)
s1
slim
x = 63 ⋅ mm
UWAGA! Brak rozwiązania świadczy o zbyt dużej powierzchni zbrojenia (znaczna siła w
zbrojeniu, która nie może byç zrównoważona odpowiednią nosnością betonu) lub o zbyt
małej wysokości konstrukcyjnej elementu. Element może wymagaç podwójnego zbrojenia.
Siła przenoszona przez beton:
F ( x) = 492 ⋅ kN
c
Siła przenoszona przez zbrojenie:
F
Odkształecenie stali zbrojeniowej:
ε
Ramię działania sił poziomych w przekroju:
z
s1
s1
1
( x) = −492 ⋅ kN
( x) = −0.015
:= d
Nośnośç przekroju zginanego pojedynczo zbrojonego:
M
:= F ( x) ⋅ z
max
c
1
Przekrój pojedynczo zbrojony
Przekrój podwójnie zbrojony
1
−
λ ⋅x
2
M
= 150 ⋅ kN ⋅ m
max
ε
s1
= 305 ⋅ mm
( x) ≤ −ε
slim
=1
Mimośrodowo ściskany
Przekrój żelbetowy mimośrodowo ściskany
zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)
Dla x<h w przekroju występują włókna rozciągane . Odkształcenie graniczne betonu
występujące na krawędzi ściskanej odpowiada wartości εcu3, czyli wartości 0.0035.
Dla x>h w przekroju nie występuje rozciąganie . Odkształcenie graniczne betonu występujące
w punkcie C odpowiada wartości εc3, czyli wartości 0.0020.
Położenie punktu charakterystycznego przekroju:
Odkształcenia w tym punkcie nie mogą przekroczyç
wartości εc3 (czyli 0.002).
ε
s2
( x) :=
x−d
0.0035 ⋅
2
x
7 ⋅ ⎛x − d
0.002 ⋅
⎝
if
x≤h
ε
s1
⎛⎜
⎞
ε
c3 ⎟
x := ⎜ 1 −
⎟ ⋅ h = 171 ⋅ mm
c
ε
⎜
cu3 ⎟⎠
⎝
( x) :=
d
−0.0035 ⋅
⎞
2⎠
( 7 ⋅ x − 3 ⋅ h)
if
1
−x
7 ⋅ ⎛x − d
x>h
0.002 ⋅
if
x
⎝
x≤h
⎞
1⎠
( 7 ⋅ x − 3 ⋅ h)
if
x>h
Rozpatrywane modele zniszczenia:
Model 1. W modelu zakłada się , że εs1>εslim. Model związny jest z dużym mimośrodem
działania siły, małymi wysokościami strefy ściskanej oraz zniszczeniem przez
uplastycznienie stali , a następnie skruszeniem betonu. Nośnośç w tym zakresie zmienia się
od nośności przekroju przy czystym zginaniu do nosności przekroju wyznaczonej dla
Modelu 2.
Model 2. W modelu zakłada się , że w stali zbrojeniowej górnej (zlokalizowanej bliżej strefy
ściskanej) odkształcenia są równe "zero".
Położenie osi obojętnej przekroju:
W tym przypadku:
x := d
2
= 0m
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 544 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
ε
s2
( x) = 0
ρ ( x) = 0 ⋅ %
2
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
F
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
ε
lub rozciąganej:
s2
s1
( x) = 0 ⋅ kN
( x) = −0.013
ρ ( x) = −100 ⋅ %
1
F
Siła stali przy krawędzi mniej ściskanej:
F
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
( x) = −492 ⋅ kN
f
yk
γ
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 52 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
M
:= F ( x) ⋅
−
+ F ( x) ⋅
−d
+ F ( x) ⋅
−d
= 157 ⋅ kN ⋅ m
max
c
s2
2⎟
s1
1⎟
⎜2
⎜2
⎜2
2 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
Model 3. Zniszczenie przy ściskaniu. Pierwszy z punktów charakterystycznych to punkt
przegięcia krzywej interakcyjnej.
ε
Położenie osi obojętnej przekroju:
x :=
W tym przypadku:
ε
cu3
cu3
⋅d
−ε
2
slim
= 185 ⋅ mm
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 1436 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej
ε
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
F
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej
ε
ściskanej:
ściskanej lub rozciąganej:
Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:
s2
( x) = 0.002174
s2
s1
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
( x) = 492 ⋅ kN
( x) = −0.002752
F
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
F
( x) = −492 ⋅ kN
s1
ρ ( x) = −100 ⋅ %
1
f
yk
γ
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 1436 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
M
:= F ( x) ⋅
−
+ F ( x) ⋅
−d
+ F ( x) ⋅
−d
= 309 ⋅ kN ⋅ m
max
c
s2
2⎟
s1
1⎟
⎜2
⎜2
⎜2
2 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
Model 4. W modelu zakłada się , że w stali rozciaganej występują odkształcenia równe
uplastyczniającym przy jednoczesnym osiągnięciu granicznych odkształceń na krawędzi
ściskanej.
x := x
= 204 ⋅ mm
max
Położenie osi obojętnej przekroju:
W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 1582 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
ε
s2
( x) = 0.002296
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
F
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:
ε
s2
s1
( x) = 492 ⋅ kN
( x) = −0.002174
ρ ( x) = −100 ⋅ %
1
Siła stali przy krawędzi mniej ściskanej:
F
F
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
f
yk
γ
( x) = −492 ⋅ kN
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 1582 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎛⎜ h
⎞⎟
⎞⎟
M
:= F ( x) ⋅
−
+ F ( x) ⋅
−d
+ F ( x) ⋅
−d
= 315 ⋅ kN ⋅ m
⎜2
⎜2
⎜2
max
c
s2
2⎟
s1
1⎟
2 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
Model 5. Zniszczenie przy ściskaniu. Odkształcenia w zbrojeniu dolnym są "zerowe".
Położenie osi bezwładności przekroju:
x := d
1
W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:
Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:
F ( x) = 2565 ⋅ kN
c
ε
s2
F
ε
s2
s1
F
F
( x) = 0.002758
( x) = 492 ⋅ kN
( x) = 0
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
( x) = 0 ⋅ kN
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 3056 ⋅ kN
c
s2
s1
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
ρ ( x) = 0 ⋅ %
1
f
yk
γ
s
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
M
:= F ( x) ⋅
−
+ F ( x) ⋅
−d
+ F ( x) ⋅
−d
= 238 ⋅ kN ⋅ m
max
c
s2
2⎟
s1
1⎟
⎜2
⎜2
⎜2
2 ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
Model 6. Zniszczenie przy ściskaniu. Oś obojętna na krawędzi dolnej przekroju:
Położenie osi bezwładności przekroju:
x := h
W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 3109 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
ε
s2
F
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
ε
lub rozciąganej:
Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:
s2
s1
F
F
( x) = 0.002887
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
( x) = 492 ⋅ kN
( x) = 0.000613
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
ρ ( x) = 28.175 ⋅ %
1
f
yk
γ
( x) = 139 ⋅ kN
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 3739 ⋅ kN
c
s2
s1
Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:
⎞
⎞
⎛⎜ h λ ⋅ x ⎞⎟
⎛⎜ h
⎛⎜ h
⎟
⎟
M
:= F ( x) ⋅
−
+ F ( x) ⋅
−d
+ F ( x) ⋅
−d
max
c
s2
2
s1
1
⎜2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ = 170 ⋅ kN ⋅ m
2 ⎠
⎝
⎝2
⎠
⎝2
⎠
Model 7. Zniszczenie przy bardzo dużym mimośrodziedziałania siły.
Położenie osi obojętnej przekroju:
x := 1 ⋅ h = 0.4 m
W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:
F ( x) = 3109 ⋅ kN
c
Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
ε
Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:
F
Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
ε
lub rozciąganej:
Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:
s2
s2
s1
F
F
( x) = 0.002887
ρ ( x) = 100 ⋅ %
2
( x) = 492 ⋅ kN
( x) = 0.000613
( x) := ρ ( x) ⋅ A ⋅
s1
1
s1
s1
( x) = 139 ⋅ kN
ρ ( x) = 28 ⋅ %
1
f
yk
γ
s
Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:
N
max
:= F ( x) + F ( x) + F ( x) = 3739 ⋅ kN
c
s2
s1
Mkasymalny moment zginający jaki można przyłozyç do przekroju:
Maksymalny moment
zginający jaki
⎛⎜
⎞⎟ przyłożyç do przekroju:
h można
h
if
x
>
⎜
⎟
λ
Maksymalny moment zginający jaki
można przyłożyç do przekroju:
⎜
⎜
⎜h
M
:= F ( x) ⋅
⎜2 −
max
c
⎝
λ ⋅x
⎟
⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎛⎜ h
⎞⎟
⎟
⎟ + Fs2 ( x) ⋅ ⎜ 2 − d2⎟ + Fs1 ( x) ⋅ ⎜ 2 − d1⎟ = 170 ⋅ kN ⋅ m
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
otherwise
2
Mimośrodowo ściskany
Osiowo ściskany
Przekrój żelbetowy ściskany zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)
Współczynnik wysokości bloku zastępczego strefy ściskanej betonu:
λ := 1.0
Nośnośç przekroju przy czystym ściskaniu bez wyboczenia:
N
max
:=
α ⋅η ⋅f
cc
ck
γ
c
⋅λ ⋅b ⋅h +
f
yk
γ
s
⎛ A + A ⎞ = 4869 ⋅ kN
s2⎠
⎝ s1
Osiowo ściskany
Osiowo rozciągany
Przekrój żelbetowy rozciągany zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)
Nośnośç elementu żelbetowego na rozciąganie wynika wprost z nośnośći zbrojenia.
N
Osiowo rozciągany
f
min
:=
yk
γ
s
⎛ A + A ⎞ = 983 ⋅ kN
s2⎠
⎝ s1