1 Podziały symplicjalne. Lemat Spernera i jego

1 Podziały symplicjalne. Lemat Spernera i jego

1
1
PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE.
Podziały symplicjalne. Lemat Spernera i jego konsekwencje.
1.1
Pojęcia afiniczne
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad R
Definicja 1.1
P
P
Niech F = {v1 , . . . , vn } ⊆ V i niech v = k tk vk przy czym k tk = 1 wtedy v nazywamy afiniczną
kombinacją wektorów {vk }k i mówimy, że v jest geometrycznie zależny do F .
Podzbiór V zamknięty za względu na afiniczne kombinacje nazyamy podprzestrzenią afiniczną.
Fakt 1.2
Jeśli a ∈ A ⊆ V , to A jest podprzestrzenią afiniczną wtedy i tylko wtedy, gdy A−a jest podprzestrzenią
liniową
Niech S ⊆ V oznaczmy przez af f (S) najmniejszą podprzestrzeń afiniczną zawierającą S.
Fakt 1.3
Dla a ∈ S ⊆ V mamy
af f (S) − a = lin(S − a)
oraz

 X
af f (S) =
tk vk 
0≤k≤n
X
tk = 1, vk ∈ S, n ∈ N
0≤k≤n



Definicja 1.4
Wektory v1 , . . . , vn ∈ V są geometrycznie niezależne, gdy dla dowolnego 1 ≤ k ≤ n wektory {vk −vj |j 6=
k, 0 ≤ j ≤ n} są lniowo niezależne
Fakt 1.5
Wektory v1 , . . . , vn ∈ V są geometrycznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
X
X
∀t1 , . . . , tn ∈ R
tk = 0,
t k vk = 0 ⇒ t 1 = . . . = t n = 0
k
k
Powiemy, że S ⊆ V jest gormetrycznie niezależny, gdy każdy skończony podzbiór S taki jest.
Fakt 1.6
Jeśli S ⊆ Rn jest geometrycznie niezależny, to |S| ≤ n + 1
Podprzestrzeń afiniczna w V ma wymiar m, gdy jest rozpinana przez m + 1 geometrycznie niezależnych wektorów.
Fakt 1.7
Jeśli a0 , . . . , an ∈ V spełniają
ak+1 ∈
/ af f (a0 , . . . , ak ) k < n
to wektory a0 , . . . , an są geometrycznie niezależne
Definicja 1.8
Funkcja między przestrzeniami afinicznymi jest afiniczna, gdy zachowuje kombinacje afiniczne.
1
1.2
Sympleksy
1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE.
Fakt 1.9
Każda funkcja afiniczna f jest złożeniem funkcji liniowej i translacji: f = ξF η, gdzie F jest liniowa a
ξ i η są translacjami.
Wniosek 1.10
Każda funkcja afiniczna między podprzestrzeniami afinicznymi w Rn jest ciągła.
1.2
Sympleksy
Definicja 1.11
Niech a0 , . . . , am ∈ Rn będą geometrycznie niezależne. Zbiór


X

 X
λk = 1, λk ≥ 0
σ=
λk ak 

0≤k≤m
0≤k≤m
nazywamy sympleksem m-wymiarowym w Rn z wierzchołkami a0 , . . . , am . Zapisujemy wtedy σ =
a0 . . . am . Jeśli 0 ≤ j0 < . . . jk ≤ m, to sympleks aj0 . . . ajk nazywamy ścianą k-wymiarową sympleksu
a0 . . . am
Fakt 1.12
Jeśli x ∈ a0 . . . am , to x ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji wypukłek wektorów
a0 , . . . , am .
Funkcje λk = λk (x) (gdzie x ∈ a0 . . . am jest postaci x =
barycentrycznymi punktu x
P
k
λk (x)ak ) nazywamy współrzędnymi
Twierdzenie 1.13
Mamy
1. Sympleks σ = a0 . . . am ⊆ Rn jest podprzestrzenią zwartą.
2. Współrzędne barycentryczne λk : σ → [0, 1] są subkcjami ciągłymi
3. Każde dwa m-wymiarowe sympleksy są homeomorficzne
Lemat 1.14
diam(a0 . . . am ) = diam{a0 , . . . , am }
Definicja 1.15
Podziałem symplicjalnym sympleksu σ ⊆ Rn nazywamy rodziną P = {σ1 , . . . , σk } sympleksów w Rn
taką, że
S
(PS1) σ = P
(PS2) σj ∩ σi = ∅ lub σj ∩ σi jest wspólną ścianą σj oraz σi
(PS3) P zawiera wszystkie ściany każdego σk
Definicja 1.16
Średnicą podziały P nazywamy
mesh(P) = max (diam(σ))
σ∈P
2
1.3
Lemat Spernera*
1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE.
Środkiem ciężkości (lub barycentrum) sympleksu σ = a0 . . . am nazywamy
X
1
b(σ) =
ak
m+1
0≤k≤m
Jeżeli sigma1 jest ścianą właściwą σ2 , to piszemy σ1 < σ2
Twierdzenie 1.17
Niech będzie dany sympleks σ = a0 . . . am oraz niech σ0 > σ1 > . . . > σk będą ścianami σ. Wówczas
1. b(σ0 ), . . . b(σk ) są geometrycznie niezależne
2. rodzina wszystkich sympleksów postaci b(σ0 ) . . . b(σk ) tworzy podział symplicjalny.
Definicja 1.18
Podział wymplicjalny z twierdzenia (1.17) nazywamy podziałem barycentrzycznym sympleksu σ i
oznaczamy go przez B(σ).
Definicja 1.19
Określamy indukcyjnie k-ty podział barycentryczny sympleksu σ:
• B 0 = {π | π ≤ σ}
• B 1 = B(σ)
S
• B k+1 = π∈Bk B(π)
Twierdzenie 1.20
Niech σ będzie sympleksem m-wymiarowym. Wówczas zachodzi
1. Jeżeli (m − 1)-wymiarowy sympleks τ z podziały barycentrycznego sympleksu σ leży na ścianie
(m − 1)-wymiarowej sympleksu σ, to jest on ścianą tylko jednego sympleksu m-wymiarowego z
podziału barycentrycznego podziału σ
2. Jeżeli (m − 1) wymiarowy sympleks τ z podziału barycentrycznego sympleksu σ nie leży na (m −
1)-wymiarowej ścianie ścianie σ, to jest on ścianą dokładnie dwóch sympleksów m-wymiarowych
sympleksów z podziału barycentrycznego σ
Lemat 1.21
Jeśli B jest podziałem barycentrycznym m-wymiarowego sympleksu σ, to
m
diam(σ)
mesh(B) ≤
m+1
Wniosek 1.22
Jeżeli {B k k ∈ N} jest ciągiem kolejnych podziałów barycentrycznych sympleksu σ, to
lim mesh(B k ) = 0
k→∞
1.3
Lemat Spernera*
Lemat 1.23 (Sperner 1928)
Niech σ = a0 a1 . . . am będzie sympleksem i niech B k będzie jego k-tym podziałem barycentrycznym.
Niech V będzie zbiorem wierzchołków sympleksów z B k . Niech h : V → {0, 1, . . . m} będzie taka, że
h(v) ∈ {i0 , i1 , . . . , il } ⇔ v ∈ ai0 ai1 . . . ail
3
1.3
Lemat Spernera*
1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE.
Wtedy liczba r sympleksów z B k pokolorowanych przez h wszystkimi liczbami {0, 1, . . . , m} jest nieparzysta.
Uwaga 1.24
Zamiast podziału B k można w lemacie 1.23 wziąć dowolny podział symplicjalny sympleksu σ
Twierdzenie 1.25 (o zamocowaniu)
Niech dany będzie sympleks σ = a0 a1 . . . am oraz jego domknięte podzbiory F0 , F1 , . . . Fm ⊆ σ takie,
że
[
ai0 ai1 . . . aik ⊆
Fij
0≤j≤k
Wtedy
T
k
Fk 6= ∅
Definicja 1.26
Przestrzeń topologiczna X ma własność punktu stałego (FPP), gdy każda funkcja ciągła f : X → X
ma punkt stały.
Twierdzenie 1.27 (Brouwer)
Każdy sympleks ma FFP.
Uwaga 1.28
Własność punktu stałego jest własnością topologiczną.
Definicja 1.29
Funkcję ciągłę r : X → Y ⊆ X nazywamy retrakcją, jeżeli r|Y = idY . Y nazywamy wtedy retraktem
X.
Uwaga 1.30
Jeżeli X ma FPP, to każdy retrakt X ma FPP.
Twierdzenie 1.31
Niech (X, ρ) będzie zwarta. Załóżmy, że
∀ε > 0 ∃rε : Xε ⊆ X (retrakcja) ρ(rε , idX ) < ε
(1)
Jeżeli każdy Xε z (1) ma FPP, to X również ma FPP.
Wniosek 1.32
Kostka Hilberta ma FPP.
Definicja 1.33
Zwarta przestrzeń jest AR, jeżeli jest retraktem każdej przestrzeni metrycznej (zwartej), w której jest
zawarta.
Twierdzenie 1.34
Przestrzeń metryczna zwarta X jest AR wtedy i tylko wtedy, gdy
∀Y (metryczna) ∀A = cl(A) ⊆ X ∀f : A → X ∃f : X → X f |A = f
Uwaga 1.35
Własność (2) jest własnością topologiczną.
4
(2)
1.3
Lemat Spernera*
1 PODZIAŁY SYMPLICJALNE. LEMAT SPERNERA I JEGO KONSEKWENCJE.
Wniosek 1.36
S n ⊆ Rn+1 nie jest retraktem kuli B n+1
Definicja 1.37
Przestrzeń zwarta metryczna X jest ANR, gdy jest retraktem pewnego otoczenia w każdej przestrzeni
metrycznej, w której X jest zawarta.
Twierdzenie 1.38 (o przegródkach)
Niech
Ai = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ [−1, 1]n | xi = −1}
oraz
Bi = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ [−1, 1]n | xi = 1}
n
Niech dodatkowo Ci ⊆ [−1, 1]n będzie takie,
Tn że [−1, 1] \ C1 = Ui ∪ Vi gdzie Ai ⊆ Ui , Bi ⊆ Vi oraz Vi
n
oraz Ui są otwarte w [−1, 1] . Wówczas i=1 Ci 6= ∅
5