Model Ramseya
Transkrypt
Model Ramseya
Model Ramseya dr hab. Marcin Kolasa, prof. SGH Szkoªa Gªówna Handlowa M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 1 / 36 Spis tre±ci 1 Wst¦p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek gospodarki otwartej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 2 / 36 Spis tre±ci 1 Wst¦p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek gospodarki otwartej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 3 / 36 Wst¦p Autorzy: Frank Ramsey (1928), David Cass (1965), Tjalling Koopmans (1965) W skrócie: model Solowa z endogeniczn¡ stop¡ oszcz¦dno±ci (optymalizacj¡ konsumenta) Podstawowy model wspóªczesnej makroekonomii, punkt wyj±cia dla bardziej zªo»onych modeli wzrostu i cyklu M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 4 / 36 Spis tre±ci 1 Wst¦p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek gospodarki otwartej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 5 / 36 Gªówne zaªo»enia Zamkni¦ta gospodarka Brak polityki skalnej Ceny doskonale elastyczne - model realny Brak roli dla polityki monetarnej Jedno homogeniczne dobro, jego cena znormalizowana do jedno±ci Dwa typy agentów: Przedsi¦biorstwa Gospodarstwa domowe Brak heterogeniczno±ci w±ród rm i gospodarstw domowych: reprezentatywni agenci, agregacja trywialna M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 6 / 36 Przedsi¦biorstwa Produkuj¡ dobra nalne w warunkach doskonaªej konkurencji Neoklasyczna funkcja produkcji z post¦pem technicznym wg Harroda yt = F (kt , At lt ) (1) Kapitaª i praca wynajmowane od gospodarstw domowych Technologia ro±nie w staªym tempie g ≥ 0: At+1 = (1 + g )At Problem rm max{F (kt , At lt ) − wt lt − rk,t kt } lt ,kt Firmy maksymalizuj¡ zysk traktuj¡c ceny jako dane Warunki konieczne optimum: wt = M. Kolasa (SGH) ∂F ∂lt rk,t = Model Ramseya ∂F = F 0 (kt ) ∂kt (2) 7 / 36 Gospodarstwa domowe I S¡ wªa±cicielami czynników produkcji i wynajmuj¡ je rmom Dostarczaj¡ pracy w sposób nieelastyczny wg równania (n ≥ 0): lt+1 = (1 + n)lt Akumuluj¡ kapitaª z inwestycji It , kapitaª deprecjonuje w tempie δ > 0: kt+1 = (1 − δ)kt + it (3) Przeznaczaj¡ dochód na konsumpcj¦ lub oszcz¦dno±ci (inwestycje): wt lt + rk,t kt = ct + st = ct + it (4) Dokonuj¡ optymalnych decyzji odno±nie konsumpcji/oszcz¦dno±ci M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 8 / 36 Gospodarstwa domowe II Maksymalizuj¡ »yciow¡ u»yteczno±¢ swoich czªonków (obecnych i przyszªych): U0 = ∞ X β t u(c˜t )lt (5) t=0 gdzie: c˜t = cltt - konsumpcja per capita β - czynnik dyskontuj¡cy (0 < β < 1) u(c̃t ) - chwilowa funkcja u»yteczno±ci: u(c˜t ) = c˜t 1−θ 1−θ (6) gdzie: θ>0 Je±li θ = 1, M. Kolasa (SGH) to u(c˜t ) = ln c˜t Model Ramseya 9 / 36 Gospodarstwa domowe III Uwagi: Dosªownie: niesko«czona dªugo±¢ »ycia Interpretacja: dbaªo±¢ o u»yteczno±¢ przyszªych pokole« Dyskontowanie: gospodarstwa domowe s¡ niecierpliwe Uwagi do funkcji u»yteczno±ci u(c˜t ): Staªa wzgl¦dna awersja do ryzyka (CRRA): − c˜t u 00 (c˜t ) =θ u 0 (c˜t ) Staªa mi¦dzyokresowa elastyczno±¢ substytucji: ∂ ln cc˜˜21 1 0 = − u (c˜1 ) θ ∂ ln u0 (c˜2 ) Forma funkcyjna wymagana dla zrównowa»onego wzrostu M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 10 / 36 Gospodarstwa domowe IV Problem: maksymalizacja (5) przy ograniczeniach: Akumulacja kapitaªu (3) i ograniczenie bud»etowe (4) Warunek transwersalno±ci: lim t→∞ kt+1 t Y s=1 1 1 + rs ! ≥0 (7) gdzie: rt ≡ rk,t − δ = F 0 (kt ) − δ jest rynkow¡ stop¡ zwrotu z kapitaªu (realna stopa procentowa) Interpretacja warunku transwersalno±ci: Analogia z warunkiem ko«cowym w sko«czonym horyzoncie Warto±¢ bie»¡ca netto aktywów na koniec horyzontu planowania musi by¢ nieujemna Wykluczenie piramid nansowych (no-Ponzi games) Optymalizacja gospodarstw domowych implikuje równanie (7) speªnione jako równo±¢ M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 11 / 36 Równowaga ogólna Czyszczenie si¦ rynków: Produkcja rm musi by¢ równa wydatkom gospodarstw domowych: yt = ct + it (8) Poda» pracy gospodarstw domowych musi by¢ równa popytowi na ni¡ ze strony rm Poda» kapitaªu gospodarstw domowych musi by¢ równa popytowi na niego ze strony rm Denicja równowagi konkurencyjnej ∞ Sekwencja {kt , yt , ct , it , wt , rk,t }∞ t=0 dla zadanej sekwencji {lt , At }t=0 oraz pocz¡tkowego zasobu kapitaªu k0 , takie »e: (i) gospodarstwa domowe maksymalizuj¡ u»yteczno±¢ traktuj¡c ceny czynników produkcji {wt , rk,t }∞ t=0 jako dane; (ii) przedsi¦biorstwa maksymalizuj¡ zyski traktuj¡c ceny czynników produkcji jako dane; (iii) ceny czynników produkcji zapewniaj¡ czyszczenie si¦ rynków. M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 12 / 36 Charakterystyka równowagi Zaªó»my dla uproszczenia brak post¦pu technicznego i staª¡ populacj¦ (n = g = 0) i znormalizujmy poda» pracy do jedno±ci (lt = 1), tak »e c̃t = ct Funkcja Lagrange'a: L= ∞ X βt t=0 ! ct1−θ + λt (1 − δ)kt + wt + rk,t kt − ct − kt+1 1−θ Warunki konieczne optimum: M. Kolasa (SGH) ∂L = 0 =⇒ ct−θ = λt ∂ct (9) ∂L = 0 =⇒ βλt+1 (1 − δ + rk,t+1 ) = λt ∂kt+1 (10) Model Ramseya 13 / 36 Równanie Eulera Równania (9) i (10) implikuj¡: ct+1 ct θ = β (1 − δ + rk,t+1 ) = β (1 + rt+1 ) (11) Interpretacja: Dla θ > 0: ct+1 > ct ⇐⇒ 1 + rt+1 > β −1 Aby konsumpcja byªa wy»sza jutro ni» dzi±, (rynkowa) stopa procentowa musi przekracza¢ subiektywn¡ stop¦ dyskonta stosowan¡ przez gospodarstwa domowe Gospodarstwom domowym opªaca si¦ odkªada¢ konsumpcj¦ na przyszªo±¢ je±li zwi¡zana z tym utrata u»yteczno±ci jest wi¦cej ni» skompensowana stop¡ zwrotu z oszcz¦dno±ci Rola θ: Im wy»sze θ tym mniej wra»liwa konsumpcja na stop¦ procentow¡, czyli tym silniejszy motyw wygªadzania konsumpcji (ni»sza mi¦dzyokresowa elastyczno±¢ substytucji) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 14 / 36 Charakterystyka równowagi - podsumowanie W równowadze dynamika modelu mo»e by¢ opisana nast¦puj¡cymi trzema równaniam: ct+1 ct θ = β(F 0 (kt+1 ) + 1 − δ) kt+1 F (kt ) − ct = (1 − δ) + kt kt ! t Y 1 lim kt+1 =0 t→∞ F 0 (kt+1 ) + 1 − δ (12) (13) (14) s=1 W chwili t = 0 kapitaª jest dany. Dla danego k0 i c0 , równania (12) i (13) determinuj¡ ±cie»ki kt i ct w kolejnych okresach. Warunek transwersalno±ci (14) determinuje c0 . M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 15 / 36 Spis tre±ci 1 Wst¦p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek gospodarki otwartej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 16 / 36 Stan ustalony I W stanie ustalonym kt i ct s¡ staªe. Dªugookresowa rozwi¡zanie wykorzystuj¡c (12) i (13): F 0 (k ∗ ) = 1 β −1+δ c ∗ = F (k ∗ ) − δk ∗ M. Kolasa (SGH) Model Ramseya (15) (16) 17 / 36 Stan ustalony II Ilustracja (15) i (16) w przestrzeni (k, c): ct ct+1=ct c* kt+1=kt k* kG M. Kolasa (SGH) Model Ramseya kt 18 / 36 Zmodykowana zªota reguªa I Sk¡d wiemy »e k ∗ < kG ? Równanie (16) implikuje: F 0 (kG ) = δ Warunek transwersalno±ci (14) w stanie ustalonym: lim k ∗ t→∞ Co implikuje: 1 F 0 (k ∗ ) + 1 − δ t =0 F 0 (k ∗ ) > δ Poniewa» F 00 (k) < 0 dla dowolnego k > 0 (neoklasyczna funkcja produkcji) mamy F 0 (k ∗ ) > F 0 (kG ) =⇒ k ∗ < kG M. Kolasa (SGH) Model Ramseya (17) 19 / 36 Zmodykowana zªota reguªa II Równowa»nie mo»na pokaza¢, »e stopa oszcz¦dno±ci w stanie ustalonym s ∗ jest ni»sza od tej implikowanej przez (niezmodykowan¡) zªot¡ reguª¦ (czyli maksymalizuj¡cej konsumpcj¦ w stanie ustalonym): Równanie (16) implikuje, »e stopa oszcz¦dno±ci w stanie ustalonym wynosi: s∗ = 1 − c∗ k∗ = δ F (k ∗ ) F (k ∗ ) Wykorzystuj¡c równanie (17) otrzymujemy: s ∗ < F 0 (k ∗ ) k∗ = α(k ∗ ) F (k ∗ ) Intuicja: gospodarstwa domowe s¡ niecierpliwe (β < 1). M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 20 / 36 Rola czynnika dyskontuj¡cego Wy»sza β oznacza wi¦ksz¡ cierpliwo±¢ gospodarstw domowych Z równania (15): Je±li β ro±nie, F 0 (k ∗ ) spada, co oznacza wzrost k ∗ Warunek ct+1 = ct przesuwa si¦ w prawo w przestrzeni (k, c) W efekcie mamy wzrost konsumpcji w stanie ustalonym Intuicja: bardziej cierpliwe gospodarstwa domowe oszcz¦dzaj¡ wi¦cej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 21 / 36 Spis tre±ci 1 Wst¦p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek gospodarki otwartej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 22 / 36 Diagram fazowy Z (12) mamy: k ≶ k ∗ =⇒ ∆c ≷ 0 Z (13) mamy: c ≶ F (k) − δk =⇒ ∆k ≷ 0 ct ct+1=ct c* kt+1=kt k* M. Kolasa (SGH) Model Ramseya kt 23 / 36 cie»ka siodªowa (stabilne rami¦) Warunek transwersalno±ci (14) determinuje c0 dla dowolnego k0 tak by gospodarka zmierzaªa do stanu ustalonego: ct+1=ct ct c* kt+1=kt c0 k0 M. Kolasa (SGH) k* Model Ramseya kt 24 / 36 Unikalno±¢ równowagi Sk¡d wiemy »e ±cie»ka siodªowa jest jedyn¡ równowag¡? Je±li c0 byªoby poni»ej zgodnego ze ±cie»k¡ siodªow¡: Kapitaª ostatecznie osi¡gn¡ªby swój maksymalny poziom oznacza k̄ > kG , co F 0 (k̄) < F 0 (kG ) = δ co jest niezgodne z warunkiem transwersalno±ci (14) gdy»: lim k̄ t→∞ 1 F 0 (k̄) + 1 − δ t =∞ Nieformalnie (ale intuicyjnie): na koniec horyzontu planowania gospodarstwa domowe posiadaj¡ warto±ciowe aktywa, co nie mo»e by¢ optymalne Je±li c0 byªoby powy»ej ±cie»ki siodªowej: Kapitaª ostatecznie osi¡gn¡ªby poziom 0, co oznaczaªoby drastyczny spadek konsumpcji do zera, co jest niezgodne z równaniem Eulera M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 25 / 36 Konwergencja W porównaniu z modelem Solowa, tempo zbie»no±ci do stanu ustalonego zale»y dodatkowo od zachowania stopy oszcz¦dno±ci Kluczowym parametrem jest θ ( Barro and Sala-i-Martin, 2004, ch. 2.6.4): 1 θ 1 θ 1 θ < s ∗ =⇒ st − s ∗ zale»y dodatnio od kt − k ∗ = s ∗ =⇒ st = s ∗ > s ∗ =⇒ st − s ∗ zale»y ujemnie od kt − k ∗ Intuicja (przypadek k0 < k ∗ , wi¦c c0 < c ∗ ): Je±li gospodarstwa domowe maj¡ siln¡ skªonno±¢ do wygªadzania konsumpcji (θ wysoka), staraj¡ si¦ j¡ przyspieszy¢ wiedz¡c, »e dochód b¦dzie wy»szy w przyszªo±ci Je±li gospodarstwa domowe maj¡ nisk¡ skªonno±¢ do wygªadzania konsumpcji (θ niska), godz¡ si¦ na jej odroczenie, dzi¦ki czemu gospodarka oszcz¦dza wi¦cej i szybciej zbiega do stanu ustalonego Dla standardowej parametryzacji 1θ > s ∗ , wi¦c model Ramseya implikuje relatywnie szybkie tempo zbie»no±ci do stanu ustalonego M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 26 / 36 Spis tre±ci 1 Wst¦p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek gospodarki otwartej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 27 / 36 Wªadze skalne Wydatki rz¡du: zakup dóbr i usªug gt (egzogeniczne, bez bezpo±redniego wpªywu na u»yteczno±¢ gospodarstw domowych) Dochody rz¡du: podatki proporcjonalne τ (kilka typów, staªe stawki dla uproszczenia) i zryczaªtowane vt , wszystkie nakªadane na gospodarstwa domowe Emisja dªugu bt po stopie rtg Ograniczenie bud»etowe rz¡du gt + (1 + rtg )bt−1 = τw wt lt + τk rk,t kt + τc ct + τi it + vt + bt (18) Rz¡d prowadzi odpowiedzialn¡ polityk¦, tzn. jest wypªacalny: lim t→∞ bt+1 t Y s=1 1 1 + rsg ! ≤0 (19) Wypªacalno±¢ oznacza, »e warto±¢ bie»¡ca netto wydatków rz¡dowych jest równa warto±ci bie»¡cej netto dochodów M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 28 / 36 Zmodykowane problemy agentów Problem rm bez zmian Brak bezpo±redniego wpªywu rz¡du na u»yteczno±¢ gospodarstw domowy oznacza, »e cel maksymalizacji jest ci¡gle zadany przez (5) Zmodykowane ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych (1−τw )wt lt +(1−τk )rk,t kt +(1+rtg )bt−1 = (1+τc )ct +(1+τi )it +vt +bt (20) Zmodykowany warunek transwersalno±ci: lim t→∞ M. Kolasa (SGH) kt+1 t Y s=1 1 (1 − τk )rk,s + 1 − δ Model Ramseya ! ≥0 (21) 29 / 36 Charakterysytka równowagi Równowaga w przestrzeni (c, k) opisana jest nast¦puj¡cymi 3 równaniami: Równanie Eulera: ct+1 ct θ =β 1 + (1 − τk )F 0 (kt+1 ) − δ (1 + τi ) (22) Akumulacja kapitaªu: kt+1 = (1 − δ)kt + F (kt ) − ct − gt (23) Warunek transwersalno±ci: lim t→∞ M. Kolasa (SGH) kt+1 t Y s=1 1 (1 − τk )F 0 (kt+1 ) + 1 − δ Model Ramseya ! =0 (24) 30 / 36 Ekwiwalencja Ricardia«ska Brak ryzyka niewypªacalno±ci rz¡du oraz doskonale funkcjonuj¡ce rynki nansowe implikuj¡ rt = rtg , gdzie rt ≡ (1 − τk )F 0 (kt ) − δ Wówczas, po uwzgl¦dnieniu ograniczenia bud»etowego rz¡du, ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych mo»na zapisa¢ jako: wt lt + rk,t kt = ct + it + gt (25) A wi¦c, je±li proporcjonalne stawki podatkowe s¡ staªe, nie ma znaczenia czy wzrost wydatków rz¡dowych nansujemy emisj¡ dªugu, czy te» wzrostem podatków zryczaªtowanych Inne kluczowe zaªo»enie modelu dla ekwiwalencji: niesko«czony horyzont optymalizacji gospodarstw domowych (brak mo»liwo±ci przerzucenia ci¦»aru skalnego na przyszªe pokolenia) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 31 / 36 Spis tre±ci 1 Wst¦p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek gospodarki otwartej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 32 / 36 Zaªo»enia Rozpatrujemy maª¡ otwart¡ gospodark¦, która nie ma wpªywu na reszt¦ ±wiata Kraj mo»e po»ycza¢ od / inwestowa¢ w gospodark¦ zagraniczn¡ po stopie r ∗ Kraj jest bardziej niecierpliwy ni» zagranica: 1 + r ∗ < β1 W przeciwnym wypadku kraj zakumulowaªby tyle aktywów zagranicznych, »e zªamane zostaªoby zaªo»enie o maªej gospodarce M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 33 / 36 Zmodykowane problemy agentów Przedsi¦biorstwa bez zmian Gospodarstwa domowe mog¡ handlowa¢ z zagranic¡ obligacj¡ bt∗ , daj¡c¡ stop¦ zwrotu r ∗ Ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych ∗ ∗ wt lt + rk,t kt + (1 + r ∗ )bt− 1 = ct + it + bt M. Kolasa (SGH) Model Ramseya (26) 34 / 36 Charakterystyka równowagi Warunki optymalno±ci gospodarstw domowych i rm implikuj¡: F 0 (kt ) = rk,t = r ∗ + δ ct+1 θ = β(1 + r ∗ ) ct ∗ bt+ 1 lim ≥0 t→∞ (1 + r ∗ )t (27) (28) (29) Wnioski: Brak dynamiki przej±ciowej - kapitaª natychmiast osi¡ga swój poziom w stanie ustalonym Oznacza to silny napªyw kapitaªu zagranicznego w momencie otwarcia gospodarki Je±li kraj jest mniej cierpliwy ni» zagranica (1+r ∗ < β1 ), konsumpcja pocz¡tkowo skokowo ro±nie, a nast¦pnie maleje w staªym tempie, ostatecznie zbiegaj¡c do zera Rachunek obrotów bie»¡cych: pocz¡tkowo du»y decyt (napªyw kapitaªu), nast¦pnie nadwy»ki M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 35 / 36 Ograniczenie kredytowe Gospodarka krajowa po otwarciu zadªu»a si¦ za granic¡ Zadªu»enie zagraniczne ostatecznie osi¡ga warto±¢ równ¡ sumie kapitaªu oraz warto±ci bie»¡cej netto dochodów z pracy Spadaj¡cy prol konsumpcji po otwarciu oznacza, »e w pewnym momencie spada ona poni»ej poziomu sprzed otwarcia To stanowi silny bodziec do bankructwa, które si¦ opªaca, zwªaszcza je±li nie mo»na w praktyce wyegzekwowa¢ zabezpieczenia w postaci przyszªych dochodów z pracy Rozwi¡zanie: puªap dªugu zagranicznego na poziomie (cz¦±ci) zycznego kapitaªu −bt∗ ≤ akt (30) gdzie 0 < a ≤ 1 M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 36 / 36