Statyka płynów - teoria

Statyka płynów - teoria
Na płyn będący w stanie spoczynku mogą działać siły:
- masowe,
- powierzchniowe.
Zależność między tymi siłami określa tzw. Równanie Eulera. Postać wektorowa tego równania
przedstawiono poniżej:
∙ ⃗=
( )
Powyższe równanie można zapisać w postaci trzech równoważnych mu równań skalarnych:
=
=
=
gdzie:
⃗ - wektor wypadkowych sił masowych,
X, Y, Z – współrzędne wektora ⃗
W przypadku, gdy na płyn nie działają siły masowe ( ⃗ = 0), Równanie Eulera przyjmuje postać:
( )=0
Powyższe równanie jest matematyczną postacią prawa Pascala. Jeżeli nie działają na płyn siły
masowe, to ciśnienie jest stałe w całej masie płynu. Prawo Pascala często stosowane jest także do
płynów, znajdujących się w polu sił masowych pomijalnie małych w stosunku do sił pochodzących od
ciśnień.
Płyn barotropowy (np.ciecz) znajduje się w równowadze w potencjalnym polu sił masowych:
⃗=
( )
Powierzchnie U(x,y,z) = const nazywane są powierzchniami ekwipotencjalnymi, ciśnienie na każdej z
tych powierzchni ma wartość stałą. Równanie:
=
∙
+
∙
+
∙
=0
jest więc równaniem różniczkowym powierzchni jednakowego ciśnienia. Rozkład ciśnień w płynie
wyznacza rozwiązanie równania różniczkowego:
=
∙
W zadaniach inżynierskich często spotyka się układy naczyń wzajemnie połączonych i wypełnionych
płynem. Do wyznaczenia ciśnień w takich naczyniach stosuje się tzw. prawo naczyń połączonych.
Cząstki cieczy należącej do tej samej i nieprzerwanej masy ciekłej i znajdującej się w tej samej
płaszczyźnie poziomej, podlegają jednakowemu ciśnieniu nawet wtedy, gdy płaszczyzna ta wykracza
poza obręb jednego naczynia.
Elementy pola dowolnej powierzchni zanurzonej w cieczy są poddane działaniu sił powierzchniowych
wywołanych panującym w cieczy ciśnieniem. Wypadkowa tych sił nazywana jest naporem
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - teoria
hydrostatycznym. Napór hydrostatyczny na płaską powierzchnię o dowolnym konturze i dowolnie
nachyloną określa zależność:
=
∙
∙ ∙
=
∙
∙
∙
gdzie:
A – pole zwilżalnej części powierzchni,
zS – głębokość zanurzenia środka geometrycznego powierzchni o polu A,
ρ – gęstość płynu.
Rysunek 1. Napór hydrostatyczny na płaską powierzchnię
Kierunek wektora naporu ⃗ jest prostopadły do powierzchni przegrody. Współrzędne środka naporu
(punkt zaczepienia wektora ⃗) określają wyrażenia:
=
=
+
=
+
+
∙
∙
∙
∙
gdzie:
Js – moment bezwładności powierzchni A względem osi przechodzącej przez środek geometryczny S
i równoległej do osi x,
DXsYs – moment odchylenia powierzchni A względem układu x, y od początku znajdującym się w
środku geometrycznym S,
zΣ – głębokość zanurzenia środka naporu.
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - teoria
Rysunek 2. Napór hydrostatyczny na ściany zanurzone
Napór hydrostatyczny na ściany zakrzywione wyznaczyć można z po obliczeniu składowej poziomej i
pionowej tego naporu.
- Składowa pozioma naporu ( ⃗) jest równa naporowi na ścianę płaską normalną do zwierciadła
cieczy i będącą rzutem rozpatrywanej ściany zakrzywionej.
- Składowa pozioma naporu ( ⃗) jest równa ciężarowi bryły cieczy, ograniczonej daną powierzchnia,
tworzącymi pionowymi, przechodzącymi przez kontur tej powierzchni i zwierciadłem cieczy.
Linia działania naporu pionowego
⃗ przechodzi przez środek ciężkości bryły ciekłej.
Linia działania naporu pionowego
⃗ przechodzi natomiast przez punkt Σ, którego współrzędne
wyznacza się podobnie jak w przypadku naporu na ścianę płaską.
Na przecięciu obu linii leży punkt zaczepienia naporu wypadkowego ⃗ (rys.2). Moduł i kierunek
wektora ⃗ określają wzory:
= ′∙
′∙
=
∙ ∙
=
∙
+
=
gdzie:
A’ – pole rzutu powierzchni zakrzywionej,
zs ’ – głębokość zanurzenia środka geometrycznego powierzchni A’,
V – objętość bryły cieczy.
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - teoria
Pływanie ciał
Ciało pływa na powierzchni cieczy wówczas, gdy jest spełniony warunek:
<
∙
∙
gdzie:
G – ciężar ciała,
V – objętość ciała,
ρ – gęstość cieczy
Zgodnie z prawem Archimedesa, na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu ⃗, której wartość jest
równa iloczynowi objętości części zanurzonej ciała Vz i ciężaru właściwego płynu:
=
∙
∙
W przypadku ciał pływających ciężar ciała ⃗ jest równoważony przez wypór ⃗.
Stateczność pływania jest zapewniona wówczas, gdy odległość metacentryczna m (rys.3) jest
dodatnia. Odległość meta centryczną uważa się za dodatnią wówczas, gdy punkt metacentryczny M
leży powyżej środka ciężkości ciała.
Rysunek 3. Stabilność pływania ciał
Warunek stateczności można określić równaniem:
=
±
>0
-a, gdy Sc leży powyżej Sw
+a, gdy Sc leży poniżej Sw
w równaniu:
Jmin – minimalny moment bezwładności przekroju pływania (przekroju ciała płaszczyzną styczną do
zwierciadła cieczy),
Vz – objętość części zanurzonej ciała,
a – odległość między środkiem ciężkości Sc i środkiem wyporu Sw (Sw – środek geometryczny części
zanurzonej ciała).
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń