Zeszyt ćwiczeń do zajęć wyrównawczych z przedmiotu FIZYKA

Transkrypt

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona | 1 z 73
Zeszyt ćwiczeń do zajęć wyrównawczych
z przedmiotu
FIZYKA
Opracował: dr inż. Adam Maoka
Gliwice, 2011.04.01
Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00
Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39
tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26
Spis treści:
1. Momenty bezwładności i dewiacji;
Strona | 2 z 73
2. Zastosowanie zasad dynamiki. Prawa zachowania;
3. Energia i jej przemiany. Część I;
4. Energia i jej przemiany. Część II;
5. Ciśnienie, elementy mechaniki płynów, zasada Archimedesa,
równania ciągłości strugi, równania Bernoulliego;
6. Właściwości materii. Fizyka cząsteczkowa.
I
Momenty bezwładności i dewiacji
1. Powierzchniowe momenty bezwładności, momenty bezwładności
względem
osi,
biegunowe
momenty
bezwładności, Strona | 3 z 73
momentydewiacji (zboczenia)
Momenty pierwszego rzędu (Jednostka [m3], mogą byd >0, <0, =0)
Powierzchniowe momenty bezwładności figury płaskiej
Momentem statycznym Sl elementu pola F względem prostej L nazywa się iloczyn: Sl=y·F.
Algebraicznie Sl 
 yF .
F
Dzieląc pole F na nieskooczenie wiele małych elementów dF, można przejśd do wyrażenia:
Sl   y dxdy   y dF
F
Moment statyczny całego pola względem danej prostej równa się sumie momentów statycznych
poszczególnych części tego pola względem tejże prostej.
Jednostka momentu statycznego to [m3].
Moment statyczny przekroju może osiągad wartości dodatnie i ujemne lub zero. Umownie moment
statyczny Si nad osią oznaczamy ze znakiem „+” a pod osią „-”. Jeżeli prosta przechodzi przez środek
ciężkości figury i można przyporządkowad pola dF po obu stronach prostej tak, że y 1=-y1 to jej
moment statyczny jest równy „0” (symetria).
dF
y
-y
dF
Przy przesunięciu równoległym osi l o odległośd a do m można wykorzystad zależnośd Sm=Sl+F·a.
Ze względu na fakt występowania odległości (tu y) w pierwszej potędze moment ten zalicza się do
momentów pierwszego rzędu. Momenty drugiego rzędu to moment dewiacji.
Środek ciężkości figury płaskiej (przekroju) to taki punkt, w którym skupione całe pole figury daje
względem obranej osi taki sam moment statyczny, jak sama figura: Sy=xcF; Sx=ycF.
Na tej podstawie można napisad wzory na środek ciężkości powierzchni figury płaskiej:
xc 
S
F
yi

i
F  x
F
i
yc 
i
i
S
F

xi
i
F  y
F
i
i
i
Moment bezwładności (geometryczny) pola względem osi
Momenty drugiego rzędu (Jednostka [m4], momenty bezwładności zawsze >0)
y
x
dF
ρ
y
x
O
Momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem osi x nazywa się wyrażenie:
J x   y 2dF
F
Momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem osi y nazywa się wyrażenie:
J y   x 2dF
F
Gdzie, x oznacza odległośd elementu dF pola F od osi y, a y oznacza odległośd dF od osi x.
Biegunowym momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem punktu O nazywa się
wyrażenie: (odległośd ρ2=x2+y2)
J O   ρ 2dF   x 2dF   y2dF
F
F
F
stąd
JO  J x  J y
[m4]
Podsumowując, suma momentów bezwładności pola F względem dwóch osi prostopadłych do siebie
równa jest biegunowemu momentowi bezwładności względem punktu O przecięcia się tych osi.
Moment dewiacji – geometryczny – (moment zboczenia lub moment odśrodkowy) figury płaskiej o
polu F względem osi x, y nazywa się wyrażenie: (momenty dewiacji mogą byd >0, <0, =0)
D xy   xydF
F
Momenty drugiego rzędu wykorzystywane są często w wytrzymałości materiałów, gdzie liczy się je
najczęściej względem prostych centralnych, tj. przechodzących przez środek ciężkości figury.
Momenty takie nazywa się centralnymi momentami bezwładności figury płaskiej.
Strona | 4 z 73
W odróżnieniu od momentów statycznych, momenty bezwładności figur płaskich posiadają zawsze
wartości dodatnie, ponieważ w wyrażeniach na nie odległośd jest w drugiej potędze. Momenty
dewiacji mogą byd większe, mniejsze lub równe zero.
Promieo bezwładności
Strona | 5 z 73
Promieniem bezwładności pola F figury odpowiednio względem osi x i y oraz bieguna O nazywa się
odpowiednio wyrażenia:
J
Jx
J
, i y  y , iO  O ,
F
F
F
ix 
Na tej podstawie można zapisad równości: Jx=F·ix2, Jy=F·iy2, JO=F·iO2, oraz iO2= ix2+ iy2.
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności pola F figury względem prostej równa się momentowi bezwładności tej
figury względem prostej do niej równoległej i przechodzącej przez środek ciężkości pola plus
iloczyn pola F figury i kwadratu odległości obu prostych.
y
v
a
u
Środek
ciężkości
b
x
O
Jx=Ju+b2F oraz Jy=Jv+a2F
W wytrzymałości materiałów moment bezwładności przekroju wykorzystuje się do wyznaczenia
wskaźnika wytrzymałości przekroju (na zginanie, skręcanie, itd.).
WI 
Iz
,
ei
gdzie, ei – to odległośd punktów skrajnych od osi obojętnej;
Iz – moment bezwładności przekroju względem osi z.
Tabela 1.1 Momenty bezwładności figur płaskich *12+
Rysunek poglądowy
Geometryczny moment bezwładności
Wskaźnik wytrzymałości
Strona | 6 z 73
I=bh3/3
Przykład 1
Obliczyd z definicji moment statyczny pola prostokąta pokazanego na poniższym rysunku o bokach
b i h względem prostej l, przechodzącej przez podstawę, oraz względem wysokości h.
b
Strona | 7 z 73
dF
dy
h
y
h½
l
Rys. 1.1.
Rozwiązanie:
Oznaczając by·dy = ydF =dS1 lub inaczej dF=dy*b
Można na podstawie wcześniejszej definicji napisad:
h
h
0
0
Sl   y dF   y  bdy  b  ydy 
F
bh2
h
F
2
2
Zad. 1.
Dla figury przedstawionej w przykładzie 1 obliczyd z definicji momenty drugiego rzędu względem
prostej osi x i y przechodzących przez jego boki oraz moment dewiacji figury płaskiej (dF=dx*dy).
Zad. 2.
Proszę wyznaczyd dla obu przypadków pokazanych na rys. poniżej:
 momenty bezwładności figury płaskiej względem osi kartezjaoskiego układu współrzędnych,
korzystając z definicji momentu bezwładności figury względem osi;
 biegunowy moment bezwładności względem początku układu współrzędnych;
 promienie bezwładności względem osi i początku kartezjaoskiego układu współrzędnych;
 moment dewiacji figury względem układu xy.
y
y
b
b
r
x
r
O
h
h
x
a). O
b).
Rys. 1.2. Figura płaska do zadania 2
Zad. 3.
Proszę wyznaczyd położenie środka ciężkości figury pokazanej na rys. 1.2 względem kartezjaoskiego
układu współrzędnych oraz momenty bezwładności względem układu osi o początku w środku
ciężkości figury i osiach równoległych do osi układu Oxy. Do rozwiązania należy posłużyd się
twierdzeniem Steinera. Należy wyznaczyd również moment dewiacji oraz biegunowy moment Strona | 8 z 73
bezwładności względem nowego układu osi.
y
2a
O
x
2a
Rys. 1.3. Figura płaska do zadania 3
2. Masowe momenty bezwładności, momenty bezwładności
względem osi, biegunowe momenty bezwładności, momenty
dewiacji (zboczenia)
Środek masy układu punktów materialnych
Środkiem masy układu nazywa się punkt geometryczny S, którego promieo-wektor rs wyznacza się
według wzoru:
Strona | 9 z 73
Współrzędne środka ciężkości
Istnieje pełna analogia do twierdzenia o momentach statycznych; pole powierzchni figury i figur
składowych zastępuje się masą bryły i brył składowych.
Momentem bezwładności ciała o masie m (masowy moment bezwładności) względem płaszczyzny
xy, yz, zx nazywamy granice, do których dążą sumy iloczynów mas elementów ciała dm przez
kwadraty ich odległości od tych płaszczyzn, gdy liczba elementów rośnie nieograniczenie, zaś ich
wymiary dążą do zera.
 z dm,  x dm,  y dm
2
2
m
m
2
m
Jeżeli pod całką zamiast kwadratów odległości elementów od płaszczyzny wystąpią kwadraty
odległości elementów od osi, wówczas będziemy mówid o momencie bezwładności ciała względem
osi. Ponieważ e2=y2+z2 więc momenty bezwładności ciała względem osi x, y, z:
I x   e2dm   y2  z 2 dm   y2dm   z 2dm
m
m
m
m
Z powyższego wynika, że moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie
momentów bezwładności tego ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn, których krawędzią
przecięcia jest dana oś.
Moment bezwładności bryły względem osi
z
y
I z   r 2 dm
r
I z   r 2 dV    r 2 dV
dm
h
Strona | 10 z 73
x
y
y
x
Moment bezwładności walca obrotowego względem jego osi obrotu
I z   r 2 dm
objętośd elementarnej warstwy dV  2r  dr  H
masa elementarnej warstwy dm  2r  dr  H  
moment bezwładności liczony z definicji:
I z   r 2 dm   r 2 2r  dr  H  
I z  2H  r 3dr
R
I z  2H  r 3dr
0
I z  2H
4
r
4
R
0

HR
4
2

r H  R
2
2
2

mR 2
2
Momenty bezwładności względem osi przykładowych brył [7]:
Pręt o długości L i masie m
ml 2
I
12
Pręt o długości L i masie m
ml 2
I
3
Prostopadłościan o wysokości h, długości a, szerokości b i masie m
I

m 2
a  b2
12

Strona | 11 z 73
cylindryczna rura wykonana z cienkiego materiału; promieo r, masa m
Im
I  mr 2
Im
Walec o promieniu r i masie m:
R 2  r2
2
r2
2
Momentem odśrodkowym (dewiacyjnym) ciała względem dwóch prostopadłych do siebie płaszczyzn
nazywa się wyrażenie:
I xy   xy dm, I yz   yz dm, I zx   zx dm
m
m
kg  m 
2
m
Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności
względem osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy I XC zwiększonemu o iloczyn
masy ciała i kwadratu odległości a między tymi osiami – twierdzenie Steinera.
IX= IXC + ma2
3. Macierz bezwładności i jej transformacje
Moment bezwładności ciała sztywnego
W celu pełnego określenia momentów bezwładności bryły sztywnej należy wyznaczyd momenty
bezwładności względem osi oraz momenty dewiacji. Pełny opis bezwładności bryły sztywnej
przedstawia się za pomocą macierzy bezwładności J o następującej postaci:
I xx

I  I yx
 I zx

I xy
I yy
I zy
I xz 

I yz 
I zz 
Macierz ta jest symetryczna gdyż poszczególne jej składowe Jyx=Jxy itd.
Wykaz pozycji literaturowych:
1. Kamioski Z, Kamioski W.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne Tom I,
Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2009;
2. Kamioski Z, Kamioski W.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne Tom II,
Strona | 12 z 73
3. Orear J.: Fizyka Tom I i Tom II, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2008;
4. Leyko J.: Mechanika ogólna Tom I. – Statyka i kinematyka, WN PWN 2008, Warszawa 1999;
5. Leyko J.: Mechanika ogólna Tom II. – Dynamika, WN PWN 2008, Warszawa 1999;
6. Niezgodzioski T.: Mechanika ogólna, WN PWN 2010, Warszawa;
7. Dyląg Zdzisław, Jakubowicz Antoni, Orłoś Zbigniew, Wytrzymałośd materiałów. Tom I, WNT,
2007;
8. Niezgodzioski Michał E., Niezgodzioski Tadeusz Wytrzymałośd materiałów, Wydawnictwo
Naukowe PWN, 2010;
9. Ostwald Marian, Podstawy mechaniki, Politechnika Poznaoska;
10. Świtooski E., Tejszerska D., Mężyk A., Bachorz P., Laboratorium mechaniki ogólnej.
Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1998.
II
Zastosowanie zasad dynamiki. Prawa zachowania
1. Pierwsze i drugie zadanie dynamiki
Pierwsze (proste) zadanie dynamiki – znane są skutki, nie znamy przyczyn ruchu tj. znane Strona | 13 z 73
jest równanie ruchu (w czasie) a poszukiwana jest wartośd siły (momentu) powodującej ten ruch.
Przy prostym zadaniu dynamiki całkujemy równanie ruchu.
Dane:
•
•
x  x(t)
kinematyczne równania ruchu punktu
masa punktu m
y  y(t)
z  z(t)
Szukane:
•
wypadkowa sił działających na ciało
P
Drugie (odwrotne) zadanie dynamiki – znane są przyczyny wywołujące ruch, nie znamy skutków tj.
znana jest wartośd siły (momentu) powodującej ten ruch ale nie znamy równania ruchu (w czasie).
Przy odwrotnym zadaniu dynamiki różniczkujemy równanie równowagi dynamicznej ruchu.
Dane:
•
•
•
•
wypadkowa sił działających na punkt
masa punktu
położenie początkowe punktu
prędkośd początkowa punktu
Szukane:
•
kinematyczne równania ruchu punktu
P (t)
m
x0  x(t0 )
y0  y (t0 )
z0  z (t0 )
x  x(t )
y  y (t )
z  z (t )
v x 0  x (t0 )
v y 0  y (t0 )
v z 0  z (t0 )
P
P
P
oo
X
 mx
Y
 m y
Z
 m z
oo
oo
Zad. 1. (Proste zadanie dynamiki)
Nowoczesna winda zawieszona na linie przemieszcza się w szybie ze znanym przyspieszeniem a
[m/s2+. Siły oporu są również znane i wynoszą R=0,2·P=const *N+. Określid, ile wynosi siła napięcia liny
N, na której zawieszono windę. Ciężar windy wynosi P *N+.
Dane:
Strona | 14 z 73
P [N] – siła ciężkości klatki;
x
R=0,2·P=const *N+ – siła oporu ruchu;
oo
N
a= x [m/s2+=0,4·g *m/s2] – przyspieszenie windy;
N= [N] szukane - siła napięcia liny;
R
Rozwiązanie:
a
y
Równanie różniczkowe ma postad:
oo
oo
P
m· x =P-N-R stąd N=P-R-m· x
oo
podstawiając za masę m=P/g oraz wiedząc, że x =a=0,4·g
P

N  P - 0,2  P -   0,4g 
g

N=0,4·P *N+
2.
Prawa Newtona
 I - Prawo pierwsze (zasada dynamiki – zasada bezwładności)
Punkt materialny, na który nie działa żadna siła, lub siły działające równoważą się, pozostaje w
spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.
Jest to zasada bezwładności, tzn., że bez użycia siły nie można punktowi materialnemu nadad
przyspieszenia ani go zatrzymad. Układ odniesienia, w którym słuszna jest ta zasada nazywamy
układem inercjalnym.
 Prawo drugie (zasada dynamiki)
W układzie inercjalnym przyspieszenie punktu materialnego (lub bryły materialnej) jest
proporcjonalne do siły działającej na dany punkt (lub bryłę materialną) a odwrotnie
proporcjonalne do masy ciała i ma kierunek i zwrot działania siły. (F=m·a)
d (mv )
F
dt
Jeżeli masa punktu jest wielkością stałą
to równanie przyjmuje postad
dm
0
dt
m
d (v )
 mr  ma  F
dt
gdzie: r - promieo wektor opisujący położenie punktu materialnego
Strona | 15 z 73
a - przyspieszenie punktu.
 Prawo trzecie (zasada dynamiki – zasada akcji i reakcji)
Jeśli jedno ciało działa z określoną siłą na drugie ciało, to i wzajemnie drugie ciało działa na
pierwsze ciało siłą taka samą, co do wartości, lecz przeciwnie zwróconą.
Reakcja
Siła ciężkości
3. Zasada zachowania pędu
Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem układu sił
m  a   Fi
Zakładają, że m  const
a
m
dv
dt
dv
  Fi
dt
d
m  v    Fi
dt
Pęd (ilośd ruchu) ciała (punktu materialnego) jest to iloczyn wektora prędkości punktu i jego masy.
p  m v
Pęd jest to wektor o module m razy większym od modułu wektora prędkości, mający kierunek i zwrot
wektora prędkości punktu.
Zasada zachowania pędu mówi, że w układzie odosobnionym wektor p pozostaje stały bez
względu na to jak poruszają się ciała wewnątrz układu. Inaczej: Pęd punktu materialnego jest
wektorem stałym, jeżeli suma geometryczna sił działających na dany punkt materialny jest równa
zeru.
Strona | 16 z 73
m
A
v
r
v
Jeżeli
 F  0 to
i
dp
 0 p  const.
dt
Zasada ta wynika bezpośrednio z drugiej zasady Newtona.
4. Zasada zachowania krętu
Krętem punktu materialnego względem dowolnego bieguna O nazywamy wektor równy iloczynowi
wektorowemu wektora promienia wodzącego punktu i wektora pędu poruszającego się punktu.
Kręt to moment pędu.

m rA
v
KO  r  p
Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa momentowi sumy wszystkich sił
działających na punkt materialny.
Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny układu sił działających na punkt materialny
względem dowolnego bieguna jest równy zeru, to kręt punktu poruszającego się względem tego
samego bieguna jest wielkością stałą.
dK O
 M O  Fi 
dt
dK O
Jeżeli M O  0 to
 0 czyli kręt (moment pędu) jest KO  const.
dt
Zad. 1
Człowiek o masie m1=70 *kg+ porusza się po brzegu poziomej tarczy o promieniu r = 4 [m] i masie
m2 = 200 *kg+, jak podano na rysunku. Podad o jaki kąt φ1 obróci się tarcza, gdy człowiek przejdzie cały
jej obwód.
z m
2
m1
ω
m2 O
Vw
m1
r
Tarcza obraca się wokół pionowej osi bez tarcia, kręt = 0 w chwili początkowej (nim człowiek
rozpocznie ruch) jest równy 0 w dowolnej chwili t. Człowiek porusza się względem tarczy z Vw,
wówczas tarcza zacznie się obracad w przeciwnym kierunku z prędkością kątową ω.
Vb=Vu+Vw (prędkośd bezwzględna=prędkośd unoszenia + prędkośd względna-wektorowo)
Vu=ω·r
K1=m1rVb= m1Vbr
K1=m1r·(Vw-ω·r) względem osi obrotu
Kręt tarczy: K2=-Jzω
Jz= 1 m2r2
2
K1+K2=0 (zasada zachowania krętu)
Strona | 17 z 73
m1r·(Vw-ωr)-Jzω=0
m1r·(Vw-ωr)- 1 m2r2ω=0
2
m1r·Vw-ω(m1r2- 1 m2r2)=0
2
ω
m1rVw
1
m1r 2  m 2 r 2
2
ω
m1Vw
1


r  m1  m 2 
2


Czas przemarszu po całym obwodzie tarczy z prędkością względną Vw=const wynosi:
t1 
czyli:
2r
Vw
1  ωt1 
m1Vw
2r
4m1


 2,6 [rad]
1
2m1  m 2

 Vw
r m1  m 2 
2


5. Zasada d'Alamberta
W ruchu ciała (punktu materialnego) układ sił zewnętrznych równoważy się z siłą bezwładności.
F
i czynne
  Ri reakcje  FB  0
(siły czynne (siła żywa) i bierne)
Inaczej F+(-m·a)=0
Jeżeli do punktu materialnego oprócz sił zewnętrznych (czynnych i biernych) przyłożymy siłę
bezwładności, otrzymamy układ sił pozostających w równowadze.
Wprowadzając do zadao z zakresu dynamiki siłę bezwładności, można je rozwiązywad, stosując znane
ze statyki równania równowagi, szczególnie korzystne dla określenia reakcji więzów.
Przyjęcie sił bezwładności prowadzi do sprowadzenia zagadnieo dynamiki do zagadnienia statycznego
(równowaga sił).
F F 0
F  F
ma   F
i
B
B
i
i
Strona | 18 z 73
Rzutując obie strony równania na trzy osie Ox, Oy, Oz, otrzymujemy
dynamiczne równania ruchu:
m  a   Fi
m  a x   Fx
m  a y   Fy
m  a z   Fz
Dla ciała – układu punktów materialnych do powyższych zależności dochodzi warunek sumy
momentów tj. można stwierdzid, iż siły czynne, siły bierne i siła bezwładności działające na każdy
punkt układu pozostają w równowadze. Muszą wobec tego spełniad warunki równowagi układu sił.
Suma geometryczna musi byd równa zeru. Suma momentów od tych sił względem dowolnie
obranego bieguna musi byd równa zeru.
Warunki równowagi dla układu sił działającego na każdy punktu układu:
F F 0
 M F , F   0
i
B
o
i
B
Zad. 1.
Dachówka spada z dachu przebywając drogę AB = l = 4 *m+ w czasie τ = 1 *s+ z początkową
prędkością V0 = 0, a następnie spada swobodnie z wysokości h = 5 *m+ na ziemię. Wyznaczyd w jakiej
odległości od krawędzi dachu spadnie dachówka, jeżeli współczynnik tarcia dachówki o dach wynosi
µ.
B
h
α=6
0
0
z=
?
I odcinek
α
N
y
a
A
T
G
x
B
µ
Strona | 19 z 73
Z dynamicznych równao równowagi:

m x  Gsinα  T

m y  N  Gcosα

przyśpieszenie y =0
=> N=Gcosα
bo ruch jest prostoliniowy, odbywa się wzdłuż osi x

m x  Gsinα  Gμμcos
/:m
G 
x  Gsinα  Gμμcos
g
/:
T=µN
Strona | 20 z 73
T=Gµcosα
g
G

x  gsinα  gμμcos
- całkujemy

x  gsinα  gcosα   t  C1
x  gsinα  gcos  
t2
 C1t  C 2
2
Warunki początkowe: V0=0
dla

t=0
t=0
x A = 0 czyli
xA=0
czyli
dla
t=τ
x=l

x  gsinα  gcosα   t
x  gsinα  gcos  
C1=0
C2=0
VB=(gsinα-gµcosα)·τ
t2
2
l  ( g sin   g cos  ) 
2l

2
 
2
2l
τ
gsinα  g cos  
VB 
2
2l

VB = 8 [m/s]
II odcinek
x
y
m
VB
α
A
F
ix
0


mx  0
my  G
Całkowanie:


yg
x  C3

y  gt  C5
x=C3t+C4
yg
2
t
 C5 t  C6
2
Warunki początkowe: V0=0
dla
dla

t=0
t=0
x = VBcosα
czyli
czyli
C3=VBcosα
C4=0
t=0
y = VBsinα
czyli
C5=VBsinα
t=0
y=0
czyli
C6=0
x=0

Strona | 21 z 73


x  VBcosα
y  gt  VBsinα
yg
x=VBcosα
t2
 VBsint
2
x=VBcosα
yg
t
t2
 VBsint
2
2
g  x 
x
gx 2
  VBsinα
y   

 tgx
2  VB cosα 
VB cosα 2VB2 cos 2 α
x
VB cos 
y
gx 2
 xtg
2VB2 cos 2 α
Szukamy x dla y = 5
g8x 2
5
 3x
2  8 2  0,5 2
x1,2=-2,82±4,93
x=2,11 [m]
Zad. 2.
Jaką drogę przebędzie klocek o masie m umieszczony na poziomej, chropowatej
powierzchni, jeżeli nada się mu prędkośd początkową V
y
Vp
T
N
G
x
mg

m x  T

m y  N - mg

y0
(przyspieszenie w y=0, bo nie ma ruchu w tej osi oraz siła N równoważy się z siłą mg)
N=m·g
T=N·µ=m·g·µ

m x  mgμ

x  gμ Całkujemy po czasie, aby uzyskad prędkośd a potem drogę.

x  μgt  C1 Prędkośd
t2
 C1t  C2 Przemieszczenie
2
x  μg
Warunki początkowe:
dla
t=0
V=Vp
t=0
x=0
C1=Vp
C2=0
Strona | 22 z 73

x  μgt  Vp Prędkośd
x  μg
t2
 Vp t Przemieszczenie
2

dla
t= τ
x  μg
x
x =0
Vp2
2μ 2 g 2
 Vp
Vp
μg
0=-µgτ+Vp

Vp2

2μμ
Vp2
μg

=>
τ
Vp
τ – czas, po którym klocek wyhamuje od zera
μg
Vp2
2g
2
p
V
2g
Zad. 3.
Ciała o ciężarach G i Q połączono nicią przerzuconą przez krążek C jak przedstawiono na rysunku.
Zakładając, że masa i opory ruchu krążka są pomijalnie małe wyznaczyd naciąg nici oraz prędkośd
ciała G po przebyciu drogi h.
µ
T
h
Q
µ
N
α
y
G
x
G
x
S
Q
T
a
S
dla ciała G
G=mg => m  G
dla ciała Q
Q=mg
g
F
ix
F
0
ix
G-S=max
0
S  T  Qsinα 
F
iy
Q
a
g
0
N-Qcosα = 0 => N = Qcosα
T=µN
=> T = µQcosα
S  Qcos  Qsinα 
G
Q
a
g
G
Q
 a  Q  sinα  μcosα    a
g
g
G  Q  sinα  μcosα  
G
Q
a  a
g
g
/ g
g  G  Q  sinα  μcosα   a  G  Q
a
g  G - Q  sinα  μcosα 
GQ
oraz
G g  G - Q  sinα  μcosα 
SG 
g
GQ
S
GQ  G 2  G 2  GQ  sinα  μcosα 
GQ
S
tC 
2h
a
h
at 2
2
t
2h
a
VK=atC
GQ  (1  sinα  μcosα)
GQ
dla ruchu jednostajnie przyspieszonego
2h  at 2
6. Równania Lagrange'a
Ruch w mechanice, a w szczególności drgania mechaniczne ciał stałych, opisad można za pomącą
równao różniczkowych ruchu.
Jednym ze sposobów jest opis za pomocą równania Lagrange’a II rodzaju:
Strona | 23 z 73

d  L

dt  q i


 L R

 Q (r)


q

q
i
i


Strona | 24 z 73
Gdzie:
L(q1 , qi , t )  E  U - energia Lagrange’a;
Q – siła zewnętrzna;
Energia potencjalna: U 
1 2
ci x  mi gx i (różnica wysokości, energia zgromadzona w ciele np.
2
sprężyna, akumulator hydrauliczny itp.);
2
Energia rozproszenia (Rayleigh’a):
1
R   b j x energia wytracana w układzie i rozpraszana
2
j
poprzez zamianę na ciepło, luminescencję, zużycie trybologiczne itp. procesy nieodwracalne;
Rys. 2.1. Przykładowe oprogramowanie wykorzystujące do celów symulacji opis ruchu na bazie
równania Lagrange’a
Postad numeryczna równania Lagrange’a i metody całkowania – interpretacja graficzna czyli
poszukiwanie prędkości a następnie drogi na bazie całkowania numerycznego z wykorzystaniem
metody prostokątów lub trapezów.
Zad. 1
Dla układu przedstawionego na rysunku wyznaczyd równanie ruchu z wykorzystaniem
równania różniczkowego Lagrange’a.
Dane: m1,m2, c1, c2.
Strona | 25 z 73
c2
x2
c1
x1

d  L

dt  q i


 L R

 Q(r )


q

q
i
i


Funkcja Lagrange’a:
LEU
L
1
1
1
1

m1 x 1  m 2 x 2   C 2 x 2  C1 x 1  x 2 
2
2
2
2

 2
 2
Energia kinetyczna:
2
2
1
1
E  m1 x1  m 2 x 2
2
2
Energia potencjalna:
1
1
U  C2 x 2  C1 x1  x 2 
2
2
Pierwsza pochodna energii kinetycznej wynosi:





E  m1 x1 x1  m 2 x 2 x 2 - bo pochodna złożona x12=x1*x1

E

 x1

 m1 x 1

E

 x2

 m2 x 2
Obliczanie kolejnych składników równania:
E
0
x 1
U
 C1 x 1  x 2 
x 1
E
0
x 2
U
 C1 x 2  x 1  C 2 x 2
x 2
Po podstawieniu różniczek do równania otrzymujemy:


 C x

 x  C x
m1 x1  C1 x1  x 2  0

m2 x 2
1
1
2
2
2
0
Powyższe równania pozwalają na opis ruchu ciał w przedstawionym układzie w funkcji czasu.
4. Leyko J.: Mechanika ogólna Tom I. – Statyka i kinematyka, WN PWN 2008, Warszawa 1999;
7. Dyląg Zdzisław, Jakubowicz Antoni, Orłoś Zbigniew, Wytrzymałośd materiałów. Tom I, WNT,
2007;
Naukowe PWN, 2010;
10. Świtooski E., Tejszerska D., Mężyk A., Bachorz P., Laboratorium mechaniki ogólnej.
Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1998.
Strona | 26 z 73
III
Energia i jej przemiany. Część I
1. Energia kinetyczna, energia potencjalna
Energia kinetyczna - jeżeli stała siła F wprawia w ruch jednostajnie zmienny ciało o masie m
udzielając mu na drodze s prędkości V, to energia kinetyczna ciała spełnia równanie:
EK = L = F · s
podstawiając zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona wartośd F = a·m oraz z równania ruchu
jednostajnie zmiennego o prędkości początkowej V0=0 -> s=at2/2 otrzymamy EK=m/2·a2t2, gdzie
wielkośd AT wyraża prędkośd V=at ruchu jednostajnie zmiennego dla V0=0, stąd
Energia kinetyczna EK ciała poruszającego się ruchem postępowym równa jest połowie iloczynu
masy m ciała przez kwadrat prędkości V.
Energia potencjalna - ciało o masie m położone na wysokości h nad pewnym poziomem
odniesienia (za który najczęściej przyjmuje się powierzchnię kuli ziemskiej) posiada energię
potencjalna położenia.
Ep = m·g·h
Zad. 1
Obliczyd energię kinetyczną pocisku o masie 40 kg, wyrzuconego z lufy armatniej z prędkością
600 m/s oraz średnią siłą parcia gazów prochowych w lufie, jeżeli długośd jej wynosi 2m.
Rozwiązanie:
m = 40 kg ≈ 4 kG·s2/m
2. Energia mechaniczna
Strona | 27 z 73
Ciało mające zdolnośd wykonania pracy (np. zawieszone, napięte lub będące w stanie ruchu)
posiada energię, zaś zasób pracy L, którą to ciało może wykonad nazywamy jako energię
mechaniczną E.
E=L
Strona | 28 z 73
Energia mechaniczna występuje w dwóch postaciach: jako energia potencjalna, którą posiadają
niektóre ciała w spoczynku (np. zawieszony ciężar, napięta sprężyna) lub energia kinetyczna, którą
obdarzone SA ciała w ruchu (np. pędząca kula).
3. Zasada zachowania energii mechanicznej
Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna punktu i układu punktów
materialnych, równa sumie energii kinetycznej oraz energii potencjalnej sił wewnętrznych i
zewnętrznych, zachowuje stałą wartośd
E2+ VZ(2) + VW(2)=E1+ VZ(1)+VW(1)
Wzór wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej.
Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił
zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu
E2- E1=W
Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru, gdyż
odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie.
Zad. 1.
Walec o masie m kg i promieniu podstawy r m jest owinięty w środku cienką linką, której koniec
A przymocowano do punktu stałego. Walec zaczyna opadad bez prędkości początkowej, odwijając się
z linki. Obliczyd prędkośd osi walca V w chwili, gdy oś obniżyła się o wysokośd h.
Strona | 29 z 73
Rozwiązanie:
W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku, energia kinetyczna
E2- E1=W
Zatem
stąd
Zad. 2.
Koło o masie m kg toczy się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie pochylenia α. Współczynnik
tarcia tocznego wynosi f. Stały moment M Nm jest przyłożony do koła o masie 2m i promieniu 2r,
obracającego się względem osi O. Z kołem tym jest połączone koło o masie m i promieniu r.
Wyznaczyd przyspieszenie kątowe ε2. W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku.
Strona | 30 z 73
Rozwiązanie:
Zależności między prędkościami:
Wszystkie prędkości wyrażamy przez ω2
Pracę wykonują siły ciężkości oraz stały moment M i moment tarcia N·f
Zależności na drogę:
Wartośd siły nacisku
Strona | 31 z 73
Po podstawieniu do wzoru E2- E1=W otrzymamy
Po zróżniczkowaniu obu stron otrzymamy
Zadanie do samodzielnego rozwiązania:
Zad. 3.
Ciężarek A o masie m1 kg opada zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej linie przeciągniętej
przez bloczek B i nawiniętej na bęben o promieniu r m, na którym osadzone sztywno koło o
promieniu R, toczące się bez poślizgu po poziomym torze. Współczynnik tarcia tocznego wynosi f.
Wspólna masa koła i bębna jest równa m2 kg. Wyznaczyd przyspieszenie kątowe ε oraz liniowe a1 i a2.
Strona | 32 z 73
Naukowe PWN, 2010;
IV
Energia i jej przemiany. Część II:
1. Praca i moc
Praca jest to iloczyn siły P działającej w kierunku ruchu przez drogę s, którą przebywa punkt
przyłożenia siły. Jeżeli więc kierunek działania siły jest zgodny z kierunkiem ruchu (tak jak to ma
miejsce w przypadku podnoszenia ciężaru) to pracę określi równanie:
L = F·s
Jednak w przypadku, gdy siła nie działa w kierunku ruchu wielkośd pracy wynosi:
L = F·s·cosα
W ogólnym przypadku miarę pracy mechanicznej L, stanowi iloczyn siły działającej F przez drogę
s i cosinus kąta α zawartego między kierunkiem działania siły i kierunkiem ruchu.
Jednostką pracy jest dżul (J). Jest to praca, jaką wykonuje siła o wartości 1 N na drodze 1 metra
przebytej w kierunku działania siły.
Zad. 1
Obliczyd pracę jaką wykona wciągarka, wciągająca ciężar 200 kg wzdłuż równi o długości 4 m,
nachylonej pod kątem 300 do poziomu. Współczynnik tarcia wynosi µ = 0,1. Obliczyd również, jaką
pracę wykonują opory ruchu?
N
F
µ
T
s
α
- Praca wykonana przez siłę wciągającą
N = Gcosα
oraz
F – T = Gsinα
Wiedząc, że T = Nµ otrzymujemy
F = Gµcosα + Gsinα; L = F·s
L = G·s·(µcosα + sinα) = 200·4·(0,1·0,866 + 0,500) = 470 kGm
- Praca wykonana przez opory ruchu – oporami ruchu są siła tarcia T = Gµcosα oraz siła powodująca
zsuwanie się ciała z równi, czyli składowa siły ciężkości równa Gsinα, działająca w kierunku równi.
Praca oporów ruchu L1 jest ujemna i wynosi:
L1 = -Gsµcosα – Gssinα = -470 kGm
Mocą nazywamy stosunek pracy L do czasu t, zużytego na jego wykonanie i oznaczamy literą P
Jednostką mocy jest Wat (W), czyli dżul na sekundę (J/s)
Zad. 2
Obliczyd moc wciągarki oraz moc układu technicznego narysowanego powyżej, jeżeli czas
wykonania pracy wynosił 3 *s+.
2. Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy
Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił
zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu.
E2 – E1 = L
Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru, gdyż
odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie.
Zad. 1
Strona | 33 z 73
Walec o masie m *kg+ i promieniu podstawy r *m+ jest owinięty w środku cienką linką, której
koniec A przymocowano do punktu stałego. Walec zaczyna opadad bez prędkości początkowej
odwijając się z linki. Obliczyd prędkośd osi walca V w chwili, gdy oś obniży się o wysokośd h. Ponadto
wyznaczyd wartośd siły w linie. W chwili początkowej częśd linki nie nawinięta na walec miała
Strona | 34 z 73
kierunek pionowy.
S
Rozwiązanie:
E2- E1=W
Zatem
stąd
Wartośd siły w nici można wyznaczyd z dynamicznych równao ruchu płaskiego i równao więzów.
∑Fix=m·a, m·g-S=m·a
∑Mio=Io·, -S·r = Io·
Równania więzów:
a=·r
Strona | 35 z 73
3. Energia wewnętrzna – entalpia
Entalpia – jest termomechaniczną funkcją stanu, którą definiuje zależnośd:
gdzie U - energia wewnętrzna, p - ciśnienie, V - objętośd
Entalpia jest funkcją stanu z której jest dogodnie korzystad przy przemianach prowadzonych pod
stałym ciśnieniem dla układów, których objętośd może się zmieniad w czasie przemiany. Dla takich
przemian zmiana entalpii jaka się w ich czasie odbywa równa jest ciepłu tych przemian. Przemiany
takie są bardzo często spotykane w praktyce (silniki atmosferyczne, przemiany fazowe, reakcje
chemiczne w roztworach, itd, itp.) stąd entalpia jest bardzo często wykorzystywaną funkcją stanu.
Strona | 36 z 73
V
Ciśnienie, elementy mechaniki płynów, zasada
Archimedesa,
równania ciągłości strugi, równania
Bernoullego
1. Definicja ciśnienia, urządzenia do mierzenia ciśnienia,
Ciśnieniem nazywamy iloraz wartości siły F, działającej prostopadle do wycinka powierzchni
ograniczającej dane ciało i powierzchni S tego wycinka.
Przy definicji ciśnienia zakładamy, że wycinek powierzchni jest tak mały, że można go uważad za
zupełnie płaski.
Siłę F, działającą prostopadle do płaskiego wycinka powierzchni ograniczającej dane ciało,
nazywamy siłą parcia.
Ciśnienie jest wielkością skalarną, jednostką ciśnienia w układzie SI jest paskal. Ciśnienie wynosi
1 paskal, gdy na płaszczyznę o polu jednego metra kwadratowego działa prostopadle siła jednego
niutona.
1 Pa =
Prawo Pascala:
Ciśnienie w danym punkcie cieczy lub gazu w stanie równowagi nie zależy od ustawienia
powierzchni na którą działa. W nieobecności pól grawitacyjnych ciśnienie w każdym punkcie gazu czy
cieczy jest jednakowe.
Każda ciecz może mied ciśnienie wyższe od ciśnienia atmosferycznego, potocznie nazywane
nadciśnieniem lub niższe, czyli podciśnienie. Do pomiarów nadciśnienia służą przyrządy zwane
manometrami, których zasada działania opiera się z reguły na pomiarze siły parcia, jaka działa na
powierzchnię umieszczoną określonym obszarze wewnątrz cieczy czy gazu. W związku z faktem, że
powierzchnia ta jest zawsze taka sama, pomiar siły parcia wyznacza automatycznie ciśnienie.
Manometry używane do pomiarów ciśnienia powietrza w atmosferze nazywane są barometrami. Do
pomiaru podciśnieo służą wakuometry. Są również przyrządy pomiarowe do pomiaru obu ciśnieo
zwane manowakuometrami. Oba rodzaje mierników dzielimy na: hydrostatyczne (cieczowe), prężne
(rurkowe lub przeponowe) oraz obciążeniowe.
Strona | 37 z 73
2. Ciśnienie w mechanice płynów, napór na ściany płaskie
Zad. 1
Wyznaczyd siłę naporu F na okrągłą ścianę zbiornika w którym znajduje się ciecz wypełniająca
rurkę do wysokości h. Wyznaczyd różnicę Δh pomiędzy środkiem ciężkości a środkiem naporu.
Gęstośd wody wynosi  .
h
p0
H2O
D
T
P
h
F
Dane:
Wyznaczyd:
h=
1.4 m
F=?
D=
0.8 m
h = ?
=
1000 kg.m-3
Rozwiązanie:
Zad. 2
Wyznaczyd siłę naporu F i środek naporu hp dla kwadratowego wieka kanału znajdującego się na
głębokości hT pod poziomem wody (p0=const). Wyznaczyd średnią wartośd ciśnienia p na wieko.
Strona | 38 z 73
hP
hT
p0
p0
F
P
a
H2O
Dane:
T
Wyznaczyd:
hT =
1.6 m
F =?
a=
1m
hp = ?
=
1000 kg/m3
p =?
Rozwiązanie:
Do samodzielnego rozwiązania:
Zad. 3
Wyznaczyd wartośd siły naporu F na okrągłe wieko zbiornika oraz położenie środka naporu xp.
Wyznaczyd składową pionową siły naporu Fy.
ht

F
xT
Strona | 39 z 73
H2O
P
T
xP
D
Dane:
Wyznaczyd:
D=
1m
F = ?
xT =
1.8 m
xp = ?
=
40 deg
Fy = ?

1000 kg.m-3
Napór hydrostatyczny na sztywne ściany zakrzywione
Zad. 1
Wyznaczyd wartośd siły naporu F na ścianę zakrzywioną o przekroju walcowym
wyrażonym promieniem R oraz szerokością B. Wyznaczyd składowe Fx, Fy oraz kąt α.
R

F
H2O
Dane:
Wyznaczyd:
R=
0.8
m
Fx =
?
B=
3
m
Fy =
?
1000
kg.m-3
F=
?
=
?
 =
Strona | 40 z 73
Rozwiązanie:
Zad. 2
h
Wyznaczyd siłę naporu wody F na walcową ścianę zbiornika o szerokości B.
F
R
S
Dane:
Wyznaczyd:
h=
0.8
m
Fx =
?
R=
0.4
m
Fy =
?
B=
4.0
m
F=
?
=
1000
kg.m-3
Rozwiązanie:
Strona | 41 z 73
Zad. 3
h
Wyznaczyd składowe Fx, Fy, kąt α oraz wypadkową siłę naporu wody F na ścianę w kształcie
półkuli.
R
Dane:

F
Wyznaczyd:
h=
6.5 m
Fx = ?
R=
4m
Fy = ?
=
1000 kg.m-3
F=?
= ?
3. Zasada Archimedesa, równania ciągłości strugi
Prawo Archimedesa - każde ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na swym ciężarze na tyle, ile
wynosi ciężar cieczy przezeo wypartej. W jednorodnym polu grawitacyjnym o natężeniu g na ciało
Strona | 42 z 73
zanurzone w cieczy działa siła wyporu Fw skierowana przeciwnie do kierunku pola, jej wartośd równa
jest ciężarowi cieczy wypartej przez ciało.
Fw=-Vdg
Wartośd wektora dg oznaczamy często symbolem D i nazywamy ciężarem właściwym.
4. Równania Bernoulliego
Przepływ cieczy w rurze może byd spowodowany różnicą poziomów wlotu i wylotu rury lub
różnicą ciśnieo. Przepływem stacjonarnym idealnej cieczy nieściśliwej przez rury rządzi prawo
Bernoulliego - wzdłuż rury spełniona jest równośd:
gdzie:
p – ciśnienie w danym punkcie rury;
d - gęstośd cieczy;
V – prędkośd cieczy;
g – przyspieszenie ziemskie;
h – wysokośd względem dowolnie wybranego poziomu zerowego.
h
S1
h1
p1
V1
h2
V2
p2
S2
Z prawa tego wynika, że jeżeli ciecz płynie w poziomej rurze, a więc gdy h=const, równanie
Bernoulliego przybiera postad:
Jeżeli w rurze znajduje się przewężenie, to prędkośd cieczy V2 w tym punkcie jest większa niż
prędkośd V1 w pozostałej części rury, a więc ciśnienie p2 w tym obszarze jest mniejsze niż w
Strona | 43 z 73
pozostałej części rury.
Prawo Bernoulliego obowiązuje nie tylko w przypadku przepływu przez rurę, lecz przy każdym
stacjonarnym ruchu cieczy. W ogólnym sformułowaniu prawo to brzmi następująco: przy przepływie
stacjonarnym idealnej cieczy nieściśliwej, wzdłuż linii prądu cieczy spełniona jest równośd
Linia prądu jest to linia w każdym swoim punkcie styczna do wektora prędkości cieczy w danym
punkcie, linia prądu pokrywa się z torem ruchu wybranej cząsteczki cieczy.
Zad 1
W zbiorniku o szerokości b i długości l poziom wody obniżył się o wielkośd h w czasie t.
Wyznaczyd średnie objętościowe natężenie przepływu wody
Qv .
b=
40 m
l=
300 m
h
=
8m
t
=
30 min
Qv
h
Wyznaczyć:
Dane:
=?
Q
l
Rozwiązanie:
V
Zad. 2
p
Ze zbiornika poprzez rurkę o średnicy d wypływa płyn o gęstości  oraz ciśnieniu 0 . Zbiornik
jest otwarty, także na płyn w zbiorniku działa również ciśnienie atmosferyczne. Są dane wysokości h1
oraz
h2 . Wyznaczyd objętościowe natężenie wypływu płynu Qv , oraz ciśnienie p1 w punkcie 1.
Strona | 44 z 73
1
Wyznaczyd:
p0
d =
Qv = ?
d
0
h2
12 cm
h1
Dane:
 =
1000 kgm-3
h1 =
1m
h2 =
1m
p1 = ?
v = konst

2
p0
p 0 = 100000 Pa
Rozwiązanie:
Równanie Bernoulliego
0-2
Równanie Bernoulliego
1-2
Objętościowe natężenie wypływu płynu
Qv :
Zad. 3
Woda wypływa ze zbiornika z objętościowym natężeniem
d1 na d 2 pod kątem  . Wyznaczyd odpowiadającą wysokośd poziomu wody H, oraz
p0
p
1
ciśnienie p1 w punkcie . Ciśnienie atmosferyczne
Dane:
wynosi 101325 Pa.
0
Wyznaczyd:
d1
1
200 m .h
v2 = ?
1m
H=?
-1
v1
p1

l
Qv =
3
0
H
zwężający się z
Qv poprzez otwór o długości l,
l =
2
p0
v2
d2
d2 =
75 mm
d2 = ?
 =
10 o
p1 = ?
 = 1000 kg.m-3
Zad. 4.
Dwa identyczne naczynia napełniono po brzegi wodą. W jednym z naczyo pływa korek. Która
szalka obniżyłaby się, gdybyśmy naczynia ustawili na wadze?
Zad. 5
Cienkościenną rurkę (zatkaną z jednego kooca) o długości l, polu powierzchni przekroju
poprzecznego S i masie m powoli zanurzamy w cieczy o gęstości ρ w sposób pokazany na rysunku
poniżej. Początkowe ciśnienie gazu doskonałego, wypełniającego rurkę, równa się ciśnieniu gazu nad
cieczą p. Rozpuszczalnośd gazu w cieczy oraz masę gazu w rurce zaniedbujemy. Jak głęboko należy
zanurzyd rurkę, by siła z jaką ciecz działa na rurkę równała się jej ciężarowi? Czy zawsze jest to
możliwe?
I
II
Strona | 45 z 73
Zad. 6
Nierównoramienną dźwignię dwustronną zrównoważono zawieszając na jednym jej koocu kulke
aluminiową, a na drugim – ołowianą. następnie pod dźwignię podstawiono naczynie z wodą tak, że
kulki zanurzyły się całkowicie. Które ramię dźwigni obniżyło się i dlaczego?
Strona | 46 z 73
1. Blinowski J., Trylski J.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie. PWN, Warszawa 1973
6.
Właściwości materii. Fizyka cząsteczkowa
1. Atomowa struktura materii
Doskonały kryształ składa się z uporządkowanych atomów w sieci krystalicznej, opisanej przez
trzy podstawowe wektory translacji; a, b, c , tak, że układ atomów pozostaje niezmieniony czy
obserwujemy go z punktu P(r) czy z punktu P(r’).
a
b
T
r
r’
Rys. 6.1. Częśd kryształu w przestrzeni dwuwymiarowej
Uporządkowanie atomów w krysztale wygląda dokładnie tak samo bez względu na to, czy
obserwujemy z punktu r’, czy r, pod warunkiem, że wektor T, który łączy r’ i r można przedstawid jako
iloczyn liczb całkowitych wektorów a i b. Relacja między wektorami r i r’ jest następująca (dla przypadku
trójwymiarowego):

 


r '  r  n1a  n2 b  n3c
gdzie: n1 , n2 , n3 są dowolnymi liczbami całkowitymi.
Zbiór punktów określonych tym równaniem dla wszystkich wartości i definiuje sied krystaliczną.
Sied: jest regularnym i periodycznym układem punktów w przestrzeni. Ze strukturą krystaliczną mamy
doczynienia wówczas, gdy baza atomów jest przyporządkowana jednoznacznie do każdego węzła sieci.
Baza: składa się z jednego atomu dla najprostszych kryształów może byd również 105 atomów lub
cząsteczek np. w białkach.
Strona | 47 z 73
Przekształcenie translacji sieci lub przekształcenie translacji kryształu definiujemy jako przesuniecie
równoległe kryształu względem siebie o wektor translacji kryształu T.



T  n1a  n2 b  n3c
Komórka prosta sieci:
Równoległościan a, b, c nazywamy komórką prostą, która jest jednym z typów komórki elementarnej.
Komórka elementarna
stanowi przestrzeo powstałą z przekształceo translacji kryształu. Istnieje pięd sieci dwuwymiarowych
Bravais’ego, parametry sieci są przedstawione w tabeli 6.1.
Istnieje czternaście rodzajów sieci
krystalograficznych.
trójwymiarowych,
występujących w siedmiu układach
Tabela 6.1. Pięd sieci dwuwymiarowych Bravego
Sied
Umowna komórka
elementarna
Parametry sieciowe komórki
elementarnej
Ukośnokątna
równoległobok
a  b;   90O
Kwadratowa
kwadrat
a = b;  = 90O
Heksagonalna
romb
a = b;  = 120O
prostokątna prosta
prostokąt
a  b;  = 90O
Prostokątna centrowana
prostokąt
a  b;  = 90O
Wiązania w krysztale
Całkowicie odpowiedzialne za spójnośd ciała stałego jest oddziaływanie przyciągające –
elektrostatyczne, między ujemnymi ładunkami elektronów, a dodatnim ładunkiem jąder. Siły
magnetyczne mają mały wpływ na spójnośd kryształu, a siły grawitacyjne można w ogóle pominąd.
Energię wiązania kryształu można obliczyd z danych o przestrzennym rozkładzie elektronów i jąder w
krysztale (z praw mechaniki kwantowej) oraz z danych o rozkładzie ich prędkości.
W zagadnieniu spójności porównujemy całkowitą energię ciała stałego (energia kinetyczna +
potencjalna) z energia dla tej samej liczby swobodnych atomów nieskooczenie odległych od siebie.
Kryształ jest stabilny gdy jego całkowita energia jest mniejsza od całkowitej energii swobodnych
atomów i cząstek.
Energia spójności = energia swobodnych atomów – energia kryształu
Rodzaje wiązao:
b)
a)
Strona | 48 z 73
c)
C
C
C
C
C
diament
Rys. 6.2. Podstawowe rodzaje wiązao krystalicznych: a) van der Waalsa, b) jonowe,
c) kowalencyjne
Tabela 6.2. Typy wiązao i ich własności
Typ wiązania
Przykład
kowalentne
diament
Energia wiązania
kJ/mol
710.60
jonowe
NaCl, LiF
752.40, 1003.20
metaliczne
Na, Fe
108.68, 392.92
Molekularne
(van
der
Waalsa)
Ar, CH4
7.52, 10.03
Charakterystyczne własności
Twarde, małe przewodnictwo elektryczne
Pochłanianie w podczerwieni, małe
przewodnictwo elektronowe w niskich
temperaturach, duże przewodnictwo
jonowe w wysokich temperaturach
Duże przewodnictwo elektryczne i
przewodnictwo cieplne
Niska temperatura topnienia i wrzenia, duża
ściśliwośd
Wiązanie van der Waalsa - Londona:
Występuje w gazach szlachetnych (tworzą strukturę o możliwie najgęstszym upakowaniu)
Potencjał elektrostatyczny od kulistego rozkładu ładunku elektronów znosi się na zewnątrz obojętnego
atomu z potencjałem elektrostatycznym ładunku zawartego w jądrze. Wydaje się więc, że atomy gazów
szlachetnych nie mogą tworzyd struktury krystalicznej. Wszystkie średnie momenty elektryczne są Strona | 49 z 73
równe zeru. Lecz ze względu na ruch elektronu wokół jądra w pewnym momencie istnieje różny od zera
elektryczny moment dipolowy.
Rys. 6.3. Oddziaływanie van der Waalsa,
Rysunek rys. 6.3. przedstawia oddziaływanie przyciągające dwóch atomów dla czasów ta i tb dla których
w atomie 1 występuje moment dipolowy P1. Ten moment dipolowy wytwarza pole elektryczne E,
którego linie sił obejmują atom 2 wzbudzając w nim moment dipolowy P2.
Chwilowy, dipolowy moment elektryczny P1 wytworzony w atomie pierwszym wytwarza w środku
atomu drugiego, odległego o R, pole elektryczne:
E
2 p1
R3
Pole to wywołuje dipolowy moment elektryczny w atomie 2-gim:
p2  E 
2p1
R3
gdzie:
a jest polaryzowalnością elektronową : *a+=*długośd+3  [ro]3
ro jest promieniem atomowym
*p+ = *ładunek+*długośd+  er0, gdzie e jest ładunkiem elektronu.
Energia potencjalna dipoli:
U ( R)  
2 p1 p2
4p12


R3
R6
Strona | 50 z 73
4e 2 r 5
U ( R)   6 O
R
o
10 58
U ( R)   6 dla rO  10 58 cm  1 A
R
[U]=erg dla [R] w cm
U ( R)  
C
R6
gdzie stała C  10-58 erg cm6
Jest to
pola
energia
oddziaływania
van
der
Waalsa-Londona,
czyli
energia fluktuującego
Występuje również oddziaływanie odpychające. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi:
U ( R) 
B
gdzie B > 0
R12
Nakładanie powłok elektronowych (potencjałów) atomów o zapełnionych powłokach może zachodzid
wówczas gdy elektrony są przeniesione do stanów o większej energii, wówczas wzrasta całkowita
energia układu, co wprowadza do układu przyczynek odpychający. Wówczas całkowita energia wynosi:
  12    6 
U ( R )  4      
 R  
 R 
6
12
gdzie:  i  są współczynnikami określonymi przez relacje: 4  C , 4  B
Energia potencjalna U(R) znana jest jako potencjał Lennarda – Jonesa.
Wiązanie jonowe
Kryształy jonowe są utworzone z dodatnich i ujemnych jonów. Jony są tak rozmieszczone, że
kulombowskie siły przyciągania pomiędzy jonami o przeciwnych znakach są większe od sił
odpychania między jonami tych samych znaków.
Zasadniczy wkład do energii wiązania kryształów jonowych daje oddziaływanie elektrostatyczne
zwane energią Madelunga.
U i  U ij
j i
Strona | 51 z 73
gdzie:
U ij
Ui
jest energia oddziaływania między i-tym i j-tym jonem,
jest energią całkowitą jednego dowolnego i-tego jonu.
Całkowita energia oddziaływania między i-tym i j-tym jonem wynosi:
 r  q2
U ij   exp   ij  
   rij
Gdzie:
Człon 
q2
jest potencjałem kulombowskim zwanym energią Madelunga, a pierwszy człon równania
rij
stanowi potencjał odpychający: wypełnione powłoki elektronowe zachowują sztywnośd i
przeciwdziałają nakładaniu się rozkładów elektronowych sąsiednich jonów.
 rij 
 jest potencjałem odpychającym, który pochodzi od pola centralnego
 
 exp  
,  są współczynnikami empirycznymi, wyznacza się je znając wartośd stałej sieciowej i współczynnika
ściśliwości.
Wiązanie kowalencyjne
Siła wiązania jest porównywalna z wiązaniem jonowym, mimo, że wiązanie występuje między
atomami a nie jonami. Wiązanie jest izotropowe. Wiązanie tworzą dwa elektrony; po jednym z każdego
z sąsiadujących atomów. Następuje wymiana elektronów o spinach przeciwnych.
Strona | 52 z 73
Rys. 6.4. Energia cząsteczki wodoru H2 odpowiadająca energii potrzebnej do rozdzielenie atomów
obojętnych. Ujemne wartości energii dotyczą wiązania
Krzywą N obliczono w sposób klasyczny przy położeniu gęstości ładunku dla atomu swobodnego: A jest
krzywą otrzymaną przy założeniu równoległych spinów elektronów i uwzględnieniu zasady Pauliego, a S
(stan stabilny) – przy założeniu spinów antyrównoległych. Linki konturowe przedstawiają gęstośd
ładunków dla stanów A i S.
Wiązanie metaliczne
Kryształ o wiązaniu metalicznym można przedstawid jako zbiór jonów dodatnich zanurzonych w
morzu elektronów. W przypadku metali przejściowych mogą występowad dodatkowe siły wiązania
wynikające z oddziaływao między wewnętrznymi powłokami elektronowymi.
2. Rozkład Fermiego-Diraca (F-D):
Założenia:
- cząstki są nierozróżnialne,
- cząstki nie oddziaływują ze sobą,
- spełniony jest zakaz Pauliego: w jednym stanie energetycznym opisanym przez zespół
liczb kwantowych może znajdowad się jedna cząstka (dwie ze względu na spinową liczbę
kwantową:
1
ms  
2
Rozważamy:
i – liczba poziomów (przedziałów energii),
ni – liczba cząstek na i-tym poziomie,
gi – liczba dostępnych stanów,
Ei – energia i-tego stanu,
N – całkowita liczba cząstek,
E - całkowita energia układu N cząstek w danej temperaturze T
Celem opisu statystycznego jest znalezienie odpowiedzi na pytanie, jaki jest rozkład
cząstek N między różnymi poziomami, żeby całkowita energia Ei była stała, czyli gdy spełnione są
warunki:
N   ni  const (6.1)
i
E   ni Ei  const (6.2)
i
Wyrażenie:
ni

gi
1
(6.3)
Ei  
1  exp(
)
k BT
określa prawdopodobieostwo obsadzenia Ei poziomu w temperaturze T . Dla dużych wartości energii
Ei , rozkład ten przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmannna:
ni
E
 exp(  i ) (6.4)
gi
k BT
Funkcja rozkładu opisana powyższym związkiem jest to funkcja rozkładu Fermiego Diraca:
fi (E) 
ni

gi
1
(6.5)
Ei  E F
1  exp(
)
k BT
gdzie EF jest to energia Fermiego.
Określimy funkcje gęstości stanów i , określa ona liczbę stanów w jednostkowym przedziale
Strona | 53 z 73
energii:
gi
(6.6)
Ei
ni  f i gi  f i ( Ei ) i Ei (6.7)
i 
Zgodnie z zapisem we wzorze (1.1), przy wykorzystaniu równania (6.7) otrzymujemy:

N
 f ( E ) ( E )dE
(6.8)

Zgodnie z zapisem we wzorze (1.2), przy wykorzystaniu równania (6.7) otrzymujemy:

E
 f ( E ) E ( E )dE
(1.9)

Całka w granicach od -  do +  redukuje się do granic w ramach, których (E) > 0.
Interpretacja energii Fermiego; Ef
W temperaturze T =0 K jest to poziom odcięcia, oznacza to, że wszystkie poziomy o energii
mniejszej niż energia Fermiego są na pewno obsadzone: czyli dla tych poziomów funkcja rozkładu
f(E) =1, natomiast poziomy o energii większej niż energia Fermiego są puste, dla tych poziomów
funkcja rozkładu f(E) =0 .
Rys. 6.5. Funkcja rozkładu Fermirgo-Diraca F(E) dla T=0 oraz dla dowolnej temperatury T
a) przypadek E < Ef :
Strona | 54 z 73
f (E) 
1
 1 (6.10a)
1  exp( )
f (E) 
1
 0 (6.10b)
1  exp( )
b) przypadek E > Ef :
Dla T >0 oraz dla E =Ef funkcja rozkładu f ( E ) 
1
2
Cząstki podlegające statystyce F-D noszą nazwę fermionów, należą do nich:
- elektrony,
- protony,
- neutrony.
Ogólnie, są to cząstki o spinie połówkowym (liczba kwantowa związana z ruchem obrotowym cząstki
wokół własnej osi).
Strona | 55 z 73
3. Rozkład Bosego – Einsteina (B-E)
Założenia:
- cząstki są nierozróżnialne,
- cząstki nie oddziaływują ze sobą,
- nie jest spełniony zakaz Pauliego .
Strona | 56 z 73
Funkcja rozkładu Bosego- Einsteina ma postad:
f (E) 
1
(6.11)
Ei  
exp(
) 1
k BT
Cząstki podlegające statystyce B-E noszą nazwę bosonów, należą do nich:
- fotony,
- fonony,
- He4.
Ogólnie są to cząstki o spinie całkowitym.
Fale materii
Hipoteza de Broglie ( 1924) głosi, że dwoiste korpuskularno – falowe zachowanie jest cechą nie
tylko promieniowania, lecz również materii.
W przypadku materii i promieniowania całkowita energia E dowolnego obiektu fizycznego jest
związaną z częstotliwością  fali stowarzyszonej, opisującej jego ruch, następującą relacją:
E  h (6.12)
gdzie: h=6,6×10-34 J ·s jest stałą Plancka.
Pęd tego obiektu związany jest z długością przypisanej mu fali następującą relacją:
p
h

 
h
(6.13)
p
Definiujemy:

h
2
, k
2

gdzie k jest wektorem falowym o kierunku zgodnym z kierunkiem propagacji fali o długości .
Wówczas związek (6.13) ma postad:


p  k (6.14)
Strona | 57 z 73
Wielkości charakterystyczne dla cząstki: energia E, oraz pęd p są związane poprzez stałą Plancka h z
wielkościami charakterystycznymi dla ruchu falowego; częstotliwośd , oraz długośd fali  .
Wyrażenie  
h
opisuje długośd fali de Broglie, czyli długośd fali materii stowarzyszonej z
p
ruchem cząstki o pędzie p.
Przykłady:
a) obiekt makroskopowy
piłka o masie m =1kg , porusza się z prędkością v =10 m/s, długośd fali de
Broglie stowarzyszonej z tym obiektem wynosi:
o
h 6,6  10 34 J  s
 
 6,6  10 35 m  6,6  10 25 A
m
p
1,0  10kg
s
Długośd fali stowarzyszonej z ruchem piłki jest tak mała, że nie istnieje układ fizyczny, który
umożliwiłby zaobserwowad aspekty falowe (interferencja, dyfrakcja) związane z tym ruchem.
b) obiekt mikroskopowy
elektron o masie m = 9,1 ×10-31kg posiada energię kinetyczną Ek =100eV.

h

p
o
h
 1,2  10 10 m  1,2 A
2mEk
 jest małe i dlatego w celu zaobserwowania falowych aspektów związanych z ruchem elektronów
o
należy dysponowad układem o przesłonach posiadających rozmiary o porównywalne z   1 A ,
takim układem jest sied krystaliczna.
Doświadczenie Davissona – Germera
Strona | 58 z 73
Rys. 6.6. Schemat doświadczenia Davissona – Germera
e (elektrony) - są przyspieszane regulowaną różnicą potencjału
Rys. 6.7. Zależnośd natężenia kolektora detektora od energii kinetycznej
elektronów
Kryształ powinien silnie rozpraszad wiązkę elektronów ; atomy kryształu stanowią
trójwymiarową siatkę dyfrakcyjną. W obrazie detekcyjnym widad maksimum dla = 50°. Istnienie
tego maksimum można wytłumaczyd jedynie jako wynik konstruktywnej interferencji fal
rozproszonych na periodycznie rozmieszczonych atomach tworzących płaszczyzny kryształu.
Nie tylko elektrony, lecz wszystkie poruszające się materialne obiekty naładowane i elektrycznie Strona | 59 z 73
obojętne wykazują cechy falowe w warunkach charakterystycznych dla optyki fizycznej. Np. wiązki
atomów wodoru i helu ulegają rozproszeniu na monokrysztale fluorku litu, natomiast powolne
neutrony na krysztale chlorku sodu (sól kuchenna).
Cechy korpuskularne staja się bardzo wyraźne, gdy badamy zjawiska emisji lub absorpcji.
Cechy
falowe
staja
się
wyraźne,
gdy
badamy
rozchodzenie
się
materii
i promieniowania.
Dwoistośd falowo – korpuskularna:
Stosunek e/m (ładunek elektronu/masa elektronu) wyznaczony z eksperymentu pomiaru śladu
jonizacji wskazuje na stosowalnośd modelu korpuskularnego, natomiast zjawisko dyfrakcji sugeruje
model falowy.
Einstein sugerował, że średnia wartośd kwadratu amplitudy fali, która w teorii elektromagnetyzmu
jest proporcjonalna do energii przypadającej na jednostkę objętości, można interpretowad, jako
miarę średniej liczby fotonów znajdujących się w jednostce objętości.
Uogólnienie hipotezy de Broglie przez Schrödingera dało początek mechanice kwantowej.
Fala de Broglie jest interpretowana przez funkcje falową, która dla przypadku jednowymiarowego ma
postad:
x
 ( x, t )  A sin 2 (  vt)  A sin(kx  t )

Wyrażenie (1.16) jest jest analogiczne do wyrażenia na natężenie pole elektrycznego fali
elektromagnetycznej.
E ( x, t )  EO sin(kx  t )
Zasada nieoznaczoności:
Czy można, przeprowadzając odpowiedni pomiar, jednocześnie określid zarówno pęd p jak i
położenie x materii (promieniowania)?
Nie można ich określid dokładniej niż na to pozwala zasada nieoznaczoności Heisenberga.
Zasada ta stanowi odpowiedź daną przez mechanikę kwantową, w postaci analitycznej
jest zapisana, np. dla przypadku jednowymiarowego:
p x x 

2
gdzie:
px - jest dokładnością pomiaru x-owej składowej pędu,
x - jest dokładnością pomiaru położenia.
Zasada ta nie jest wynikiem niedokładności przyrządów pomiarowych, ale odnosi się do samego
procesu pomiaru. Uwzględnia ona oddziaływanie miedzy obserwatorem i mierzonym obiektem,
oddziaływanie to zawsze występuje.
Zasada ta wynika z hipotezy de Broglie oraz z pewnych prostych wspólnych dla wszystkich fal
własności. Odnosi się ona również do pomiaru energii i czasu życia na danym poziomie Strona | 60 z 73
energetycznym:
E 

(6.18)
2
p x x 

(6.17)
2
gdzie:
E - jest dokładnością pomiaru energii,
 - jest dokładnością pomiaru czasy życia .
Przykład:
a) Obiekt makroskopowy; kula o masie m=50g
b) Obiekt mikroskopowy; elektron o masie m=9.1·10-28 g
Poruszają się z taka sama prędkością 300 m/s , prędkośd ta jest wyznaczona z dokładnością 0,01%.
Pytanie jak dokładnie możemy wyznaczyd położenie kuli i elektronu?
Ad. a) p  15kg 
x 
m
m
3
, p  0,0001  15  1,5  10 kg 
s
s
O

 3  1022 A
2p
wielkośd ta stanowi 10-17 średnicy jądra atomowego, jest więc wielkością niemierzalną. Czyli dla
obiektów makroskopowych istnienie zasady nieoznaczoności Heisenberga nie nakłada na procedurę
pomiarową żadnych ograniczeo.
28
Ad. b) p  2,7  10 kg 
x 
m
m
32
, p  m  2,7  10 kg 
s
s
O

 0,2cm  2  107 A
2p
wielkośd ta stanowi 107 średnicy jądra atomu. Dla obiektów mikroskopowych występują w praktyce
zawsze ograniczenia w procedurze pomiarowej.
4. Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej
Postad funkcji falowej dla fali dr Broglie (przypadek jednowymiarowy):
x
 ( x, t )  sin 2 (  vt)  sin(kx  t )

Postad ta została określona metodą zgadywania, wykorzystano twierdzenie:
Cząstka swobodna ma stały pęd p, gdyż nie działa na nią żadna siła, a zatem odpowiada jej długośd
fali  
h
p
Równanie to jest znaną postacią fali bieżącej o stałej długości l. Ma ona także stałą częstotliwośd ,
której wartośd otrzymuje się ze związku Einsteina  
E
, gdzie E jest energią całkowitą
h
stowarzyszonej z falą cząstki.
Równanie falowe dla struny można wyprowadzid z równania Newtona, równanie falowe dla fal
elektromagnetycznych można wyprowadzid z równao Maxwella. Nie należy oczekiwad, by kwantowe
równanie falowe otrzymad z równao mechaniki klasycznej. Można sadzid, że pomocne będą postulaty
de Broglie oraz Einsteina:  
E
h
oraz E  h   
p
h
Poszukiwane równanie kwantowe musi spełniad następujące założenia:
1. Równanie musi byd zgodne z postulatami de Broglie i Einsteina
2. Równanie musi byd zgodne ze związkiem na całkowita energię:
E
p2
 V pomija się energię masy spoczynkowej
2m
3. Równanie musi byd liniowe względem (x, t), czyli:
1(x, t) oraz 2(x, t) są są dwoma rozwiązaniami odpowiadającymi tej samej energii potencjalnej,
wówczas dowolna kombinacja liniowa: (x, t) = c11(x, t) + c22(x, t) jest tez rozwiązaniem.
Kombinacja nazywa się liniowa, gdyż zawiera pierwsze potęgi funkcji, dowolna, gdyż stałe c1 i c2
mogą przyjmowad dowolne wartości. Żądanie liniowości zapewnia, że będziemy mogli dodawad
do siebie funkcje falowe tworząc charakterystyczna dla fal interferencję konstruktywną i
destruktywną
Strona | 61 z 73
4. Energia potencjalna, przedstawiona dla przypadku ogólnego: V =V ( x,t ) musi byd wielkością
stałą; gdyż dla V =const to cząstka jest swobodna i wówczas fala stowarzyszona ma stałą
częstotliwośd  oraz długośd 
5. Całkowita energia E = h  =Ek +V , uwzględniając hipotezę de Broglie
mamy:
Strona | 62 z 73
E
wykorzystujemy związki:   2 , k 
2

p2
h2

2m 2m2
, 
h
wówczas całkowita energia jest
2
przedstawiona równaniem:
 
2k 2
V
2m
Szukane równanie ma postad:

2
( r, t )
 ( r, t )  V ( r, t )( r, t ))  i
2m
t
Powyższe równanie jest równaniem Schrödingera.
Przykład: (F1)
Cząstka
swobodna
V ( x)=0 ,
przypadek jednowymiarowy.
Zgodnie z mechaniką
klasyczną cząstka swobodna porusza się ze stałym pędem p lub jest w spoczynku. W obu
przypadkach jej całkowita energia E jest stała.
Równanie Schrodingera dla takiego zagadnienia:
 2 d ( x )

 E ( x )
2m dx 2
Szukamy rozwiązania w postaci:
(x) = Aexp( x)
Rozwiązanie dla równania Schrodingera zależnego od czasu ma postad:
 E 
( r, t )   ( x ) exp   i t 
  
Zgodnie z postulatem Einsteina  
E
i wówczas rozwiązanie jest w postaci:

( x, t )   ( x) exp  it 
Ostatecznie ze otrzymujemy rozwiązanie równania stacjonarnego
( x, t )  A exp i kx  t 
Strona | 63 z 73
lub:
( x, t )  A coskx  t   iA sinkx  t 
Jest to równanie fali bieżącej.
5. Podstawy Mikroskopii Elektronowej
Podstawowe zasady działania mikroskopu skaningowego.
W mikroskopach skaningowych wiązka elektronów bombarduje próbkę, skanując jej powierzchnię
linia po linii. Pod wpływem wiązki elektronów próbka emituje różne sygnały (m. in. elektrony wtórne,
elektrony wstecznie rozproszone, charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie), które są
rejestrowane za pomocą odpowiednich detektorów, a następnie przetwarzane na obraz próbki lub
widmo promieniowania rentgenowskiego.
Mikroskop skaningowy składa się z (rys. 6.7):





działa elektronowego, gdzie wytwarzana jest wiązka elektronów,
kolumny, w której następuję przyspieszanie i ogniskowanie wiązki elektronów,
komory próbki, gdzie ma miejsce interakcja elektronów wiązki z próbką,
zestawu detektorów odbierających różne sygnały emitowane przez próbkę
systemu przetwarzania sygnałów na obraz.
Strona | 64 z 73
Rys. 6.8. Schemat budowy elektronowego mikroskopu skaningowego (SEM)
Wiązka elektronów jest wytwarzana przez działo elektronowe (rys.6.8) na szczycie kolumny
mikroskopu. Pole elektrostatyczne w dziale elektronowym kieruje wyemitowane z niewielkiego
obszaru na powierzchni katody elektrony do małego otworu – źrenicy elektrono-optycznej.
Włókno
Napięcie katody
np. 30.0 kV
Napięcie wehneltu
np. 30.5 kV
Wehnelt
pró
ba
Źrenica elektrono-optyczna
Średni
Anoda (0 V)
ca
plamki
Elektrony
Rys. 6.9. Schemat budowy działa elektronowego
Następnie elektrony są rozpędzane (przyspieszane) w kolumnie mikroskopu, w kierunku
próbki, z energią od kilkuset do kilkudziesięciu tysięcy elektronowoltów. Jest kilka rodzajów dział
elektronowych: wolframowe, LaB6 (lanthanum hexaboride) i działa z emisją polową. Wykonane są
one z różnych materiałów i ich działanie opiera się na różnych zjawiskach fizycznych, lecz wszystkie
mają za zadanie wytworzenie wiązki elektronów o stabilnym i wystarczającym prądzie przy możliwie
Strona | 65 z 73
małym rozmiarze.
Elektrony wydostające się z działa elektronowego tworzą wiązkę rozbieżną. Wiązka ta zyskuje
zbieżnośd i zostaje zogniskowana przez zestaw soczewek magnetycznych i apertur w kolumnie.
Zestaw cewek skanujących u podnóża kolumny odpowiada za przemieszczanie wiązki w obszarze
skanowania. Soczewka obiektywu ogniskuje wiązkę w możliwie małą plamkę (spot) na powierzchni
próbki.
Komora próbki jest wyposażona w ruchomy stolik umożliwiający przesuwanie próbki w trzech
prostopadłych kierunkach, jej obrót wokół osi pionowej i odchylanie od pionu. Specjalne drzwiczki
pozwalają na umieszczanie próbki w komorze. Kilka portów dostępu umożliwia zainstalowanie
różnych detektorów. Elektrony wiązki oddziaływująca z próbką powodują emisję energii pod różnymi
postaciami. Każdy rodzaj emitowanej energii jest potencjalnym sygnałem do przetworzenia na obraz.
Zasady powstawanie obrazu w SEM
Obraz oglądany w skaningowej mikroskopii elektronowej (SEM) nie jest obrazem rzeczywistym. To co
widzimy w SEM jest obrazem wirtualnym skonstruowanym na bazie sygnałów emitowanych przez
próbkę. Dzieje się to poprzez zeskanowanie linia po linii prostokątnego obszaru na powierzchni
próbki. Obszar skanowania odpowiada fragmentowi próby oglądanemu na obrazie. W każdym
momencie czasu wiązka oświetla tylko jeden punkt w obszarze skanowania. Przemieszczanie się
wiązki od punktu do punktu wywołuje zmiany w generowanym przez nią sygnale. Zmiany te
odzwierciedlają zróżnicowanie próbki w poszczególnych punktach. Sygnał wyjściowy jest więc serią
danych analogowych, które w nowoczesnych mikroskopach są przetwarzane na serię wartości
liczbowych, z których tworzony jest obraz cyfrowy.
Rozdzielczośd
Rozdzielczośd odpowiada rozmiarom najmniejszych obiektów, które jesteśmy w stanie zobaczyd przy
pomocy mikroskopu. Określa ona granicę, poza którą mikroskop nie jest w stanie odróżnid dwóch
bardzo małych sąsiadujących obiektów od pojedynczego obiektu.
Rozdzielczośd jest określana w jednostkach długości, zwykle Angstremach lub nanometrach. Lepsza
rozdzielczośd nazywana jest „wyższą”, mimo że określa ją liczba jest niższa. Np. rozdzielczośd 10 jest
wyższa (lepsza) niż rozdzielczośd 20 Å.
Wielkośd spotu
Rozmiar plamki utworzonej przez wiązkę na powierzchni próbki stanawi podstawowe ograniczenie
dla rozdzielczości. SEM nie może rozróżnid elementów mniejszych niż rozmiar spotu. Dodatkowy
wpływ na rozdzielczośd ma rodzaj rejestrowanego sygnału, penetracja wiązki (obszar oddziaływania)
i skład próbki.
Strona | 66 z 73
Obszar oddziaływania
Rejestrowane sygnały powstają nie tylko na powierzchni próbki. Elektrony wiązki penetrują próbkę
na pewną głębokośd i na swej drodze mogą wielokrotnie oddziaływad z atomami próbki. Obszar,
gdzie na skutek tych oddziaływao powstają różnego rodzaju sygnały, które po wydostaniu się na
powierzchnię próbki są rejestrowane przez odpowiednie detektory nazywamy obszarem
oddziaływania (wzbudzenia) – rys. 6.10. Rodzaj rejestrowanego sygnału, skład próbki i napięcie
przyspieszające decydują o rozmiarze i kształcie obszaru wzbudzenia, a co za tym idzie wpływają na
rozdzielczośd. W większości przypadków obszar oddziaływania jest większy niż spot, a więc to jego
wielkośd stanowi faktyczne ograniczenie rozdzielczości.
Napięcie przyspieszające
Napięcie przyspieszające określa ilośd energii przenoszonej przez elektrony wiązki (elektrony
pierwotne). Wpływa ono na rozmiar i kształt obszaru oddziaływania na kilka sposobów. Elektrony o
wyższej energii głębiej penetrują próbkę (tab. 6.4). Ponadto, mogą one generowad sygnały o wyższej
energii, które mogą się wydostad z większej głębokości w próbce. Energia elektronów pierwotnych
jest również czynnikiem określającym prawdopodobieostwo wystąpienia jakiejkolwiek interakcji. We
wszystkich tych przypadkach wzrost energii wywoła zwiększenie obszaru oddziaływania, co
spowoduje spadek rozdzielczości. Wzrost napięcia przyspieszającego może jednak również wpływad
pozytywnie na rozdzielczośd, gdyż zmniejsza on aberrację soczewek w kolumnie, czego rezultatem
jest mniejszy spot. Od warunków pracy, właściwości próbki i rodzaju rejestrowanego sygnału zależy,
które wpływy będą przeważające.
Skład próbki
Skład próbki wpływa zarówno na głębokośd jak i kształt obszaru penetracji. W próbkach o większej
gęstości głębokośd penetracji i odległośd jaką mogą przebyd elektrony pierwotne przed
zaabsorbowaniem jest mniejsza. W rezultacie w takich próbkach obszar oddziaływania jest płytszy i
ma kształt bardziej spłaszczony (zbliżony do półkuli) – tab. 6.4, rys.6.10.
Tabela. 6.4. Wielkości obszarów wzbudzenia (w μm) dla wybranych pierwiastków.
Z
4
SYMBOL
Be
PIERWIASTEK
Beryllium
10KV
1.5
15KV
2.9
20KV
4.9
25KV
7.2
30KV |
9.9
5
C
Carbon
1.2
2.4
4.0
5.9
8.1
11 Na
Sodium
2.9
5.6
9.3
13.6
18.8
12 Mg
Magnesium
1.6
3.1
5.2
7.5
10.4
13 Al
Aluminum
1.0
2.0
3.4
4.9
6,7
14 Si
Silicon
1.2
2.2
3.7
5.5
7.5
15 P
Phosphorus
1.5
3.0
5.0
7.2
10.0
16 S
Sulfur
1.4
2.8
4.7
6.9
9.5
19 K
Potassium
3.2
6.2
10.4
15.2
20.9
20 Ca
Calcium
1.8
3.5
5.8
8.5
11.7
22 Ti
Titanium
0.6
1.2
2.0
2.9
4.0
24 Cr
Chromium
0.4
0.8
1.3
1.8
2.6
25 Mn
Manganese
0.4
0.7
1.2
1.8
2.5
26 Fe
Iron
0.4
0.7
1.2
1.7
2.3
27 Co
Colbalt
0.3
0.6
1.0
1.5
2.1
28 Ni
Nickel
0.3
0.6
1.0
1.5
2.0
29 Cu
Copper
0.3
0.6
1.0
1.5
2.0
30 Zn
Zinc
0.4
0.8
1.3
1.8
2.6
32 Ge
Germanium
0.5
1.0
1.7
2.4
3.4
38 Sr
Strontium
1.1
2.2
3.6
5.3
7.3
40 Zr
Zirconium
0.4
0.8
1.4
2.0
2.8
42 Mo
Molybdenum
0.3
0.5
0.9
1.3
1.8
Strona | 67 z 73
46 Pd
Palladium
0.2
0.4
0.7
1.1
1.5
47 Ag
Silver
0,3
0.5
0.9
1.3
1.7
48 Cd
Cadmium
0.3
0.6
1.0
1.5
2.1
50 Sn
Tin
0.4
0.7
1.2
1.8
2.5
56 Ba
Barium
0.8
1.5
2.6
3.8
5.2
74 W
Tungsten
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
76 Os
Osmium
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
78 Pi
Platinum
0.1
0.2
0.4
0.6
0.9
79 Au
Gold
0.1
0.3
0.5
0.8
0.9
80 Hg
Mercury
0.2
0.4
0.7
1.0
1.3
82 Pb
Lead
0.2
0.5
0.8
1.2
1.6
92 U
Uranium
0.1
0.3
0.5
0.7
1.0
Strona | 68 z 73
Rodzaj rejestrowanego sygnału
Do tego momentu rozważaliśmy uogólniony obszar oddziaływania, z którego pochodzą wszystkie
rodzaje sygnałów. Obszar ten można podzielid na strefy związane z sygnałami każdego typu –
rys.6.11.
Niska liczba atomowa
Wysoka liczba atomowa
Wysokie napięcie
Niskie napięcie
Rys. 6.10. Zależnośd wielkości i kształtu obszaru wzbudzenia od liczby atomowej i napięcia
Strona | 69 z 73
Rys. 6.11. Wielkości obszarów, z których pochodzą różne rodzaje sygnałów
emitowane przez próbkę
Głębia ostrości
W mikroskopii skaningowej można otrzymad obrazy o znacznie większej głębi ostrości niż w
mikroskopii świetlnej. Głębia ostrości to zakres powyżej i poniżej płaszczyzny najlepszej ostrości, w
którym utrzymana jest dobra jakośd obrazu (rys. 6.12). Przy większej głębi ostrości mikroskop daje
lepsze odwzorowanie próbek trójwymiarowych. Obrazy uzyskiwane w SEM doskonałą jakośd
zawdzięczają nie tylko bardzo dobrej rozdzielczości lecz również dużej głębi ostrości.
W mikroskopie optycznym głębia ostrości jest limitowana kątem rozwartości pomiędzy skrajnymi
promieniami wchodzącymi do obiektywu. Dla dużych powiększeo kąt ten jest większy, a głębia
ostrości mniejsza.
W mikroskopie skaningowym nie ma bezpośredniej zależności głębi ostrości i powiększenia.
Powiększenie jest zdefiniowane jako stosunek wymiarów liniowych obszaru skanowania do
wymiarów liniowych obrazu. Kąt zbieżności wiązki ma wpływ na zmianę wielkości spotu wraz z
odległością powyżej lub poniżej płaszczyzny najlepszej ostrości. Mimo, że w mikroskopie
skaningowym kąt zbieżności i rozmiar spotu zmieniają się wraz z odległością roboczą, zawsze kąty te
będą mniejsze, a głębia ostrości większa niż w mikroskopie optycznym.
Wiązka elektronów
Powierzchnia próbki
Strona | 70 z 73
Zakres głębii
ostrości
Płaszczyzna
najlepszej
ostrości
Obszar odwzorowywany
ostro
Rys. 6.12. Zakres głębi ostrości
Mikroanalizy
Charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie
Widmo charakterystyczne powstaje w wyniku oddziaływania elektronów wiązki
z elektronami wewnętrznych powłok atomów próbki. Normalnie powłoki K i L atomów o liczbach
atomowych większych od 10 są zapełnione. Jeśli jeden z elektronów K zostanie usunięty, atom może
doznad przejścia, w którym elektron L lub M "przeskoczy" na puste miejsce, a wyzwolona przy tym
energia potencjalna zostanie wyemitowana jako kwant promieniowania elektromagnetycznego.
Typowe wartości energii takich przejśd leżą w zakresie rentgenowskim widma promieniowania
elektromagnetycznego. Energia tego kwantu jest ściśle określona dla każdego rodzaju przejścia w
danym pierwiastku i dlatego jest cechą diagnostyczną.
Spektrometr rentgenowski rejestruje charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie. Zadaniem
spektrometru jest zliczenie impulsów promieniowania rentgenowskiego i posegregowanie ich.
Spektroskopia promieni rentgenowskich może byd przeprowadzona dwiema metodami:
- metoda dyspersji energii promieniowania rentgenowskiego (Energy Dispersive Spectrometry EDS). Stosuje się detektory, w których natężenie sygnału wyjściowego jest proporcjonalne do
energii padających impulsów, np. liczniki scyntylacyjne, proporcjonalne liczniki przepływowe,
detektory Li/Si. W naszym mikroskopie zainstalowany jest detektor Sapphir
-
metoda dyspersji długości fali promieniowania rentgenowskiego (Wave Dispersive
Spectrometry - WDS). Stosuje się spektrometr promieni rentgenowskich z kryształem
analizującym.
Linie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego
Strona | 71 z 73
W celu wytworzenia charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego konieczna jest luka w wewnętrznych powłokach elektronowych atomu. W zależności od tego, na której powłoce
powstała luka, wyróżniamy odpowiednie serie linii.
Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki K to obserwowane w widmie charakterystycznego
promieniowania rentgenowskiego linie, odpowiadające emisji energii towarzyszącej przejściu
elektronu w celu uzupełnienia luki nazywamy liniami K:



K - gdy przejście elektronu następuje z powłoki L,
K - dla przejścia z powłoki M,
K - dla przejścia z powłoki N.
Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki L to mamy do czynienia z liniami L:


L - gdy przejście elektronu następuje z powłoki M,
L - dla przejścia z powłoki N.
Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki M to obserwujemy linie M (patrz rys. 6.13)
Rys. 6.13. Powstawanie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego.
Ogólne zasady dotyczące linii charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego:

Dla danego pierwiastka niższe linie mają wyższą energię niż linie wyższe:
EK > EL > E M
 W obrębie danej serii linie pierwiastków o niższej liczbie atomowej mają niższą energię, np. linia
Strona | 72 z 73
K węgla ma niższą energię niż linia K tlenu
 Linie niższych serii (K) są wyraźne i mają prostą strukturę, natomiast linie serii wyższych (L i M)
mają strukturę złożoną i zachodzą na siebie.
Promieniowanie ciągłe stanowi tło linii charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego w
mikroanalizatorze rentgenowskim. Znajomośd natężenia tego tła jest bardzo istotna przy określaniu
granicy wykrywalności badanego pierwiastka.
Analizy rentgenowskie
Ze względu na słabą rozdzielczośd, impulsy rentgenowskie są bardziej przydatne do celów
analitycznych niż do odwzorowywania próbki. Analiza jakościowa dąży do ustalenia czy badany
obszar próbki zawiera dane pierwiastki, w oparciu o występowanie lub brak ich charakterystycznych
pików w widmie. Celem analizy ilościowej jest ustalenie stosunków zawartości pierwiastków na
podstawie porównania intensywności odpowiednich pików tych pierwiastków pomiędzy sobą lub
porównania z wzorcami. Analiza ilościowa jest procesem skomplikowanym, ze względu na możliwośd
wystąpienia różnorodnych interakcji pomiędzy atomami próbki i charakterystycznym
promieniowaniem rentgenowskim.
Literatura:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
„Encyklopedia fizyki współczesnej”, Komitet Redakcyjny pod kierunkiem prof. Andrzeja
Kajetana Wróblewskiego, Warszawa 1983
Acosta V., Cowan C.L., Graham B.J.: Podstawy fizyki współczesnej, PWN, 1981.
Adamowicz L., Mechanika kwantowa, Formalizm i zastosowania.
Białynicki-Birula I., Cieplak M., Teoria kwantów, PWN, Warszawa 1991.
Bogusz W., Garbarczyk J., Krok F., Podstawy fizyki
Eisberg R., Resnik R.: „Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek i ciał stałych”, PWN, Warszawa
1983.
Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M., Feynmana wykłady z fizyki, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 2003.
http://pl.wikipedia.org//wiki/ Fizyka_kwantowa
Huang K., Mechanika statystyczna
Jackson J.D., Elektrodynamika klasyczna
Kasas S., Dumas G., Dietler G., Catsicas S., Adrian M. Vitrification of cryoelectronmicroscopy
specimens revealed by high-speed photographic imaging. Journal of Microscopy (2003), 211
(1) , 48–53
Kruger DH, Schneck P and Gelderblom HR. Helmut Ruska and the visualisation of viruses. The
Lancet 355 (9216): 1713-1717.
13. Nellist P. D., Chisholm M. F., Dellby N., Krivanek O. L., Murfitt M. F., Szilagyi Z. S., Lupini A. R.,
Borisevich A., Sides W. H., Pennycook Jr., S. J. Direct Sub-Angstrom Imaging of a Crystal
Lattice. Science 305 (5691): 1741.
14. Oleś Andrzej: „Metody doświadczalne fizyki ciała stałego” – Wydanie II, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003.
Strona | 73 z 73
15. Rubinowicz W., Królikowski W., Mechanika klasyczna
16. Schiff L.I., Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1997
17. Sukiennicki A., Zagórski A, Fizyka ciała stałego,
18. Średniawa B., Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1981
19. von Ardenne M and Beischer D. Untersuchung von metalloxud-rauchen mit dem universalelektronenmikroskop. Zeitschrift Electrochemie (1940). 46: 270-277.
20. Walker J., Halliday D., Resnick R.: „Podstawy fizyki” – tom II, PWN, 2003.

Zeszyt ćwiczeń do zajęć wyrównawczych z przedmiotu FIZYKA

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zadanie 2