P(A ∪ B )

Zadania
Arkusz 8
Rachunek prawdopodobieństwa
W poniższym zadaniu wykorzystać następujące własności:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B).
1. Przy podanych prawdopodobieństwach obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń:
Dane prawdopodobieństwa:
Prawdopodobieństwa do wyznaczenia:
a)
P (A) = 21 , P (B) = 23 , P (A ∪ B) =
P (A ∩ B), P (A \ B), P (B ∩ A0 )
b)
P (A0 ) = 32 , P (B) = 25 , P (A ∩ B)
P (A ∪ B), P (B \ A), P (A ∩ B 0 )
c)
P (A0 ) = 21 , P (A ∪ B) = 23 , P (A ∩ B) =
d)
P (B 0 ) = 34 , P (A ∩ B) = 15 , P (A ∪ B) =
e)
P (A0 ) = 21 , P (A ∩ B) = 25 , P (A0 ∩ B 0 ) =
f)
P (B 0 ) = 35 , P (A ∪ B) = 12 , P (A0 ∪ B 0 ) =
g)
P (A0 ) = 52 , P (B 0 ) = 47 , P (A ∩ B) =
P (B), P ((A ∪ B) \ A), P ((A ∪ B) \ B)
h)
P (A
P (A), P (A \ B)
i)
P (A
j)
P (A
P (A
k)
4
5
= 14
P (B), P (A ∩ B 0 ), P (A0 ∩ B)
1
3
1
3
P (A0 ), P (A \ B), P (B \ (A ∩ B))
P (B 0 ), P (A \ (A ∩ B))
1
3
3
4
P (A0 ), P (B \ (A ∩ B))
1
6
1
∪ B) = P (B) = 3 , P (A ∩ B) = 41
∩ B) = P (A) = 13 , P (A ∪ B) = 12
\ B) = P (B \ A), P (A ∪ B) = 34 ,
∩ B) = 14
P (B), P (B \ A)
P (B), P (A ∩ B 0 )
P (A \ (A ∩ B)) = P (B \ A), P (A ∪ B) =
P (A ∩ B) =
1
2
P (A), P (A0 ∩ B)
1
6
W poniższym zadaniu wykorzystać definicję zdarzeń niezależnych:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
2. Zdarzenia A i B są niezależne. Przy podanych prawdopodobieństwach obliczyć pozostałę
podane prawdopodobieństwa.
Dane prawdopodobieństwa:
1
3
= 23
Prawdopodobieństwa do wyznaczenia:
a)
P (A) = 21 , P (A ∩ B) =
P (B)
b)
P (B 0 ) = 14 , P (A ∩ B)
P (A)
c)
P (A) > 0, 2P (A) = 5P (A ∩ B)
P (B 0 )
3. Zdarzenia A i B 0 sa niezależne i P (A) > 0 oraz 4P (A) = 7P (A ∩ B). Obliczyć P (B 0 ).
4. W skład zarządu pewnej firmy wchodzi 17 osób, w tym 6 kobiet. Wśród kobiet dwie są
w wieku 40+, pozostałe w wieku 30 − 40. Wśród mężczyzn tylko jeden jest w wieku 40+.
Wybieramy losowo jedną osobę z zarządu tej firmy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a)
b)
c)
d)
Będzie
Będzie
Będzie
Będzie
to
to
to
to
mężczyzna;
kobieta w wieku 40+;
osoba w wieku 30 − 40 lat;
mężczyzna w wieku 30 − 40 lat.
1
Zadania
Arkusz 8
O d p o w i e d ź. a) 11/17; b) 2/17; c) 14/17; d) 10/17.
5. Wśród grupy studentów, liczącej 36 osób, 22 osoby uczą się języka angielskiego, a 19−
hiszpańskiego. Zakładamy, że tylko 3 studentów nie uczy się żadnego z tych języków obcych.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo jednego studenta z tej grupy, trafimy
na osobę, która :
a)
b)
c)
d)
e)
Uczy się języka hiszpańskiego;
Uczy się obydwu tych języków obcych;
Nie uczy się żadnego z tych języków;
Uczy się przynajmniej jednego z nich;
Uczy się tylko języka hiszpańskiego.
O d p o w i e d ź. a) 19/36; b) 8/36; c) 3/36; d) 33/36; e) 11/36.
6. Na trzydniowy wyjazd integracyjny wyjechało 87 pracowników pewnej firmy; w tym 19
kobiet. Spośród nich 10 musiało wrócić po jednym dniu. Wśród panów chętnych do wcześniejszego powrotu było tylko trzech. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana
osoba :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Wróci po jednym dniu;
Wróci w planowanym terminie;
Będzie mężczyzną i wróci po jednym dniu;
Będzie kobietą i wróci wcześniej;
Wróci z wyjazdu wcześniej, jeżeli wiadomo, że jest kobietą;
Wróci z wyjazdu w planowanym terminie, jeżeli wiadomo, że jest to mężczyzna.
O d p o w i e d ź. a) 13/87; b) 1 − 13/87; c) 3/87; d) 10/87; e) 10/19; f) 65/68.
7. Spośród 145 pracowników pewnej firmy (w tym 37 na stanowiskach kierowniczych),
z powodu redukcji etatów zostanie zwolnionych 16 osób (w tym zajmujących stanowisko
kierownicze). Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba:
a)
b)
c)
d)
Będzie osobą na kierowniczym stanowisku;
Zostanie zwolniona;
Zostanie zwolniona, jeśli wiadomo, że zajmuje kierownicze stanowisko;
Nie zostanie zwolniona, jeśli wiadomo, że nie zajmuje kierowniczego stanowiska.
Jak zmienią się odpowiedzi, gdy liczbę osób na stanowiskach kierowniczych zmniejszymy do
10?
O d p o w i e d ź. a) 37/145; b) 16/145; c) 16/37; d) 92/108.
8. Wykładowca przygotował na egzamin 56 pytań. Student jest przygotowany bardzo dobrze do odpowiedzi na 20 pytań, na kolejnych 17 - w stopniu dostatecznym, by zdać, ale nie
bardzo dobrze. Do odpowiedzi na pozostałe pytania student nie jest w ogóle przygotowany.
Na egzaminie student losuje jedno pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) Odpowie na to pytanie bardzo dobrze;
b) Nie zda egzaminu;
c) Zda egzamin, ale nie dostanie oceny bardzo dobrej.
O d p o w i e d ź. a) 20/56; b) 19/56; c) 17/56.
9. W sytuacji takiej samej, jak opisana powyżej, student losuje 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
2
Zadania
Arkusz 8
a) Odpowie bardzo dobrze na dwa pytania, a na jedno nie będzie znał odpowiedzi;
b) Odpowie w stopniu dostatecznym na dokładnie dwa z zadanych pytań (tzn. na pozostałe
nie odpowie);
c) Nie odpowie na żadne z wylosowanych pytań;
d) Odpowie na każde z pytań bardzo dobrze;
e) Odpowie w stopniu dostatecznym na co najmniej dwa pytania, co umożliwi mu zdanie
egzaminu, niezależnie od odpowiedzi na trzecie pytanie;
f) Uzyska inną ocenę z odpowiedzi na każde z wylosowanych pytań.
O d p o w i e d ź. a) 20/56 · 19/55 · 19/54; b) 17/56 · 16/55 · 19/54; c) 19/56 · 18/55 · 17/54;
d) 20/56 · 19/55 · 18/54; e) 17/56 · 16/55; f) 1/20 · 1/17 · 1/19.
10. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a)
b)
c)
d)
Na drugiej monecie wypadnie orzeł;
Tylko na drugiej monecie wypadnie orzeł;
Na każdej monecie wypadnie reszka lub na każdej - orzeł;
Na (dokładnie) dwóch monetach wypadnie orzeł.
O d p o w i e d ź. a) 1/2; b) 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8; c) 1/4; d) 3/8.
11. Na pewnym odcinku drogi samochód przejeżdża przez trzy skrzyżowania z niezsynchronizowaną sygnalizacją świetlną. Prawdopodobieństwa, że nie zatrzyma się na poszczególnych
skrzyżowaniach są równe odpowiednio 0, 6; 0, 5; 0, 65. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) Przejechania bez zatrzymania przez wszystkie trzy skrzyżowania;
b) Przejechania bez zatrzymania tylko przez dwa pierwsze skrzyżowania;
c) Zatrzymania się na pierwszym i drugim skrzyżowaniu, i przejechania bez zatrzymywania
przez ostatnie.
O d p o w i e d ź. a) 0, 6 · 0, 5 · 0, 65 = 0, 195; b) 0, 6 · 0, 5 · (1 − 0, 65) = 0, 105;
c) (1 − 0, 6) · (1 − 0, 5) · 0, 65 = 0, 13.
12. Okrągła tarcza składa się z trzech stref. Prawdopodobieństwo trafienia do pierwszej
strefy jest równe 0, 2; do drugiej - 0, 3; do trzeciej - 0, 4. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) Trafienia w tarczę;
b) Trafienia, ale nie do I strefy;
c) Nietrafienia do tarczy.
O d p o w i e d ź. a) 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 = 0, 9; b) 0, 3 + 0, 4 = 0, 7; c) 1 − 0, 9 = 0, 1.
Schemat Bernoullego
13. Prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez przekaźnik jest równe 0, 9. Oblicz
prawdopodobieństwo, że z kolejnych 10 sygnałów, 8 zostanie przekazanych przez ten przekaźnik.
O d p o w i e d ź. a)
10
8
· (0, 9)8 · (0, 1)2 = 0, 1937.
14. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy przez pewnego strzelca jest równe 0, 85 w
każdym ze strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie przez tego strzelca
trafiona tylko 3 razy w ciągu 8 strzałów.
O d p o w i e d ź.
8
3
· (0, 85)3 · (1 − 0, 85)5 = 0, 0026.
3
Zadania
Arkusz 8
15. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez wykładowcę podczas jednego wykładu
jest równe 1/7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wykładowca ten:
a) Popełni trzy błędy w ciągu semestru? Uwaga - jeden semestr to 15 wykładów.
b) Nie popełni ani jednego błędu w czasie semestru;
c) Popełni co najmniej dwa błędy w czasie semestru.
3 12
0 15
15
15
1
6
·
·
=
0,
2086;
b)
· 17 · 67
3
0
7
7
0 15 1 14 1 − 15 · 1 · 6
+ 15 · 1 · 6
= 0, 6534.
O d p o w i e d ź. a)
c)
0
7
7
1
7
= 0, 099;
7
16. Siła kiełkowania pewnej rośliny (czyli prawdopodobieństwo wykiełkowania rośliny z
jednego nasionka) wynosi 0, 74. Oblicz prawdopodobieństwo, że spośród 16 zasianych nasion
a) Trzy wykiełkują;
b) Wszystkie wykiełkują;
c) Wykiełkuje co najmniej 13.
O d p o w i e d ź. a)
16
3
13
·(0, 74)3 ·(1−0, 74)13 = 0, 0000056; b)
0, 0081; c) 16
· (0, 74) · (0, 26)3 +
13
(0, 74)16 · (0, 26)0 = 0, 3697.
16
14
· (0, 74)14 · (0, 26)2 +
16
16
16
15
·(0, 74)16 ·(1−0, 74)0 =
· (0, 74)15 · (0, 26)1 +
16
16
·
17. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najwyżej pięciu orłów w serii 7 rzutów
monetą.
O d p o w i e d ź. 1 −
7
6
· (0, 5)6 · (0, 5)1 +
7
7
· (0, 5)7 · (0, 5)0 = 0, 9375.
18. Prawdopodobieństwo, że student będzie umiał odpowiedzieć na wylosowane na egzaminie pytanie, jest równe 5/8. Wiadomo, że student losuje trzy pytania i zdaje egzamin,
jeśli odpowie na co najmniej dwa z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu
przez tego studenta?
O d p o w i e d ź.
2 1
3
3
5
8
2
8
+
3 0
3
5
3
3
8
8
=
350
.
504
19. Robotnik obsługuje cztery jednakowe warsztaty funkcjonujące automatycznie i niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny warsztat będzie wymagał interwencji robotnika jest równe 0, 8. Jakie jest Prawdopodobieństwo tego, że:
a) Żaden z warsztatów nie będzie wymagał interwencji robotnika;
b) Jeden (dokładnie) warsztat będzie wymagał interwencji;
c) Więcej, niż dwa warsztaty będą wymagały interwencji.
O d p o w i e d ź. a)
c)
4
3
(0, 8)3 (0, 2)1 +
4
4
4
0
(0, 8)0 (0, 2)4 = 0, 0016; b)
4
1
(0, 8)1 (0, 2)3 = 0, 0256;
(0, 8)4 (0, 2)0 = 0, 8192.
Prawdopodobieństwo warunkowe
20. Urzędnik bankowy wie, że 12% kredytobiorców traci pracę i przestaje spłacać kredyt w ciągu 5 lat. Wie też, że 20% kredytobiorców traci pracę w ciągu 5 lat. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że kredytobiorca przestanie spłacać kredyt, jeżeli straci pracę?
O d p o w i e d ź. P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B) = 12%/20% = 0, 6.
21. Student zdający egzamin na MBA musi napisać dwa testy - z matematyki (test A)
oraz z nauki o zarządzaniu (test B). Prawdopodobieństwo zdania testu A jest równe 0, 75,
4
Zadania
Arkusz 8
zaś prawdopodobieństwo zdobycia minimum punktów z obu testów wynosi 0, 5. Jakie student ma szanse na zdanie testu z zarządzania, jeśli wiadomo, że pomyślnie przeszedł test z
matematyki?
O d p o w i e d ź. P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B) = 0, 5/0, 75 = 0, 666.
22. 21% członków zarządu pewnej firmy otrzymuje najwyższe płace w firmie. 40% wszystkich członków zarządu to kobiety. Kobiety, pobierające najwyższe płace w firmie, stanowią
6, 4% wszystkich członków zarządu. Czy w tej firmie występuje dyskryminacja płci pod
względem płacy?
O d p o w i e d ź. P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B) = 6, 4%/40% = 0, 16 = 16%. Jest to
procent kobiet spośród wszystkich członków zarządu z najwyższymi dochodami. Ponieważ
16%<21%, to w firmie występuje dyskryminacja kobiet pod względem płacy.
23. Przedsiębiorstwo usług transportowych obiecuje dostarczenie dowolnej przesyłki następnego dnia rano, pod warunkiem, że zostanie ona nadana do godz. 17.00 poprzedniego
dnia. Czasami jednak zdarzają się opóźnienia. Wiadomo, że jeżeli opóźni się wieczorny rejs
do dużego miasta, z którego przesyłki są rozsyłane dalej, to istnieje prawdopodobieństwo
25%, że przesyłka nie zostanie w porę dostarczona. Wiadomo też, że 10% rejsów do dużego
miasta ma opóźnienie. Jaki procent przesyłek dociera do klientów z opóźnieniem?
O d p o w i e d ź. P (A|B) = 25%, P (B) = 10%, stąd P (A∩B) = P (A|B)·P (B) = 2, 5%.
24. Ankieter, przeprowadzający badanie w domach respondentów, uważa, że respondent
odpowie na wszystkie pytania z prawdopodobieństwem 0, 94, jeśli będzie obecny w domu. Z
kolei prawdopodobieństwo zastania w domu osoby, z którą chce przeprowadzić wywiad, jest
równe 0, 65. Jaki procent zaplanowanych wywiadów dojdzie do skutku?
O d p o w i e d ź. P (A|B) = 0, 94, P (B) = 0, 65, stąd P (A∩B) = P (A|B)·P (B) = 0, 611,
czyli 61% wywiadów dojdzie do skutku.
25. Wytwórca pewnego gatunku perfum wie, że istnieje prawdopodobieństwo 0, 05, że konsument zaakceptuje nowy produkt i tylko 0, 02, że zaakceptuje nowy produkt i będzie mu
wierny przez co najmniej 6 miesięcy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany
klient, który właśnie zaczął nabywać nowy produkt, wytrwa przy nim przez najbliższych 6
miesięcy?
O d p o w i e d ź. P (A∩B) = 0, 02, P (B) = 0, 05, stąd P (A|B) = P (A∩B)/P (B) = 0, 4.
5