1. Dane są przestrzenie unormowane X := C(a, b], R, · sup) i Y

1. Dane są przestrzenie unormowane X := C(a, b], R, · sup) i Y

Zadania na ocenę DOSTATECZNĄ Z Analizy Funkcjonalnej II
Studenci, którzy wyrażą wolę pisania pierwszego lub pierwszego poprawkowego kolokwium złożonych z
zadań z tej listy, mogą, w razie zaliczenia, otrzymać ocenę co najwyżej dostateczną, bez możliwości
poprawy na wyższą ocenę.
Odpowiedzi na zadania, które nie wymagają rachunków, zawarte są w gruncie rzeczy w Szkielecie
Notatek do wykładu, który przesłany został studentom drogą elektroniczną. Jeżeli aby rozwiązać
zadanie trzeba przeprowadzić jakieś rachunki, to są one elementarne i nie sprawiają żadnych
trudności. Jeśli uzasadnienie odpowiedzi nie polega na wykonaniu (zawsze elementarnych!!)
rachunków, polecenie „uzasadnić" oznacza przytoczenie odpowiedniego twierdzenia (a twierdzenie ma,
jak wiadomo, założenie i tezę). Zakładam przy tym (co naturalne) znajomość materiału omawianego
na Analizie Funkcjonalnej I.
1. Dane są przestrzenie unormowane X := C(a, b], R, k · ksup ) i Y – przestrzeń macierzy wymiaru
m × n ze standardową normą. Przestrzeń Y posiada własności:
(i) domknięcie dowolnej kuli o promieniu
3
2
jest zwarte;
(ii) przestrzeń Y jest przestrzenią Banacha;
(iii) dowolna podrzestrzeń przestrzeni Y jest przestrzenią unormowaną zupełną.
(a) które z powyższych własności posiada również przestrzeń X? Uzasadnić;
(b) której z powyższych własności przestrzeń X nie posiada? Uzasadnić.
2. Niech X – przestrzeń wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej 7-mego, określonych na
odcinku [−1, 18], o wartościach w C. Na przestrzeni tej określony jest pewien funkcjonał liniowy f .
Czy f ∈ X ∗ ? Uzasadnić.
3. Niech X będzie przestrzenią wszystkich czteroelementowych ciągów liczb rzeczywistych z normą
euklidesową, zaś Y – przestrzenią macierzy wymiaru 2 × 2 o wyrazach rzeczywistych. Czy X i
Y są izomorficzne? Uzasadnić.
4. Niech X := C([0, 1], R) z normą supremum. Ponadto niech
(i) Y – przestrzeń wszystkich wielomianów na [0, 1] z normą supremum;
(ii) Z – przestrzeń wszystkich wielomianów na [0, 1] stopnia mniejszego lub równego 7 (też z
normą supremum).
Czy Y jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni X? Czy Z jest domkniętą podprzestrzenią
przestrzeni X? Uzasadnić.
5. Niech X = L2 ([0, b], R), b > 0. Niech Y – przestrzeń wszystkich wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego określonych na odcinku [0, b], b > 0, o wartościach w R. W Y wprowadzamy
normę:
s
Rb
∀y ∈ Y kykY :=
|y(t)|2 dt. Czy Y jest podprzestrzenią przestrzeni X? Uzasadnić. Czy Y z
0
tą normą jest domknięty w X? Uzasadnić
6. Niech X := C([0, 1], R) z normą kxk :=
R1
|x(t)|dt. Niech
0
A := {X 3 y : kyk ≤ 3}.
Czy zbiór A jest wypukły? Czy zbiór A jest zwarty w X? Uzasadnić.
7. Niech X będzie przestrzenią unormowaną nad ciałem K. Niech A := {X 3 y : kyk = 1}.
(a) czy A jest zbiorem wypukłym? Uzasadnić.
(b) wiadomo, że A jest zbiorem zwartym. Jakie jeszcze własności są równoważne temu, że A
jest zbiorem zwartym?
8. Niech X będzie przestrzenią unormowaną nad ciałem K i niech {ei } będzie ciągiem elementów
z X. Jakie warunki muszą być dodatkowo spełnione, aby własność clspan{ei : i ∈ N} = X była
∞
P
równoważna własności: ∀ x ∈ X kxk2 =
|(x, ei )|2 ?
i=1
9. Niech X będzie przestrzenią Hilberta, {ei } – przeliczalną bazą ortonormalną przestrzeni X.
Wybierzmy dowolnie element x ∈ X. Ile wynosi norma x wyrażona przez {ei }?
10. Niech X := L2 ([0, 1], C). Czy X posiada przeliczalną bazę ortonormalną? Uzasadnić.
11. Niech H będzie przestrzenią Hilberta, zaś (yn ) niech będzie ciągiem ortonormalnym w H.
(a) jaki jeszcze warunek (lub warunki) trzeba nałożyć na (yn ), aby był on przeliczalną bazą
ortonormalną w H?
(b) załóżmy, że dim H = ∞. Jaka własność jest równoważna temu, że H ma przeliczalną bazę
ortonormalną?
12. Podać definicję bazy Schaudera.
13. Czy przestrzeń l∞ ciągów liczbowych ograniczonych z normą supremum posiada bazę Schaudera?
Uzasadnić. W przypadku odpowiedzi pozytywnej podać przykład.
14. Niech X będzie przestrzenią Hilberta z przeliczalną bazą ortonormalną. Czy X ma bazę Schaudera?
Uzasadnić. W przypadku odpowiedzi pozytywnej podać przykład.
15. Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Czy X ∗∗ jest przestrzenią Banacha? Uzasadnić
(słownie, bez rachunków).
16. Podać definicję zanurzenia kanonicznego.
17. Podać definicję przestrzeni refleksywnej. Podać trzy przykłady przestrzeni, które nie są refleksywne i trzy przykłady przestrzeni, które są refleksywne.
18. Czy zanurzenie kanoniczne, którego dziedziną jest przestrzeń l1 , jest surjekcją? Uzasadnić.
19. Niech (X, Σ, µ) – przestrzeń z miarą σ-skończoną, X := L1 (X, Σ, µ). Czy zanurzenie kanoniczne określone na X jest surjekcją? Uzasadnić.
20. Czy zanurzenie kanoniczne określone na przestrzeni C([0, 1], R) z normą „supremum" jest surjekcją? Odpowiedź uzasadnić.
21. Sformułować twierdzenie Riesza – Frécheta.
22. Niech X będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią refleksywną, zaś Y – jej podprzestrzenią.
Czy Y jest refleksywna? Jeśli nie, to jakie warunki trzeba dołożyć, aby Y była refleksywna?
Uzasadnić.
23. Niech (X, Σ, µ) – przestrzeń z miarą σ-skończoną, X := L1 (X, Σ, µ). Opisać przestrzeń X ∗ .
24. (a) niech X := C([0, 1], R) z normą supremum. Na X określamy funkcjonał f wzorem:
Z1
∀x ∈ X f (x) :=
x(t)
dt.
+1
t2
0
Czy f jest liniowy i ograniczony? Odpowiedzi uzasadnić.
5
(b) niech X := L 3 ([0, 1], R) ze zwykłą normą. Jak wygląda przestrzeń druga sprzężona z X?
Z czego to wynika? Jaki stąd wniosek?
2
25. Niech X = L1 ([0, 2; 7, 8], R). Na X określamy funkcjonał f wzorem
Z7,8
3
f : X 3 x → f (x) := et x(t)dt ∈ R. Czy f ∈ X ∗ ? Uzasadnić. Czy X jest refleksywna?
0,2
26. Podać definicję zbioru wypukłego. Czy suma dwóch zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym?
Jeśli tak, wykazać to. Jeśli nie – podać odpowiedni kontrprzykład.
27. Czy zbiór
(
A :=
L1 ([2, 5], R) 3 f :
Z4
Z5
f (t)dt ≤
3
)
f (t)dt
2
jest wypukły? Odpowiedź uzasadnić.
28. Podać definicję zbioru wypukłego. Niech (X, k · k) będzie przestrzenią unormowaną. Wybierzmy
dowolnie i ustalmy element x0 ∈ X. Sprawdzić rachunkowo, czy zbiór A := {y ∈ X : kx0 − yk < 7k}
jest wypukły.
29. Niech X := L3 ([0, 1], Σ, µ) ze zwykłą normą, gdzie Σ – σ-algebra mierzalnych w sensie Lebesgue’a
podzbiorów odcinka [0, 1], µ – miara Lebesgue’a na tym odcinku.
(i) czy X jest przestrzenią Hilberta? Uzasadnić.
(ii) opisać przestrzeń X ∗ .
30. Podać definicję najlepszego przybliżenia z niepustego, wypukłego podzbioru przestrzeni Hilberta
H pewnego elementu x ∈ H.
31. Sformułować twierdzenie o istnieniu najlepszego przybliżenia z niepustego, wypukłego podzbioru
przestrzeni Hilberta H dla elementu x ∈ H.
√
32. Niech X := l2 ze standardową normą k · kl2 i ustalmy dowolny x ∈ X taki, że k xkl2 = 2.
Niech
∞
o
n
X
1
|tk |2 2 ≤ 1 .
A := X 3 y = (tk ) :
k=1
(i) czy x ∈ A? Uzasadnić.
(ii) ile punkt x ma najlepszych przybliżeń z A? Uzasadnić.
33. Niech Ω ⊂ R2 będzie kołem domkniętym o środku w punkcie (2, −3) i promieniu r = 6. Niech
(X, Σ, µ) – przestrzeń z miarą Lebesgue’a µ na Ω. Oznaczmy X := L2 (Ω, R). Określmy:
vZ
u
u
A := X 3 f : t |f (t)|2 dµ ≤ 43 .
Ω
Czy element x ∈ X zdefiniowany wzorem: ∀ t = (t1 , t2 ) ∈ Ω x(t) := 100e5t1 +2t2 ma najlepsze
przybliżenie ze zbioru A? Jeśli tak, to ile? Uzasadnić.
3
34. (a) Niech X = (R2 , k · ke ), k · ke jest normą euklidesową Niech A := {X 3 x : 2x1 − x2 ≤ 3}.
(i) czy A jest zbiorem wypukłym? Uzasadnić.
(ii) czy punkt P (2, −3) ma najlepsze przybliżenie ze zbioru A? Jeśli tak, to ile? Odpowiedzi
uzasadnić.
(b) niech X := L3 ([0, 1], R) ze zwykłą normą. Niech B – kula jednostkowa w tej przestrzeni.
Ponadto niech f będzie taką funkcją z X, że ∀t ∈ [0, 1] f (t) = 32 .
(i) czy f ∈ B? Uzasadnić.
(ii) czy f ma najlepsze przybliżenie ze zbioru B? Jeśli tak, to ile? Odpowiedzi uzasadnić.
35. Niech będą dane: przestrzeń X = l2 nad R, x0 := 2, 3, 12 , 31 , 14 , 15 , . . . , Y – zbiór tych wszystkich ciągów z X, które mają co najwyżej dziesięć pierwszych wyrazów różnych od zera (pozostałe
zawsze na pewno równe zero), Z := x0 + Y = {z = x0 + y : y ∈ Y }.
(a) sprawdzić, że x0 ∈ X;
(b) wykazać, że Z jest zbiorem wypukłym i domkniętym w X;
(c) wybierzmy dowolnie i ustalmy punkt w ∈ X. Co można powiedzieć o zbiorze PZ (w)?
Uzasadnić;
(d) jak zmieni się odpowiedź na pytanie w (c), jeśli zamiast przestrzeni X będzie przestrzeń
Y = l3 ? Odpowiedź uzasadnić.
2
36. Niech X = L2 ([0, π4 ]).
2
(a) sprawdzić, że funkcja f określona wzorem: ∀ t ∈ [0, π4 ]
p
f (t) := t sin(t2 ) jest elementem przestrzeni X;
(b) niech K będzie zbiorem wszystkich wielomianów stopnia co najwyżej trzeciego, określonych
2
na [0, π4 ]. Co można powiedzieć o zbiorze PK (f )? Uzasadnić.
(c) jak zmieni się odpowiedź na pytanie w (b), jeśli zamiast przestrzeni X będzie przestrzeń
2
Y = L4 ([0, π4 ])? Odpowiedź uzasadnić.
4