Ćwiczenie 13. Współczynnik lepkości

Ćwiczenie 13. Współczynnik lepkości
Małgorzata Nowina-Konopka,Andrzej Zięba
Cel ćwiczenia
Zapoznanie się z własnościami cieczy lepkiej, wyznaczenie współczynnika lepkości
metodą spadania kulki (metodą Stokesa).
Wprowadzenie
Przy przepływie wszystkich cieczy rzeczywistych ujawniają się większe lub mniejsze
siły tarcia. W przeciwieństwie do ruchu ciał stałych, w którym tarcie występuje tylko
na powierzchni, w cieczach i w gazach ujawnia się ono w całej objętości. Jest więc
zwane tarciem wewnętrznym lub lepkością.
Przypuśćmy, że mamy dwie płaskie płytki o powierzchni S, a pomiędzy nimi ciecz,
tak jak to przedstawiono na rysunku Rys.1. Jeżeli jedna z płytek będzie się poruszać
względem drugiej z niewielką prędkością v, to siła potrzebna do podtrzymania ruchu
będzie proporcjonalna do powierzchni S i prędkości v, a odwrotnie proporcjonalna do
odległości płytek d
Sv
F =η .
(13.1)
d
Stałą η nazywamy współczynnikiem lepkości. Jednostką η w układzie SI jest [Pa·s].
Rys. 1. Rysunek pomocniczy do definicji współczynnika lepkości
Zjawisko lepkości wykazują wszystkie ciecze i gazy. (Jednym dość szczególnym wyjątkiem jest ciekły hel, który w temperaturach bliskich zera bezwzględnego wykazuje
zjawisko nadciekłości czyli zupełne zniknięcie lepkości.) Lepkość zależy w dużym stopniu od temperatury. Dla gazów rośnie proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej.
Dla cieczy zmniejsza się znacznie ze wzrostem temperatury. Bardzo silną zależność
temperaturową obserwuje się dla cieczy o dużej lepkości jak np. dla gliceryny (patrz
dane w tabeli 1) czy dla olejów silnikowych.
13-1
Tabela 1:
Wybrane wartości współczynnika lepkości
Rodzaj cieczy
powietrze
eter etylowy
woda (20◦ C)
gliceryna (0◦ C)
gliceryna (20◦ C)
gliceryna (30◦ C)
gliceryna(20◦ C, 2 % wody)
olej z oliwek
η [Pa · s]
18, 5 · 10−6
0,00012
0,00100
135
1,945
0,629
0,971
0,084
Spadanie kuli w cieczy lepkiej w zakresie opływu laminarnego
Lepkość płynów (cieczy i gazów) jest odpowiedzialna za występowanie oporów
ruchu ciała poruszającego się w płynie. Trajektorie cząstek cieczy wokół poruszającej
się kuli przedstawia rysunek Rys. 2.
Rys. 2. Spadanie kulki w cieczy lepkiej
Jest to przykład opływu laminarnego, występującego przy małych prędkościach,
kiedy ciecz opływająca kulę nie tworzy jeszcze żadnych wirów czy turbulencji. W
analogii do równania (13.1) siła oporu lepkiego działającego na dowolny przedmiot w
zakresie opływu laminarnego jest proporcjonalna do współczynnika lepkości i prędkości kuli. Siłę oporu ruchu działającą ze strony cieczy na poruszającą się w niej kulkę
13-2
wyraża wzór Stokesa∗
F = 6πηrv,
gdzie:
v
r
(13.2)
– prędkość kulki,
– promień kulki.
Wzór ten jest słuszny, gdy kulka porusza się w nieograniczonej objętości cieczy. W
przypadku, gdy ruch kulki odbywa się wzdłuż osi cylindra o promieniu R wzór (13.3)
przybiera postać
r
.
(13.3)
F = 6πηrv 1 + 2, 4
R
Jeśli kulka spada w cieczy pod wpływem grawitacji, działają na nią następujące trzy
siły (rys.2):
1. F = mg – siła ciężkości,
2. Fw = mw g = ρV g – siła wyporu Archimedesa,
gdzie:
ρ – gęstość cieczy,
V
– objętość kulki,
3. F0 = Kv – siła oporu
(siła Stokesa),
r
gdzie K = 6πηr 1 + 2, 4
.
R
Zgodnie z II zasadą dynamiki równanie ruchu kulki ma postać
ma = F − Fw − F0
(13.4)
lub
m
dv
= F − Fw − Kv.
dt
Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na prędkość v.
Jeżeli w chwili początkowej t = 0 prędkość v = v0 , to po scałkowaniu dostajemy
zależność prędkości od czasu w postaci
t
v(t) = vgr + (v0 − vgr ) exp
,
(13.5)
τ
gdzie wielkość τ = m/K nazywamy stałą czasową.
Zależność prędkości od czasu dla kulki poruszającej się w cieczy lepkiej przedstawia rysunek Rys.3. Drugi wyraz po prawej stronie wzoru (13.5) maleje eksponencjalnie
z czasem, więc dla dostatecznie dużego t jest on zaniedbywalnie mały.
∗ G.G. Stokes (1819-1903), fizyk i matematyk angielski. W kursie matematyki poznajemy twierdzenie Stokesa dotyczące całek krzywoliniowych i powierzchniowych.
13-3
Rys. 3. Zależność v(t) dla kulki rozpoczynającej ruch w cieczy lepkiej z prędkością
początkową v0 = 0
Skutkiem tego ruch kulki po czasie rzędu 3τ staje się jednostajny z prędkością
graniczną równą
F − Fw
(m − ρV )g
vgr =
=
(13.6)
r
K
6πηr(1 + 2, 4 )
R
Pomiar prędkości spadania kulki w cieczy stanowi jedną z metod wyznaczania
współczynnika lepkości cieczy. Droga jaką przebędzie kulka przed osiągnięciem prędkości granicznej wynosi około 3τ vgr . Pomiar prędkości granicznej wykonać należy na
odcinku drogi (rys.5), na której kulka osiągnęła już ustaloną prędkość. Ze wzoru (13.6)
otrzymujemy
η=
(m − ρV )g
6πrvgr (1 + 2, 4
r
).
R
(13.7)
Wyznaczenie lepkości metodą Stokesa polega na bezpośrednim pomiarze wszystkich wielkości występujących po prawej stronie wzoru (13.7). Zamiast kul wykonanych
z ciała stałego wykorzystać też można kuliste krople cieczy o większej gęstości, spadające w cieczy badanej.
13-4
Zakres stosowalności wzoru Stokesa
Wzór Stokesa jest słuszny tylko dla przepływów laminarnych. Parametrem, który
decyduje o charakterze opływu cieczy wokół ciała jest liczba Reynoldsa, dana wzorem
ogólnym
vlρ
,
(13.8)
Re =
η
gdzie:
ρ
l
– gęstość cieczy,
– wymiar liniowy poruszającego się ciała mierzony w kierunku
prostopadłym do wektora v.
W przypadku kulki przyjmujemy l = 2r.
Jak dotąd nie ma teorii pozwalającej w sposób ścisły opisać odstępstwa od wzoru Stokesa ze wzrostem liczby Reynoldsa. Badania doświadczalne wskazują, że odstępstwa
pojawiają się już dla Re < 1, i narastają w sposób ciągły tak, że nie sposób podać
określoną wartość liczby Reynoldsa, poniżej której wzór Stokesa jest w pełni dokładny. Jest to sytuacja odmienna od przypadku przepływu cieczy przez rurę, kiedy to
ostre przejście od przepływu laminarnego do turbulentnego pojawia się dopiero przy
Re ∼
= 2000.
Ze względu na ograniczony zakres stosowalności wzoru Stokesa, metoda spadania
kulki nadaje się do wyznaczania η dla cieczy o stosunkowo dużej lepkości.
Literatura
1. Problem laminarności opływu i inne aspekty zjawiska ruchu kulki w cieczy omawiane są w podręczniku: Wróblewski A.K., Zakrzewski J.A.: Wstęp do fizyki.
Warszawa, PWN 1976.
2. Ogólny opis zjawiska przejścia od przepływu laminarnego do wirowego i turbulentnego oraz teoria liczby Reynoldsa podane są m.in. w podręczniku: Feynman
R.P., Leighton R.B., Sands M.: Feynmana wykłady z fizyki. T. II. Cz. 2. Warszawa, PWN 1970, 2001.
Aparatura
Rysunek (4) przedstawia cylinder szklany wypełniony cieczą, do którego wrzuca
się kulki. Dwa poziome paski naklejone na cylinder w odległości l od siebie wyznaczają badany odcinek drogi kulek. Górny pasek musi być co najmniej o 3τ v poniżej
powierzchni gliceryny. Odległość pomiędzy paskami mierzy się przymiarem metrowym, czas ruchu kulek na tym odcinku – sekundomierzem. Kulki waży się na wadze
analitycznej, a ich promienie mierzy się śrubą mikrometryczną. Wydobycie kulek z
cylindra ułatwia zwolnienie na chwilę zacisku Z na wężu gumowym. Kulki spadają
wtedy do małej probówki założonej na końcu węża, którą po ponownym zaciśnięciu
zacisku można wyjąć, odlać ciecz i wysypać kulki.
13-5
Badaną cieczą jest gliceryna, niepalny związek organiczny CH2 OH − CHOH − CH2 OH. Jej lepkość silnie zależy od temperatury i nawet niewielkiego dodatku wody (por. tabela, zamieszczona na końcu).
Stosowana jest m.in. w płynach chłodniczych i hamulcowych w samochodach jako składnik obniżający
temperaturę krzepnięcia.
Wykonanie ćwiczenia
A. Metoda spadania kulki z materiału stałego.
1. Pomiary wstępne.
a) Dla poszczególnych kulek wykonać pomiary masy przy użyciu wagi torsyjnej lub wagi analitycznej.
b) Zmierzyć średnicę 2r kulek za pomocą śruby mikrometrycznej.
c) Zmierzyć wewnętrzną średnicę cylindra
oraz odległość l między znaczkami górnym
i dolnym.
d) Odczytać temperaturę, w jakiej wykonywano pomiary.
2. Pomiar prędkości ruchu kulek: wpuszczać pojedynczo kulki do cylindra z cieczą (możliwie
blisko osi cylindra) i mierzyć czas w jakim
przebywają drogę l.
Opracowanie wyników
1. Określić wartości i niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio.
2. Obliczyć wartość współczynnika lepkości η.
Obliczenie wykonać osobno dla grup kulek o
różnych rozmiarach.
3. Obliczyć uc (η) korzystając z prawa przenoszenia niepewności [z użyciem wzoru (13.7), ale
z pominięciem czynnika poprawkowego (1 +
2, 4r/R)]. Czy wartości współczynnika lepkości uzyskane z pomiaru ruchu kulek o różnych
rozmiarach są różne, czy też równe w granicach błędu?
4. Obliczyć wartości liczby Reynoldsa dla kulek
o różnych rozmiarach.
13-6
Rys. 4. Pomiar
współczynnika lepkości
metodą Stokesa
B. Metoda spadania kropli (wariant ćwiczenia w Zakładzie Fizyki Ciała Stałego).
Aparatura
Zestaw ćwiczeniowy stanowi cylinder szklany wypełniony olejem parafinowym
umieszczony na statywie. Szklana biureta z podziałką pozwala na precyzyjne dozowanie ustalonej ilości wody. Woda, jednostajnie wpadająca do oleju, formuje
się w jednakowe krople o, w przybliżeniu, kulistym kształcie. Czas przelotu kulek
na zaznaczonym paskami odcinku cylindra mierzy się stoperem. Średnicę kulek
określa się mierząc ilość utworzonych kropel ze znanej objętości wody. Gdy ilość
zebranej na dnie cylindra wody jest zbyt duża, należy wodę zlać do zlewki przez
zwolnienie zacisku na dnie cylindra.
Wykonanie ćwiczenia
1. Dla wyznaczenia średniego promienia kulek wody wypływających z biurety
wypuścić 20 cm3 wody licząc liczbę kropel.
2. Dziesięciokrotnie wyznaczyć czas spadania kropel między kreskami zaznaczonymi na cylindrze. Odległość kresek wynosi 25 cm.
Uwaga. Czynności 1 i 2 muszą być przeprowadzone przy tym samym położeniu kurka (jednakowa objętość kropel). Koniec biurety musi być zanurzony w
oleju.
3. Pomiar powtórzyć dwukrotnie.
Opracowanie wyników
1. Na podstawie danych z punktu 1 i 2 obliczyć średni promień kropli, średnią
masę kropel, oraz prędkość opadania kropel w oleju, vgr . Ocenić niepewności
pomiaru tych wielkości.
2. Obliczyć wartość i niepewność złożoną współczynnika lepkości z równania (13.7).
Przy obliczeniach można pominąć czynnik poprawkowy (1 + 2, 4r/R). Przyjąć
średnicę cylindra 2R = 4, 5 cm, oraz gęstość oleju ρ = 0, 80 g/cm3 .
3. Obliczyć liczbę Reynoldsa.
Dodatek historyczny. Odkrycie anizotropii współczynnika lepkości
Współczynnik lepkości zwykłych cieczy jest skalarem, tj. wielkością bezkierunkową.
Anizotropia współczynnika lepkości występuje w cieczach anizotropowych, jakimi są
ciekłe kryształy.
Anizotropię lepkości ciekłych kryształów odkrył około 1933 roku Marian Mięsowicz
(1907 – 1992), asystent prof. Jeżewskiego w Katedrze Fizyki ówczesnej Akademii
Górniczej. Pomiary wykonał dla pazyksoanizolu (PAA), którego wydłużone cząsteczki
tworzą w zakresie temperatur od 118◦ C do 135◦ C jeden z najprostszych ciekłych
13-7
kryształów. Współczynnik lepkości wyznaczył z pomiaru tłumienia drgań cienkiej
płytki szklanej zanurzonej w prostopadłościennym naczyniu z ciekłym kryształem
(rys.5). Zastosowany układ stanowił dobre przybliżenie geometrii idealnej (por. rys.4),
jakiej używa się do definicji współczynnika lepkości.
Przy użyciu pola magnetycznego można zorientować osie cząsteczek ciekłego kryształu wzdłuż trzech wzajemnie prostopadłych kierunków (rys.5).
Rys. 5. Schemat doświadczenia Mięsowicza
Dla każdego z nich wartość współczynnika lepkości jest inna. Tak określone η1 , η2 ,
η3 noszą dziś nazwę współczynników lepkości Mięsowicza.
Synteza związków będących ciekłymi kryształami w temperaturze pokojowej umożliwiła wynalazek displejów ciekłokrystalicznych. Elementy te, stosowane w zegarkach,
cyfrowych przyrządach pomiarowych, kalkulatorach i komputerach przenośnych, charakteryzują się płaską budową i znikomym poborem mocy. Lepkość ciekłych kryształów pozostaje jednym z czynników ograniczających szybkość działania tych urządzeń.
Po wojnie prof. Mięsowicz prowadził badania promieni kosmicznych, cząstek elementarnych i zastosowań fizyki jądrowej. Był inicjatorem powstania i długoletnim
dyrektorem Instytutu Fizyki i Techniki Jądrowej. Instytut ten, po przeprowadzce do
budynku przy ul. Reymonta 19 i po połączeniu z Zakładem Fizyki Ciała Stałego Wydziału Metalurgii, przekształcił się w obecny Wydział Fizyki i Techniki Jądrowej.
Na następnej stronie zamieszczamy tabelę, ilustrującą zależność współczynnika lepkości gliceryny od zawartości frakcji wodnej.
13-8
Zawartość
gliceryny [%]
Gęstość (25◦ )
[kg/m3 ]
100
99
98
97
96
95
80
50
25
10
0
1262
1259
1257
1254
1252
1249
1209
1127
1061
1024
997
13-9
Współczynnik
lepkości [mPa s]
20◦ C 25◦ C 30◦ C
1495
942
622
1194
772
509
971
627
423
802
522
353
659
434
296
544
365
248
61,8
45,7
34,8
6,03
5,02
4,23
2,09
1,8
1,59
1,31
1,15
1,02
1
0,89
0,80