Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu
Transkrypt
Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu
Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 2009) Szkoły podstawowe Wzorcowe rozwiązania Wzorcowe rozwiązania zadań Zestaw I Zadanie nr 1 Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od 13:00 do 19:00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o 13:00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Wzorcowe rozwiązanie zadania Dzielimy cały płot na 6 części. Jedną część Arek maluje w godzinę (całość od 13:00 do 19:00). W sobotę, do momentu przyjścia wujka Arek pomaluje dwie części płotu z sześciu. Z pozostałych czterech wujek pomaluje trzy zaś Arek jedną, gdyż wujek maluje trzy razy szybciej. Zatem zajmie im 2 to godzinę, gdyż Arek maluje jedną część z sześciu w godzinę. Ponieważ wujek przyszedł o godzinie 15,: więc Arek z wujkiem skończą malowanie o 16:00 Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o 16:00. Zadanie nr 2 Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie 51 minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko 11 minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ile czasu Lusia zaoszczędziła Kazikowi: 51 minut – 11 minut = 40 minut 3 Od chwili gdy Lusia zaczęła pomagać Kazikowi, Kazik obrał x ziemniaków, zaś Lusia obrała 4x ziemniaków. Gdyby nie Lusia, to Kazik by obierał 4x ziemniaków przez 40 minut czyli Kazik obiera x ziemniaków w 10 minut. Zatem w ciągu 11 minut Kazik obierał ziemniaki: 10 minut z Lusią 1 minutę sam Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po 1 minucie samotnej pracy Kazika. Zadanie nr 3 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/2009, etap III, SP Treść zadania Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie 6:00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie 13:30. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie 11:00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od 6:00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. 4 Wzorcowe rozwiązanie zadania Skład ma 8 elementów. Pierwszy element składu to lokomotywa. Drugi i ósmy element składu to wagon klasy 2. Możliwe składy pociągu: Wagon Wars na 3 pozycji: L2W1 122 2 L2W1 212 2 L2W1 221 2 Wagon Wars na 7 pozycji: L2 122 1W2 L2 212 1W2 L2 221 1W2 Wagon Wars na 4 pozycji: L21W2 12 2 L21W2 21 2 L22W1 12 2 L22W1 21 2 Wagon Wars na 4 pozycji: L2 1 1W2 2 2 L2 2 1W2 1 2 L2 1 2W1 2 2 L2 2 2W1 1 2 Wagon Wars na 5 pozycji: L2 12 1W2 2 L2 21 1W2 2 L2 12 2W1 2 L2 21 2W1 2 37 Powyższe 4 sytuacje zawierają wszystkie możliwe pozycje czerwonych spódnic na wieszaku: Zatem liczba możliwości powieszenia ubrań to suma możliwości rozpatrywanych przypadków: 4 + 7 + 7 + 4 = 11 + 11 = 22 Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na 22 sposoby. Zadanie nr 14 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/2009, etap III, SP Treść zadania Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu L2W12122, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", 1 - wagon z miejscami klasy "1", 2 - wagon z miejscami klasy "2". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "1" z jednej strony oraz z wagonem klasy "2" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "2" 36 Wzorcowe rozwiązanie zadania Od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego kolegę działkowicz wykonał pracę x, zaś młodszy kolega 2x. Gdyby nie młodszy kolega to działkowicz musiałby wykonać pracę 2x między 11:00 a 13:30, czyli w ciągu 2h 30min (150 minut) . Skoro pracę 2x działkowicz wykonuje w 150 minut to pracę x wykonuje w 75 minut czyli 1h 15minut. Otrzymujemy, że od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego kolegę do zakończenia pracy przez nich obydwu, działkowicz wykonał pracę x w ciągu 1h 15minut. Ponieważ pracę zakończyli o godzinie 11:00, więc młodszy kolega przyszedł o: 11:00 – 1h 15min = 9:45 Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie 9:45. 5 Zestaw II Zadanie nr 4 Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach: 1. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę 2. Kartki oddaje się do sędziego 3. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci 4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od 1 do 200 5. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od 1 do 200 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: 15 6 G – granatowy sweter C – czerwona spódnica Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 2 i 3 to mamy cztery następujące możliwe ustawienia pozostałych ubrań: GCCZ G ZGZZ GCCZ G ZZGZ GCCZ G ZZZG ZCCZ G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 3 i 4 to mamy siedem następujących możliwych ustawień pozostałych ubrań: GZCC G ZGZZ GZCC G ZZGZ GZCC G ZZZG ZGCC G ZGZZ ZGCC G ZZGZ ZGCC G ZZZG ZZCC G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 6 i 7 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic 3 i 4 czyli siedem możliwych ustawień pozostałych ubrań. Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 7 i 8 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic 2 i 3 czyli cztery możliwe ustawienia pozostałych ubrań. 35 Czerwony żołnierz może być na pozycjach od 1 do 6. Każda z nich daje 10 ustawień pozostałych żołnierzy analogicznie jak powyżej. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy jest 6 * 10 = 60. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 60 sposobów. Zadanie nr 13 Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: • cztery takie same zielone bluzki • trzy takie same granatowe swetry • dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak – ma określone zasady: • czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem – jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu • grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Wzorcowe rozwiązanie zadania Z – zielona bluzka 34 Adrian: 25 Cyprian: 10 Sędzia wylosował następującą wypisywania liczb na tablicy: 1. Adrian 2. Basia 3. Cyprian kolejność Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Wzorcowe rozwiązanie zadania Ilość liczb wypisanych przez Adriana 200 : 25 = 8 Liczby dopisane przez Basię Ilość wielokrotności 15: 200 : 15 = 13 reszty 5 Liczby których Basia nie dopisała to liczby podzielne przez 15 i 25: 15 3 25 5 5 5 5 5 1 1 NWW(15,25) = 3 * 5 * 5 = 3 * 25 = 75 Ilość wielokrotności 75 200 : 75 = 2 reszty 50 Ilość liczb dopisanych przez Basię: 13 – 2 = 11 Liczby dopisane przez Cypriana 7 Ilość wielokrotności 10: 200 : 10 = 20 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisał je Adrian to liczby podzielne przez 10 i 25: 10 2 2 5 1 25 5 5 5 1 NWW(10,25) = 2* 5 * 5 = 2 * 25 = 50 Ilość wielokrotności 50: 200 : 50 = 4 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisała je Basia to liczby podzielne przez 10 i 15: 10 2 15 3 2 5 5 5 1 1 NWW(10,15) = 2* 5 * 3 = 2 * 15 = 30 Ilość wielokrotności 30: 200 : 30 = 6 reszty 20 Liczby policzone dwukrotnie jako niedopisane przez Cypriana – jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię: 10 2 2 5 1 15 3 5 5 1 25 5 5 5 1 NWW(10,15,25) = 2* 5 * 3 * 5 = 10 * 15 = 150 Ilość wielokrotności 150 (policzone podwójnie jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię): 200 : 150 = 1 reszty 50 Ilość liczb wypisanych przez Cypriana: 8 Zestaw V Zadanie nr 12 Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim 6 żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: • jeden żołnierz ma kolor czerwony • dwóch żołnierzy ma kolor granatowy • trzech żołnierzy ma kolor zielony Wzorcowe rozwiązanie zadania Gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer 1 to na pozostałych pozycjach możemy ustawić granatowych i zielonych żołnierzy na 4 + 3 + 2 + 1 = 5 + 5 = 10 sposobów: CNNZZZ CNZNZZ CNZZNZ CNZZZN CZNNZZ CZNZNZ CZNZZN CZZNNZ CZZNZN CZZZNN 33 Wymiary prostokąta obliczamy jako: Szerokość: 5 + 4 = 9 Wysokość: 5 + 6 = 11 20 – 4 – 6 + 1 = 20 – 10 + 1 = 10 +1 = 11 Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała 11 liczb. Cyprian dopisał 11 liczb. 9 4 5 5 5 4 4 4 5 11 6 6 6 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 6 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale Pole prostokąta: P = 11 * 9 = 99 Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach: 1, 4, 5 oraz 6. Pole prostokąta wynosi 99. 32 9 Zadanie nr 5 Bok lewego górnego kwadratu to 4+1 = 5: 1. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez 6 w zakresie 10 000. 2. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 10 w zakresie 10 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy. 3. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 10 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? 4 5 Treść zadania 5 5 10 4 4 5 6 6 Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ilość zielonych liczb podzielnych przez 6 w zakresie 1 do 10 000: 10 000 : 6 = 1 666 reszty 4 Zielonych liczb jest 1 666. Ilość czerwonych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 10 w zakresie 1 do 10 000: 10 000 : 10 = 10 00 Obliczam ilość liczb podzielnych przez 10 i 6 w zakresie od 1 do 10 000: NWW(6,10) = 30 10 000 : 30 = 333 reszty 10. Liczb podzielnych przez 30 w zakresie od 1 do 10 000 jest 333. 4 6 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 6 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 Z sumy długości boków małych kwadratów jednostkowych otrzymujemy długości boków kwadratów: lewego dolnego i prawego górnego. 4 4 4 4 1 6 6 6 6 30 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Liczb podzielnych przez 10 a niepodzielnych przez 6 w zakresie od 1 do 10 000 jest 1 000 – 333 = 667 Czerwonych liczb nauczyciel dopisał 667 Ilość granatowych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 w zakresie 1 do 10 000: 10 000 : 8 = 125 Obliczam ilość liczb podzielnych przez 6 i 8 w zakresie od 1 do 10 000: NWW(6,8) = 24 10 000 : 24 = 416 reszty 16 Liczb podzielnych przez 24 w zakresie od 1 do 10 000 jest 416. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 i 10 w zakresie od 1 do 10 000: NWW(8,10) = 40 10 000 : 40 = 250 Liczb podzielnych przez 40 w zakresie od 1 do 10 000 jest 250. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 6, 8 i 10 w zakresie od 1 do 10 000: NWW(6,8,10) = 120 10 000 : 120 = 83 reszty 40 Liczb podzielnych przez 120 w zakresie od 1 do 10 000 jest 83. Granatowych liczb nauczyciel dopisał: 1 250 – 416 – 250 + 83 = 1 250 – 666 + 83 = 584 + 83 = 67. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał 166 zielonych liczb, 67 czerwonych liczb, 67 granatowych liczb 11 Zadanie nr 6 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/2009, etap III, SP Treść zadania Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od 1 do 120 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania – wszystkie liczby podzielne przez 5, drugi w kolejności Wojtek – skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4, ostatni Antek – skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 3. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ilość liczb które skreśliła Ania: 120 : 5 = 24 Obliczam ilość liczb które, skreślił Wojtek: 120 : 4 = 30 Od wyniku odejmuję liczby skreślone przez Anię: NWW(4,5) = 20 120 : 20 = 6 Czyli Wojtek skreślił następującą ilość liczb: 30 – 6 = 24 12 Wzorcowe rozwiązanie zadania Ponieważ pole czarnego kwadratu wynosi 1 więc bok tego kwadratu również wynosi 1, gdyż: 1*1=1 Wszystkie małe kwadraciki zaznaczone na szaro poniżej są przystające gdyż mają przynajmniej jeden bok wspólny. Zatem ich boki mają również długość 1. 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29 Zadanie nr 11 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/2009, etap III, SP Treść zadania Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi 1. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. Obliczam ilość liczb które, skreślił Antek: 120 : 3 = 40 Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale już skreśliła Ania: NWW(3,5) = 15 120 : 15 = 8 Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale już skreśliła Wojtek: NWW(3,4) = 12 120 : 12 = 10 Obliczam ilość liczb które policzyłem dwukrotnie jako skreślone przez Anię i Wojtka: NWW(3,4,5) = 60 120 : 60 = 2 Ilość liczb skreślonych przez Antka: 40 – 8 – 10 + 2 = 30 – 8 + 2 = 22 + 2 = 24 Obliczam ile liczb pozostało na tablicy: 120 – 24 – 24 – 24 = 96 – 24 – 24 = 72 – 24 = 48 Odpowiedź: Ania skreśliła 24 liczby, Wojtek skreślił 24 liczb, Antek skreślił 24 liczby. Pozostało 48 nieokreślonych liczb. 28 13 Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: Zestaw III 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 Zadanie nr 7 9 Treść zadania 9 Składając 3 jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 864 cm2. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając 3 małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? 9 9 9 9 6 6 12 9 12 21 6 6 24 6 3 3 3 33 3 3 3 9 12 9 6 9 9 9 12 9 9 42 9 9 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 24 9 18 21 21 18 18 18 18 18 Wzorcowe rozwiązanie zadania 18 21 Rysunek 18 57 3x 3x 3x x x x x 3x 3x 3x 3x 9x 3x x 14 27 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 9 9 9 9 9 12 6 12 9 9 9 12 21 6 6 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 24 24 6 9 9 21 Ps = 3x ⋅ 3x = 9 x 2 Pole powierzchni całego sześcianu: Pp = Ps = 6 ⋅ 9 x 2 = 54 x 2 9 24 9 18 21 Obliczam pole powierzchni sześcianu Pole powierzchni pojedynczej ściany: 24 6 3 3 3 33 3 3 3 9 12 9 9 6 9 18 18 18 18 Obliczam x. 18 Pp = 54 x 2 = 864cm 2 54 x 2 = 864cm 2 |: 54 21 18 18 Teraz obliczamy długości boków prostokąta: Długość: 21 + 18 + 18 = 39 + 18 = 57 Wysokość: 21 + 9 + 9 + 3 = 30 + 12 = 42 864 2 cm 54 432 2 = cm 27 48 = cm 2 3 x2 = x2 x2 x 2 = 16cm 2 x = 4cm lub x = −4cm Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x = 4 cm. Obliczam pole powierzchni dużego prostopadłościanu Pole ściany 9x na 3x: P1 = 9 x ⋅ 3 x = 27 x 2 26 15 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 Pole ściany 9x na x: P2 = 9 x ⋅ x = 9 x 2 9 9 Pole ściany 3x na x: P3 = 3x ⋅ x = 3x 9 9 Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: 2 9 9 12 6 12 9 12 2 Pd = 2 ⋅ P1 + 2 ⋅ P2 + 2 ⋅ P3 = 2 ⋅ 27 x + 2 ⋅ 9 x + 2 ⋅ 3 x = 6 6 6 24 3 3 3 33 3 3 3 9 12 9 2 6 9 9 9 9 9 2 9 9 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 24 9 = 54 x 2 + 18 x 2 + 6 x 2 = 72 x 2 + 6 x 2 = 78 x 2 Podstawiam x = 4 cm: Pd = 78 x 2 = 78 ⋅ (4cm) 2 = 78 ⋅16cm 2 = 1248cm 2 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 1248 cm2. 9 9 9 9 9 9 9 12 6 12 9 9 9 12 21 6 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 21 6 6 24 3 3 3 33 3 3 3 9 12 9 9 6 9 9 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 9 24 21 21 16 25 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 6 6 6 6 Zadanie nr 8 3 3 3 33 3 3 3 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/2009, etap III, SP 9 6 6 6 6 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 Treść zadania Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej 252 lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. 9 9 Wzorcowe rozwiązanie zadania Rysunek 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 9 9 9 6 9 9 9 6 9 6 24 9 3 3 3 33 3 3 3 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 x 2x 24 9 24 2x 2x 2x 24 9 9 2x 2x 6 9 2x 6 4x x Obliczam pole powierzchni prostopadłościanu: Pole ściany 4x na 2x: x x 2x ( Pd ) dużego P1 = 4 x ⋅ 2 x = 8 x 2 Pole ściany 4x na x: P2 = 4 x ⋅ x = 4 x 2 Pole ściany 2x na x: P3 = 2 x ⋅ x = 2 x 2 24 17 Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: 2 2 Pd = 2 ⋅ P1 + 2 ⋅ P2 + 2 ⋅ P3 = 2 ⋅ 8 x + 2 ⋅ 4 x + + 2 ⋅ 2 x 2 = 16 x 2 + 8 x 2 + 4 x 2 = 24 x 2 + 4 x 2 = = 28 x 2 Pd = 28 x 2 = 252 Wzorcowe rozwiązanie zadania Ponieważ pole kwadracika wynosi 9, więc bok kwadracika wynosi 3. Z przystawania kwadratów, wynika, że boki wszystkich poniższych kwadracików wynoszą 3: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 28 x 2 = 252 |: 28 252 28 63 x2 = 7 x2 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x2 = 9 x = 3 lub x = −3 Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x = 3 . Objętość sześcianu: V = (2 x ) 3 = 23 ⋅ x 3 = 8 x 3 Ponieważ x = 3 więc otrzymujemy: Z sumy odcinków i przystawania kwadratów wnioskujemy w kolejnych krokach następujące długości boków: V = 8 x 3 = 8 ⋅ 33 = 8 ⋅ 27 = 216 Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi 216. 18 23 Zatem pole niebieskiego kwadratu to: 11 * 11 = 121 Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze 121 kwadracików. Zestaw IV Zadanie nr 9 Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Zadanie nr 10 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi 9, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. 9 9 Wzorcowe rozwiązanie zadania 9 22 Poniższe kwadraciki są przystające (każde dwa mają wspólny bok) zatem maja równe pola: 19 Bok pogrubionego kwadratu składa się z 6 kwadracików: 6 Poniższe pogrubione kwadraty mają boki złożone z dwóch szarych kwadracików, zaś ich pole składa się z 4 kwadracików: Bok niebieskiego kwadratu to 11 kwadracików: 2 2 11 2 20 21