2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ
Transkrypt
2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ
2. ZAGADNieNiA GeOMetrYcZNe GeODeZJi WYŻSZeJ 2.1. eLipSOiDA OBrOtOWA JAKO pOWierZcHNiA ODNieSieNiA 2.1.1. elementarne związki pomiędzy parametrami elipsoidy Elipsoida obrotowa spłaszczona jest następną po geoidzie powierzchnią odniesienia przybliżającą kształt Ziemi. Elipsoida jest powierzchnią, którą można opisać analitycznie (geoidy nie). Powierzchnia ta została wprowadzona w geodezji po to, aby w stosunkowo prosty sposób można było rozpatrywać związki matematyczne między elementami sieci geodezyjnej zrzutowanej na powierzchnię elipsoidy i obliczać współrzędne punktów sieci, by można było na podstawie sieci sporządzać mapy, odwzorowawszy uprzednio powierzchnię elipsoidy na płaszczyznę. Rys. 2.1. Powierzchnie odniesienia: geoida i elipsoida Zdefiniujemy najpierw kształt i rozmiary elipsoidy. Oznaczymy przez a dużą, równikową półoś elipsoidy, zaś przez b małą, biegunową półoś. Kształt elipsoidy określa się za pomocą parametru zwanego spłaszczeniem elipsoidy. Spłaszczenie określimy jako: 31 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej f = a −b . a (2.1) Niekiedy f nazywamy spłaszczeniem elipsy południkowej, tzn. takiej, jaka powstaje w wyniku przekroju elipsoidy płaszczyzną zawierającą małą półoś b. Do oznaczenia spłaszczenia używa się także litery greckiej α. Mimośrody elipsoidy: ‘pierwszy’ e i ‘drugi’ e´ definiują następujące wzory: e2 = a 2 − b2 , a2 e′2 = a 2 − b2 . b2 Satelitarne wyznaczenia spłaszczenia i dużej półosi elipsoidy ziemskiej, aproksymującej geoidę na obszarze całej Ziemi, dały następujące wyniki (Geodetic Reference System 1980, Moritz, 1984): f = 298.257–1 ± 5×10–6, a = 6 378 137 m ± 3 m. Rys. 2.2. Elipsoida obrotowa Dwa parametry liniowe (a,b) albo jeden parametr liniowy i jeden parametr kształtu, a więc (a,f ), (a,e2), (a,e´2) itd., określają elipsoidę. Z definicji spłaszczenia można wyliczyć, że mała półoś elipsoidy GRS’80 wynosi b = 6 356 749 m, zaś różnica długości dużej i małej półosi6 a – b = 21 358 m. Można łatwo wykazać następujące, ważniejsze związki pomiędzy parametrami elipsoidy obrotowej: a= b 1− e 2 , b = a 1 − e2 , f = 1− b = 1 − 1 − e2 , a 6 Zapamiętanie przybliżonych wartości: a ≈ 6 378 km, f ≈ 1/300, a – b ≈ 21 km daje pogląd na rozmiary i kształt naszej Planety. 32 (2.3) Elipsoida obrotowa (1 − e 2 ) (1 + e′2 ) = 1, e′2 = e2 , 1 − e2 e2 = 2f – f 2, e2 = e′2 , 1 + e′2 e2 ≈ 2f . Równanie powierzchni elipsoidy obrotowej, wyrażone przez współrzędne prostokątne, podaje się zazwyczaj w postaci: x2 + y 2 z 2 + 2 = 1. a2 b (2.4) Wprowadziwszy oznaczenia: τ= a2 = 1 + e′2 b2 albo τ −1 = 1 − e 2 , (2.5) równanie elipsoidy (2.4) będziemy często zapisywać w postaci: x2 + y2 + τ z2 = a2 . (2.6) 2.1.2. Układ współrzędnych geodezyjnych B, L Współrzędne geodezyjne (krzywoliniowe) na powierzchni elipsoidy obrotowej definiujemy analogicznie jak współrzędne naturalne [1.2.4]. Szerokość geodezyjna B (0º÷±90º( SN ) to kąt, jaki tworzy normalna do elipsoidy z płaszczyzną równika geodezyjnego. Ten zaś jest kołem powstałym w wyniku przekroju elipsoidy obrotowej płaszczyzną, do której oś obrotu elipsoidy jest prostopadła i która zawiera środek elipsoidy O. Prowadząc pęk płaszczyzn przez oś Oz (małą półoś b), uzyskamy przekroje o kształcie elips zwanych południkami geodezyjnymi. Kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną południka początkowego zawierającego oś Ox i płaszczyzną południka zawierającego E punkt P nazywamy długością geodezyjną L (00÷360º( W) lub (0º÷±180º( EW). Południk geodezyjny jest linią stałej długości L = const. Linia stałej szerokości geodezyjnej (równoleżnik geodezyjny) B = const. jest kołem, którego płaszczyzna jest prostopadła do osi Oz. Równoleżnik, dla którego B = 0, to równik. Promień równoleżnika łatwo wyliczymy ze współrzędnych prostokątnych, rzutując punkt P na płaszczyznę równika p = x2 + y 2 . (2.7) 33 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej Rys. 2.3. Współrzędne geodezyjne i współrzędne prostokątne 2.1.3. przekroje normalne elipsoidy obrotowej i ich krzywizny Normalna do elipsoidy w punkcie P leży w płaszczyźnie południka i przecina oś elipsoidy w punkcie OP (rys. 2.4). Ze względu na spłaszczenie biegunowe elipsoidy punkt OP znajduje się po przeciwnej stronie równika niż punkt P. Prowadząc przez normalną w punkcie P pęk płaszczyzn, otrzymamy przekroje normalne elipsoidy. W teorii powierzchni (np. Finikow, 1956) dowodzi się, że w każdym punkcie powierzchni istnieją takie dwa wzajemnie prostopadłe przekroje normalne, których krzywe charakteryzują się ekstremalnymi krzywiznami. Nazywa się je przekrojami w kierunkach głównych. Na powierzchni elipsoidy obrotowej, z wyjątkiem jej biegunów, są to kierunki południka geodezyjnego (krzywizna maksymalna M –1) oraz kierunek wertykału prostopadłego do południka, zwanego pierwszym wertykałem (krzywizna minimalna N –1). Krzywiznę dowolnego przekroju normalnego o azymucie A można wyznaczyć na podstawie krzywizn w kierunkach głównych M –1, N –1, korzystając z twierdzenia Eulera cos 2 A sin 2 A . + M N Promień krzywizny południka M wyznaczymy na podstawie rysunku 2.4 jako: RA−1 = M= 34 ds . dB (2.8) (2.9) Elipsoida obrotowa Rys. 2.4. Promień krzywizny południka M Wzór ten można łatwo przekształcić do postaci 1 dp M= , sin B dB (2.10) uwzględniając ds wyrażone poprzez dp i dz. Wstawiwszy następnie (2.7) do równania elipsoidy (2.4) otrzymamy po zróżniczkowaniu i konfrontacji z rysunkiem 2.4: dz b2 p =− = − cot B. dp z a2 (2.11) To ostatnie wyrażenie skojarzone z równaniem elipsoidy (2.4) pozwala zapisać promień równoleżnika p w postaci: p= a cos B 1 − e 2 sin 2 B , (2.12a) . (2.13) zaś współrzędną z jako: z= a (1 − e 2 ) sin B 1 − e 2 sin 2 B We wzorze (2.10) występuje różniczka dp/dB, którą wyznaczamy z (2.12a). Po podstawieniu wyniku różniczkowania do (2.10) otrzymamy: M= a (1 − e 2 ) (1 − e 2 sin 2 B)3 . (2.14) 35 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej Wyrażenie na promień równoleżnika (2.12a) daje podstawę do wyznaczenia promienia krzywizny w pierwszym wertykale, jeśli skorzystamy z twierdzenia Meusniera (por. Finikow, 1956, str. 218) mówiącego, że promień krzywizny przekroju ukośnego, mającego wspólną styczną z przekrojem normalnym, może być wyrażony przez zrzutowanie promienia krzywizny przekroju normalnego na kierunek promienia przekroju ukośnego. Wobec tego oraz p = N cos B , (2.12b) (2.15) N= a 2 1 − e sin 2 B Rys. 2.5. Promień krzywizny pierwszego wertykału N Z porównania wzorów na M i N wynika, że N ≥ M. Zauważymy także, że na równiku (B = 0) będzie: b2 N0 = a , M0 = , a na biegunach zaś a2 (2.16) =c b Powtarzające się wyrażenia w mianownikach wzorów (2.12÷2.15) oznaczymy przez M90 = N90 = W = 1 − e 2 sin 2 B , (2.17a) a także wprowadzimy inne oznaczenie V = 1 + e′2 cos 2 B . (2.17b) Wykorzystując te oznaczenia oraz (2.16), możemy zapisać wyrażenia na M i N zwięźle, w postaci dogodnej do rachunków 36 Elipsoida obrotowa M= a (1 − e 2 ) c = 3, W3 V N= a c = , W V M= N . V2 (2.18) Cytowany wyżej wzór Eulera (2.8) daje podstawę do wyznaczenia średniego promienia krzywizny RS jako granicy, do której dąży średnia arytmetyczna krzywizn wszystkich przekrojów normalnych w rozpatrywanym punkcie. Tworząc sumę nieskończenie wielu promieni krzywizny RA( 02π , otrzymamy RS w postaci średniej wartości całki 2 RS = π π 2 ∫ N cos 0 2 M N dA, A + M sin 2 A której rozwiązanie RS = M N = c V2 (2.19) daje proste wyrażenie dla zastosowań praktycznych. Wiele zagadnień geodezji wyższej rozwiązuje się za pomocą kuli o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny RS. 2.1.4. Szerokość geocentryczna i szerokość zredukowana Szerokością geocentryczną ψ nazywamy kąt, jaki tworzy promień wodzący punktu P znajdującego się na powierzchni elipsoidy z płaszczyzną równika. Z rysunku 2.6 wynika, że z tanψ = . p Uwzględniając (2.12) i (2.13) otrzymamy: tan ψ = (1 – e2) tan B . (2.20) Szerokość geocentryczna pozwala wyrazić współrzędne prostokątne punktów leżących na powierzchni elipsoidy przez współrzędne biegunowe x y = r z cosψ cos L cosψ cos L . sinψ (2.21) Promień wodzący r = x 2 + y 2 + z 2 możemy zapisać inaczej, podstawiając (2.21) do równania elipsoidy (2.4) r=a 1 − e2 1 − e 2 cos 2 ψ (2.22) 37 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej Rys. 2.6. Szerokość geocentryczna ψ i szerokość zredukowana β Wzór 2.20 można przekształcić i otrzymać wzór przybliżony B −ψ ≈ e2 sin 2 B, 2 (2.23) przydatny do oszacowania różnicy ( B −ψ ) max( B = 45o ) ≈ 11.6′ , Szerokość zredukowaną β otrzymamy, rzutując punkt P prostą równoległą do osi Oz z powierzchni elipsoidy na kulę o promieniu a. Promień wodzący rzutu P∗ tworzy z płaszczyzną równika kąt β – szerokość zredukowaną. Z rysunku 2.6. wynika, że tan β = Po prostych przekształceniach otrzymamy a2 − p2 . p tan β = 1 − e 2 tan B . Różnica B – β wyrazi się w przybliżeniu przez 1 B − β ≈ e 2 sin 2 B. 4 Wobec tego B – β można oszacować ( B − β ) max( B = 45o ) ≈ 5.8′. 38 (2.24) Elipsoida obrotowa 2.1.5. równania parametryczne elipsoidy obrotowej Biorąc wzór (2.12): p = N cos B , a następnie (2.13) i (2.15), napiszemy z = N (1 – e2) sin B . Wziąwszy ponadto wzór (2.7) możemy, patrząc na rysunek 2.3, napisać x = p cos L , y = p sin L . Powyższe stanowią podstawę równań cos B cos L x y = N cos B sin L , τ −1 sin B z τ −1 = 1 − e 2 , (2.25a) zwanych parametrycznymi równaniami elipsoidy obrotowej. Wprowadźmy jednostkowy wektor normalny elipsoidy n (zaznaczony na rys. 2.3) cos B cos L n = cos B sin L , sin B (2.26) oraz diagonalną macierz kształtu elipsoidy F = diag(1, 1, τ). Rys. 2.7. Współrzędne elipsoidalne przestrzenne B, L, H i współrzędne prostokątne x, y, z Równanie parametryczne elipsoidy możemy teraz zapisać następująco: 39 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej x re = y = N F −1 n . z (2.25b) Z rysunku 2.7 wynika, że r = re +n H . (2.27) Zatem, znając współrzędne geodezyjne punktu B i L oraz wysokość elipsoidalną punktu H, możemy znaleźć współrzędne prostokątne punktu P(x, y, z) określone wektorem wodzącym r. Zadanie odwrotne, tzn. obliczenie współrzędnych geodezyjnych B, L, H na podstawie współrzędnych prostokątnych x, y, z, zazwyczaj proponuje się rozwiązywać iteracyjnie (zob. Heiskanen i Moritz, 1981, str. 183). Inne, bezpośrednie rozwiązanie tego zadania podamy w [6.3.2], przy okazji prezentacji metod wykorzystania pomiarów satelitarnych w zagadnieniach geodezji wyższej. 2.2. LiNiA GeODeZYJNA NA pOWierZcHNi eLipSOiDY OBROTOWEJ 2.2.1. Linia geodezyjna a przekroje normalne Normalne do powierzchni elipsoidy obrotowej w punktach P1, P2 są wichrowate, z wyjątkiem szczególnego wzajemnego usytuowania punktów (obydwa punkty znajdują się na tym samym południku lub równoleżniku). Zatem płaszczyzny przekrojów normalnych z P1 do P2 i z P2 do P1 (tzw. wzajemnych przekrojów normalnych) i krzywe tych przekrojów z reguły nie pokrywają się (rys. 2.8). Rozbieżność przekrojów normalnych ( α1′ − α1′′ ) może osiągać 0.02” dla s = 50 km i powinna być brana pod uwagę przy obliczeniach. Przy odległościach mniejszych, rzędu 20 km, co miało miejsce w sieciach geodezyjnych zakładanych tradycyjnymi technikami obserwacji naziemnych, można było te rozbieżności zaniedbywać. Rys. 2.8. Wzajemne przekroje normalne i linia geodezyjna Nowe, satelitarne technologie wprowadziły do sieci geodezyjnych boki o długościach kilkusetkilometrowych. W technologiach opracowania sieci tradycyjnych także wyliczano ‘łącznice’ długich łańcuchów triangulacyjnych osiągające ten sam rząd. Przy takich odległościach rozbieżności przekrojów normalnych prowadziłyby już do poważnych niejednoznaczności w definicji figur na powierzchni elipsoidy. 40 Linia geodezyjna Stąd wyniknęła konieczność zdefiniowania linii łączącej jednoznacznie dwa punkty na elipsoidzie. Jest nią linia geodezyjna – najkrótsza odległość dwóch punktów na powierzchni. Linia geodezyjna na pewnej powierzchni to taka linia, której normalna główna w każdym punkcie ma kierunek normalnej do powierzchni. To samo można wyrazić poprzez warunek zerowej wartości krzywizny geodezyjnej κg , którą zapisujemy jako iloczyn mieszany wektorów: r′, r″ i n κg = (r´ × r″ ) ⋅ n = 0 (2.28a) gdzie r´ oznacza wektor styczny do powierzchni, r″ oznacza wektor krzywizny (´ i ″ to symbole pierwszych i drugich pochodnych względem parametru naturalnego), n to wprowadzony już wyżej wektor normalny do powierzchni (2.26). Przypomnijmy, że krzywizną geodezyjną nazywa się krzywiznę rzutu prostokątnego krzywej na płaszczyznę styczną do powierzchni. Warunek (2.28a) stanowi ogólny zapis własności linii geodezyjnej na dowolnej powierzchni i przedstawia sobą równanie różniczkowe drugiego rzędu. Mając na myśli elipsoidę obrotową, wprowadzimy do tego równania współrzędne geodezyjne B i L (L = L(B) dla powierzchni obrotowej). Wynik takiego podstawienia ma postać: 3 d 2 B 2 dp 1 dM dL p dp dL + + − (2.28b) = 0. dL2 p dB M dB dB M 2 dB dB Całkowanie tego równania prowadzi do ważnej własności linii geodezyjnej. Aby dokonać całkowania, trzeba najpierw wprowadzić podstawowe zależności różniczkowe dla linii geodezyjnej na powierzchni elipsoidy obrotowej. Rozpatrzmy zależności wynikające z rysunku 2.9. Element łuku południka odpowiadający elementowi ds łuku linii geodezyjnej wyrazimy przez M dB. Odpowiedni element łuku równoleżnika to p dL = N cosB dL. Z prostokątnego trójkąta elementarnego wynikają natychmiast dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu: sin A dB cos A dL (2.29a) . = , = ds M ds N cos B Rys. 2.9. Elementarny trójkąt na powierzchni elipsoidy 41 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej W wyniku całkowania równania (2.28b), wykorzystując równania (2.29a), otrzymamy tzw. równanie Clairauta linii geodezyjnej N cos B sin A = c = const. (2.30a) Równanie to wyraża własność linii geodezyjnej mówiącą o tym, że iloczyn promienia równoleżnika (p = N cosB) i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest wielkością stałą dla całej linii. Tę stałą można interpretować jako promień równoleżnika pc, do którego linia geodezyjna jest styczna i ma azymut 90º (c = pc sin 90º = pc ). dp = cos A sin B ds Równanie Clairauta wyrażone poprzez szerokość zredukowaną β ma następującą postać: Rys. 2.10. a cosβ sin A = c. (2.30b) Trzecie równanie różniczkowe pierwszego rzędu względem parametru naturalnego s (dla azymutu) otrzymamy różniczkując równanie Clairauta względem s. Posiłkując się rysunkiem 2.10 otrzymamy dA sin A tan B = . (2.29b) ds N Linię geodezyjną i wzajemne przekroje normalne charakteryzują następujące przybliżone wzory (odnoszące się do rysunku 2.8): α1′ − α1 = e2 s 2 cos 2 B1 sin 2α1 + ... , 12a 2 (2.31) s′ − s = 4 5 es cos 4 B1 sin 2 2α1 + ... , 360a 4 na których podstawie można wyliczyć: 42 Linia geodezyjna s= 50 km 100 km 200 km α´1 – α1 0.007″ 0.028″ 0.112″ S´ – s 2⋅10 –11 m 9⋅10 –10 m 2⋅10–8 m 2.2.2. trójkąty geodezyjne i ich rozwiązywanie Trójkątem geodezyjnym nazywamy trójkąt na powierzchni elipsoidy obrotowej utworzony przez trzy łuki linii geodezyjnych. Pod pojęciem rozwiązywania trójkąta geodezyjnego rozumiemy obliczanie jego elementów na podstawie znanych trzech elementów, w tym przynajmniej jednego boku oraz znanego położenia trójkąta na elipsoidzie. Małe trójkąty geodezyjne, tzn. takie, których boki nie są dłuższe niż 90 km, można rozwiązywać traktując je jako trójkąty położone na kuli o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny, obliczonemu dla szerokości równej średniej arytmetycznej z wartości szerokości wierzchołków trójkąta. W celu rozwiązania trójkąta posługujemy się tzw. twierdzeniem Legendre’a, które mówi, że mały trójkąt sferyczny można rozwiązać zamieniając go na trójkąt płaski, w którym długości boków pozostają niezmienione w stosunku do odpowiednich długości na sferze, każdy kąt zaś jest zmniejszony o 13 tzw. nadmiaru sferycznego. Wyrażenie określające nadmiar sferyczny albo eksces sferyczny łatwo wyprowadzić pisząc wzory cosinusowe dla boków trójkąta sferycznego, wyznaczając cosinusy kątów z tych wzorów, rozwijając sinusy i cosinusy w ich szeregi i sumując te szeregi. Wykorzystując wzór wyrażający cosinus kąta w trójkącie płaskim, można łatwo wykazać, że suma kątów sferycznych w trójkącie przewyższa 180º o wartość ε zwaną nadmiarem albo ekscesem sferycznym, zaś każdy z kątów sferycznych jest większy od odpowiadającego mu kąta 1 płaskiego o 3 ε. P Nadmiar sferyczny ε = ∆2 , gdzie P∆ oznacza pole trójkąta, które można wyznaczać R jak dla trójkąta płaskiego w przypadku niezbyt dużych trójkątów. Oznacza to, że można się posługiwać następującym wzorem: ε= b c sin A1 , 2R2 (2.32) w którym b i c oznaczają boki trójkąta płaskiego, zaś A1 – kąt między nimi zawarty; R to promień kuli, na której położony jest trójkąt. Jeżeli mamy do czynienia z trójkątem, którego boki są dłuższe niż 90 km, w wyznaczeniu nadmiaru sferycznego musimy uwzględnić fakt, że powierzchnia trójkąta we wzorze na ε powinna być obliczana dla trójkąta sferycznego, a nie płaskiego. Odpowiedni wzór, odnoszący się do tzw. rozszerzonego twierdzenia Legendre’a, ma postać: m2 ε1 = ε 1 + 2 , 8R m2 = a 2 + b2 + c2 . 3 (2.33) 43 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej Łatwo wykazać, że nadmiar sferyczny obliczony na podstawie tego wzoru będzie się różnił nie więcej niż o 0.0005″ od wartości wyznaczonej ze wzoru (2.32), jeżeli boki trójkąta równobocznego nie przekraczają długości 90 km. Dokładność rachunku 0.001″ pozwala ograniczać się do pierwszej, uproszczonej wersji wzoru na ε aż do długości boków trójkąta rzędu 200 km. Dla trójkątów o długościach boków tego rzędu – a może mieć to miejsce w przypadku stosowania satelitarnych metod pomiaru w sieci – musimy uwzględnić ponadto różnice pomiędzy wartościami kątów sferoidalnych (utworzonych przez linie geodezyjne na elipsoidzie) i sferycznych. Odpowiednie wzory do redukcji kątów sferoidalnych (A, B, C) na płaskie (A1, B1, C1) podajemy niżej. m2 − a 2 nA − n A1 A ε εn 2 2 ε − B B m b = − − − nB − n , 1 3 60 12n n − n C C m2 − c 2 C 1 n A , B ,C = 1 R 2 A , B ,C , n= (2.34) nA + nB + nC . 3 Obszerniejszy opis przytoczonych wzorów można znaleźć w książce Szpunara (1982)7 . Inną metodą stosowaną do rozwiązywania trójkątów sferycznych jest metoda additamentów (Soldnera). Zamiana trójkąta sferycznego na trójkąt płaski w tej metodzie polega na pozostawieniu dwóch kątów sferycznych niezmienionych, zaś boki trójkąta płaskiego uzyskuje się poprzez dodanie do boków trójkąta sferycznego tzw. additamentów liniowych albo inaczej algebraicznych8. Idea metody jest bardzo prosta a wzory przejrzyste i dogodne do obliczeń. Pisząc wzory sinusowe dla trójkąta sferycznego i płaskiego o dwóch takich samych kątach, jak w trójkącie sferycznym, możemy następnie porównać lewe strony tych wzorów: a sin R = a1 . b b1 sin R Rozwinięcie funkcji sinus w szereg daje podstawę do napisania następujących przybliżonych równości: a1 = a − a3 a5 + + ... 6 R 2 120 R 4 b1 = b − b3 b5 + + ... 2 6 R 120 R 4 (2.35) Wyprowadzenie wzorów podają Jordan i in. (1958) oraz Krasowskij (1952). W odróżnieniu od additamentów logarytmicznych stosowanych dawniej, w czasach obliczeń za pomocą logarytmów. 7 8 44 Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej Trzeba pamiętać jednak, że metoda additamentów dotyczy trójkątów sferycznych, a nie geodezyjnych. Aby można było z niej korzystać do rozwiązywania trójkątów na elipsoidzie o bokach znacznej długości (dochodzących lub przekraczających 200 km), należy najpierw dokonać redukcji kątów, jakie tworzą linie geodezyjne na elipsoidzie będące bokami trójkątów, na kąty sferyczne. Można to zrobić za pomocą ostatniego członu wzorów (2.34) podanych dla metody Legendre’a. Natomiast we wzorach (2.35) podaliśmy specjalnie drugi wyraz additamentu, aby wzory te mogły służyć do rozwiązywania dużych trójkątów geodezyjnych. Wielkie trójkąty geodezyjne nie mogą być rozwiązywane (z dokładnością zadowalającą w sieciach geodezyjnych) przez ich zamianę na trójkąty płaskie metodami omówionymi powyżej. Trójkąty o bokach dochodzących do 500 km i przekraczających tę wartość można rozwiązywać przez specjalne odwzorowania powierzchni elipsoidy na powierzchnię sfery, wykorzystując np. odwzorowanie Bessela, omówione szczegółowo w podręczniku Warchałowskiego (1952), albo za pomocą geometrii przestrzennej, przez cięciwy elipsoidy (Mołodenski, 1954). 2.3. OBLicZANie WSpÓŁrZĘDNYcH NA pOWierZcHNi ELIPSOIDY OBROTOWEJ 2.3.1. Klasyfikacja metod Klasyczny problem obliczania współrzędnych geodezyjnych na powierzchni elipsoidy obrotowej oraz azymutów i długości linii geodezyjnych nosi nazwę przenoszenia współrzędnych lub podstawowego zadania geodezji wyższej. Wyróżnia się dwa rodzaje problemu: tzw. zadanie wprost i zadanie odwrotne. • Zadanie wprost dotyczy obliczenia współrzędnych geodezyjnych B2, L2 punktu P2 i azymutu (odwrotnego) A21 linii geodezyjnej, gdy znane są współrzędne geodezyjne B1, L1 punktu P1, długość linii geodezyjnej s12 oraz azymut (wprost) A12, pod jakim linia geodezyjna wychodzi z punktu P1. • Zadanie odwrotne dotyczy obliczenia długości linii geodezyjnej s12 łączącej na powierzchni elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P1(B1, L1) i P2(B2, L2) oraz obliczenie azymutów linii geodezyjnej (wprost i odwrotnego) A12 i A21. W geodezji wyższej znane są liczne sposoby rozwiązywania podstawowych zadań. Można podzielić je na pewne grupy, biorąc za podstawę podziału stosowaną metodę rozwiązania zadań, albo osiąganą dokładność obliczeń. To drugie kryterium podziału metod wiązano zazwyczaj z możliwością ich stosowania dla określonych odległości między punktami P1 i P2. Mnogość powstałych niegdyś metod tłumaczy stopień skomplikowania zadań i ówczesna uciążliwość rachunków. Stworzono wiele algorytmów i różnych pomocy rachunkowych, zazwyczaj w formie tablic. W naszych czasach, z uwagi na automatyzację obliczeń, wiele klasycznych metod obliczania współrzędnych utraciło swoje dawne znaczenie. Powstały nowe metody. 45 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej Najogólniej metody klasyczne obliczania współrzędnych można podzielić na cztery grupy: 1) Metody bezpośrednie polegające na rozwiązaniu trójkąta elipsoidalnego, którego dwa punkty są punktami początkowym i końcowym linii geodezyjnej P1 i P2, a punkt trzeci jest biegunem elipsoidy. Rys. 2.11. Duży trójkąt geodezyjny Rys. 2.12. Rzut trójkąta geodezyjnego na sferę pomocniczą W metodach bezpośrednich budowano zazwyczaj pomocniczą kulę o promieniu N1 lub a i środku w n1 (patrz oznaczenie na rysunku 2.12). Punkty P1 i B rzutowano na tę kulę tak, aby niektóre elementy trójkąta pozostały niezmienione. Rozwiązywano trójkąt sferyczny, a wyznaczone elementy przenoszono następnie na elipsoidę, uzyskując w ten sposób ostateczne rozwiązanie zadania. Jako przykład mogą służyć metody Bessela z roku 1826 i Helmerta z roku 1880, w których trójkąt P1P2B został odwzorowany na kulę o promieniu a w taki sposób, aby szerokości zredukowane β (2.24) były równe szerokościom na kuli. W odwzorowaniu azymutów zachowano wierność przez wykorzystanie równania Clairauta dla linii geodezyjnej (2.30b). Zniekształceniu ulegają długość linii geodezyjnej s i różnica długości geodezyjnych ∆L. Różniczki pierwszego rzędu na kuli (względem długości σ odpowiadającej s) odpowiednie do (2.29) na elipsoidzie 46 Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej dβ = cos A , dσ d λ ′ sin A , = dσ cos β można przekształcić do postaci: ds = a 1 − e 2 cos 2 β dσ , dL = 1 − e 2 cos 2 β d λ '. (2.36) Całkowanie powyższych równań prowadziłoby do całek eliptycznych. Po rozwinięciu w szeregi, scałkowaniu wyraz po wyrazie, a następnie ‘odwróceniu’ szeregów wyprowadzono wzory do obliczeń metodą Bessela (zob. np. Warchałowski, 1952). Metoda jest znana w wielu odmianach i można ją stosować dla bardzo dużych odległości, nawet dochodzących do 20 tys. km. Do grupy metod bezpośrednich można by także zaliczyć przedstawioną niżej metodę Clarke’a-Robbinsa, a także metodę Levallois-Dupuy (zob. Śledziński, 1964). 2) Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre’a polegają na rozwinięciu w szereg Maclaurina różnic ∆B, ∆L, ∆A względem parametru naturalnego, czyli długości linii geodezyjnej s. 1 d 2B 2 dB B2 − B1 = s + 2 s + ... , 2 ds 1 ds 1 1 d 2L dL L2 − L1 = s + 2 s 2 + ... , 2 ds 1 ds 1 (2.37) 1 d2A dA A2 − A1 = s + 2 s 2 + ... . 2 ds 1 ds 1 Występujące w tych wzorach pochodne wyższych rzędów względem ds wyznacza się przez różniczkowanie równań pierwszego rzędu (2.29a,b). Powolna zbieżność szeregów limituje ich wykorzystanie do odległości nieprzekraczających 150 km. W literaturze można znaleźć wiele modyfikacji i usprawnień dotyczących rozwiązywania zadań obliczania współrzędnych za pomocą szeregów potęgowych, m.in. przez wykorzystanie metod całkowania numerycznego. Znana i powszechnie używana, szczególnie dla zadania odwrotnego, jest metoda średniej szerokości Gaussa, polegająca na wprowadzeniu do szeregów potęgowych Legendre’a punktu o szerokości Bm , odpowiadającej punktowi znajdującemu się w połowie długości linii geodezyjnej s pomiędzy punktami P1 i P2. Modyfikacja Gaussa daje krótsze szeregi o szybszej zbieżności. Można tę metodę stosować dla odległości do 200 km. Dalej przedstawione są wzory metody średniej szerokości Gaussa z uwagi na jej powszechne stosowanie do rozwiązywania zadania odwrotnego w klasycznych naziemnych sieciach geodezyjnych, a także w niektórych algorytmach redukcji różnicowych obserwacji wykonywanych w satelitarnym systemie GPS. 47 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej 3) Metody wykorzystujące punkt pomocniczy. W przypadkach odległości kilkudziesięciu kilometrów pomiędzy punktami początkowym i końcowym linii geodezyjnej s, trójkąt geodezyjny P1P2B jest bardzo ‘smukły’, gdyż dwa jego boki łączące punkty linii geodezyjnej z biegunem mogą osiągać znaczne długości. Niekorzystne byłoby z uwagi na dokładność rachunku stosowanie bezpośrednich metod rozwiązywania takiego trójkąta. Rys. 2.13. Metoda punktu pomocniczego Prowadząc przekrój normalny przez punkt P2, prostopadły do południka punktu P1, otrzymamy mały prostokątny trójkąt P1 P2′ P2 , który rozwiązuje się na sferze o promieniu Rs1 . Wyznaczenie boku u tego trójkąta pozwala na wyliczenie szerokości punktu P1 P2′,Pktórą 2 można traktować jako przybliżenie poszukiwanej szerokości punktu P2. Poprawkę do takiej przybliżonej szerokości można dostatecznie dokładnie wyznaczyć z trójkąta P2′BP2 . Dla wyznaczenia ∆L i ∆A21 buduje się pewien sferyczny trójkąt biegunowy. Metoda punktu pomocniczego w wersji Clarke’a służy zazwyczaj do rozwiązywania zadania wprost dla odległości do 30 km; w wersji Schreibera, połączona z szeregami potęgowymi, nadaje się do odległości 60 km, a nawet 120 km w zależności od rzędu wyrazów (różniczek) wykorzystanych w szeregach potęgowych (trzeci lub czwarty rząd). 4) M.S. Mołodeński zaproponował obliczanie współrzędnych za pomocą cięciw elipsoidy (Mołodeński, 1954). Niekonwencjonalne, trójwymiarowe podejście Mołodeńskiego wymagało nowych definicji podstawowych wielkości geodezyjnych. Odległością s12 dwóch punktów na elipsoidzie nazywa Mołodeński długość odcinka prostej-cięciwy elipsoidy przechodzącej przez te punkty. Azymutem geodezyjnym cięciwy (A12) autor metody nazywa kąt dwuścienny, jaki tworzy płaszczyzna południka geodezyjnego punktu P1 z płaszczyzną wertykalną tego punktu zawierającą cięciwę P1P2. Mołodeński posługuje się także odległością zenitalną cięciwy9. W konsekwencji tych definicji autor traktuje trójkąty płaskie utworzone z cięciw elipsoidalnych jako trójkąty geodezyjne nowego typu. 9 Przypomnimy ten fragment wykładu, wykorzystując koncepcję Mołodeńskiego do wyznaczenia odchyleń pionu na podstawie pomiarów satelitarnych GPS i niwelacji trygonometrycznej [6.7.3]. 48 Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej Rozwiązanie zadań wprost i odwrotnego w ujęciu Mołodeńskiego polega na rozwiązaniu trójkątów sferycznych Z1Z2B i Z1BK, przy czym K jest śladem cięciwy P1P2 na sferze o promieniu jednostkowym zatoczonej w punkcie P1. Rys. 2.14. Kula jednostkowa w punkcie P1 objaśnia metodę Mołodeńskiego Wzory robocze, a także tablice do obliczania współrzędnych metodą Mołodeńskiego (1954) podał Jeremiejew (1957). Zasługą Jeremiejewa jest także metoda wyznaczenia wielkości geodezyjnych – azymutów i długości linii geodezyjnej – na podstawie odpowiednich wielkości uzyskanych metodą Mołodeńskiego poprzez wyliczenie współrzędnych tzw. punktu średniego. Publikacje Mołodeńskiego i Jeremiejewa w tym zakresie stanowią łącznie metodę rozwiązania zadań wprost i odwrotnego, a więc słuszne wydaje się nazywanie metody obu nazwiskami Mołodeńskiego-Jeremiejewa. Zmieniony, przystosowany do obliczeń komputerowych algorytm tej metody zawiera praca dyplomowa Hatowskiej-Życkiej (1988). 2.3.2. Metoda clarke’a (zadanie wprost) Rysunek 2.13 i zamieszczony wyżej ogólny opis metod punktu pomocniczego dają zasadniczy pogląd na ideę tej grupy metod. Metoda Clarke’a dla niewielkich odległości (do 30 km) była powszechnie stosowana w polskiej sieci do rozwiązywania zadania wprost. Z tego powodu omówimy tę metodę nieco bardziej szczegółowo. Dysponując współrzędnymi punktu P1, obliczamy średni promień krzywizny elipsoidy w tym punkcie R1 (wzór 2.19). Na kuli o takim promieniu rozwiązujemy mały prostokątny trójkąt sferyczny P1 P2′P2 , który powstał przez poprowadzenie przekroju normalnego w punkcie P2, prostopadłego do południka punktu P1. Aby skorzystać z twierdzenia Legendre’a należy najpierw wyznaczyć nadmiar sferyczny w tym trójkącie ε (wzór 2.32). Przyprostokątne u i v wyrażą się następująco: 49 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej 2 u = s12 cos( A12 − ε ) , 3 1 v = s12 sin( A12 − ε ). 3 (2.38) Dodając do B1 kątową wartość 12 u możemy wyznaczyć średni promień krzywizny Mm łuku południka2 P1 P2′ . Odniesiona do tego promienia wartość kątowa u wyznacza szerokość v w zadaniu wprost szerokości B2. Interesującą nas B2′ punktu − B2 =P1 P2′ , różną B2′ . poszukiwanej tan od v2 2 M 2′ N 2′ tan B2′ . z prostokątnego trójkąta P2′BP2 , w którym różnicę szerokości B2′ –− BB22 =Clarke wyznacza 2 M 2′ N 2′ mamy wcześniej wyznaczoną przyprostokątną v. Pisząc wzór cosinusowy dla tego trójkąta, otrzymamy, po pewnych tożsamościowych przekształceniach trygonometrycznych, następujący wzór: v2 (2.39a) tan B2′ , 2 w którym v jest liniową wartością łuku P2′P2 . Sprowadzimy różnicę szerokości wyrażoną tym wzorem do postaci kątowej wartości łuku na sferze o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny w punkcie P2. Otrzymamy: B2′ − B2 = v2 tan B2′ . 2 M 2′ N 2′ Ostatecznie szerokość punktu P2 wyrazi się następująco: B2′ − B2 = B2 = B1 + u v2 − tan B2′ . M m 2 M 2′ N 2′ (2.39b) (2.40) Aby znaleźć odpowiednie związki dla wyznaczenia różnicy długości, Clarke ucieka się do pewnej konstrukcji pomocniczej, którą objaśniamy za pomocą rysunku 2.15. Na sferze o promieniu R1 (średni promień krzywizny w punkcie P1) prowadzimy koło wielkie przez punkt P2 prostopadle do łuku P2′P2 . Koło to przetnie południk punktu P1 w punkcie T odległym o 90º od punktu P2, gdyż punkt T jest biegunem łuku P2′P2 . Następnie budujemy trójkąt biegunowy względem trójkąta sferycznego P2B2T, tzn. taki, który powstaje w wyniku zakreślenia łuków na sferze z wierzchołków trójkąta P2B2T promieniem 90º. Zatem sumy odpowiednich kątów danego trójkąta (P2B2T) i odpowiednich boków trójkąta biegunowego wynoszą po 180º. Komentarza wymaga kąt γ pomiędzy łukami P2B1 i P2T w punkcie P2. Wobec tego, że łuk P2T jest równoległy do południka punktu P1, γ jest zbieżnością południków. Jak wynika z definicji trójkąta biegunowego i z oznaczeń boków na rysunku 2.15, trójkąt ptb jest niewielkim trójkątem sferycznym, a zatem można go rozwiązać za pomocą twierdzenia Legendre’a. Sumując kąty w tym trójkącie łatwo ustalimy, że jego nadmiar sferyczny wynosi ε1 = B2′ P–2′ B2 , co mieliśmy już wcześniej wyrażone wzorem (2.39). Poprawiwszy kąty w trójkącie ptb, 1 v + sec( B2 o+ ε1 ).każdy, otrzymamy na podstawie wzoru sinusowego: 3 N 2′ 1 v sec( B2 + ε1 ). L2 = L1 + (2.41) 3 N 2′ 50 Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej B2 ' Rys. 2.15. Biegunowy trójkąt Clarke’a Różnica długości pomiędzy punktami P1 i P2 została wyrażona w tym wzorze przez wartość kątową łuku pierwszego wertykału ν zrzutowanego na płaszczyznę równika (stąd N 2′ we wzorze 2.41). Aby wyznaczyć azymut A21 (odwrotny), trzeba najpierw obliczyć wartość kąta zbieżności południków γ. Wzór wyrażający γ otrzymamy z trójkąta ptb za pomocą wzoru sinusowego w postaci: 1 γ = ( L2 − L1 ) sin ( B2′ − ε1 ) , (2.42a) 3 lub 2 (2.42b) γ = ( L2 − L1 ) sin( B2 + ε1 ) , 3 Wyznaczywszy kąt β w trójkącie P1 P2′P2 jako β = 90º – A12 + ε, po zsumowaniu kątów w horyzoncie punktu P2, otrzymamy: (2.43) 2.3.3. Wzory clarke’a-robbinsa A.R. Clarke zaproponował kilka podejść do problemu obliczania współrzędnych, azymutów i długości linii na powierzchni elipsoidy obrotowej. Jedno z nich przeszło do anglosaskiej literatury geodezyjnej jako tzw. najlepszy wzór Clarke’a dla zadania wprost (zob. Bomford, 1971, s. 133). A.R. Robbins opublikował w roku 1962 wzory do rozwiązania zadania odwrotnego korespondujące z ,,najlepszym wzorem Clarke’a” oraz pewną, nie51 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej wielką modyfikacją zadania wprost Clarke’a. W wielu krajach zachodnich i w niektórych krajach rozwijających się przyjęto takie wzory Clarke’a-Robbinsa jako wzory standardowe do obliczeń w sieciach geodezyjnych. Z tego powodu warto wzory te spopularyzować w polskiej literaturze. Bomford (1971, s. 136) podaje, że wzory Clarke’a-Robbinsa zapewniają dokładność obliczeń 0.001×10–6 dla linii do 1600 km. Doświadczenia prowadzone w ramach prac dyplomowych w Politechnice Warszawskiej nie w pełni potwierdzają takie optymistyczne oszacowanie dokładności metody Clarke’a-Robbinsa. Rysunek 2.12 będzie pomocny do prześledzenia sposobu wyprowadzenia wzorów Clarke’a-Robbinsa. Przedstawia on rzut trójkąta geodezyjnego P1P2B na kulę pomocniczą o promieniu N1. Azymut A12, kąt ∆L12 oraz bok 90º–B1 zostaną odwzorowane wiernie na kulę. Pozostałe elementy trójkąta będą zniekształcone. Wprowadźmy za Robbinsem następujące oznaczenia: h = e′ cos B1 cos A12 , (2.44) g = e′ sin B1 oraz θ= s12 . N1 (2.45) Kąt środkowy σ odpowiadający długości łuku s12 przekroju normalnego elipsoidy możemy wyrazić przez: θ 2 θ3 θ4 2 θ 5 σ = θ 1 + h 2 (1 − h 2 ) − gh(1 − 2h 2 ) − h (4 − 17 h 2 ) − 3 g 2 (1 − 7 h 2 ) + gh . (2.46) 6 8 120 48 (wyprowadzenie podaje się w obszernych wykładach geodezji w zakresie geometrii elipsoidy np. Szpunar, 1982, s. 133–147). Oznaczymy jeszcze dodatkowo ψ2 = 90º- δ2, a następnie, stosując wzór cosinusowy dla sferycznego trójkąta P1 P2′B′ , otrzymamy: sinψ 2 = sin B1 cos σ + cos B1 cos A12 sin σ. (2.47) Wzór sinusowy w tym samym trójkącie daje: sin ∆L = sin σ sin A12 secψ 2 , ′ = − cos B1 sin A12 secψ 2 = − cos B1 sin ∆L csc σ. sin A21 (2.48) Wyrażenie określające tanB2, w zależności od ilorazu promieni N1/r2 (r2 = P2′n1 ), szerokości B1 i B2 oraz mimośrodów elipsoidy, bywa wyprowadzane również tylko w obszernych wykładach geometrii elipsoidy (patrz także Szpunar, 1982, s. 116–134). Przytaczamy potrzebne wzory za cytowanym źródłem, przekształcając je odpowiednio i dostosowując oznaczenia do przyjętych przez Robbinsa. N1 1 = 1 + e′2 (sinψ 2 − sin B1 ) 2 , 2 r2 52 (2.49) Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej N sin B1 tan B2 = tanψ 2 (1 + e′2 ) 1 − e 2 1 . r2 sinψ 2 (2.50) Skojarzenie wzorów (2.47) i (2.48) daje, po pewnych przekształceniach tożsamościowych, wyrażenie pozwalające wyliczać wartości azymutów odwrotnych: 1 ′ − ( B2 −ψ 2 ) sin A21 ′ tan σ. (2.51) A21 = A21 2 W ten sposób mielibyśmy komplet wzorów Clarke’a, opracowanych przez Robbinsa do rozwiązywania zadania wprost. Wzorom tym Robbins nadał taką postać, że zadanie odwrotne można rozwiązywać odwróciwszy wzory (2.47) ÷ (2.51). Zestawienie wzorów dla zadania odwrotnego rozpoczniemy od skompilowania wzorów (2.49) i (2.50) w taki sposób, aby następnie wyznaczyć z nich tan ψ2 w postaci: tanψ 2 = (1 − e 2 ) tan B2 + e′2 N1 sin B1 . N 2 cos B2 (2.52) Korzystając z wzoru sin⋅cot dla kątów w trójkącie sferycznym P1 P2′B′ otrzymamy następujące wyrażenia: cot A12 = (cos B1 tanψ 2 − sin B1 cos ∆L) csc ∆L , ′ = (sinψ 2 cos ∆L − cosψ 2 tan B1 ) csc ∆L . cot A21 (2.53) Wzory (2.47 i (2.48), po pewnych przekształceniach, dają dwa wyrażenia na sin σ. ′. sin σ = sin ∆L cosψ 2 csc A12 = − sin ∆L cos B1 csc A21 (2.54) Powołując raz jeszcze na podręcznik Szpunara (1982, s.143) oraz korzystając z cytowanych oznaczeń Robbinsa (2.44), można sprawdzić, że wzór Robbinsa na s stanowi wyrażenie długości łuku przekroju normalnego elipsoidy w funkcji kąta środkowego σ, parametrów elipsoidy i usytuowania przekroju normalnego na elipsoidzie. σ2 2 σ5 σ3 σ4 2 h (4 − 7 h 2 ) − 3 g 2 (1 − 7 h 2 ) − s = N1σ 1 − h (1 − h 2 ) + gh(1 − 2h 2 ) + gh . 6 8 120 48 (2.55) Należałoby jeszcze tylko przepisać wzór (2.51), wyrażający azymut odwrotny, aby mieć komplet wzorów Clarke’a-Robbinsa do rozwiązania obu podstawowych zadań na elipsoidzie obrotowej. Choć dawaliśmy temu wyraz kilkakrotnie objaśniając wzory, to jednak raz jeszcze podkreślmy, że w metodzie Clarke’a-Robbinsa posługujemy się przekrojami normalnymi elipsoidy, a nie liniami geodezyjnymi, co przy większych odległościach pomiędzy punktami musi być wzięte pod uwagę przy obliczaniu azymutów i kątów, jak to pokazują wzory (2.31). 53 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej 2.3.4. Metoda ‘średniej szerokości’ Gaussa C.F. Gauss zaproponował w roku 1846 metodę obliczania współrzędnych, polegającą na wykorzystaniu szeregów potęgowych Legendre’a, ale nie w postaci (2.37), gdzie pochodne względem parametru naturalnego s odnosi się do punktu początkowego P1, lecz do pewnego pomocniczego punktu Pm usytuowanego w połowie długości linii geodezyjnej. Spłaszczenie elipsoidy sprawia, że współrzędne punktu Pm i azymut linii w tym punkcie są w ogólności różne od wartości średnich. Bm ≠ B , B= B1 + B2 , 2 Lm ≠ L , L= L1 + L2 , 2 Am ≠ A , A= A1 + A2 . 2 Rys. 2.16. Pomocniczy punkt Gaussa w połowie długości s Rozwinięcie różnic B2 – Bm i B1 – Bm w szereg potęgowy według propozycji Gaussa otrzyma postać: 2 2 3 3 dB s d B s d B s B2 − Bm = + 2 + 3 + ... ds m 2 ds m 8 ds m 48 (2.56a) 2 2 3 3 dB s d B s d B s B1 − Bm = − + − + .... 2 3 ds m 2 ds m 8 ds m 48 (2.56b) Ustaliwszy, że wzrost wartości parametru s następuje w kierunku od P1 do P2, przyrost s w kierunku PmP1 trzeba uznać jako ujemny. Znaki “–” przy wyrazach zawierających nieparzyste potęgi s są tego konsekwencją. Wyrażenia analogiczne do (2.56) moglibyśmy napisać dla L2 – Lm i L1 – Lm oraz dla A2 – Am i A1 – Am . 54 Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej Tworząc różnice równań (2.56a) i (2.56b) oraz analogicznych równań dla długości i azymutów otrzymamy: d 3 B s3 dB B2 − B1 = dB s + d 3 B s 3 + ... , ds m s + ds3 3 m 24 B2 − B1 = dB d B s 3 + ... , 3 24 B2 − B1 = ds m s + ds 3 3 m 3 + ... , dds L s24 dL ds L2 − L1 = dL m s + d 3 L3 m s 3 + ... , ds ds 3 L2 − L1 = dL m s + d L3 m 24 s 3 + ... , L2 − L1 = ds m s + ds33 m 243 + ... , ds s d Am 24 dA ds A2 − A1 = dAm s + d 3 A 3 24 s 33 + ... . ds ds 3 A2 − A1 = dA m s + d A m s + ... . 3 A2 − A1 = ds m s + ds 3 m 24 + ... . ds m ds m 24 (2.57) tworząc zaś sumy tych równań i dzieląc je przez 2 otrzymamy: d 2 B s2 d 2 A s2 d 2 L s2 B − Bm = 2 + ..., L − Lm = 2 + ..., A − Am = 2 + ... . ds 8 ds 8 ds 8 (2.58) Wystarczy rzut oka na wzory (2.57) i porównanie ich z wzorami (2.37), aby zauważyć, że wzory Gaussa zawierają tylko pochodne nieparzystego rzędu; są więc niemal o połowę krótsze. Ponadto współczynniki przy odpowiednich pochodnych w tych wzorach są mniejsze. Zasadniczy problem polega na wyznaczeniu wartości pochodnych w punkcie Pm, którego współrzędnych nie znamy. Z wzorów (2.58) wynika, że różnice B–Bm, L–Lm i A–Am są wielkościami małymi drugiego rzędu względem B2–B1, L2–L1, i A2–A1. Toteż Gauss proponuje zastąpienie pochodnych w punkcie Pm rozwinięciem w szereg Taylora w otoczeniu punktu P, zachowując tylko wyrazy pierwszego rzędu w tym rozwinięciu. Czyli, że dB ∂ dB ∂ dB dB + ( Am − A) + . . . , ( Bm − B ) + = dA ds ds m ds ∂ B ds dL ∂ dL ∂ dL dL + ( Am − A) + . . . , ( Bm − B ) + = ds ds ∂ B ds dA ds m (2.59) dA ∂ dA ∂ dA dA + = ( Bm − B) + ( Am − A) + . . . . dA ds ds m ds ∂ B ds Jeśli zróżniczkujemy wzory (2.29a,b) względem B i A, a wyniki różniczkowań podstawimy do (2.59), pozostaną nam jeszcze Lm i Am w różnicach (Lm – L), (Am – A). Zanim te zastąpimy wyrażeniami (2.58), w których drugie pochodne powinny być wyznaczone również w punkcie Pm, zauważmy, że aczkolwiek wyrażenia te są wielkościami małymi drugiego rzędu, to zaniedbaliśmy w nich wyrazy czwartego rzędu (wyrazy trzeciego rzędu wchodzą do wyrażeń (2.57)). Wobec tego pochodne w (2.58) wyznaczymy w punkcie P, tzn.: 55 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej 1 d 2B 1 d 2B 2 ≈ 8 ds m 8 ds 2 i analogicznie dla L i A. Tak samo mamy prawo podejść do pochodnych wyższych rzędów (trzeciego i piątego) w punkcie Pm w wyrażeniach (2.57), zastępując je odpowiednimi pochodnymi w punkcie P, czyli innymi słowy, obliczyć wartości tych pochodnych dla szerokości, długości i azymutu będących średnimi arytmetycznymi odpowiednich wartości w punktach P1 i P2. Tak więc, po wykonaniu opisanych różniczkowań, po podstawieniu wyników do wzorów (2.59), a następnie podstawieniu tych wzorów do (2.57), po zastąpieniu w (2.57) pochodnych wyższych rzędów w punkcie Pm pochodnymi w punkcie P, otrzymamy wyrażenia Gaussa dla różnic (B2 – B1), (L2 – L1) i (A2 – A1). W ostatecznych wzorach zachowano generalnie wyrazy małe 3 3 s 4 s 2 czwartego rzędu, a także wyrazy zawierające e , a nawet e . Odrzucono zaś wyN N 5 s razy, w których pojawiły się itd. Wzory można stosować dla s dochodzących do 200 km, N uzyskując dokładności obliczeń 0.0001” w szerokości i długości oraz 0.001” w azymucie. W otrzymanych w ten sposób (na podstawie ogólnego zapisu (2.57)) wzorach zastosowano następujące oznaczenia: b = B2 − B1 , η 2 = e′2 cos 2 B , l = L2 − L1 , t = tan B , a także V wprowadzone już wcześniej wzorem (2.17b). Ostateczne wzory mają następującą postać: s B2 − B1 = V 2 cos A (1 + ∆Φ ) , N (2.60a) 1 b2 2 1 2 2 2 2 ∆ Φ = l 2 cos 2 B (2 + 3t 2 + 2η 2 ) − η ( 1 − t + η + 4 η t ) , s 24 8V4 sin A (1 + ∆Λ ) , L2 − L1 = N cos s B L2 − L1 = sin A (1 + ∆Λ ) , N cos B (2.60b) 1 2 2 1 b2 2 2 2 ∆Λ = l sin B − (1 + η − 9η t ) , 4 24 24 1 2 2 1 Vb 2 (1 + η 2 − 9η 2t 2 ) , A2 − A1 = ( L2 − L1 )∆Λ sin =B (1 +l∆sin α), B − 24 24 V 4 A2 − A1 = ( L2 − L1 ) sin B (1 + ∆α ) , (2.60c) 1 1 b2 2 4 3 8 5 ∆α = V 2l 2 cos 2 B + ( + η + η ) . 4 12 24 1 1 Vb 2 ∆α = V 2l 2 cos 2 B + (3 + 8η 2 + 5η 4 ) . 4 12 zadania wprost 24 Vtrzeba Przy rozwiązywaniu stosować postępowanie iteracyjne, gdyż po prawych stronach wzorów występują nieznane b i l. Wystarczy wyjściową wartość tych wielkości pomierzyć na mapie topograficznej (± 5”), aby po dwóch krokach iteracyjnych uzyskać wyniki z zadowalającą dokładnością. 56 Obliczanie współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej Zadanie odwrotne można rozwiązać wzorami Gaussa po ‘odwróceniu’ tych wzorów. Zauważmy, że można tego dokonać w bardzo prosty sposób10: s= ( B2 − B1 ) N ( L − L ) N cos B = 2 1 , V (1 + ∆Φ ) cos A (1 + ∆Λ ) sin A 2 L − L 1 + ∆Φ 2 A = arctan 2 1 V cos B . B2 − B1 1 + ∆Λ (2.61) (2.62) Ze wzoru (2.62) obliczymy wartość A = 12 ( A1 + A2 ) , zaś ze wzoru (2.60c) obliczymy wartość różnicy azymutów ∆A = A2 – A1. Interesujące nas azymuty ‘wprost’ i ‘odwrotny’ będą się wyrażały następująco: 1 A1 = A − ∆A, 2 1 A2 = A + ∆A . 2 (2.63) Wynika stąd, że wzór (2.60c) trzeba dołączyć do trzech ostatnich, aby mieć komplet wzorów metody Gaussa dla zadania odwrotnego. Ta metoda najczęściej była stosowana właśnie do rozwiązania odwrotnego zadania geodezji wyższej. 2.3.5. Rozwiązanie zadania ‘wprost’ metodą całkowania numerycznego. Algorytm Kivioja Pośród kilku znanych metod obliczania współrzędnych punktu na elipsoidzie oraz azymutu odwrotnego linii geodezyjnej przez całkowanie numeryczne, metoda Kivioja (1971) jest najprostszą, a zarazem dostatecznie skuteczną, aby można ją było stosować dla odległości nieprzekraczających 200 km, gdy dysponujemy komputerem osobistym średniej klasy. Metoda polega na wykorzystaniu równań różniczkowych pierwszego rzędu dla linii geodezyjnej (2.29a) oraz równania Clairauta linii geodezyjnej (2.30a). Sukcesywna realizacja tych związków dla niewielkich, np. jednokilometrowych, odcinków linii geodezyjnej pozwala rozwiązać zadanie wprost. Jedynym ograniczeniem metody jest ‘zjawisko narastania błędów numerycznych’. Standardowa dokładność obliczeń za pomocą komputerów osobistych typu IBM-PC umożliwia rozwiązanie zadania wprost, gdy długość linii geodezyjnej nie przekracza 150 km (Cross i in., 1981). Algorytm Kivioja rozpoczyna się od ustalenia długości elementu linii geodezyjnej ds, który dobiera się poprzez podzielenie długości linii s przez liczbę elementów n. ds = s . n Autor zaleca, aby ds < (1÷1.5) km. Można zatem postąpić inaczej: przyjąć skończoną wartość, np. dsi = 1000.0 m, końcówkę zaś, równą niepełnej wielokrotności kilometrów w s traktować jako ostatni element dsn. W literaturze anglosaskiej, a także w wielu komputerowych edytorach równań stosuje się oznaczenie tan–1, które nie jest odwrotnością funkcji tan, lecz funkcją arctan (arctg). 10 57 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej Rys. 2.17. Całkowanie wzdłuż linii geodezyjnej według metody Kivioja Poniżej zestawiamy znane nam już wzory w takiej kolejności i postaci, jaka występuje w iteracyjnym algorytmie Kivioja. Najpierw należy wyznaczyć główne promienie krzywizny w punkcie wyjściowym (i = P1): Mi = a (1 − e 2 ) 2 2 (1 − e sin Bi ) 3 Ni = , a 2 1 − e sin 2 Bi Następnie wyznaczamy pierwsze przybliżenie przyrostu szerokości δ Bi(1) (i = 1 – numer pierwszego elementu ds; górny indeks oznacza numer przybliżenia) δ Bi(1) = dsi cos A12 . Mi (2.64) Biorąc średnią wartość szerokości elementu dsi tzn. 1 Bim = Bi + δ Bi(1) , 2 należy wyznaczyć średnie wartości M im , N im . Aim,i +1 = Ai ,i +1 + dsi sin Ai ,i +1 tg Bim m Ni (2.65) Można teraz uzyskać lepsze niż z (2.64) przybliżenie wartości δBi oraz wartość δLi, wykorzystując niejednoznaczność M im , N im oraz Aim δ Bim = δ Lmi = dsi cos Aim, i+1 , M im dsi sin Aim, i+1 N im cos Bim , , 58 Bi +1 = Bi + δ Bim , Li +1 = Li + δ Lmi . (2.66) Redukcja elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę Podstawiając teraz i = 2,3...n, powtarzamy opisaną wyżej procedurę obliczeń, aż osiągniemy punkt końcowy linii geodezyjnej P2. W każdym punkcie pośrednim obliczamy najpierw azymut na podstawie wzoru (2.65), zapisanego w postaci sin Ai = c , N i cos Bi (2.65a) a następnie promienie krzywizny Mi, Ni. Współrzędne geodezyjne punktu końcowego P2 otrzymamy przez zsumowanie n B2 = B1 + ∑ δ Bim , i =1 n L2 = L1 + ∑ δ Lmi . i =1 W celu obliczenia azymutu odwrotnego A21 realizujemy jeszcze raz wzór (2.65a) dla i = n+1, otrzymując A2. Ostatecznie A21 = A2 ± 180º . Należy zaznaczyć, że dokładność obliczenia współrzędnych i azymutu tą metodą wzrośnie, gdy przyjmiemy mniejszą długość elementu ds. Jednak z uwagi na błędy numeryczne nie należy doprowadzać do bardzo wielkiej liczby n elementów ds. Autor metody twierdzi, że dla odległości nieprzekraczających 150 km n = 100 zapewni pożądaną w praktyce geodezyjnej dokładność obliczenia B2, L2 i A21. 2.4. REDUKCJA ELEMENTÓW PODSTAWOWEJ POZIOMEJ SIECI GEODEZYJNEJ Z ELIPSODY ODNIESIENIA NA PŁASZCZYZNĘ 2.4.1. Podstawowe wzory odwzorowania Gaussa-Krügera; odwzorowanie UTM Odwzorowanie, które obecnie nazywamy odwzorowaniem Gaussa-Krügera, jest wiernokątnym, poprzecznym, walcowym odwzorowaniem elipsoidy na płaszczyznę. Odwzorowanie zostało opracowane przez K. Gaussa w roku 1825. Opublikowanie wzorów odwzorowania zawdzięczamy O. Schreiberowi (rok 1866). W roku 1912 L. Krüger podał rozwinięcie i modyfikację wzorów Gaussa. Pewną wersją odwzorowania Gaussa-Krügera, opartą na tych samych podstawach teoretycznych, lecz różniącą się skalą na tzw. południku osiowym, jest odwzorowanie nazwane uniwersalnym poprzecznym odwzorowaniem Merkatora (UTM – Universal Transverse Mercator projection), na cześć jednego z głównych twórców idei konforemności odwzorowań – Merkatora, który w roku 1569 sporządził na tej zasadzie morską mapę świata. Czytelnika zainteresowanego teorią odwzorowania Gaussa-Krügera odsyłamy do podręczników kartografii matematycznej (Biernacki, 1949 i Różycki, 1973). W naszym wykładzie ograniczymy się do wywodu, który pozwoli zrozumieć wzory, jakimi posługuje się geodeta w swojej codziennej pracy. Element łuku zapisany za pomocą tzw. pierwszej formy Gaussa wyraża się jako: 59 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej ds2 = E dB2 + 2F dB dL + G dL2 . Wielkości E, F i G obliczone dla elipsoidy obrotowej i podstawione do formy Gaussa dadzą wyrażenie: ds2 = (M dB)2 + (N cosB dL)2 . Łuki odpowiadające równym przyrostom argumentów B i L nie są sobie równe. Wprowadzimy szerokość izometryczną q taką, żeby ds = N cos B(dq 2 + dL2 ) , tzn., że dq = MdB dB = . N cos B V 2 cos B Szerokość izometryczna q sprawia, że otrzymujemy równe wartości łuków południka i równoleżnika dla równych przyrostów q i L. Odpowiadająca ds długość elementu łuku na płaszczyźnie wyraża się jako: dS = dx 2 + dy 2 . Skalę odwzorowania m można zapisać w postaci wyrażenia m= dS , ds lub też, wprowadzając jednostkę urojoną i = −1 i oznaczając l = L – Lo (różnicę pomiędzy długościami południka L i tzw. południka osiowego Lo), w postaci: m 22 = (dx + idy ) (dx − idy ) . N cos 22 B (dq + idl ) (dq − idl ) 22 Warunek wiernokątności odwzorowania oznacza niezależność skali odwzorowania od azymutu elementów liniowych dS i ds. Warunek ten określają stosunki różniczek: dq dy dB na płaszczyźnie i lub na elipsoidzie. dl dx dl Wyrażenie opisujące skalę będzie niezależne od powyższych stosunków, jeżeli x + iy = f (q + il) oraz x – iy = f (q – il), przy czym f (...) oznaczają pewne funkcje analityczne odpowiednich wyrażeń w nawiasach. Oznaczając przez f´ pochodne funkcji f (...), możemy następująco wyrazić skalę odwzorowania: 1 m2 = 2 f '(q + il ) f '(q − il ). N cos 2 B Gauss określił postać funkcji f tak, aby spełniała ona dodatkowo następujące warunki: 60 Redukcja elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę 1) y = 0 dla l = 0, 2) x = f(q) = X dla y = 0. drugi warunek oznacza, że odcięte x mają być równe łukom południka, oznaczanym przez X, zawartym między równikiem i punktem o szerokości B. Rozwijając f (q + il) = x + iy w szereg Taylora względem niewielkich il otrzymamy: x + iy = f (q ) + il df 1 d2 f 1 d3 f + (il ) 2 2 + (il )3 3 + dq 2 dq dq 6 . Gaussowskie warunki początkowe 1) i 2) prowadzą do zastąpienia w powyższym wzorze f (q) przez X oraz pozwalają na wyznaczanie odpowiednich pochodnych na podstawie dX . Biorąc wyrażenie określające różniczkę szerokości izometrycznej wyrażeń o postaci dq dq oraz wyrażenie określające różniczkę łuku południka dX = M dB, a także wprowadzając oznaczenia: η 2 = e '2 cos 2 B, t = tan B, 1+η 2 = V 2 , dX d2X , , , a, następnie, rozdzielając we wzorze dq dq 2 określającym x + iy część rzeczywistą i część urojoną, można otrzymać, uwzględniwszy wartości kolejnych potęg i, następujące wzory: można wyznaczyć kolejne pochodne x=X + l 2 cos 2 B l2 l 4 cos 4 B N sin B cos B 1 + (5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 ) + (61 − 58t 2 + t 4 ) , 2 2 4 2ρ 12 ρ 360 ρ (2.67a) l 2 cos 2 B l l 4 cos 4 B 2 2 N cos B 1 + ( 1 − t + ) + (5 − 18t 2 + t 4 + 14η 2 − 58η 2t 2 ) . η 2 4 6ρ 120 ρ ρ (2.67b) (ρ oznacza sin–1 1”) Powyższe wzory można wykorzystywać do obliczania współrzędnych, zastąpiwszy w nich X wyrażeniem długości łuku południka. W tym celu należy rozpatrzyć całkę: y= B B 0 0 X = ∫ MdB = a (1 − e 2 ) ∫ dB (1 − e 2 sin 2 B)3 . Jest to całka eliptyczna, niemająca rozwiązania w dziedzinie funkcji elementarnych. Obliczamy jej wartość, rozwijając wyrażenie podcałkowe według wzoru Newtona na dwumian i całkując następnie ten szereg wyraz po wyrazie. Po rozwinięciu otrzymamy całkę: B X = a (1 − e 2 ) ∫ ( Ao − A2 cos 2 B + A4 cos 4 B − A6 cos 6 B + ) dB , 0 61 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej a po scałkowaniu (2.68) X = a ( Ao B − A2 sin 2 B + A4 sin 4 B − A6 sin 6 B + ) , przy czym A0 = 1 − e 2 3e 4 5e6 − − , 4 64 256 A4 = 15 4 3e6 , e + 256 4 3 e 4 15e6 A2 = e 2 + + , 8 4 128 A6 = 35e6 . 3072 Za pomocą tych wzorów można osiągnąć dokładność obliczeń x, y lepszą niż 1 mm dla l≤3º. Zamiana współrzędnych prostokątnych x, y na geodezyjne B, L wyraża się wzorami, które można otrzymać rozwiązując najpierw iteracyjnie równania (2.67) względem B i l (zob. Zakatow, 1959, str. 152). Objaśnimy pokrótce ten proces. Najpierw wyznacza się pierwsze przybliżenie l, biorąc tylko pierwszy wyraz wzoru (2.67b), tzn. l= y ρ. N cos B Po podniesieniu do trzeciej potęgi podstawia się otrzymaną wartość do (2.67b). Z dwóch pierwszych wyrazów tak przekształconego wzoru wyznacza się l w drugim przybliżeniu. Kontynuacja takiego postępowania pozwala na wprowadzenie do wzoru na l kolejne wyrazy. Otrzymamy: l= y y3 y5 ρ− ρ (1 − t 2 + η 2 ) + ρ (5 − 2t 2 + 9t 4 + 6η 2 + 388η 2t 2 ). 3 N cos B 6 N cos B 120 N 5 cos B Po prawej stronie wzoru występują funkcje nieznanego argumentu B, tzn. N, t, η i cosB. Aby wyliczyć l, trzeba najpierw wyznaczyć B. Wyprowadzenie wzoru na B jest nieco bardziej złożone. Najpierw należy obliczyć kolejne parzyste potęgi ostatniego wzoru na l. Otrzymane wyrażenia wprowadza się do wzoru (2.67a). Po przeniesieniu X na lewą stronę otrzymamy wyrażenie na (x–X) w funkcji y, N, t i η, z którego wyeliminowaliśmy l: x− X = y 6t yt y 4t 2 2 4 t + 1 + 3 + 5 + 4 + ( η η ) (1 + 30t 2 + 45t 4 ). 2 N 24 N 3 720 N 5 Następnie biorąc X ≡ x, wyznacza się poprzez postępowanie iteracyjne ze wzoru (2.68) pewną wartość szerokości B1 odpowiadającą kątowej mierze łuku południka o długości x. Różnica długości łuków południka (x–X) może być wyrażona z dostatecznym przybliżeniem przez równanie drugiego stopnia względem (B1 – B) (Krasowski, 1956): x− X ≈ M ( B1 − B) 3t e 2 cos 2 B 1 − e 2 sin 2 B ( B1 − B) 2 M 2 . + 2 a (1 − e 2 ) ρ ρ2 Porównanie prawych stron dwóch ostatnich wyrażeń uwolni nas od wartości (x–X). Rozwiązanie otrzymanego równania względem (B1 – B) metodą kolejnych przybliżeń daje wyrażenie na różnicę (B1 – B). Na koniec, rozwinięcie t, η i (MN)–1 w szeregi względem małej wartości (B1 – B) prowadzi do wzoru, w którym – oprócz y – wszystkie inne wielkości są zależne od B1. Wzór ten przedstawia się następująco: 62 Redukcja elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę B1 − B = y4 y2 y2 2 2 2 2 t t t1 1 − η η ( 5 + 3 + − 9 ) + (61 + 90t12 + 45t14 ) , 1 1 1 1 4 2 2 M 1 N1 12 N1 360 N1 (2.69a) Jak widać, jest to wzór iteracyjny ze względu na M1, N1, η1 i t1, które są funkcjami argumentu B1 wyznaczanego iteracyjnie z równania (2.68). Gdy mamy wyliczoną wartość B1, różnicę długości l możemy wyznaczać na podstawie następującego wzoru: l= y N1 cos B y2 y4 (1 + 2t12 + η12 ) + (5 + 28t12 + 24t14 + 6η12 + 8η12t12 ) . 1 − 4 2 6 120 N N 1 1 (2.69b) * Dla odwzorowania UTM podaje się zazwyczaj nieco inną postać wzorów (Bomford, 1971 oraz Cross i in., 1981). Cytujemy te wzory dalej, przystosowując częściowo oznaczenia różnych wielkości do systemu oznaczeń przyjętych w naszym wykładzie. Pozostawiamy jednak charakterystyczne dla anglosaskiej literatury geodezyjnej oznaczenia E (Easting) ≡ y, N (Northing) ≡ x, a także ϕ ≡ B. Przez mo oznacza się skalę na południku osiowym. Przyjmuje się w odwzorowaniu UTM mo= 0.9996. Wobec tego, że N zostało wykorzystane do oznaczenia współrzędnej x, przyjmiemy dla promienia krzywizny w pierwszym wertykale oznaczenie ν ≡ N. Parametr ψ oznacza stosunek promieni krzywizny przeN ν ≡ . Wzory poniższe przytaczamy krojów w pierwszym wertykale i w południku ψ = M M także dlatego, że chyba nie sposób ich znaleźć gdzie indziej w polskiej literaturze. l2 l4 ν ϕ ϕ ν sin cos sin ϕ cos3 ϕ (ψ + 4ψ 2 − t 2 ) + X + + 2 24 6 l 5 4 2 3 2 2 2 2 4 sin ϕ cos ϕ ( 8ψ (11 − 24t ) − 28ψ (1 − 6t ) +ψ (1 − 32t ) − 2ψ t + t ) + , N = mo +ν 720 l8 7 2 4 6 sin ϕ cos ϕ (1385 + 3111t + 543t − t ) +ν 40320 (2.70a) l3 l5 3 2 l + − t + ν cos ϕ ν cos ϕ ( ψ ) ν cos5 ϕ ( 4ψ 3 (1 − 6t 2 ) +ψ 2 (1 + 8t 2 ) − 2ψ t 2 + t 4 ) + 6 120 E = mo . 7 l 7 2 4 6 +ν cos ϕ (61 − 479t + 179t − t ) 5040 (2.70b) Przeliczenie odwrotne E = mo { N , E} ⇒ {ϕ , l} opisują następujące wzory, w których ρ oznacza promień krzywizny południka (ρ ≡ M): 63 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej (2.71a) E −4ψ '3 (1 − 6t '2 ) + ψ '2 (9 − 68t '2 ) + E3 E5 − 3 3 (ψ '+ 2t '2 ) + + 120mo5ν '5 +72ψ ' t '2 + 24t '4 moν ' 6moν ' . l = sec ϕ ' 7 E 2 4 6 − 5040m7ν '7 (61 + 662t ' + 1320t ' + 720t ' ) o (2.71b) N W tych wzorach ϕ´ oznacza szerokość, dla której X = . Szerokość taką trzeba oblimo czać za pomocą iteracji, wykorzystując wzór (2.68). Pozostałe wielkości oznaczone indeksem (´) oblicza się dla argumentu ϕ´. Nadmieńmy, że wzory odwzorowania UTM (2.70ab) i (2.71ab) można z powodzeniem stosować do odwzorowania Gaussa-Krügera, podstawiając mo=1. * Zbieżność południków. Kąt, jaki tworzy równoległa do południka osiowego przesunięta przez punkt P z obrazem południka tego punktu nazywa się zbieżnością południków na płaszczyźnie i oznacza przez γ. Na podstawie rysunku (2.18) można napisać: dx tan γ = dl . dy dl Różniczkując (2.67) względem l i podstawiając do powyższego wyrażenia otrzymamy: γ = l sin B + l3 l5 sin B cos 2 B(1 + 3η 2 + 2η 4 ) + sin B cos 4 B(2 − t 2 ). 3 15 (2.72a) Zbieżność południków można wyrazić również przez współrzędne płaskie x, y. γ= 64 y 4 (2 + 5t12 + 3t14 ) y2 y 2 2 4 1 + − η − 2 η + t1 1 − ( ) t . 1 1 1 15 N14 N1 3 N12 (2.72b) Redukcja elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę Rys. 2.18. Zbieżność południków Skala odwzorowania. Zauważmy, że dq = 0, dl ponieważ dB = 0. dl Wobec tego wzór wyrażający skalę odwzorowania w postaci stosunku elementów liniowych obrazu i oryginału można łatwo przekształcić do następującej postaci: m= dy 1 sec γ. dl N cos B W powyższym wzorze pojawia się sec γ, ponieważ w wyrażeniu na skalę odwzorowania zastąpiliśmy tą funkcją następujące wyrażenie: 2 dx 1 . 1 + = 1 + tan 2 γ = sec 2 γ = 2 dy cos γ Wystarczy teraz rozwinąć ten secγ w szereg, podstawić wartości γ z (2.72), a wzory na skalę odwzorowania można wyrazić w postaci: m = 1+ l2 l 4 cos 4 B cos 2 B (1 + η 2 ) + (5 − 4t 2 ) 2 24 (2.73a) poprzez współrzędne geodezyjne B, l, albo poprzez współrzędne prostokątne m = 1+ y2 y4 2 ( 1 + η ) + . 1 2 N12 24 N14 (2.73b) Prostszą postać ostatniego wzoru można uzyskać podstawiając: 65 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej y2 y4 1 + η12 V12 1 i wtedy (2.73c) = 1 + + m . = = 2 R12 24 R14 N12 N12 R12 Odpowiednie wzory dla odwzorowania UTM otrzymamy mnożąc prawe strony wzorów (2.73) przez mo, np. E2 E4 m = mo 1 + 2 (1 + η12 ) + . 24ν 14 2ν 1 (2.74) Zmienność skali w zależności od współrzędnej y w odwzorowaniu UTM ilustruje rysunek 2.19. Trzeba jednak zaznaczyć, że bezwzględne wartości zmiany skali są w odwzorowaniu UTM mniejsze niż w odwzorowaniu Gaussa-Krügera dla takich samych rozpiętości l = ∆L. Z tego też względu w odwzorowaniu UTM szerokości tzw. stref odwzorowania bywają zazwyczaj dwa razy większe (l = 6º) niż w odwzorowaniu Gaussa-Krügera (l = 3º) przy zbliżonych wartościach zniekształceń liniowych κ (κ = 1 – m)11. Rys. 2.19. Zmienność skali w odwzorowaniu UTM 2.4.2. Redukcje długości i kierunków Redukcja długości. Przepisując inaczej wzór definiujący skalę odwzorowania ds = 1 dS m i podstawiając (2.73c) do tego wzoru, otrzymamy: Trzeba zaznaczyć, że dla różnych celów (różnych skal map) w obu odwzorowaniach stosuje się zarówno strefy 3º, jak i 6º. 11 66 Redukcja elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę ss ∫ −−11 2 4 yy2 yy4 dS.. s == 11++ 22 ++ s s= dS 22RR 24 24RR44 000 Wykonamy całkowanie po prawej stronie wyrażenia, przyjmując R=Rm – średni promień krzywizny środkowego punktu linii. Otrzymamy w przybliżeniu: y 2 + y1 y2 + y22 S = s 1 + 1 (2.75) . 6 Rm2 W powyższym wzorze ograniczyliśmy się do wyrazów zawierających drugie potęgi rzędnych y. Taka dokładność wzoru wystarcza dla większości przypadków spotykanych w praktyce. Trzeba zauważyć, że długości S na płaszczyźnie są w odwzorowaniu GaussaKrügera zawsze większe lub co najwyżej równe oryginalnym długościom na elipsoidzie S ≥ s. Tylko na południku osiowym, gdy y = 0, S = s. W miarę oddalania od południka osiowego wartości redukcji rosną. Zniekształcenia długości w odwzorowaniu UTM mają bardziej złożony charakter. Rysunek 2.19 będzie pomocny do poglądowej analizy tego zagadnienia. Redukcje kierunków. Wiernokątność odwzorowania odnosi się do kątów między liniami krzywymi. Na płaszczyźnie jednakże chcielibyśmy mierzyć kąty między cięciwami tych krzywych, zaś odpowiedniki azymutów pomiędzy kierunkami równoległymi do południka osiowego i cięciwami odpowiednich krzywych. Na rysunku 2.20 widzimy kąty, jakie tworzy cięciwa z łukiem krzywej boku trójkąta na płaszczyźnie, oznaczone przez δ. Kąty te nazywamy redukcjami kierunków. Pojęcie zbieżności południków jest również inne na elipsoidzie, inne na płaszczyźnie (odpowiednio t i γ). Różnica między wartościami zbieżności jest wielkością małą czwartego rzędu i wyraża się następująco: elipsoida: 2 γ − t = l 2η 2 sin B cos 2 B + . 3 płaszczyzna: Rys. 2.20. Trójkąt na elipsoidzie i jego obraz na płaszczyźnie 67 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej Wielkości α12 w punkcie P1′ odpowiednią α21 w punkcie P2′ nazywa się kątami kierunkowymi i wyraża następująco poprzez azymuty, zbieżności południków na płaszczyźnie i redukcje kierunków: α12 = A12 – γ1 – δ12 , α21 = A21 – γ2 + δ21 , (2.76) Wzory na redukcje kierunków można wyprowadzić analizując figurę utworzoną przez punkty P1, P2 połączone linią geodezyjną na elipsoidzie i zrzutowane za pomocą równoleżników na południk osiowy oraz odpowiednią figurę na płaszczyźnie. Wiernokątność odwzorowania zapewnia równość odpowiednich kątów naszych figur na powierzchni elipsoidy i na płaszczyźnie. Suma kątów wewnętrznych figury na elipsoidzie wynosi 360º + ε (ε to nadmiar sferyczny w trapezie sferycznym). Suma kątów figury płaskiej wynosi 360º + δ12 + δ21 i stąd ε = δ12 + δ21 . Przyjmując upraszczające założenie, że łuk krzywej P1′P2′ jest łukiem kołowym, tzn. że δ12 = δ21, otrzymamy: ε δ12 ≈ . 2 elipsoida: płaszczyzna: Rys. 2.21. Trapez elipsoidalny i jego obraz na płaszczyźnie Powierzchnię figury potrzebną do obliczenia przybliżonej wartości nadmiaru sferycznego ε można łatwo wyznaczyć, biorąc płaski trapez P1′P2′O2′O1′ Powierzchnia trapezu = ( x2 − x1 ) ym , ym = y1 + y2 . 2 Przybliżony wzór na redukcję kierunku przyjmie zatem następującą postać: ε (x − x ) y δ12 ≈ = 2 12 m . 2 2 Rm (2.77) Wielkość redukcji i potrzeba dokładniejszego jej wyznaczania zależą od długości boków, odległości od południka osiowego, azymutu boku, a także od przyjętej szerokości pasów 68 Redukcja elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę odwzorowawczych. Niżej przedstawiamy wzory, zapewniające dokładności redukcji wymagane w podstawowych sieciach geodezyjnych zakładanych metodami obserwacji naziemnych, w sieciach mających nawet kilkudziesięciokilometrowe boki δ12 x2 − x1 =± δ 21 2 Rm2 y2 − y1 x2 − x1 3 y2 − y1 2 2 ymηmtm . ym ± ym ∓ ∓ Rm2 6 6 Rm4 (2.78) do obliczeń prowadzonych za pomocą tego wzoru z dokładnością 0.001” trzeba jednakże znać przybliżone współrzędne (x, y) z dokładnością zawartą w przedziale 1.0÷0.1 m, co w pewnych przypadkach może powodować nawet konieczność postępowania iteracyjnego. 2.4.3. Transformacja do sąsiednich pasów odwzorowawczych Istnieje wiele wzorów i tablic do transformacji współrzędnych płaskich x, y do sąsiednich pasów odwzorowawczych. Zadanie to bowiem występuje stosunkowo często w praktyce: zawsze wtedy, gdy obiekt objęty pomiarami, które opracowujemy, leży w więcej niż jednym pasie odwzorowania. Sąsiednie stacje obserwacyjne, położone w różnych pasach, muszą zostać przyłączone do któregoś z pasów, aby można było prowadzić opracowanie wyników pomiarów na płaszczyźnie odwzorowania. Stare wzory i tablice mają już dzisiaj nieledwie historyczne znaczenie. Częstokroć obecnie prościej jest wykonać nawet skomplikowane obliczenia, gdy dysponuje się odpowiednim narzędziem, niż uciążliwie szperać w tablicach. Jednakże spośród istniejących tablic i wzorów godna jest odnotowania metoda transformacji, opracowana przez profesora Politechniki Warszawskiej Stefana Hausbrandta, polegająca na bezpośredniej interpolacji wielomianowej funkcji dwóch zmiennych niezależnych. Gdy dysponujemy komputerem i odpowiednim programem do transformacji współrzędnych (B, L) ⇔ (x, y), to w celu wykonania transformacji na pas sąsiedni wystarczy, przeszedłszy do współrzędnych B, L, zamienić je ponownie na x, y, przyjmując południk osiowy pasa sąsiedniego. Ilustruje to poniższy schemat. pas pierwszy pas drugi (sąsiedni) południk osiowy L1 południk osiowy L2 (x, y)´ (x, y)´´ ⇓ ⇑ (B, L) (B, L) ⇓ ⇑ zmiana południka osiowego z L1 na L2 Odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy Bessela z punktem przyłożenia w Borowej Górze było przyjęte w Polsce w roku 1928 do obliczenia wyników triangulacji państwowej. Stosowano wówczas pasy o szerokości l=∆λ=2º. Ponownie w roku 1947 wprowadzono to odwzorowanie w Polsce do opracowania mapy gospodarczej w skalach 1:10 000 i więk69 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej szych, z pasami 3-stopniowymi i skalą południków osiowych mo= 0.999935. Nazwano to odwzorowanie południkowo-wiernokątnym. Stosowano je jednak tylko do roku 1950, kiedy to przyjęto skalę mo= 1. Elipsoidą odniesienia pozostawała do roku 1952 elipsoida Bessela przyłożona w Borowej Górze. Potem w Polsce i w innych byłych krajach socjalistycznych wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy Krasowskiego z punktem przyłożenia w Pułkowie (układ ‘42). Dla skal małych (1:500 000 ÷ 1:10 000) pasy 6-stopniowe (nr 3 i 4; południki osiowe odpowiednio: 15º i 21º). Dla skali 1:5 000 i większych stosowano pasy 3-stopniowe (nr 5, 6, 7 i 8 o południkach osiowych 15º, 18º, 21º i 24º). Numeracja pasów od południka Greenwich na wschód. Współrzędną y poprzedzano numerem pasa, a ponadto, w celu uniknięcia ujemnych wartości rzędnych, przyjmowano wartość yo= 500 000 m dla południka osiowego. W związku z rozwinięciem na obszar Polski układu EUREF (zob. [6.6]), układ’42 w roku 2008 został zastąpiony „układem geocentrycznym” z elipsoidą GRS’80 dla celów praktycznych tożsamą z elipsoidą satelitarnego układu WGS-84. W wielu krajach, w USA i Kanadzie oraz w niektórych krajach Europy Zachodniej, do obliczeń podstawowych sieci poziomych i do opracowania map topograficznych stosuje się odwzorowanie UTM (mo= 0.9996) elipsoidy Hayforda w pasach 6-stopniowych, z numeracją od anty-Greenwich (λ= 180º) na wschód, zgodnie z podziałem Międzynarodowej Mapy Świata w skali 1:1 000 000. W krajach Paktu Północnoatlantyckiego (NATO) odwzorowanie UTM stosuje się dla topograficznych map wojskowych12. Problemy związane z obliczeniami podstawowych poziomych sieci geodezyjnych w jakimś odwzorowaniu, w związku z powszechnym stosowaniem komputerów, zeszły obecnie na plan dalszy. Zarówno bowiem transformacja współrzędnych pomiędzy różnymi układami, jak i odwzorowanie elementów sieci geodezyjnej na płaszczyznę jakiegokolwiek odwzorowania przestaje być pracochłonnym (i czasochłonnym) zadaniem geodezyjnym. Wobec coraz powszechniejszego stosowania cyfrowych geodezyjnych baz danych w postaci cyfrowej, umożliwiających doraźne generowanie różnych form graficznych zobrazowań przestrzeni, np. do celów projektowych oraz dla dokumentacji formalnoprawnej itd., zmienia się także rola tradycyjnych opracowań kartograficznych w dużych skalach. 2.5. TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH B, L 2.5.1. Ogólne omówienie zadania transformacji współrzędnych Zadanie transformacji współrzędnych pomiędzy dwoma układami geodezyjnymi (zwanymi często układami pierwotnym i wtórnym) polega na obliczeniu współrzędnych w układzie wtórnym dla punktów, których współrzędne znane są w układzie pierwotnym, na podstawie współrzędnych pewnych punktów znanych w obu układach, zwanych punktami łącznymi. Można powiedzieć inaczej: punkty układu pierwotnego i wtórnego to dwa zbiory, których częścią wspólną jest zbiór punktów łącznych. 12 70 Odwzorowanie UTM jest także wprowadzane w Polsce dla map topograficznych w skali 1:50000. Transformacja współrzędnych B, L Punkty łączne mogą służyć do określenia tzw. modelu transformacji (albo ‘prawa transformacji’). Gdy jednak model ten jest znany w postaci ogólnych związków matematycznych pomiędzy współrzędnymi w obu układach, punkty łączne stanowią tylko podstawę do wyznaczenia tzw. parametrów transformacji (współczynników w owych związkach matematycznych w równaniach transformacji). Istotę transformacji przedstawia powyższy schemat. Rysunek 2.22 ilustruje różne przypadki transformacji. W przypadku klasycznych geodezyjnych układów odniesienia (elipsoid) punkty łączne pokrywały z reguły tylko nieznaczny obszar brzeżny obu układów. Metody pomiarów satelitarnych – o odległościach kilku setek kilometrów pomiędzy sąsiednimi punktami – sprawiają, że obszary objęte obydwoma układami przenikają się całkowicie. Bywa też, że punkty należące do ‘układu satelitarnego’ wiążą ze sobą dwa układy geodezyjne niemające punktów łącznych. Rys. 2.22. Różne przypadki transformacji Należy zauważyć, że zagadnienie transformacji występuje częstokroć w geodezji w postaci niejako ‘zakrytej’ poprzez problem wyrównawczy metody parametrycznej (pośredniczącej), prowadzącej w istocie również do transformacji do układu, w którym przyjęto punkty stałe. Zmierzch monopolu klasycznych, naziemnych metod pomiarów geodezyjnych w zakładaniu podstawowych sieci geodezyjnych sprawia, że zadanie transformacji współrzędnych prostokątnych z globalnego układu geocentrycznego (satelitarnego) do istniejących krajowych układów elipsoidalnych jest najczęstszym zadaniem transformacji, jakie obecnie przychodzi rozwiązywać. Z tego też względu większą wagę w naszym wykładzie przyłożymy do nowszych metod i modeli transformacji. Przedstawimy je w rozdziale 6. Tymczasem zaprezentujemy metodę klasyczną transformacji współrzędnych krzywoliniowych B, L. 71 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej 2.5.2. Transformacja Helmerta-Hristowa Metoda transformacji współrzędnych krzywoliniowych (elipsoidalnych), która ciągle jeszcze bywa stosowana w praktyce dla obszarów nie przekraczających kilku milionów kilometrów kwadratowych (o promieniu ok. 1 000 km), została opracowana przez F.R. Helmerta, a następnie ulepszona przez wykorzystanie koncepcji W.K. Hristowa (Hristow, 1942). Helmert podał wzory różniczkowe do transformacji z jednego układu (elipsoidy odniesienia o odpowiednich parametrach i elementach orientacji) do innego, wychodząc z ogólnych zależności funkcyjnych o postaci: B = Bo + b = Bo + f1 (Bo, s, A, a, f) , L = Lo + l = Lo + f2 (Bo, s, A, a, f) , (2.79) w których b = B – Bo , l = L – Lo , s oznacza długość linii geodezyjnej, A – azymut początkowy linii, a, f – to duża półoś i spłaszczenie elipsoidy odniesienia, Bo , Lo – współrzędne punktu początkowego linii s, B, L – współrzędne punktu końcowego linii geodezyjnej. Zmiany punktu początkowego o , , długości linii geodezyjnej o ds i parametrów elipsoidy o da, df pociągną za sobą zmiany położenia punktu końcowego o dB, dL, które wyrażają różniczki zupełne funkcji (2.79). W postaci ogólnej można napisać: ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f dB = dBo + db = 1 + 1 dBo + 1 ds + 1 dA + 1 da + 1 df , ds dA da df dBo dL = dLo + dl = dLo + ∂ f2 ∂f ∂f ∂f ∂f dBo + 2 ds + 2 dA + 2 da + 2 df . dB ds dA da df Wzory te, po wstawieniu wartości odpowiednich pochodnych cząstkowych, byłyby podstawowymi wzorami transformacji Helmerta. Hristow wykorzystał szeregi potęgowe Legendre’a (2.37) do wyznaczenia różniczek występujących we wzorach Helmerta. Innymi słowy, zróżniczkował on wyrażenia (2.37) względem B, s, a, f, a wyznaczone w ten sposób pochodne podstawił do wzorów Helmerta. Tak powstały równania transformacji HelmertaHristowa o następującej postaci (podajemy je dla przypadku transformacji między układami odniesionymi do tej samej elipsoidy o parametrach a, f ): dBi = Ai′dLo + Bi′dBo + Ci′dp + Di′dA, dLi = Ai′′dLo + Bi′′dBo + Ci′′dp + Di′′dA, w których dp = zaś 72 ds , s (2.80) Transformacja współrzędnych B, L dBi = A Ai′dL + Bi′dBo + Ci′dp + Di′dA, = 0, i o dLi = Ai′′dLob+i Bi′′dBo 2+ Ci′′dp 2+ Di′′dA, 2 Ci′ = − (4)bi − (7)li − (8)bi li , ρ Di′ = −(2)li + (5)bi li + (9)li3 , Bi′′ = (12)li + (14)bi li + (18)bi2li − (21)li3 , Ai′′ = 1, Ci′′ = Bi′ = 1 − (1)bi − (3)bi2 − (6)li2 , li + (15)bi li + (19)bi2li − (22)li3 , ρ Di′′ = (11)bi + (13)bi2 − (16)li2 + (17)bi3 − (20)bi li2 , przy czym 3t (η 2 − η 4 ) (1) = 3t (η 2 − η 4 ) , ρ (1) = , 2ρ 2 2 3(η − t η ) (3) = 3(η 2 − t22η 2 ) , 2ρ (3) = , 2ρ 2 2 3 cos Btη 2 , (5) = 3 cos Bt ρ2 η , (5) = ρ2 cos 2 Bt (1 + η 2 ) 2 (7) = cos Bt (12 + η 2 ) , 2ρ , (7 ) = 2 3 2ρ cos B(1 + t 2 ) (9) = cos3 B(13+ t 2 ) , 6ρ (9) = , 3 2 6ρ 2 t (1 − η + η 4 ) (12) = t 2 (1 − η 2 + η 4 ) , ρ (12) = , 2 ρ 2 1 + t − η − 2t 2η 2 (14) = 1 + t 2 − η 22 − 2t 2η 2 , ρ , (14) = 2 cos Bt ρ (16) = cos Bt , 2 (16) = 2 ρ 2 , 2ρ t (1 + t 2 ) (18) = t (1 +3t 2 ) , (18) = ρ 3 , ρ cos B(1 + t 2 ) (20) = cos B(13+ t 2 ) , 2ρ , (20) = 3 22 ρ 2 cos Bt 2 . (22) = cos 2 Bt 2 (22) = 6 ρ 2 . 6ρ ( 2) = cos B (1 + η 2 ) , ρ ( 4) = 3tη 2 , 2ρ 2 ( 6) = cos 2 B (1 + t 2 + η 2 ) , 2ρ 2 (8) = cos 2 B , 3ρ 3 (11) = 1 −η 2 + η 4 , ρ cos B η2 ) (13) = 2 2 , ρ cos B t (1 − (15) = t (1 − η 2 ) , ρ2 (17) = 1 + 3t 2 , 3ρ 3 cos B (19) = 2 + 3t 2 , 3ρ 3 (21) = cos 2 Bt (1 + t 2 ) , 6ρ 3 W ostatnich wyrażeniach zachowano wcześniej wprowadzone oznaczenia: t = tan B, η2 = e´2cos2B, zaś ρ = sin–1 1˝. W każdej transformacji ta sama postać równań transformacyjnych jest wykorzystywana zarówno do wyznaczenia parametrów transformacji, jak i transformowania punktów. W pierwszej części zadania w miejsce dB, dL, po lewej stronie równań (2.80) podstawia się 73 Zagadnienia geometryczne geodezji wyższej różnice współrzędnych punktów łącznych (wyrazy wolne równań). Współczynniki przy niewiadomych A′, B ′, C ′, D′ oraz A′′, B ′′, C ′′, D′′ wyznacza się na podstawie bi, li obliczonych jako różnice współrzędnych punktów łącznych w układzie pierwotnym Bi′, Li′ z odpowiednimi wartościami Bo, Lo tzw. bieguna transformacji w tym samym układzie (pierwotnym). Niewiadome: przesunięcie punktu głównego dBo , dLo , zmianę skali dp = ds/s , obrót układu pierwotnego dA wyznacza się z rozwiązania układu równań (2.80) metodą najmniejszych kwadratów, gdy liczba punktów łącznych jest większa niż 2. Wyznaczone wartości wstawia się do równań (2.80). Następnie tworzy się różnice bj, lj współrzędnych punktów do transformacji i współrzędnych bieguna transformacji (j jest teraz wskaźnikiem punktów, które należy przetransformować z układu pierwotnego do wtórnego). Potem oblicza się współczynniki A' –•• D '' dla każdego punktu “j”. Podstawiając te współczynniki do równań (2.80) można wyznaczyć wartości poprawek transformacyjnych dBj, dLj, które po dodaniu do współrzędnych punktów w układzie pierwotnym dadzą wartości współrzędnych przetransformowanych. Dokładność transformacji ocenia się na podstawie rozbieżności współrzędnych punktów łącznych przetransformowanych ‘na siebie’ za pomocą wyznaczonych parametrów transformacji. Należy też pamiętać, że ‘wierność’ transformacji zależy w dużej mierze od rozmieszczenia punktów łącznych. Punkty te powinny być w miarę możności równomiernie rozłożone na obszarze objętym transformacją. Gdy transformacja dotyczy współrzędnych odniesionych do różnych elipsoid, równania (2.80) należy poszerzyć o wyrazy zależne od da i df. Liczba punktów dostosowania musi w takim przypadku wynosić co najmniej 3. Więcej szczegółów dotyczących tego przypadku transformacji można znaleźć w oryginalnej publikacji Hristowa (1942). Inne polskie publikacje wzorów Helmerta-Hristowa zawierają niestety pomyłki. Do transformacji Helmerta-Hristowa powrócimy w rozdziale 6.5.5, rozważając przydatność tej transformacji do łączenia punktów wyznaczonych satelitarną techniką GPS z klasyczną siecią geodezyjną na powierzchni elipsoidy odniesienia. 74