Zadania Kangura 2003

Zadania Kangura 2003
MALUCH (klasy III i IV)
PYTANIA PO 3 PUNKTY
M1. Ile to jest 0 + 1 + 2 + 3 + 4 − 3 − 2 − 1 − 0?
A 0 B 2 C 4 D 10 E 16
M2. W pierwszym wagonie za lokomotywa˛ jest 10 skrzyń. W każdym wagonie jest dwa razy
wie˛cej skrzyń niż w poprzednim. Ile skrzyń jest w pia˛tym wagonie?
A 100
B 120
C 140
D 160
E 180
M3. Zosia rysuje kolorowe kwiatki: najpierw niebieski, potem zielony, po nim czerwony, naste˛pnie czarny, wreszcie żółty, potem znowu niebieski i tak dalej w tej samej kolejności.
Jakiego koloru be˛dzie siedemnasty kwiatek?
A Niebieskiego B Zielonego C Czerwonego D Czarnego E Żółtego
M4. W pokoju nauczycielskim jest 6 stołów po 4 krzesła przy każdym z nich, 4 stoły po 2 krzesła
oraz 3 stoły po 6 krzeseł. Ile krzeseł jest w tym pokoju?
A 40 B 25 C 50 D 36 E 44
M5. Na stole leży moneta. Ile najwie˛cej takich samych monet można położyć na stole tak, żeby
one dotykały już leża˛cej monety?
A4 B5 C6 D7 E8
M6. Na rysunku KM = 10, LN = 15, KN = 22. Ile wynosi długość odcinka LM?
K
L
M
N
A1 B2 C3 D4 E5
M7. Jeżyk Marek powiedział do swoich przyjaciół: „Gdybym zebrał dwa razy wie˛cej jabłek, niż
zebrałem, miałbym o 24 jabłka wie˛cej, niż mam ich teraz.“ Ile jabłek zebrał jeżyk?
A 48 B 24 C 42 D 12 E 36
M8. Krzysztof zbudował widoczny na rysunku obok prostopadłościan przy pomocy czerwonych i niebieskich jednakowych kostek sześciennych. Zewne˛trzne ściany tego prostopadłościanu
sa˛ czerwone, natomiast wszystkie kostki wewne˛trzne sa˛ niebieskie. Ile kostek niebieskich użył Krzysztof do tej konstrukcji?
A 12 B 24 C 36 D 40 E 48
84
Kangur 2003
PYTANIA PO 4 PUNKTY
M9. Prostoka˛t o wymiarach 4 × 7 narysowany jest na kratkowanym papierze o wymiarach kratek
1 × 1. Ile kwadratów 1 × 1 przetnie przeka˛tna prostoka˛ta?
A 8 B 9 C 10 D 11 E 12
M10. Zamieszczona obok tablica pokazuje liczbe˛ różnych rodzajów kwiatów w ogrodzie botanicznym. Tadek prosił ogrodnika o wyjaśnienie
jaka rzeczywista liczba kwiatów odpowiednich
rodzajów znajduje sie˛ w ogrodzie i dowiedział
sie˛, że azalii jest 35, irysów 50, róż 85. Ile
gerber rośnie w tym ogrodzie?
A 95 B 100 C 105 D 110 E 115
Azalie
Irysy
Róýe
Gerbery
M11. Ania zasne˛ła o godzinie 9:30 wieczorem i zbudziła sie˛ o godzinie 6:45 naste˛pnego ranka.
Jej braciszek Piotruś spał o jedna˛ godzine˛ i 50 minut dłużej. Ile godzin i minut spał Piotruś?
A 30 h 5 min B 11 h 35 min C 11 h 5 min D 9 h 5 min E 8 h 35 min
M12. Przedstawiona na rysunku obok „konstrukcja“ waży 189 gramów. Ile waży jeden sześcianik?
A 29 g B 25 g C 21 g D 19 g E 17 g
M13. Kangur Skoczek trenował przed olimpiada˛ zwierza˛t. Najdłuższy jego skok wynosił 50 dm
50 cm 50 mm. W finale olimpiady zwycie˛żył skokiem na odległość wie˛ksza˛ o 123 cm. Ile
wyniósł najdłuższy skok kangurka Skoczka na olimpiadzie?
A 6 m 78 cm B 5 m 73 cm C 5 m 55 cm D 11 m 28 cm E 7 m 23 cm
M14. Na rysunku obok długość boku małego kwadratu wynosi 1.
Jakie jest pole litery N?
A 15 B 16 C 17 D 18 E 19
M15. Basia lubi dodawać cyfry, wskazuja˛ce aktualny czas na jej elektronicznym zegarku (na
przykład, gdy zegarek wskazuje godzine˛ 21:37, otrzymuje w sumie 2 + 1 + 3 + 7 = 13).
Jaka˛ maksymalna˛ sume˛ może uzyskać ta˛ metoda˛?
A 24 B 36 C 19 D 25 E 23
M16. W klasie jest 29 uczniów. 12 uczniów tej klasy ma siostre˛, 18 uczniów ma brata. Spośród
uczniów tej klasy jedynie Tania, Basia i Ania nie maja˛ żadnego rodzeństwa. Ilu uczniów tej
klasy ma i siostre˛ i brata?
A Żaden B 1 C 3 D 4 E 6
PYTANIA PO 5 PUNKTÓW
M17. Jurek zamierza kupić pewna˛ ilość piłek do koszykówki. Gdyby zdecydował sie˛ kupić 5
piłek, zostałoby mu 10 dolarów, gdyby zaś chciał kupić 7 piłek, musiałby pożyczyć 22
dolary. Jaka jest cena jednej piłki? (Cena piłki w dolarach jest liczba˛ całkowita˛.)
A 11 B 16 C 22 D 26 E 32
Maluch (klasy III i IV)
85
M18. Opasałem nicia˛ koło drewniane (patrz rysunek) –– i użyłem do tego a cm nici. Potem
opasałem nicia˛ kwadrat drewniany –– starczyło do tego b cm nici.
?
Ile centymetrów nici wystarczy mi do opasania trzech kół drewnianych?
A 3a B 2a + b C a + 2b D 3b E a + b
M19. Rysunek obok przedstawia schemat, z którego po wycie˛ciu złożyć można model domu. Którego?
A
B
C
D
E
M20. Kangurek kupił 3 rodzaje ciastek: duże, średnie i małe. Duże ciastka kosztuja˛ po 4 zł za
sztuke˛, średnie po 2 zł, małe po 1 zł. Kangurek kupił ła˛cznie 10 ciastek i zapłacił 16 zł. Ile
kupił dużych ciastek?
A5 B4 C3 D2 E1
M21. Kod paskowy składa sie˛ na przemian z białych i czarnych
pasków. Ła˛cznie jest ich 17. Skrajne paski sa˛ czarne.
Czarne paski sa˛ dwóch rodzajów: grube i cienkie. Liczba
białych pasków jest o 3 wie˛ksza od liczby grubych czarnych. Ile jest w tym kodzie czarnych cienkich pasków?
A1 B2 C3 D4 E5
M22. Marek zbudował prostopadłościan z 3 różnie pomalowanych
klocków, z których każdy jest utworzony z 4 małych sześcianów. Potem jeden klocek został wyje˛ty (patrz rysunek). Który?
A
B
C
D
E
M23. W sklepie z zabawkami można kupić mie˛dzy innymi pieski, niedźwiadki i kangurki. Trzy
pieski i dwa niedźwiadki kosztuja˛ ła˛cznie tyle, co cztery kangurki. Za taka˛ sama˛ cene˛
można kupić jednego pieska i trzy niedźwiadki. Co jest droższe i o ile razy, piesek czy
niedźwiadek?
A Piesek jest dwa razy droższy niż niedźwiadek
B Niedźwiadek jest dwa razy droższy niż piesek
C Ceny pieska i niedźwiadka sa˛ jednakowe
D Niedźwiadek jest trzy razy droższy niż piesek
E Piesek jest trzy razy droższy niż niedźwiadek
86
Kangur 2003
M24. Diagram, przedstawiony na rysunku, jest złożony z 20 pól
1 × 1. Na ile sposobów można pokryć wszystkie 18 jego
białych pól 9 prostoka˛tnymi kostkami 1×2? (Diagramu nie
wolno obracać. Dwa pokrycia uważa sie˛ za różne, jeżeli
choć jedna kostka jest położona inaczej.)
A 2 B 4 C 6 D 8 E 16
BENIAMIN (klasy V i VI)
PYTANIA PO 3 PUNKTY
B1. Która z poniższych liczb jest najwie˛ksza?
A 2 + 0 + 0 + 3 B 2 × 0 × 0 × 3 C (2 + 0) × (0 + 3) D 20 × 0 × 3 E (2 × 0) + (0 × 3)
B2. Zosia rysuje kolorowe kwiatki: najpierw niebieski, potem zielony, po nim czerwony, naste˛pnie czarny, wreszcie żółty, potem znowu niebieski i tak dalej w tej samej kolejności.
Jakiego koloru be˛dzie 17. kwiatek?
A Niebieskiego B Zielonego C Czerwonego D Czarnego E Żółtego
B3. Ile liczb całkowitych znajduje sie˛ mie˛dzy liczbami 2,09 i 15,3?
A 13 B 14 C 11 D 12 E Nieskończenie wiele
B4. Najmniejsza˛ dodatnia˛ liczba˛ naturalna˛ podzielna˛ przez 2, 3 i 4 jest
A 1 B 6 C 12 D 24 E 36
9
B5. Suma liczb rozmieszczonych na każdym z dwóch okre˛gów przedstawionych na rysunku obok jest równa 55. Jaka˛ liczba˛ jest X?
A 9 B 10 C 13 D 16 E 18
X
9
8
Y
11
7
14
13
2
B6. Tomek ma 9 banknotów o nominałach 100 zł, 9 banknotów po 10 zł i 10 monet po 1 zł. Jaka˛
kwote˛ ma Tomek?
A 1 000 zł B 991 zł C 9 910 zł D 9 901 zł E 99 010 zł
B7. Rysunek obok przedstawia kwadrat o polu 81 cm2 , dwa prostoka˛ty
o polach po 18 cm2 i mały kwadracik, tworza˛ce razem duży kwadrat o boku x. Ile wynosi x?
A 9 cm B 2 cm C 7 cm D 11 cm E 10 cm
81 cm2
18 cm2
18 cm2
?
B8. Basia lubi dodawać cyfry, wskazuja˛ce aktualny czas na jej elektronicznym zegarku (na
przykład, gdy zegarek wskazuje godzine˛ 21:37, otrzymuje w sumie 2 + 1 + 3 + 7 = 13).
Jaka˛ maksymalna˛ sume˛ może uzyskać ta˛ metoda˛?
A 24 B 36 C 19 D 25 E 23
B9. Na rysunku KM = 10, LN = 15, KN = 22.
Ile wynosi długość odcinka LM?
A1 B2 C3 D4 E5
K
L
M
N
Beniamin (klasy V i VI)
87
B10. Liczba 24 ma 8 dzielników: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ir 24. Jaka jest najmniejsza liczba, maja˛ca
dokładnie 4 dzielniki?
A 4 B 6 C 8 D 9 E 10
PYTANIA PO 4 PUNKTY
B11. Rysunek obok przedstawia klauna Jana tańcza˛cego na dwóch piłkach i sześciennej kostce. Promień dolnej piłki ma długość 6 dm, a górnej jest trzy
razy od niej krótszy. Krawe˛dź sześciennej kostki jest o 4 dm dłuższa od
promienia górnej piłki. Na jakiej wysokości od podłogi tańczy klaun Jan?
A 14 dm B 20 dm C 22 dm D 24 dm E 28 dm
?
B12. Dodajemy dwie różne liczby spośród 1, 2, 3, 4, 5. Ile różnych sum możemy otrzymać?
A5 B6 C7 D8 E9
B13. Figura, która˛ widzisz na rysunku obok, składa sie˛ z 7 kwadratów, przy tym długości boków niektórych z nich zostały
podane. Kwadrat K ma najwie˛ksze pole, a kwadrat L najmniejsze. Ile razy pole kwadratu K jest wie˛ksze niż pole
kvadratu L?
A 16 B 25 C 36 D 49
E Nie można tego ustalić
K
L
2
3
B14. Opasałem nicia˛ koło drewniane (patrz rysunek) –– i użyłem do tego a cm nici. Potem
opasałem nicia˛ kwadrat drewniany –– starczyło do tego b cm nici.
?
Ile centymetrów nici wystarczy mi do opasania trzech kół drewnianych?
A 3a B 2a + b C a + 2b D 3b E a + b
B15. Ewa ma 20 małych piłeczek w czterech kolorach: żółtym, zielonym, niebieskim i czarnym.
17 z tych piłeczek nie jest w kolorze zielonym, 5 jest czarnych i 12 nie jest w żółtym. Ile
niebieskich piłeczek ma Ewa?
A 3 B 4 C 5 D 8 E 15
B16. Tylko po jednej stronie dróżki z domu Jasia do szkoły rośnie 17 drzew. Pewnego dnia
Jaś zaznaczył je biała˛ kreda˛ w naste˛puja˛cy sposób: W drodze z domu do szkoły zaznaczył
pierwsze drzewo, a potem każde co drugie. W drodze powrotnej zaznaczył także pierwsze
drzewo, a potem każde co trzecie. Ile drzew nie zostało zaznaczonych?
A4 B5 C6 D7 E8
B17. Kwadrat ABCD składa sie˛ z białego kwadratu i czterech jednakowych zacieniowanych prostoka˛tów. Obwód każdego prostoka˛ta wynosi 40 cm. Pole kwadratu ABCD jest równe
A 400 cm2 B 200 cm2 C 160 cm2 D 100 cm2 E 80 cm2
D
C
A
B
88
Kangur 2003
B18. Jest dzień 20.03.2003 godzina 20:03. Jaka be˛dzie data po upływie 2003 minut?
A 21.03.2003 B 22.03.2003 C 23.03.2003 D 21.04.2003 E 22.04.2003
B19. Diagram, przedstawiony na rysunku, jest złożony z 20 pól
1 × 1. Na ile sposobów można pokryć wszystkie 18 jego
białych pól 9 prostoka˛tnymi kostkami 1×2? (Diagramu nie
wolno obracać. Dwa pokrycia uważa sie˛ za różne, jeżeli
choć jedna kostka jest położona inaczej.)
A 2 B 4 C 6 D 8 E 16
B20. Kod paskowy składa sie˛ na przemian z białych i czarnych pasków. Ła˛cznie jest ich 17. Skrajne paski sa˛ czarne.
Czarne paski sa˛ dwóch rodzajów: grube i cienkie. Liczba
białych pasków jest o 3 wie˛ksza od liczby grubych czarnych. Ile jest w tym kodzie czarnych cienkich pasków?
A1 B2 C3 D4 E5
PYTANIA PO 5 PUNKTÓW
B21. Rysunek obok przedstawia schemat, z którego po wycie˛ciu złożyć można model domu. Którego?
B
A
C
D
E
B22. Z kartki zeszytu w kratke˛ został wycie˛ty kwadrat, a potem z tego kwadratu zostały wycie˛te
dwie figury, przedstawione na rysunku. Które?
1
A1i3 B2i4 C2i3
2
3
4
D 1 i 4 E Tak wycia˛ć nie można
B23. Piotrek wpisuje liczby od 0 do 109 w pie˛ciokolumnowa˛ tablice˛ w myśl
pewnej łatwej do rozszyfrowania zasady. Który z poniższych układów
nie jest cze˛ścia˛ tablicy Piotrka?
A
65
68 B
67
C
78
45
59 E 43
D
59
63
56
0 2 4 6 8
1 3 5 7 9
10 12 14 16 18
11 13 15 17 19
20 22 24 26 28
Kadet (klasy VII i VIII)
89
B24. Marek zbudował prostopadłościan z 3 różnie pomalowanych klocków, z których każdy jest utworzony z 4 małych sześcianów. Potem jeden klocek został wyje˛ty (patrz rysunek). Który?
A
B
C
D
E
B25. Mamy do dyspozycji 6 odcinków o długościach: 1, 2, 3, 2001, 2002, 2003. Na ile sposobów
można wybrać spośród nich takie trzy, z których utworzyć można trójka˛t?
A 1 B 3 C 5 D 6 E Wie˛cej niż 10
B26. W smoczej jamie żyły smoki czerwone i smoki zielone. Każdy czerwony smok miał 6 głów,
8 nóg i 2 ogony. Każdy zielony smok miał 8 głów, 6 nóg i 4 ogony. Wszystkich ogonów
było 44, a zielonych nóg było o 6 mniej niż czerwonych głów. Ile czerwonych smoków
żyło w tej jamie?
A 6 B 7 C 8 D 9 E 10
1 cm
1 cm
M
100 cm
B27. Jaka jest długość linii cia˛głej ła˛cza˛cej wierzchołki M i N
kwadratu (patrz rysunek obok)?
A 10 200 cm B 2 500 cm C 909 cm
D 10 100 cm E 9 900 cm
100 cm
B28. Na rysunku obok każda z figur: kwadrat, trójka˛t i koło, oznacza pewna˛ cyfre˛.
Jaki jest wynik dodawania + ?
A 6 B 7 C 8 D 9 E 13
B29. Narysowana obok zacieniowana figura składa sie˛ z pie˛ciu przystaja˛cych równoramiennych trójka˛tów prostoka˛tnych. Pole zacieniowanej figury jest równe
A 20 cm2 B 25 cm2 C 35 cm2 D 45 cm2
E Nie można tego wyliczyć
N
+
2 0 0 3
30 cm
B30. Ania ma w pudełku 9 kredek. Co najmniej jedna z nich jest niebieska. Wśród każdych 4
kredek przynajmniej dwie sa˛ tego samego koloru, a wśród każdych 5 kredek najwyżej trzy
sa˛ w tym samym kolorze. Ile niebieskich kredek jest w pudełku?
A 2 B 3 C 4 D 1 E Nie można tego wyliczyć
KADET (klasy VII i VIII)
PYTANIA PO 3 PUNKTY
K1. W sklepie zoologicznym było 5 papug. Ich średnia cena była równa 6 000 zł. Pewnego
dnia najpie˛kniejsza z tych papug została sprzedana. Średnia cena pozostałych 4 papug była
równa 5 000 zł. Jaka była cena sprzedanej papugi?
A 1 000 zł B 2 000 zł C 5 500 zł D 6 000 zł E 10 000 zł
90
Kangur 2003
K2. Złożona serwetka została nacie˛ta tak, jak to pokazuje zamieszczony
obok rysunek. Jak be˛dzie ta serwetka wygla˛dała po rozłożeniu?
A
B
C
D
E
K3. Z 16 małych kwadracików ułożono kwadrat. Ile co najwyżej tych kwadracików może zostać
podzielonych na dwie cze˛ści przez jedna˛ prosta˛?
A3 B4 C6 D7 E8
K4. Pole koła drewnianego, przedstawionego na rysunku, wynosi a, a pole kwadratu drewnianego
wynosi b. Opasamy trzy takie koła nie poruszaja˛c ich nicia˛ możliwie najmniejszej długości.
?
Jakie pole obejmie nić?
A 3b B 2a + b C a + 2b
D 3a
E a+b
K5. Ile co najwyżej wewne˛trznych ka˛tów prostych może mieć sześcioka˛t (niekoniecznie wypukły)?
A2 B3 C4 D5 E6
K6. Ła˛czna pojemność butelki i szklanki jest równa pojemności dzbanka. Pojemność butelki
jest równa ła˛cznej pojemności szklanki i kufla. Ła˛czna pojemność trzech kufli jest równa
ła˛cznej pojemności dwóch dzbanków. Ile szklanek ma ła˛czna˛ pojemność jednego kufla?
A3 B4 C5 D6 E7
K7. Diagram, przedstawiony na rysunku, jest złożony z 44 pól 1 × 1.
Na ile sposobów można pokryć wszystkie 40 jego białych pól 20
prostoka˛tnymi kostkami 1 × 2? (Diagramu nie wolno obracać.
Dwa pokrycia uważa sie˛ za różne, jeżeli choć jedna kostka jest
położona inaczej.)
A 8 B 16 C 32 D 64 E 100
K8. W liczbie, która miała co najmniej dwie cyfry, wykreślono ostatnia˛ cyfre˛. Otrzymana liczba
była n razy mniejsza od poprzedniej. Jaka jest najwie˛ksza możliwa wartość n?
A 9 B 10 C 11 D 19 E 20
K9. Narysowane sa˛ cztery odcinki. Ile punktów przecie˛cia nie moga˛ oni mieć?
A2 B3 C5 D6 E7
K10. Która z poniższych liczb po pomnożeniu przez 768 da w wyniku iloczyn zakończony najwie˛ksza˛ liczba˛ zer?
A 7 500 B 5 000 C 3 125 D 2 500 E 10 000
PYTANIA PO 4 PUNKTY
K11. Na stole leży kwadratowa przezroczysta folia z napisana˛ litera˛ . Obracamy te˛ folie˛ o
90◦ zgodnie z ruchem wskazówek zegara, naste˛pnie odwracamy ja˛ wokół lewej krawe˛dzi
i wreszcie obracamy o 180◦ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Co
zobaczymy teraz?
B
C
D
E
A
Kadet (klasy VII i VIII)
91
K12. Michaś ma 42 identyczne sześcienne klocki, każdy o krawe˛dzi długości 1 cm. Ze wszystkich
tych klocków zbudował pełny prostopadłościan, którego obwód podstawy jest równy 18 cm.
Jaka jest wysokość zbudowanego prostopadłościanu?
A 1 cm B 2 cm C 3 cm D 4 cm E 5 cm
K13. Mirek wystrzelił po trzy strzały do każdej z czterech identycznych tarcz (patrz rysunek
poniżej). Na pierwszej (patrza˛c od lewej strony) tarczy uzyskał 29, na drugiej 43, na trzeciej
47 punktów. Ile punktów uzyskał na czwartej tarczy?
A 31
B 33
C 36
D 38
E 39
K14. Pusta cie˛żarówka waży 2000 kg. Rano, po załadowaniu towaru, ładunek stanowił 80%
masy załadowanej cie˛żarówki. U pierwszego z odbiorców towaru rozładowano czwarta˛
cze˛ść ładunku. Jaki procent masy załadowanej cie˛żarówki stanowił wówczas ładunek?
A 20% B 25% C 55% D 60% E 75%
K15. Jaka jest powierzchnia zacieniowanego obszaru na rysunku obok, jeżeli
promień okre˛gu wynosi 3?
6π
A 8(π − 1) B 6(2π − 1) C 9π − 25 D 9(π − 2) E
5
K16. Mamy do dyspozycji 6 odcinków o długościach: 1, 2, 3, 2001, 2002, 2003. Na ile sposobów
można wybrać spośród nich takie trzy, które utworza˛ trójka˛t?
A 1 B 3 C 5 D 6 E Wie˛cej niż 10
K17. Ile dodatnich liczb całkowitych n ma te˛ własność, że spośród dodatnich dzielników liczby
n, różnych od 1 i od n, najwie˛kszy jest 15 razy wie˛kszy od najmniejszego?
A 0 B 1 C 2 D 3 E Nieskończenie wiele
K18. Na prostej zaznaczonych jest kolejno od lewej do prawej sześć punktów K, L, M, N, P ,
R, w takiej właśnie kolejności. Jeżeli KN = MR oraz LN = NR, to koniecznie
A KL = LM B LM = NP C LN = P R D KL = MN E MN = P R
K19. Paweł ma sześć kartek, na każdej z nich napisana jest liczba naturalna. Paweł wybrał trzy
spośród nich i obliczył sume˛ napisanych na nich liczb. W podobny sposób policzył wszystkie 20 możliwych sum odpowiadaja˛cych 20 możliwym wyborom trzech kartek. Zauważył
wówczas, że 10 sum to 16, 10 pozostałych to 18. Jaka była najmniejsza liczba spośród
napisanych na sześciu kartkach?
A2 B3 C4 D5 E6
K20. Paweł, Zbyszek, Mirek, Piotruś i Mietek stoja˛ w kole, przy czym odległości pomie˛dzy każdymi dwoma stoja˛cymi obok siebie chłopcami sa˛ różne. Naste˛pnie każdy z nich wypowiada
imie˛ tego, który stoi najbliżej niego. Imiona Paweł i Zbyszek zostały powiedziane po dwa
razy, imie˛ Mirek raz. Wtedy
A Paweł i Zbyszek nie stali obok siebie B Paweł i Mietek nie stali obok siebie
C Piotruś i Mietek stali obok siebie D opisana sytuacja jest niemożliwa
E zdania A, B, C i D sa˛ fałszywe
92
Kangur 2003
PYTANIA PO 5 PUNKTÓW
K21. Marek zbudował prostopadłościan z 3 różnie pomalowanych
klocków, z których każdy jest utworzony z 4 małych sześcianów. Potem jeden klocek został wyje˛ty (patrz rysunek). Który?
A
B
C
D
E
K22. W prostoka˛cie ABCD punkty P , Q, R, S sa˛ odpowiednio środkami boków AB, BC, CD i DA. Niech T be˛dzie środkiem
odcinka SR. Jaka˛ cze˛ścia˛ pola prostoka˛ta ABCD jest pole trójka˛ta P QT ?
1
1
1
3
5
B
C
D
E
A
16
4
5
6
8
D
R
C
T
Q
S
A
B
P
K23. Ada zbudowała przedstawiona˛ na rysunku obok figure˛ z
figurek trójkwadratowych i czterokwadratowych obracaja˛c
te figurki, ale ich nie przewracaja˛c. Ilu co najmniej figurek
trójkwadratowych mogła użyć?
A1 B2 C3 D6
E Figury nie można złożyć z tych figurek
K24. Na rysunku boki czterych nalegaja˛cych kwadratów wynosza˛ 11, 9, 7 i 5. Jaka jest różnica pomie˛dzy ła˛cznym polem obszarów zacieniowanych i ła˛cznym polem obszarów pomalowanych na czarno?
A 25 B 36 C 49 D 64 E 0
7
5
11
9
K25. Na półce ustawiono 50 ksia˛żek, z których każda jest albo podre˛cznikiem matematyki, albo
podre˛cznikiem fizyki. Żaden podre˛cznik fizyki nie stał obok innego podre˛cznika fizyki,
ale obok każdego podre˛cznika matematyki stał przynajmniej jeden podre˛cznik matematyki.
Które z poniższych zdań może być fałszywe?
A Liczba podre˛czników matematyki jest nie mniejsza niż 32
B Liczba podre˛czników fizyki jest nie wie˛ksza niż 17
C Na półce można znaleźć trzy stoja˛ce obok siebie podre˛czniki matematyki
D Jeżeli na półce stoi 17 podre˛czników fizyki, to przynajmniej jeden z nich stoi albo na
pocza˛tku, albo na końcu półki
E Wśród dowolnych 9 kolejnych ksia˛żek jest przynajmniej 6 podre˛czników matematyki
A
K26. Kwadrat podzielony został na 25 identycznych kwadracików
(patrz rysunek). Jaka jest suma miar ka˛tów ∠MAN, ∠MBN,
∠MCN, ∠MDN, ∠MEN?
A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 75◦ E 90◦
M
N
B
C D
E
Junior (klasy IX i X)
93
B
K27. Trójka˛t równoramienny BAC (oznaczony na rysunku obok numerem 0) o ka˛cie BAC równym 100◦ obracamy wokół punktu
1
A w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara tak,
aż powstanie trójka˛t 1 maja˛cy z trójka˛tem 0 wspólne ramie˛.
0
2 A
Naste˛pnie w ten sam sposób obracamy trójka˛t 1, otrzymuja˛c
trójka˛t 2, potem obracamy trójka˛t 2 otrzymuja˛c trójka˛t 3 itd.
3
Jaki jest najmniejszy dodatni numer trójka˛ta, który pokryje sie˛
z trójka˛tem 0?
C
A 10 B 12 C 14 D 16 E 18
K28. Ile liczb naturalnych n ma te własność, że reszta z dzielenia 2003 przez n jest równa 23?
A 22 B 19 C 13 D 12 E 36
K29. Na płaszczyźnie danych jest 10 punktów, z których żadne trzy nie leża˛ na jednej prostej.
Każde dwa z tych punktów poła˛czono odcinkami. Ile co najwyżej z tych odcinków można
jednocześnie przecia˛ć jedna prosta˛, nie przechodza˛ca˛ przez żaden z danych 10 punktów?
A 20 B 25 C 30 D 35 E 45
A
K30. W trójka˛cie ABC mamy: AB = AC, AE = AD, ∠BAD =
30◦ . Jaka jest miara ka˛ta CDE?
A 10◦ B 15◦ C 20◦ D 25◦ E 30◦
E
B
JUNIOR (klasy IX i X)
?
D
C
PYTANIA PO 3 PUNKTY
J1. Z tortu w kształcie koła wycie˛to porcje˛ stanowia˛ca˛ 15% całości
(patrz rysunek obok). Ile stopni ma ka˛t zaznaczony na rysunku
znakiem zapytania?
A 30◦ B 45◦ C 54◦ D 15◦ E 20◦
?
15%
J2. Diagram, przedstawiony na rysunku, jest złożony z 44 pól 1 × 1.
Na ile sposobów można pokryć wszystkie 40 jego białych pól 20
prostoka˛tnymi kostkami 1 × 2? (Diagramu nie wolno obracać.
Dwa pokrycia uważa sie˛ za różne, jeżeli choć jedna kostka jest
położona inaczej.)
A 8 B 16 C 32 D 64 E 100
J3. Trzy paski oznaczone na rysunku cyframi 1, 2, 3 maja˛ te˛ sama˛ szerokość równa˛ a. Paski te ła˛cza˛ dwie
linie równoległe. Który z tych pasków ma najwie˛ksze pole?
A Wszystkie paski maja˛ to samo pole B Pasek 1
C Pasek 2 D Pasek 3 E To zależy od a
a
1
a
2
a
3
J4. Która z powyższych liczb jest nieparzysta niezależnie od wartości liczby naturalnej n?
A 2003n B n2 + 2003 C n3 D n + 2004 E 2n2 + 2003
J5. W trójka˛cie ABC miara ka˛ta przy wierzchołku C jest trzy razy wie˛ksza od miary ka˛ta przy
wierzchołku A, a miara ka˛ta przy wierzchołku B jest dwa razy wie˛ksza niż miara ka˛ta przy
wierzchołku A. Trójka˛t ABC jest
A równoboczny B równoramienny C rozwartoka˛tny D prostoka˛tny E ostroka˛tny
94
Kangur 2003
J6. Trzech śpiewaków śpiewa pieśń składaja˛ca˛ sie˛ z trzech zwrotek, przy czym każda zwrotka
zawiera cztery wersy i wszystkie wersy sa˛ równej długości. Każdy śpiewak śpiewa pieśń
od pocza˛tku, przy czym drugi zaczyna śpiewać w momencie, gdy pierwszy zaczyna drugi
wers pierwszej zwrotki, a trzeci, gdy pierwszy zaczyna trzeci wers pierwszej zwrotki. Przez
jaka˛ cze˛ść czasu trwania całego utworu śpiewacy śpiewaja˛ równocześnie?
4
4
5
7
3
B
C
D
E
A
5
5
7
7
11
J7. Liczba a = 111 . . . 11 jest utworzona z 2003 cyfr równych 1. Jaka jest suma cyfr liczby
2003 · a?
A 10 000 B 10 015 C 10 020 D 10 030 E 20032
J8. Pole koła drewnianego, przedstawionego na rysunku, wynosi a, a pole kwadratu drewnianego
wynosi b. Opasamy trzy takie koła nie poruszaja˛c ich nicia˛ możliwie najmniejszej długości.
?
Jakie pole obejmie nić?
A 3b B 2a + b C a + 2b
D 3a
E a+b
J9. Ile z funkcji f (x) = 0, f (x) = 12 , f (x) = 1, f (x) = x, f (x) = −x jest rozwia˛zaniami
równania f (x 2 + y 2 ) = f 2 (x) + f 2 (y)?
A1 B2 C3 D4 E5
J10. Suma liczb dwucyfrowych XX, Y Y , ZZ jest równa liczbie trzycyfrowej ZY X.
Litery X, Y , Z oznaczaja˛ różne cyfry. Pod litera˛ X kryje sie˛ cyfra
A1 B2 C7 D8 E9
XX
+YY
ZZ
ZYX
PYTANIA PO 4 PUNKTY
J11. Ania ma w pudełku 9 kredek. Co najmniej jedna z nich jest niebieska. Wśród każdych 4
kredek przynajmniej dwie sa˛ tego samego koloru, a wśród każdych 5 kredek najwyżej trzy
sa˛ w tym samym kolorze. Ile niebieskich kredek jest w pudełku?
A 2 B 3 C 4 D 1 E Nie można tego wyliczyć
J12. Marek zbudował prostopadłościan z 4 różnie pomalowanych klocków, z których każdy jest utworzony z 4 małych sześcianów. Potem jeden klocek został wyje˛ty (patrz rysunek). Który?
A
B
C
D
E
J13. Gdy baryłka jest w 30% pusta, zawiera o 30 litrów wie˛cej, niż gdy jest w 30% napełniona.
Jaka jest pojemność baryłki?
A 60 B 75 C 90 D 100 E 120 J14. Każdy z dwóch uczniów zmienił w liczbie 888 dwie cyfry i otrzymał nowa˛ liczbe˛ trzycyfrowa˛
podzielna˛ przez 8. Jaka jest najwie˛ksza możliwa różnica pomie˛dzy utworzonymi w ten
sposób liczbami?
A 800 B 840 C 856 D 864 E 904
Junior (klasy IX i X)
95
J15. Na rysunku boki czterych nalegaja˛cych kwadratów wynosza˛ 11, 9, 7 i 5. Jaka jest różnica pomie˛dzy ła˛cznym polem obszarów zacieniowanych i ła˛cznym polem obszarów pomalowanych na czarno?
A 25 B 36 C 49 D 64 E 0
7
5
11
9
1
1
1
· 1+
·... · 1 +
2
3
2003
C 2002 D 1002 E 1001
J16. Wartość iloczynu 1 +
A 2004
B 2003
jest równa
J17. Rysunek obok przedstawia kwadrat, cztery półokre˛gi o środkach w
środkach boków kwadratu i promieniu 1 oraz mały okra˛g styczny
do czterech półokre˛gów (patrz rysunek obok). Promień małego
okre˛gu równy jest
√
√
√
√
1
A 2−1 B π −1 C 3−1 D 5−1 E 7−1
2
1
J18. Rozważmy wszystkie liczby 4-cyfrowe, które otrzymujemy z liczby 2003 poprzez przestawienie jej cyfr. Suma liczby 2003 i utworzonych liczb 4-cyfrowych jest równa
A 5 005 B 5 555 C 16 665 D 1 110 E 15 555
J19. Dwa pierwsze wyrazy cia˛gu to 1 i 2. Trzeci wyraz cia˛gu tworzymy dziela˛c pierwszy wyraz
cia˛gu przez drugi, czwarty –– dziela˛c drugi przez trzeci itd. Jaki jest dziesia˛ty wyraz tego
cia˛gu?
A 2−10 B 256 C 2−13 D 1024 E 234
J20. Wykres funkcji f określonej na zbiorze liczb rzeczywistych składa sie˛ z dwóch półprostych i odcinka (patrz rysunek obok). Łatwo jest sprawdzić,
że −8 jest rozwia˛zaniem równania f (f (x)) = 0,
bo f (f (−8)) = f (−4) = 0. Znaleźć wszystkie
rozwia˛zania równania f (f (f (x))) = 0.
A −4; 0 B −8; −4; 0 C −12; −8; −4; 0
D −16; −12; −8; −4; 0 E Rozwia˛zań nie ma
y
4
y=
–8
x)
f(
2
–4
x
4
–4
PYTANIA PO 5 PUNKTÓW
10
B
J21. Jaki jest stosunek pola trójka˛ta ADE do pola trójka˛ta
ABC (patrz rysunek obok)?
7
4
15
26
9
B
C
D
E
A
4
3
5
10
9
26
D
A
15
E
9
C
96
J22. Prostoka˛t ABCD ma pole równe 36. Punkt O jest środkiem okre˛gu wpisanego w trójka˛t ABD. Jakie jest pole
prostoka˛ta OP CR, gdzie P i R sa˛ rzutami prostoka˛tnymi
punktu O na odpowiednio boki
√ BC i CD?
A 24 B 6π C 18 D 12 2
E Zależy od stosunku długości boków AB i AD.
Kangur 2003
D
R
O
A
C
P
B
J23. Czworo dzieci K, L, M, N wypowiedziało kolejno zdania:
K: L, M i N sa˛ dziewczynkami.
L: K, M i N sa˛ chłopcami.
M: K i L kłamia˛.
N: K, L i M mówia˛ prawde˛.
Ilu z dzieci mówiło prawde˛?
A 0 B 1 C 2 D 3 E Nie można wyznaczyć
J24. Prostoka˛tna kartka papieru o wymiarach 6 × 12 została zgie˛ta
wzdłuż przeka˛tnej (patrz rysunek obok), a naste˛pnie odcie˛to
narożniki zacieniowane. Po ponownym rozłożeniu pozostałej
cze˛ści
√ otrzymano romb. Jaka jest długość boku tego rombu?
7 5
B 7,35 C 7,5 D 7,85 E 8,1
A
2
J25. Ile różnych par (x; y) liczb rzeczywistych spełnia równanie (x + y)2 = xy?
A 0 B 1 C 2 D 3 E Nieskończenie wiele
J26. Ile co najwyżej kolejnych liczb całkowitych może mieć te˛ własność, że suma cyfr żadnej z
nich nie jest podzielna przez 5?
A5 B6 C7 D8 E9
J27. Na półce ustawiono 50 ksia˛żek, z których każda jest albo podre˛cznikiem matematyki, albo
podre˛cznikiem fizyki. Żaden podre˛cznik fizyki nie stał obok innego podre˛cznika fizyki,
ale obok każdego podre˛cznika matematyki stał przynajmniej jeden podre˛cznik matematyki.
Które z poniższych zdań może być fałszywe?
A Liczba podre˛czników matematyki jest nie mniejsza niż 32
B Liczba podre˛czników fizyki jest nie wie˛ksza niż 17
C Na półce można znaleźć trzy stoja˛ce obok siebie podre˛czniki matematyki
D Jeżeli na półce stoi 17 podre˛czników fizyki, to przynajmniej jeden z nich stoi albo na
pocza˛tku, albo na końcu półki
E Wśród dowolnych 9 kolejnych ksia˛żek jest przynajmniej 6 podre˛czników matematyki
J28. Dodajemy trzy różne liczby spośród 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28. Ile różnych sum możemy otrzymać?
A 13 B 21 C 22 D 30 E 120
J29. Na rysunku obok przedstawiono dwa fragmenty szachownicy.
Wyznaczyć najmniejsza˛ liczbe˛ operacji koniecznych do zmiany
lewego fragmentu w prawy fragment, jeśli operacji tych dokonujemy zgodnie z reguła˛: W czasie każdej operacji malujemy
dwa kwadraty maja˛ce wspólny bok, przy czym czarny kwadrat
malujemy na zielono, zielony na biało, biały na czarno.
A3 B5 C6 D8 E9
J30. Wypisujemy wszystkie te liczby co najwyżej 5-cyfrowe, w zapisie których wyste˛puja˛ jedynie
cyfry 0 i 1. Ile razy w zapisie tych wszystkich liczb wysta˛piła cyfra 1?
A 36 B 48 C 80 D 160 E 320
Student (klasy XI i XII)
97
STUDENT (klasy XI i XII)
PYTANIA PO 3 PUNKTY
S1. Ania ma w pudełku 9 kredek. Co najmniej jedna z nich jest niebieska. Wśród każdych 4
kredek przynajmniej dwie sa˛ tego samego koloru, a wśród każdych 5 kredek najwyżej trzy
sa˛ w tym samym kolorze. Ile niebieskich kredek jest w pudełku?
A 2 B 3 C 4 D 1 E Nie można tego wyliczyć
S2. W prostoka˛cie ABCD punkty P , Q, R, S sa˛ odpowiednio środkami boków AB, BC, CD i DA. Niech T be˛dzie środkiem
odcinka SR. Jaka˛ cze˛ścia˛ pola prostoka˛ta ABCD jest pole trójka˛ta P QT ?
5
1
1
1
3
A
B
C
D
E
16
4
5
6
8
D
R
C
T
Q
S
A
P
B
S3. Pole koła drewnianego, przedstawionego na rysunku, wynosi a, a pole kwadratu drewnianego
wynosi b. Opasamy trzy takie koła nie poruszaja˛c ich nicia˛ możliwie najmniejszej długości.
?
Jakie pole obejmie nić?
A 3b B 2a + b C a + 2b
D 3a
E a+b
S4. Leon licza˛c obje˛tość kuli podstawił do wzoru omyłkowo długość średnicy zamiast promienia.
Co powinien zrobić z uzyskana˛ wartościa˛, aby otrzymać poprawny wynik?
A Podzielić przez 2 B Podzielić przez 4 C Pomnożyć przez 6
D Podzielić przez 8 E Pomnożyć przez 8
S5. Jeżeli n jest liczba˛ naturalna˛, to 2n+2003 + 2n+2003 jest równe
A 2n+2004 B 22n+4006 C 42n+4006 D 42n+2003 E 4n+2003
S6. Dla których z poniższych danych istnieje trójka˛t ABC?
A AB = 11 cm, BC = 19 cm, CA = 7 cm
B AB = 11 cm, BC = 7 cm, ∠BAC = 60◦
C AB = 11 cm, CA = 7 cm, ∠CBA = 128◦
D AB = 11 cm, ∠BAC = 60◦ , ∠CBA = 128◦
E Dla żadnych z nich
S7. Średnia liczba uczniów przyje˛tych do szkoły w czterech latach 1998–2001 była równa 325
na rok. Średnia liczba uczniów przyje˛tych do szkoły w pie˛ciu latach 1998–2002 była o 20%
wie˛ksza. Ilu uczniów zostało przyje˛tych do szkoły w 2002 roku?
A 650 B 600 C 455 D 390 E 345
S8. Znaleźć wszystkie wartości parametru m, dla których krzywe x 2 + y 2 = 1 oraz y = x 2 + m
maja˛ dokładnie jeden punkt wspólny.
5
5
5
A − ; −1; 1 B − ; 1 C −1; 1 D −
E1
4
4
4
98
Kangur 2003
S9. Diagram, przedstawiony na rysunku, jest złożony z 44 pól 1 × 1.
Na ile sposobów można pokryć wszystkie 40 jego białych pól 20
prostoka˛tnymi kostkami 1 × 2? (Diagramu nie wolno obracać.
Dwa pokrycia uważa sie˛ za różne, jeżeli choć jedna kostka jest
położona inaczej.)
A 8 B 16 C 32 D 64 E 100
S10. Konstruujemy trójka˛t liczbowy z liczb całkowitych wie˛kszych niż 1 w sposób przedstawiony
na lewym rysunku. Która z poniższych liczb nie może być umieszczona w zacieniowanym
polu diagramu na prawym rysunku?
x
y
x´y
A 154
B 100
C 90
D 88
E 60
PYTANIA PO 4 PUNKTY
S11. Niech ABC be˛dzie trójka˛tem o polu 30 i niech D be˛dzie dowolnym punktem leża˛cym wewna˛trz tego trójka˛ta (patrz rysunek).
C
5
12
f
e
g
D
13
A
B
Oznaczmy przez e, f , g odległości punktu D odpowiednio od boków AC, BC, AB. Ile
jest równa wartość wyrażenia 5e + 12f + 13g?
A 120 B 90 C 60 D 30
E Zależy od położenia punktu D
S12. Marek zbudował prostopadłościan z 4 różnie pomalowanych
klocków, z których każdy jest utworzony 4 małych sześcianów.
Potem jeden klocek został wyje˛ty (patrz rysunek). Który?
A
B
C
D
E
S13. Dwie białe i osiem szarych mew leciało nad rzeka˛. W pewnym momencie usiadły na
wodzie w jednej linii w przypadkowej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie
białe mewy usiadły obok siebie?
1
1
1
1
1
A
B
C
D
E
5
6
7
8
9
Student (klasy XI i XII)
99
S14. Wartość wyrażenia
√
1 + 2000 1 + 2001 1 + 2002 1 + 2003 × 2005
jest równa
A 2000 B 2001
C 2002
D 2003
E 2004
S15. Liczby 12, 13, 15 wyrażaja˛ (niekoniecznie w takiej kolejności) długości dwóch boków
trójka˛ta ostroka˛tnego i jego wysokości opuszczonej na trzeci bok. Jakie jest pole powierzchni
tego trójka˛ta?
√
A 168 B 80 C 84 D 6 65 E Nie można tego jednoznacznie określić
S16. Ile wyrazów cia˛gu zawieraja˛cego siódme pote˛gi kolejnych liczb naturalnych znajduje sie˛
mie˛dzy liczbami 521 i 249 ?
A 13 B 8 C 5 D 3 E 2
S17. Najwie˛ksza dwucyfrowa liczba naturalna n o tej własności, że 10n + 1 jest wielokrotnościa˛
101, to
A 92 B 94 C 96 D 98 E 99
S18. Wie˛kszy z kwadratów na rysunku obok ma bok długości 2,
przystawiony ku niemu mniejszy kwadrat zaś ma bok długości 1. Jakie jest √
pole zacieniowanego obszaru?
A1 B2 C2 2 D4
E Pole zależy od położenia mniejszego kwadratu
2
S19. Ile z funkcji
f (x) = 0,
f (x) =
1
,
2
f (x) = 1,
f (x) = x,
f (x) = −x
jest rozwia˛zaniami równania f (x 2 + y 2 ) = f 2 (x) + f 2 (y)?
A1 B2 C3 D4 E5
1
1
S20. Jeżeli a 4 + 4 = 4, to a 6 + 6 jest równe
a
a
√
√
√
√
A4 6 B3 6 C6 D5 6 E6 6
PYTANIA PO 5 PUNKTÓW
S21. Rysunek obok przedstawia narysowane kolejno: trójka˛t równoboczny, opisany na nim okra˛g, kwadrat opisany na tym okre˛gu,
okra˛g opisany na kwadracie i wreszcie opisany na tym okre˛gu pie˛cioka˛t foremny. Kontynuujemy te˛ procedure˛ opisuja˛c okra˛g na
pie˛cioka˛cie, na nim opisujemy sześcioka˛t foremny itd. Kończymy
konstrukcja˛ 16-ka˛ta foremnego. Na ile rozła˛cznych obszarów jest
podzielone wne˛trze tego 16-ka˛ta?
A 232 B 240 C 248 D 264 E 272
1
100
Kangur 2003
S22. Punkt P (x; y) leży na okre˛gu o środku M(2; 2) i promieniu r. Jeżeli y = r > 2 oraz x, y, r
sa˛ dodatnimi liczbami całkowitymi, to jaka jest najmniejsza możliwa wartość x?
A 2 B 4 C 6 D 8 E 10
S23. Niech A, B, A − B, A + B sa˛ dodatnimi liczbami pierwszymi. Wówczas ich suma jest
A parzysta B podzielna przez 3 C podzielna przez 5 D podzielna przez 7
E liczba˛ pierwsza˛
S24. Dyrektor domu towarowego ma za zadanie określenie ceny bluzek dla nastolatek. Biuro
badania rynku przekazało mu naste˛puja˛ce informacje. Jeżeli cena bluzki be˛dzie równa 75 zł,
wtedy kupi je 100 nastolatek. Cene˛ można zmieniać kilkakrotnie po 5 zł. Z każdym
wzrostem ceny o 5 zł liczba sprzedanych bluzek spadnie o 20. Z drugiej strony z każdym
obniżeniem ceny o 5 zł liczba sprzedanych bluzek wzrośnie o 20. Dom towarowy kupuje
bluzki po 30 zł za sztuke˛. Jaka cena sprzedaży przyniesie najwie˛kszy zysk?
A 85 zł B 80 zł C 75 zł D 70 zł E 65 zł
S25. Ile różnych par (x; y) liczb rzeczywistych spełnia równanie (x + y)2 = (x + 3)(y − 3)?
A 0 B 1 C 2 D 3 E Nieskończenie wiele
S26. Cia˛g a0 , a1 , a2 , . . . jest zdefiniowany w sposób naste˛puja˛cy:
a0 = 4, a1 = 6, an+1 =
an
an−1
(n 1).
Wówczas a2003 jest równe
3
2
1
1
A
B
C4 D
E
2
3
4
6
S27. Prostoka˛t ABCD spełnia: AB = 16, BC = 12. Niech E be˛dzie takim punktem, że
AC ⊥ CE, CE = 15 (patrz rysunek).
B
C
12
15
16
E
F
A
D
Jeżeli F jest punktem przecie˛cia odcinków AE i CD, to pole trójka˛ta ACF jest równe
A 75 B 80 C 96 D 72 E 48
S28. Jeżeli na końcu krawe˛dzi sześcianu dorysujemy strzałke˛ –– definiujemy wektor, a jeżeli
strzałke˛ rysujemy na drugim końcu –– definiujemy wektor przeciwny. Na każdej krawe˛dzi
rysujemy strzałke˛, definiuja˛c w ten sposób 12 wektorów. Naste˛pnie dodajemy wszystkie te
wektory. Ile różnych sum wektorów można w ten sposób otrzymać?
A 25 B 27 C 64 D 100 E 125
S29. Dane sa˛ wierzchołki sześcioka˛ta foremnego oraz wszystkie odcinki ła˛cza˛ce pary tych punktów. Dwa takie odcinki nazwiemy rozła˛cznymi, jeżeli nie maja˛ punktów wspólnych. Ile par
odcinków rozła˛cznych wyste˛puje w opisanej wyżej sytuacji?
A 26 B 28 C 30 D 34 E 36
S30. Niech f be˛dzie wielomianem spełniaja˛cym f (x 2 + 1) = x 4 + 4x 2 . Ile jest równe f (x 2 − 1)?
A x 4 − 4x B x 4 C x 4 + 4x 2 − 4 D x 4 − 4 E Inna odpowiedź